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Gleichungen mit Brüchen und Klammern

Spickzettel
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Um nun eine Gleichung zu berechnen, die sowohl Klammern als auch Brüche beinhaltet, solltest du dir die Regeln zum Bruchrechnen nochmal in Erinnerung rufen. Die Klammern kannst du so auflösen, wie du es im Skript zum Thema Gleichungen mit Klammern gelernt hast.
Schritt 1: Die Klammern ausmultiplizieren und die Gleichung zusammenfassen.
Schritt 2: Die Variable auf die eine Seite des Gleichheitszeichens bringen und den Rest auf die andere Seite.
Schritt 3: Die Terme auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens jeweils bestmöglich zusammenfassen.
Schritt 4: Die Lösung für die Variable durch Multiplikation oder Division ermitteln. Bei den Brüchen ist Multiplikation die Gegenoperation.
Schritt 1: Die Klammern ausmultiplizieren und die Gleichung zusammenfassen.
Schritt 2: Die Variable auf die eine Seite des Gleichheitszeichens bringen und den Rest auf die andere Seite.
Schritt 3: Die Terme auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens jeweils bestmöglich zusammenfassen.
Schritt 4: Die Lösung für die Variable durch Multiplikation oder Division ermitteln. Bei den Brüchen ist Multiplikation die Gegenoperation.
Merke: Alle Umformungen, die du vornimmst, müssen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens umgesetzt werden.
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Einführung

Lineare Gleichungen: Gleichungen mit Brüchen und Klammern
Abb. 1: Die Bundesjugendspiele finden einmal im Jahr in verschiedenen Disziplinen statt.
Lineare Gleichungen: Gleichungen mit Brüchen und Klammern
Abb. 1: Die Bundesjugendspiele finden einmal im Jahr in verschiedenen Disziplinen statt.

Erklärung

Mit Hilfe einer Gleichung, in der Brüche und Klammern vorkommen, kannst du die Laufzeiten der Freundinnen berechnen. Dazu solltest du dir nochmal die Regeln Ausmultiplizieren und zum Bruchrechnen in Erinnerung rufen.

Ausmultiplizieren

Wenn in einem Term vor einer Klammer ein Faktor steht, kannst du manchmal den Term vereinfachen, indem du die Klammer ausmultiplizierst. Dazu multiplizierst du jede Zahl in der Klammer mit dem Faktor. Wenn der Faktor hinter der Klammer steht, kannst du genauso vorgehen.
Beachte: Wird eine Klammer mit einem negativen Faktor multipliziert, so ändern sich die Vorzeichen.
Lineare Gleichungen: Gleichungen mit Brüchen und Klammern
Lineare Gleichungen: Gleichungen mit Brüchen und Klammern

Bruchrechenregeln

  • Brüche werden erweitert, indem du Nenner und Zähler mit der gleichen Zahl multiplizierst.
  • Brüche werden gekürzt, indem im Zähler und Nenner die gleiche Zahl dividiert wird.
  • Um Brüche zu Addieren und zu Subtrahieren müssen sie durch multiplizieren oder dividieren auf den gleichen Nenner gebracht werden.
  • Um einen Bruch zu entfernen, musst du mit dem Nenner multiplizieren
Ansonsten kannst du beim Lösen von Gleichungen mit Klammern und Brüchen genauso vorgehen, wie bei Gleichungen mit Klammern. Bei den Brüchen führst du durch Multiplikation die Gegenoperation durch.
  • Schritt 1: Die Klammern ausmultiplizieren und die Gleichung zusammenfassen.
  • Schritt 2: Die Variable auf die eine Seite des Gleichheitszeichens bringen und den Rest auf die andere Seite.
  • Schritt 3: Die Terme auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens jeweils bestmöglich zusammenfassen.
  • Schritt 4: Die Lösung für die Variable durch Multiplikation oder Division ermitteln.
  • Schritt 1: Die Klammern ausmultiplizieren und die Gleichung zusammenfassen.
  • Schritt 2: Die Variable auf die eine Seite des Gleichheitszeichens bringen und den Rest auf die andere Seite.
  • Schritt 3: Die Terme auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens jeweils bestmöglich zusammenfassen.
