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Parallele und orthogonale Gerade

Spickzettel
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Parallele Geraden

Geraden verlaufen parallel, wenn sie dieselbe Steigung m haben. Die y-Achsenabschnitte b können unterschiedlich sein.

Beispiel

Parallele Gerade:
Lineare Funktionen: Parallele und orthogonale Gerade
Lineare Funktionen: Parallele und orthogonale Gerade
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} m_1&=&m_2\\[5pt] 1&=&1\\[5pt] \end{array}$
$\rightarrow$ parallel

Orthogonale Geraden

Zwei Geraden sind zueinander orthogonal, wenn sie sich rechtwinklig schneiden. Multiplizierst du die Steigungen $m_1$ und $m_2$ zweier orthogonalen Geraden, so ist das Produkt $-1$.

Beispiel

Orthogonale Geraden:
Lineare Funktionen: Parallele und orthogonale Gerade
Lineare Funktionen: Parallele und orthogonale Gerade
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} m_1\cdot m_2&=&-1\\[5pt] -1\cdot1&=&-1\\[5pt] \end{array}$
$\rightarrow$ orthogonal
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Aufgaben
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1.  Sind die zwei Geraden parallel?
a)  $y_1=2x+3$
$y_2=x+3$
b)  $y_1=3x+2$
$y_2=2x+1$
c)  $y_1=2x+2$
$y_2=2x+1$
d)  $y_1=\dfrac{1}{3}x+2$
$y_2=3x+2$
e)  $y_1=3x+1$
$y_2=3x+3$
f)  $y_1=x+4$
$y_2=x+3$
2.  Sind die zwei Geraden orthogonal?
a)  $y_1=3x+1$
$y_2=x+3$
b)  $y_1=-x+2$
$y_2=x+1$
c)  $y_1=-2x+2$
$y_2=2x+3$
d)  $y_1=-\dfrac{1}{3}x+4$
$y_2=3x-4$
e)  $y_1=4x+20$
$y_2=-0,25x+6$
f)  $y_1=-x$
$y_2=2x+3$
3.  Gib zwei zu $y_1$ parallele und zwei zu $y_1$ orthogonale Funktionsgleichungen an.
a)  $y_1=x+3$
b)  $y_1=-\dfrac{2}{3}x+2$
c)  $y_1=2,5x-7$
d)  $y_1=-\dfrac{1}{5}x$
e)  $y_1=3x-2$
f)  $y_1=-x$
4.  Bestimme $a$, damit $y_1$ und $y_2$ orthogonal sind.
a)  $y_1=0,5x+7$
$y_2=a(2x+3)$
b)  $y_1=-5x+6$
$y_2=-ax+1$
c)  $y_1=12x+6$
$y_2=a(6x-2)$
d)  $y_1=-\frac{1}{3}x+2$
$y_2=-\frac{3}{a}x$
e)  $y_1=3,5x+1$
$y_2=\dfrac{a}{5}x-3$
f)  $y_1=(3-2a)x-3$
$y_2=x$
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Lösungen
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1.  Du sollst entscheiden, ob die zwei Geraden parallel sind. Zwei Geraden sind parallel, wenn sie die gleiche Steigung haben ($m_1 = m_2$) und der $y$-Achsenabschnitt verschieden ist $b_1 \ne b_2$. Eine Gerade hat die allgemeine Form $y=mx+b$, der Parameter $m$ gibt dir die Steigung und der Parameter $b$ den $y$-Achsenabschnitt der Gerade an.
a)  Die Geraden lauten:
$y_1=2x+3$
$y_2=x+3$
Die Steigungen sind somit:
$m_1 = 2$
$m_2 = 1$
Da $2 \ne 1$, sind die Geraden nicht parallel.
b)  Die Geraden lauten:
$y_1=3x+2$
$y_1=3x+2$
Die Steigungen sind somit:
$m_1 = 3$
$m_2 = 2$
Da $3 \ne 2$, sind die Geraden nicht parallel.
c)  Die Geraden lauten:
$y_1=2x+2$
$y_2=2x+1$
Die Steigungen sind somit:
$m_1 = 2$
$m_2 = 2$
Da die Steigungen identisch und die $y$-Achsenabschnitte verschieden sind, sind die Geraden parallel.
