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Gleichungen mit Klammern

Spickzettel
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Um eine Gleichung zu berechnen, die eine Klammer enthält, musst du zunächst die Klammer auflösen und die Gleichung zusammenfassen. Dazu solltest du dir die Regeln zum Ausmultiplizieren nochmal in Erinnerung rufen:

Rechnen mit Klammern

Wenn vor einer Klammer ein Faktor $\boldsymbol{\color{#87c800}{a}}$ steht, so multiplizierst du jeden Summanden in der Klammer mit diesem Faktor und addierst sie anschließend. Beachte dabei die Vorzeichen der Zahlen.
Lineare Gleichungen: Gleichungen mit Klammern
Lineare Gleichungen: Gleichungen mit Klammern
Multiplizierst du eine Klammer mit zwei oder mehr Summanden mit einer anderen Klammer, so multiplizierst du jeden Summanden von der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer.
Lineare Gleichungen: Gleichungen mit Klammern
Lineare Gleichungen: Gleichungen mit Klammern
Beachte: Wird eine Klammer mit einem negativen Faktor multipliziert, so ändern sich die Vorzeichen. Ansonsten kannst du beim Lösen von Gleichungen mit Klammern genauso vorgehen, wie bei Gleichungen ohne Klammern.
Merke: Alle Umformungen, die du vornimmst, müssen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens umgesetzt werden.
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Einführung

Lineare Gleichungen: Gleichungen mit Klammern
Abb. 1: Eine Skizze von Leons Planung.
Lineare Gleichungen: Gleichungen mit Klammern
Abb. 1: Eine Skizze von Leons Planung.

Erklärung

Die Breite der Streifen ist also abhängig von der vorhandenen Farbe, die Leon im Keller hat. Du solltest zunächst ausrechnen, wieviel Quadratmeter Leon mit den $1l$ streichen kann.
Wenn $1l$ Farbe für eine Fläche von $10\text{m}^2$ ausreicht, musst du dir die Frage stellen, für wieviel Quadratmeter reichen $1,6l$?
Du kannst das mit einem Dreisatz lösen, indem du beide Werte mit der gleichen Zahl multiplizierst:
$\begin{array}[t]{rll} \cdot 1,6\ \mid &\quad 1l &=& 10 \text{m}^2 &\quad \mid\; \cdot 1,6\\[5pt] &\quad 1,6l &=& 16\text{m}^2 \end{array}$
Nun kannst du im nächsten Schritt die Gleichung aufstellen, mit der Leon die maximale Breite der Streifen berechnen kann. Da dieser Wert unbekannt ist, setzt du ihn mit der Variablen $x$ in die Gleichung ein.
Die Grundlage deiner Gleichung bildet die Formel des Flächeninhalts $\color{#87c800}{A=\text{Höhe} \cdot \text{Breite}}$.
  • Die Höhe der Wand ist gegeben mit $2,5\text{m}.$
  • Den Flächeninhalt der zu streichenden Fläche hast du berechnet. Er liegt bei $16\text{m}^2$.
  • Die Breite setzt sich aus zwei Bereichen zusammen, $2\text{m}$ hinter dem Bett und 4 Streifen einer unbekannten Breite. Also $4\cdot x$. Die gesamte Breite der Wand ist also $2 \cdot 4x$ in $\text{m}$ . Da beide Angaben zur Breite zusammen mit der Höhe multipliziert werden, setzt du sie in Klammern.
Aus diesen Angaben ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} (2 + 4x) \cdot 2,5&=& 16 \end{array}$
Im ersten Schritt solltest du nun die Klammer entfernen. Hierzu schaust du dir nochmal die Regeln zum Rechnen mit Klammern an.