  • Schritt 4: Die Lösung für die Variable durch Multiplikation oder Division ermitteln.
Merke: Alle Umformungen, die du vornimmst, müssen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens umgesetzt werden.

Beispiel

Sabine und Lena setzen sich zusammen, um ihre Ergebnisse zu berechnen. Dazu tragen sie die gegebenen Informationen nochmal zusammen:
  • Tim ist 15 Sekunden schneller als Lena
  • Ein Drittel der Laufzeit von Lena ist gleich der Hälfte der Laufzeit von Tim.
  • Sabine ist 4 Sekunden langsamer als Lena
Wenn du nun Lenas Laufzeit mit der Variablen $\boldsymbol{x}$ benennst, kannst du die Informationen mathematisch ausdrücken:
  • Tim ist 15 Sekunden schneller als Lena $\rightarrow$ $\begin{array} \boldsymbol{\text{Tim}} &=&\boldsymbol{x-15}\end{array}$
  • Ein Drittel der Laufzeit von Lena ist gleich der Hälfte der Laufzeit von Tim $\rightarrow$ $\begin{array} [t]{rll}\boldsymbol{\frac{1}{2}} \text{Tim}&=&\boldsymbol{\frac{1}{3}x}\end{array}$
  • Sabine ist 4 Sekunden langsamer als Lena $\rightarrow$ $\begin{array} \boldsymbol{\text{Sabine}} &=&\boldsymbol{x+4}\end{array}$
Wenn du die ersten zwei Informationen nutz, um eine Gleichung aufzustellen, reicht das bereits aus, um die Variable zu ermitteln. Es ergibt sich die Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{3}x&=&\frac{1}{2}(x-15) \end{array}$
Schritt 1:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{3}x&=&\frac{1}{2}(x-15) &\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] \frac{1}{3}x&=&\frac{1}{2}x-\frac{15}{2} \end{array}$
Schritt 2:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{3}x&=&\frac{1}{2}x-\frac{15}{2}&\quad \scriptsize\mid\; -\frac{1}{2}x\\[5pt] -\frac{1}{6}x&=& -\frac{15}{2} \end{array}$
Schritt 3:
Hier kannst du in dem Beispiel nichts weiter zusammenfassen.
Schritt 4:
$\begin{array}[t]{rll} -\frac{1}{6}x&=& -\frac{15}{2}&\quad \scriptsize\mid\; \cdot(-1)\\[5pt] \frac{1}{6}x&=& \frac{15}{2}&\quad \scriptsize\mid\; \cdot(6)\\[5pt] x&=& 45 \end{array}$
Da du Lenas Laufzeit mit der Variable $x$ benannt hattest, ergibt sich somit, dass Lena 45 Sekunden für die Laufstrecke benötigt.
Du kannst nun, diesen Wert für das $x$ in den anderen Informationen einsetzen und somit die Zeiten von Sabine und Tim berechnen.
  • $\begin{array} \boldsymbol{\text{Tim}} &=&x-15\end{array}$, daraus ergibt sich für Tim eine Laufzeit von 30 Sekunden.
  • $\begin{array} \boldsymbol{\text{Sabine}} &=&x+4\end{array}$, Sabine ist also 49 Sekunden gelaufen.
Sabine und Lena wissen, dass in ihrer Alterklasse für eine Ehrenurkunde eine Laufzeit von 45 Sekunden oder schneller nötig ist. Lena und Tim sind also im Bereich einer Ehrenurkunde, für Sabine hat es ganz knapp nicht gereicht. Da aber ihre Ergebnisse vom Lauf mit allen anderen Ergebnissen verrechnet werden, können sie sich von dem Resultat bei der Siegerehrung überraschen lassen.
Bildnachweise [nach oben]
1
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1.
Löse die Gleichungen.
b)
$\dfrac{2}{4}(8x+8)=5$
d)
$46=(10x+11)\cdot \dfrac{8}{4}$
f)
$\dfrac{6}{8}(16x+20)=63$
2.
Löse die Gleichungen.
b)
$\dfrac{3}{6}(8-2x)=5$
d)
$36=(3x-9)\cdot \dfrac{3}{6}$
f)
$200=(14x-40)\cdot \dfrac{4}{2}$
3.