d)  Die Geraden lauten:
$y_1=\dfrac{1}{3}x+2$
$y_2=3x+2$
Die Steigungen sind somit:
$m_1 = \dfrac{1}{3}$
$m_2 = 3$
Da $\dfrac{1}{3} \ne 3$, sind die Geraden nicht parallel.
e)  Die Geraden lauten:
$y_1=3x+1$
$y_2=3x+3$
Die Steigungen sind somit:
$m_1 = 3$
$m_2 = 3$
Die $y$-Achsenabschnitte sind gegeben durch
$b_1 = 1$
$b_2 = 3$
Da die Steigungen identisch und die $y$-Achsenabschnitte} verschieden sind, sind die Geraden parallel.
f)  Die Geraden lauten:
$y_1=x+4$
$y_2=x+3$
Die Steigungen sind somit:
$m_1 = 1$
$m_2 = 1$
Die $y$-Achsenabschnitte sind gegeben durch
$b_1 = 4$
$b_2 = 3$
Da die Steigungen identisch und die $y$-Achsenabschnitte verschieden sind, sind die Geraden parallel.
2.  Zwei Geraden sind orthogonal, falls deren Steigungen $m_1$ und $m_2$ die folgende Gleichung erfüllen:
Die Gerade $A$ hat den $y$-Achsenabschnitt $1$ und ist im Vergleich zu den anderen Geraden sehr steil. Ihre Geradegleichung ist daher $y=3x+1$.
$$\boldsymbol{-1 = m_1 \cdot m_2}$$
a)  Die Geraden lauten:
$y_1=3x+1$
$y_2=x+3$
Die Steigungen sind somit:
$m_1 = 3$
$m_2 = 1$
Setze $m_1$ und $m_2$ in die oben gegebene Gleichung ein, um zu überprüfen, ob die Geraden orthogonal sind.
$m_1 \cdot m_2 = 3 \cdot 1 = 3 \ne -1$
Die Geraden sind somit nicht orthogonal.
b)  Die Geraden lauten:
$y_1=-x+2$
$y_2=x+1$
Die Steigungen sind somit:
$m_1 = -1$
$m_2 = 1$
Setze $m_1$ und $m_2$ in die oben gegebene Gleichung ein, um zu überprüfen, ob die Geraden orthogonal sind.
$m_1 \cdot m_2 = (-1) \cdot 1 = -1$
Die Geraden sind somit orthogonal.
c)  Die Geraden lauten:
$y_1=-2x+2$
$y_2=2x+3$
Die Steigungen sind somit:
$m_1 = -2$
$m_2 = 2$
Setze $m_1$ und $m_2$ in die oben gegebene Gleichung ein, um zu überprüfen, ob die Geraden orthogonal sind.
$m_1 \cdot m_2 = 2 \cdot (-2) = -4 \ne -1$
Die Geraden sind somit nicht orthogonal.
d)  Die Geraden lauten:
$y_1=-\dfrac{1}{3}x+4$
$y_2=3x-4$
Die Steigungen sind somit:
$m_1 = -\dfrac{1}{3}$
$m_2 = 3$
Setze $m_1$ und $m_2$ in die oben gegebene Gleichung ein, um zu überprüfen, ob die Geraden orthogonal sind.
$m_1 \cdot m_2 = \left(-\dfrac{1}{3}\right) \cdot 3 = -1$
Die Geraden sind somit orthogonal.
e)  Die Geraden lauten:
$y_1=4x+20$
$y_2=-0,25x+6$
Die Steigungen sind somit:
$m_1 = 4$
$m_2 = -0,25$
Setze $m_1$ und $m_2$ in die oben gegebene Gleichung ein, um zu überprüfen, ob die Geraden orthogonal sind.
$m_1 \cdot m_2 = 4 \cdot (-0,25) = -1$
Die Geraden sind somit orthogonal.
f)  Die Geraden lauten:
$y_1=-x$
$y_2=2x+3$
Die Steigungen sind somit:
$m_1 = -1$
$m_2 = 2$
Setze $m_1$ und $m_2$ in die oben gegebene Gleichung ein, um zu überprüfen, ob die Geraden orthogonal sind.
$m_1 \cdot m_2 = (-1) \cdot 2 = -2 \ne -1$
Die Geraden sind somit nicht orthogonal.
3. Zwei Geraden sind parallel, wenn sie die gleiche Steigung haben und der $y$-Achsenabschnitt verschieden ist. Eine Gerade hat die allgemeine Form $y=mx+b$, der Parameter $m$ gibt dir die Steigung und $b$ den $y$-Achsenabschnitt der Geraden an.
Um zu der gegebenen Funktion die parallele Geraden zu bestimmen, musst du also den $y$-Achsenabschnitt der Geraden verändern.
Zwei Geraden sind orthogonal, falls deren Steigungen die folgende Gleichung erfüllen:
$-1 = m_1 \cdot m_2$
Mit dieser Gleichung kannst du als erstes die Steigung der orthogonalen Geraden berechnen. Unterschiedliche Geraden erhältst du durch Verändern des $y$-Achsenabschnitts.
a)   Die Gerade lautet:
$y_1=x+3$
Parallele Geraden bestimmen
Die Steigung der Geraden $y_1$ beträgt $m_1 = 1$, diese bleibt bei den parallelen Geraden erhalten. Du musst also nur den also nur den $y$-Achsenabschnitt verändern.
Du erhältst beispielsweise
$y_{2}=x - 2$
$y_{3}=x + 1$
Orthogonale Geraden bestimmen
Um zu $y_1$ orthogonale Geraden zu bestimmen, berechne zunächst die Steigung der orthogonalen Geraden mit der oben angegebenen Formel.
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} m_1 \cdot m_2&=&-1& \\[5pt] 1 \cdot m_2&=&-1& \\[5pt] m_2 &=& -1 \end{array}$
Zwei mögliche Geraden, die zu $y_1$ orthogonal sind, sind gegeben durch
$y_{4}=-x+6$
$y_{5}=-x-4$
b)   Die Gerade lautet:
$y_1=-\dfrac{2}{3}x+2$
Parallele Geraden bestimmen
Die Steigung der Geraden $y_1$ beträgt $m_1 = -\frac{2}{3}$, diese bleibt bei den parallelen Geraden erhalten. Verändere also nur den $y$-Achsenabschnitt.
Du erhältst beispielsweise
$y_{2} = -\dfrac{2}{3} - 1$
$y_{3} = -\dfrac{2}{3} + 3$
Orthogonale Geraden bestimmen
Um zu $y_1$ orthogonale Geraden zu bestimmen, berechne zunächst die Steigung der orthogonalen Geraden mit der oben angegebenen Formel.
Die Steigung der Geraden $y_1$ beträgt $m_1 = -\frac{2}{3}$, setze diese in die Formel ein und berechne $m_2$.
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} m_1 \cdot m_2&=&-1& \\[5pt] -\dfrac{2}{3} \cdot m_2&=&-1& \mid\; :\left(-\dfrac{2}{3}\right) \\[5pt] m_2 &=& \dfrac{3}{2} \end{array}$
Zwei mögliche Geraden, die zu $y_1$ orthogonal sind, sind gegeben durch
$y_{4} = \dfrac{3}{2} + 3$
$y_{5} = \dfrac{3}{2} - 4$
c)   Die Gerade lautet:
$y_1=2,5x-7$
Parallele Geraden bestimmen
Die Steigung der Geraden $y_1$ beträgt $m_1 = 2,5$, diese bleibt bei den parallelen Geraden erhalten. Verändere also nur den $y$-Achsenabschnitt.
Du erhältst beispielsweise
$y_{2} = -\dfrac{1}{5}x - 2$
$y_{3} = -\dfrac{1}{5}x + 3$
Orthogonale Geraden bestimmen
Um zu $y_1$ orthogonale Geraden zu bestimmen, berechne zunächst die Steigung der orthogonalen Geraden mit der oben angegebenen Formel.
Die Steigung der Geraden $y_1$ beträgt $m_1 = -\frac{1}{5}$, setze diese in die Formel ein und berechne $m_2$.