Löse die Gleichungen.
b)
$\dfrac{2}{5}(10x-20)-\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{2}(12x-9)$
d)
$4\left(\dfrac{x}{8}-16\right)=\dfrac{2}{4}(2x+12)$
f)
$4\dfrac{1}{2}(4x+8)=2\left(\dfrac{x}{2}-10\right)+\dfrac{2}{4}(2x-12)$
$4\dfrac{1}{2}(4x+8)=…$
4.
Löse die Gleichungen.
b)
$\dfrac{3x+4}{22}+\dfrac{x-2}{2}=10$
d)
$\dfrac{2(x+2)}{4}+\dfrac{x}{2}-\dfrac{4}{5}x=12$
f)
$\dfrac{1}{3}+\dfrac{2-x}{4}+\dfrac{24x+8}{12}+3x=4(x-9)$
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Lösungen
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1.
Die Gleichung lösen.
a)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{1}{2}(2x+4)&=&10&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] \dfrac{1\cdot \color{#87c800}{2}}{\color{#87c800}{2}}x+\dfrac{1\cdot \color{#87c800}{4}}{\color{#87c800}{2}}&=&10&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] x+2&=&10&& \mid\;-2\\[5pt] x&=&8 \end{array}$
$ \dfrac{1}{2}(2x+4)=10$
b)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{2}{4}(8x+8)&=&5&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] \dfrac{2\cdot \color{#87c800}{8}}{\color{#87c800}{4}}x+\dfrac{2\cdot \color{#87c800}{8}}{\color{#87c800}{4}}&=&5&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 4x+4&=&5&& \mid\;-4\\[5pt] 4x&=&1&& \mid\;:4\\[5pt] x&=&0,25 \end{array}$
$ \dfrac{2}{4}(8x+8)=5 $
c)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{3}{4}(12x+16)&=&30&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] \dfrac{3\cdot \color{#87c800}{12}}{\color{#87c800}{4}}x+\dfrac{3\cdot \color{#87c800}{16}}{\color{#87c800}{4}}&=&30&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 9x+12&=&30&& \mid\;-12\\[5pt] 9x&=&18&& \mid\;:9\\[5pt] x&=&2 \end{array}$
$ \dfrac{3}{4}(12x+16)=30 $
d)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 46&=&(10x+11)\cdot \dfrac{8}{4}&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 46&=&\dfrac{\color{#87c800}{8} \cdot 10}{\color{#87c800}{4}}x+\dfrac{\color{#87c800}{8} \cdot 11}{\color{#87c800}{4}}&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 46&=&20x+22&&\mid\;-22\\[5pt] 24&=&20x&&\mid\;:20\\[5pt] x&=&1,2 \end{array}$
$ 46=(10x+11)\cdot \dfrac{8}{4} $
e)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 22&=&(10x+25)\cdot \dfrac{1}{5}&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 22&=&\dfrac{1 \cdot \color{#87c800}{10}}{\color{#87c800}{5}}x+\dfrac{1 \cdot \color{#87c800}{25}}{\color{#87c800}{5}}&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 22&=&2x+5&&\mid\;-5\\[5pt] 17&=&2x&&\mid\;:2\\[5pt] x&=&8,5 \end{array}$
$ 22=(10x+25)\cdot \dfrac{1}{5}$
f)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{6}{8}(16x+20)&=&63&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] \dfrac{6\cdot \color{#87c800}{16}}{\color{#87c800}{8}}x+\dfrac{6\cdot 20}{8}&=&63&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 12x+\dfrac{\color{#87c800}{120}}{\color{#87c800}{8}}&=&63&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 12x+15&=&63&& \mid\;-15\\[5pt] 12x&=&48&& \mid\;:12\\[5pt] x&=&4 \end{array}$
$ \dfrac{6}{8}(16x+20)=63 $
2.
Die Gleichung lösen.
a)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{0.5cm}}l} \dfrac{1}{4}(6x-12)&=&3&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] \dfrac{1\cdot 6}{4}x-\dfrac{1\cdot {12}}{4}&=&3&\\[5pt] \dfrac{6}{4}x-\dfrac{12}{4}&=&3&& \mid\;\cdot 4\\[5pt] \dfrac{6\cdot \color{#87c800}{4}}{\color{#87c800}{4}}x-\dfrac{12\cdot \color{#87c800}{4}}{\color{#87c800}{4}}&=&3\cdot4&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 6x-12&=&12&& \mid\;+12\\[5pt] 6x&=&24&& \mid\;:6\\[5pt] x&=&4 \end{array}$
$ \dfrac{1}{4}(6x-12)=3 $
b)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{0.5cm}}l} \dfrac{3}{6}(8-2x)&=&5&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] \dfrac{3\cdot 8}{6}-\dfrac{3\cdot 2}{6}x&=&5&\\[5pt] \dfrac{24}{6}-x&=&5&& \mid\;\cdot 6\\[5pt] \dfrac{24\cdot \color{#87c800}{6}}{\color{#87c800}{6}}-x\cdot 6&=&5\cdot 6&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 24-6x&=&30&& \mid\;-24\\[5pt] -6x&=&6&& \mid\;:6\\[5pt] x&=&-1 \end{array}$
$ \dfrac{3}{6}(8-2x)=5 $
c)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{0.5cm}}l} \dfrac{2}{5}(10x-25)&=&16&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] \dfrac{2\cdot \color{#87c800}{10}}{\color{#87c800}{5}}x-\dfrac{2\cdot \color{#87c800}{25}}{\color{#87c800}{5}}&=&16&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 4x-10&=&16&& \mid\;+10\\[5pt] 4x&=&26&& \mid\;:4\\[5pt] x&=&6,5 \end{array}$
$ \dfrac{2}{5}(10x-25)=16 $
d)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{0.5cm}}l} 36&=&(3x-9)\cdot \dfrac{3}{6}&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 36&=&\dfrac{3 \cdot 3}{6}x-\dfrac{3 \cdot 9}{6}\\[5pt] 36&=&\dfrac{9}{6}x-\dfrac{27}{6}&&\mid\;\cdot 6\\[5pt] 36\cdot 6&=&\dfrac{9\cdot \color{#87c800}{6}}{\color{#87c800}{6}}x-\dfrac{27\cdot \color{#87c800}{6}}{\color{#87c800}{6}}&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 216&=&9x-27&&\mid\;+27\\[5pt] 243&=&9x&&\mid\;:9\\[5pt] x&=&27 \end{array}$
$ 36=(3x-9)\cdot \dfrac{3}{6} $
e)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{0.5cm}}l} 22&=&(10x-25)\cdot \dfrac{1}{5}&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 22&=&\dfrac{1 \cdot \color{#87c800}{10}}{\color{#87c800}{5}}x-\dfrac{1 \cdot \color{#87c800}{25}}{\color{#87c800}{5}}&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 22&=&2x-5&&\mid\;+5\\[5pt] 27&=&2x&&\mid\;:2\\[5pt] x&=&13,5 \end{array}$
$ 22=(10x-25)\cdot \dfrac{1}{5} $
f)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{0.5cm}}l} 200&=&(14x-40)\cdot \dfrac{4}{2}&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 200&=&\dfrac{4 \cdot \color{#87c800}{14}}{\color{#87c800}{2}}x-\dfrac{4 \cdot \color{#87c800}{40}}{\color{#87c800}{2}}&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 200&=&28x-80&&\mid\;+80\\[5pt] 280&=&28x&&\mid\;:28\\[5pt] x&=&10 \end{array}$
$ 200=(14x-40)\cdot \dfrac{4}{2} $
3.
Die Gleichung lösen.