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} m_1 \cdot m_2&=&-1& \\[5pt] -\dfrac{1}{5} \cdot m_2&=&-1& \mid\; \cdot (-5) \\[5pt] m_2 &=& 5 \end{array}$
Zwei mögliche Geraden, die zu $y_1$ orthogonal sind, sind gegeben durch
$y_{4} = 5 x + 1$
$y_{5} = 5 x - 4$
d)   Die Gerade lautet:
$y_1=2,5x-7$
Parallele Geraden bestimmen
Die Steigung der Geraden $y_1$ beträgt $m_1 = -\frac{1}{5}$, diese bleibt bei den parallelen Geraden erhalten. Verändere also nur den $y$-Achsenabschnitt.
Du erhältst beispielsweise
$y_{2} = 2,5x$
$y_{3} = 2,5x + 1$
Orthogonale Geraden bestimmen
Um zu $y_1$ orthogonale Geraden zu bestimmen, berechne zunächst die Steigung der orthogonalen Geraden mit der oben angegebenen Formel.
Die Steigung der Geraden \(y_1\) beträgt $m_1 = 2,5$, setze diese in die Formel ein und berechne $m_2$.
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} m_1 \cdot m_2&=&-1& \\[5pt] 2,5 \cdot m_2&=&-1& \mid\; :2,5\\[5pt] m_2 &=& -\dfrac{2}{5} \end{array}$
Zwei mögliche Geraden, die zu $y_1$ orthogonal sind, sind gegeben durch
$y_{4} = - \dfrac{2}{5}x + 3$
$y_{5} = - \dfrac{2}{5}x - 1$
e)   Die Gerade lautet:
$y_1=2,5x-7$
Parallele Geraden bestimmen
Die Steigung der Geraden $y_1$ beträgt $m_1 = 3$, diese bleibt bei den parallelen Geraden erhalten. Verändere also nur den $y$-A chsenabschnitt.
Du erhältst beispielsweise
$y_{2} = 3x - 5$
$y_{3} = 3x + 10$
Orthogonale Geraden bestimmen
Um zu $y_1$ orthogonale Geraden zu bestimmen, berechne zunächst die Steigung der orthogonalen Geraden mit der oben angegebenen Formel.
Die Steigung der Geraden $y_1$ beträgt $m_1 = 3$, setze diese in die Formel ein und berechne $m_2$.
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} m_1 \cdot m_2&=&-1& \\[5pt] 3 \cdot m_2&=&-1& \mid\; :3\\[5pt] m_2 &=& -\dfrac{1}{3} \end{array}$
Zwei mögliche Geraden, die zu $y_1$ orthogonal sind, sind gegeben durch
$y_{4} = - \dfrac{1}{3} x$
$y_{5} = - \dfrac{1}{3}x +2$
f)   Die Gerade lautet:
$y_1=2,5x-7$
Parallele Geraden bestimmen
Die Steigung der Geraden $y_1$ beträgt $m_1 =-1$, diese bleibt bei den parallelen Geraden erhalten. Verändere also nur den $y$-Achsenabschnitt.
Du erhältst beispielsweise
$y_{2} = -x - 6$
$y_{3} = -x + 5$
Orthogonale Geraden bestimmen
Um zu $y_1$ orthogonale Geraden zu bestimmen, berechne zunächst die Steigung der orthogonalen Geraden mit der oben angegebenen Formel.
Die Steigung der Geraden $y_1$ beträgt $m_1 = -1$, setze diese in die Formel ein und berechne $m_2$.
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} m_1 \cdot m_2&=&-1& \\[5pt] (-1) \cdot m_2&=&-1& \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] m_2 &=& 1 \end{array}$
Zwei mögliche Geraden, die zu $y_1$ orthogonal sind, sind gegeben durch
$y_{4} = x + 2$
$y_{5} = x - 4$
4.  Zwei Geraden sind orthogonal, falls deren Steigungen $m_1$ und $m_2$ die folgende Gleichung erfüllen:
Wenn du den Schnittpunkt zweier Geraden berechnen willst, musst du die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzen. Durch Umformungen musst du nach $x$ auflösen. Den Wert für $x$ kannst du dann in eine der beiden Gleichungen einsetzen, um den $y$-Wert berechnen zu können.