a)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{0.5cm}}l} \dfrac{1}{4}(8x-12)&=&\dfrac{2}{3}(15x-9)&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] \dfrac{1\cdot \color{#87c800}{8}}{\color{#87c800}{4}}x-\dfrac{1\cdot\color{#87c800}{12}}{\color{#87c800}{4}}&=&\dfrac{2\cdot\color{#87c800}{15}}{\color{#87c800}{3}}x-\dfrac{2\cdot\color{#87c800}{9}}{\color{#87c800}{3}}&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 2x-3&=&10x-6&& \mid\;-10x\\[5pt] -8x-3&=&-6&& \mid\;+3\\[5pt] -8x&=&-3&& \mid\;:(-8)\\[5pt] x&=&0,375 \end{array}$
$ \dfrac{1}{4}(8x-12)=\dfrac{2}{3}(15x-9)$
b)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{0.5cm}}l} \dfrac{2}{5}(10x-20)-\dfrac{2}{5}&=&\dfrac{1}{2}(12x-9)&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] \dfrac{2\cdot 10}{5}x-\dfrac{2\cdot 20}{5}-\dfrac{2}{5}&=&\dfrac{1\cdot 12}{2}x-\dfrac{1\cdot 9}{2}&\\[5pt] \dfrac{20}{5}x-\dfrac{40}{5}-\dfrac{2}{5}&=&\dfrac{12}{2}x-\dfrac{9}{2}&&\mid\;\cdot 10\;\small{\text{(Hauptnenner)}}\\[5pt] \dfrac{20\cdot \color{#87c800}{10}}{\color{#87c800}{5}}x-\dfrac{40\cdot \color{#87c800}{10}}{\color{#87c800}{5}}-\dfrac{2\cdot \color{#87c800}{10}}{\color{#87c800}{5}}&=&\dfrac{12\cdot \color{#87c800}{10}}{\color{#87c800}{2}}x-\dfrac{9\cdot \color{#87c800}{10}}{\color{#87c800}{2}}&& \small{\text{kürzen und zusammenfassen}}\\[5pt] 40x-84&=&60x-45&& \mid\;-60x\\[5pt] -20x-84&=&-45&& \mid\;+84\\[5pt] -20x&=&39&& \mid\;:(-20)\\[5pt] x&=&-1,95 \end{array}$
$ \dfrac{2}{5}(10x-20)-\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{2}(12x-9) $
c)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{0.5cm}}l} \dfrac{1}{3}(9x+6)+\dfrac{x}{4}&=&\dfrac{1}{4}(16x-13)&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] \dfrac{1\cdot \color{#87c800}{9}}{\color{#87c800}{3}}x+\dfrac{1\cdot \color{#87c800}{6}}{\color{#87c800}{3}}+\dfrac{x}{4}&=&\dfrac{1\cdot \color{#87c800}{16}}{\color{#87c800}{4}}x-\dfrac{1\cdot 13}{4}&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 3x+2+\dfrac{x}{4}&=&4x-\dfrac{13}{4}&& \mid\;\cdot 4\;\small{\text{(Hauptnenner)}}\\[5pt] 3x\cdot 4+2\cdot 4+\dfrac{x\cdot \color{#87c800}{4}}{\color{#87c800}{4}}&=&4x\cdot 4-\dfrac{13 \cdot\color{#87c800}{4}}{\color{#87c800}{4}}&& \small{\text{kürzen und zusammenfassen}}\\[5pt] 13x+8&=&16x-13&& \mid\;-16x\\[5pt] -3x+8&=&-13&& \mid\;-8\\[5pt] -3x&=&-21&& \mid\;:(-3)\\[5pt] x&=&7 \end{array}$
$ \dfrac{1}{3}(9x+6)+\dfrac{x}{4}=\dfrac{1}{4}(16x-13) $
d)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{0.5cm}}l} 4\left(\dfrac{x}{8}-16\right)&=&\dfrac{2}{4}(2x+12)&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] \dfrac{\color{#87c800}{4}\cdot x}{\color{#87c800}{8}}-4\cdot 16&=&\dfrac{2\cdot \color{#87c800}{2}}{\color{#87c800}{4}}x+\dfrac{2\cdot \color{#87c800}{12}}{\color{#87c800}{4}}&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] \dfrac{2}{4}x-64&=&x+6&& \mid\;\cdot 4\\[5pt] \dfrac{2\cdot \color{#87c800}{4}}{\color{#87c800}{4}}x-64\cdot 4&=&x\cdot 4+6\cdot 4&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 2x-256&=&4x+24&& \mid\;-4x\\[5pt] -2x-256&=&24&& \mid\;+256\\[5pt] -2x&=&280&& \mid\;:(-2)\\[5pt] x&=&-140 \end{array}$
$ 4\left(\dfrac{x}{8}-16\right)=\dfrac{2}{4}(2x+12) $
e)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{0.5cm}}l} \dfrac{1}{6}(72+3x)+4&=&\dfrac{1}{2}(5x+40)&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] \dfrac{1\cdot \color{#87c800}{72}}{\color{#87c800}{6}}+\dfrac{1\cdot \color{#87c800}{3}}{\color{#87c800}{6}}x+4&=&\dfrac{1\cdot 5}{2}x+\dfrac{1\cdot \color{#87c800}{40}}{\color{#87c800}{2}}&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 12+\dfrac{1}{2}x+4&=&\dfrac{5}{2}x+20&& \mid\;\cdot 2\;\small{\text{(Hauptnenner)}}\\[5pt] 12\cdot 2+\dfrac{1\cdot \color{#87c800}{2}}{\color{#87c800}{2}}x+4\cdot 2&=&\dfrac{5 \cdot \color{#87c800}{2}}{\color{#87c800}{2}}x+20\cdot 2&& \small{\text{kürzen und zusammenfassen}}\\[5pt] 32+x&=&5x+40&& \mid\;-5x\\[5pt] 32-4x&=&40&& \mid\;-32\\[5pt] -4x&=&8&& \mid\;:(-4)\\[5pt] x&=&-2 \end{array}$
$ \dfrac{1}{6}(72+3x)+4=\dfrac{1}{2}(5x+40) $
f)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{0.5cm}}l} 4\dfrac{1}{2}(4x+8)&=&2\left(\dfrac{x}{2}-10\right)+\dfrac{2}{4}(2x-12)&& \small{\text{umwandeln in unechten Bruch}}\\[5pt] \dfrac{9}{2}(4x+8)&=&2\left(\dfrac{x}{2}-10\right)+\dfrac{2}{4}(2x-12)&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] \dfrac{9\cdot \color{#87c800}{4}}{\color{#87c800}{2}}x+\dfrac{9\cdot \color{#87c800}{8}}{\color{#87c800}{2}}&=&\dfrac{\color{#87c800}{2}\cdot x}{\color{#87c800}{2}}-2\cdot 10+\dfrac{2\cdot \color{#87c800}{2}}{\color{#87c800}{4}}x-\dfrac{2\cdot \color{#87c800}{12}}{\color{#87c800}{4}}&& \small{\text{kürzen und zusammenfassen}}\\[5pt] 18x+36&=&2x-26&& \mid\;-2x\\[5pt] 16x+36&=&-26&& \mid\;-36\\[5pt] 16x&=&-62&& \mid\;:16\\[5pt] x&=&-3,875 \end{array}$
$ 4\dfrac{1}{2}(4x+8)= … $
4.
Die Gleichung lösen.
a)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{6x-10}{4}&=&\dfrac{7x+6}{5}&& \mid\;\cdot 20\;\small{\text{(Hauptnenner)}}\\[5pt] \dfrac{\color{#87c800}{20}\cdot(6x-10)}{\color{#87c800}{4}}&=&\dfrac{\color{#87c800}{20}\cdot(7x+6)}{\color{#87c800}{5}}&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 5(6x-10)&=&4(7x+6)&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 30x-50&=&28x+24&& \mid\;-28x\\[5pt] 2x-50&=&24&& \mid\;+50\\[5pt] 2x&=&74&& \mid\;:2\\[5pt] x&=&37 \end{array}$
$ \dfrac{6x-10}{4}=\dfrac{7x+6}{5} $
b)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{3x+4}{22}+\dfrac{x-2}{2}&=&10&& \mid\;\cdot 22\;\small{\text{(Hauptnenner)}}\\[5pt] \dfrac{\color{#87c800}{22}\cdot(3x+4)}{\color{#87c800}{22}}+\dfrac{\color{#87c800}{22}\cdot(x-2)}{\color{#87c800}{2}}&=&10\cdot 22&& \small{\text{kürzen und ausmultiplizieren}}\\[5pt] 3x+4+11x-22&=&220&& \small{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 14x-18&=&220&& \mid\;+18\\[5pt] 14x&=&238&& \mid\;:14\\[5pt] x&=&17 \end{array}$
$ \dfrac{3x+4}{22}+\dfrac{x-2}{2}=10 $