Es ist nicht relevant, in welche Funktionsgleichung du den $x$-Wert einsetzest, da es sich ja um den Schnittpunkt handelt und in diesem sind die Funktionswerte der Geraden gleich.
a)   Die Geraden lautet:
$y_1=0,5x+7$
$y_2=a(2x+3) = 2ax+3a$
Die Steigungen der Geraden sind gegeben durch
$m_1 = 0,5$
$m_2 = 2a$
Setze die Steigungen in die oben gegebene Formel ein und löse nach $a$ auf:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} m_1 \cdot m_2&=&-1& \\[5pt] 0,5 \cdot 2a&=&-1&\\[5pt] a&=&-1& \end{array}$
Für $a=-1$ sind die Geraden $y_1$ und $y_2$ orthogonal.
b)   Die Geraden lautet:
$y_1=-5x+6$
$y_2=-ax+1$
Die Steigungen der Geraden sind gegeben durch
$m_1 = -5$
$m_2 = -a$
Setze die Steigungen in die oben gegebene Formel ein und löse nach $a$ auf:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} m_1 \cdot m_2&=&-1& \\[5pt] (-5) \cdot (-a)&=&-1&\\[5pt] 5a&=&-1&\mid\; :5\\[5pt] a&=&-\dfrac{1}{5} \end{array}$
Für $a=-\frac{1}{5}$ sind die Geraden $y_1$ und $y_2$ orthogonal.
c)   Die Geraden lautet:
$y_1=12x+6$
$y_2=a(6x-2) = 6ax-2a$
Die Steigungen der Geraden sind gegeben durch
$m_1 =12$
$m_2 = 6a$
Setze die Steigungen in die oben gegebene Formel ein und löse nach $a$ auf:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} m_1 \cdot m_2&=&-1& \\[5pt] 12 \cdot 6a&=&-1&\\[5pt] 72a&=&-1&\mid\; :72\\[5pt] a&-\dfrac{1}{72} \end{array}$
Für $a=-\frac{1}{72}$ sind die Geraden $y_1$ und $y_2$ orthogonal.
d)   Die Geraden lautet:
$y_1=-\dfrac{1}{3}x+2$
$y_2=-\dfrac{3}{a}x$
Die Steigungen der Geraden sind gegeben durch
$m_1 = -\dfrac{1}{3}$
$m_2 = -\dfrac{3}{a}$
Setze die Steigungen in die oben gegebene Formel ein und löse nach $a$ auf:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} m_1 \cdot m_2&=&-1& \\[5pt] \left(-\dfrac{1}{3}\right) \cdot \left(-\dfrac{3}{a}\right)&=&-1&\\[5pt] \dfrac{1}{a}&=&-1& \mid\; \cdot a \\[5pt] 1&=&-a &\mid\; \cdot (-1)\\[5pt] a&=&-1& \end{array}$
Für $a=-1$ sind die Geraden $y_1$ und $y_2$ orthogonal.
e)   Die Geraden lautet:
$y_1=3,5x+1$
$y_2=\dfrac{a}{5}x-3$
Die Steigungen der Geraden sind gegeben durch
$m_1 = 3,5$
$m_2 = \dfrac{a}{5}$
Setze die Steigungen in die oben gegebene Formel ein und löse nach $a$ auf:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} m_1 \cdot m_2&=&-1&\\[5pt] 3,5 \cdot \dfrac{a}{5}&=&-1&\\[5pt] \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{a}{5}&=&-1&\\[5pt] \dfrac{7}{10} a&=&-1&\mid\; :\dfrac{7}{10}\\[5pt] a&=&-\dfrac{10}{7}& \end{array}$
Für $a=-\frac{10}{7}$ sind die Geraden $y_1$ und $y_2$ orthogonal.
f)   Die Geraden lautet:
$y_1=(3-2a)x-3$
$y_2=x$
Die Steigungen der Geraden sind gegeben durch
$m_1 = 3-2a$
$m_2 = 1$
Setze die Steigungen in die oben gegebene Formel ein und löse nach $a$ auf:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} m_1 \cdot m_2&=&-1& \\[5pt] (3-2a) \cdot 1&=&-1&\\[5pt] 3-2a&=&-1& \mid\; -3\\[5pt] -2a&=&-4& \mid\;:(-2)\\[5pt] a&=&2& \end{array}$
Für $a=2$ sind die Geraden $y_1$ und $y_2$ orthogonal.
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