c)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 20-\dfrac{2x-12}{6}&=&\dfrac{3x-1}{5}+11&& \mid\;\cdot 30\;\small{\text{(Hauptnenner)}}\\[5pt] 20\cdot 30-\dfrac{\color{#87c800}{30}\cdot(2x-12)}{\color{#87c800}{6}}&=&\dfrac{\color{#87c800}{30}\cdot(3x-1)}{\color{#87c800}{5}} +30\cdot 11&& \small{\text{kürzen und ausmultiplizieren}}\\[5pt] 600-10x+60&=&18x-6+330&& \small{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 660-10x&=&18x+324&& \mid\;-18x\\[5pt] 660-28x&=&324&& \mid\;-660\\[5pt] -28x&=&-336&& \mid\;:(-28)\\[5pt] x&=&12 \end{array}$
$ 20-\dfrac{2x-12}{6}=\dfrac{3x-1}{5}+11 $
d)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{2(x+2)}{4}+\dfrac{x}{2}-\dfrac{4}{5}x&=&12&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] \dfrac{2x+4}{4}+\dfrac{x}{2}-\dfrac{4}{5}x&=&12&& \mid\;\cdot 20\;\small{\text{(Hauptnenner)}}\\[5pt] \dfrac{\color{#87c800}{20}\cdot(2x+4)}{\color{#87c800}{4}}+\dfrac{\color{#87c800}{20}\cdot x}{\color{#87c800}{2}}-\dfrac{\color{#87c800}{20}\cdot 4}{\color{#87c800}{5}}x&=&20\cdot 12&& \small{\text{kürzen und ausmultiplizieren}}\\[5pt] 10x+20+10x-16x&=&240&& \small{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 4x+20&=&240&& \mid\;-20\\[5pt] 4x&=&220&& \mid\;:4\\[5pt] x&=&55 \end{array}$
$ \dfrac{2(x+2)}{4}+\dfrac{x}{2}-\dfrac{4}{5}x=… $
e)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{6x+3}{2}+\dfrac{2(x-3)}{6}&=&\dfrac{4x+30}{4}-\dfrac{2(8+2x)}{12}&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] \dfrac{6x+3}{2}+\dfrac{2x-6}{6}&=&\dfrac{4x+30}{4}-\dfrac{16+4x}{12}&& \mid\;\cdot 12\;\small{\text{(Hauptnenner)}}\\[5pt] \dfrac{\color{#87c800}{12}\cdot(6x+3)}{\color{#87c800}{2}}+\dfrac{\color{#87c800}{12}\cdot(2x-6)}{\color{#87c800}{6}}&=&\dfrac{\color{#87c800}{12}\cdot (4x+30)}{\color{#87c800}{4}}-\dfrac{\color{#87c800}{12}\cdot(16+4x)}{\color{#87c800}{12}}&& \small{\text{kürzen und ausmultiplizieren}}\\[5pt] 36x+18+4x-12&=&12x+90-16-4x&& \small{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 40x+6&=&8x+74&& \mid\;-8x\\[5pt] 32x+6&=&74&& \mid\;-6\\[5pt] 32x&=&68&& \mid\;:32\\[5pt] x&=&2,125 \end{array}$
$ \dfrac{6x+3}{2}+\dfrac{2(x-3)}{6}=… $
f)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{1}{3}+\dfrac{2-x}{4}+\dfrac{24x+8}{12}+3x&=&4(x-9)&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] \dfrac{1}{3}+\dfrac{2-x}{4}+\dfrac{24x+8}{12}+3x&=&4x-36&& \mid\;\cdot 12\;\small{\text{(Hauptnenner)}}\\[5pt] \dfrac{\color{#87c800}{12}\cdot 1}{\color{#87c800}{3}}+\dfrac{\color{#87c800}{12}\cdot(2-x)}{\color{#87c800}{4}}+\dfrac{\color{#87c800}{12}\cdot(24x+8)}{\color{#87c800}{12}}+12\cdot3x&=&12\cdot 4x-12 \cdot 36&& \small{\text{kürzen und ausmultiplizieren}}\\[5pt] 4+6-3x+24x+8+36x&=&48x-432&& \small{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 18+57x&=&48x-432&& \mid\;-48x\\[5pt] 18+9x&=&-432&& \mid\;-18\\[5pt] 9x&=&-450&& \mid\;:9\\[5pt] x&=&-50 \end{array}$
$ \dfrac{1}{3}+\dfrac{2-x}{4}+\dfrac{24x+8}{12}+3x=… $
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