Rechnen mit Klammern

Wenn vor einer Klammer ein Faktor $\boldsymbol{\color{#87c800}{a}}$ steht, so multiplizierst du jeden Summanden in der Klammer mit diesem Faktor und addierst sie anschließend. Beachte dabei die Vorzeichen der Zahlen.
Lineare Gleichungen: Gleichungen mit Klammern
Lineare Gleichungen: Gleichungen mit Klammern
Multiplizierst du eine Klammer mit zwei oder mehr Summanden mit einer anderen Klammer, so multiplizierst du jeden Summanden von der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer.
Lineare Gleichungen: Gleichungen mit Klammern
Lineare Gleichungen: Gleichungen mit Klammern
Ausklammern ist die Umkehrung von ausmultiplizieren. Hast du einen Term gegeben, suchst du einen Faktor, der in allen Summanden des Terms enthalten ist. Diesen Faktor kannst du vor die Klammer ziehen und die restlichen Summanden durch diesen Faktor teilen.
Lineare Gleichungen: Gleichungen mit Klammern
Lineare Gleichungen: Gleichungen mit Klammern

Beispiel

Wie breit die Streifen an Leons Wand werden können, kannst du nun mit der Gleichung, die du oben aufgestellt hast, berechnen:
$\begin{array}[t]{rll}(2 + 4x) \cdot 2,5&=& 16\quad \scriptsize \color{#87c800}{ \text{ausmultiplizieren}} \\[5pt] 2 \cdot 2,5 + 4x \cdot 2,5 &=& 16\quad \scriptsize \text{zusammenfassen} \\[5pt] 5 + 10x &=& 16\quad \scriptsize \mid\; -5 \\[5pt] 10x &=& 11\quad \scriptsize \mid\; :10 \\[5pt] x &=& 1,1 \end{array}$
$ (2 + 4x) \cdot 2,5= 16 $
Da die Variable $x$ die Breite eines Streifens in $\text{m}$ angibt, kann Leon die Streifen jeweils $\color{#87c800}{1,1\text{m}}$ breit machen. Nun muss er nur noch ausrechnen, wieviel Platz er zwischen den Streifen lassen muss, aber dabei hilft ihm sicher seine Schwester.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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1.
Löse die Gleichungen.
b)
$7(2x+4)=56$
d)
$28 = 7(4x+40)$
f)
$5(20+4x)=360$
2.
Löse die Gleichungen.
b)
$6(4x-2)=36$
d)
$3(3x-3)=36$
f)
$90 = 5(3-5x)$
3.
Löse die Gleichungen.
a)
$3x-2(x-6) = (x+4)\cdot5$
b)
$4x-5(2x-4)=2(3x+6)-16$
c)
$-8(1-x)+14x=8(2x+9)-62$
d)
$2x-(9+3x)\cdot3 = 5(2x+16)-5$
e)
$(11+13x)\cdot2 = 6(9-2x)+6$
f)
$8x+31-2(6-x) = 5(4-2x)+39$
4.
Löse die Gleichungen.
a)
$2x-(21+x)-16 = -42-3(23+6x)-8(-x-12)$
b)
$-25(2x+1)+48 = 14(11-3x)+41-2(3x-16)$
c)
$23(5x+4)-15 = -12(3x+5)-133+(x-6)\cdot 4$
d)
$15x+(36-2x)-5=-22-3(9x-13)+214$
e)
$33+4(9x-3)-68+2(6x+2) = 33x-10+12(16-5x)$
f)
$-(22x-13)+45-x+16x = 3(3x+6)-91-(5x+3)\cdot7$
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Lösungen
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1.
Löse die Gleichungen
a)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 2(x+1)&=&24&&\quad \scriptsize\text{ausmultiplizieren}\\[5pt] 2x+2&=&24&&\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] 2x&=&22&&\quad \scriptsize \mid\;\;:2\\[5pt] x&=&11 \end{array}$
$2(x+1)=24$
b)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 6(4x-2)&=&36&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 24x-12&=&36&&\quad \scriptsize \mid\;+12\\[5pt] 24x&=&48&&\quad \scriptsize\mid\;\;:24\\[5pt] x&=&2 \end{array}$
$6(4x-2)=36$
c)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 44&=&2(3x+10)&& \quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 44&=&6x+20&&\quad \scriptsize \mid\;-20\\[5pt] 24&=&6x&& \quad \scriptsize\mid\;\;:6\\[5pt] x&=&4 \end{array}$
$44=2(3x+10)$
d)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 28&=&7(4x+40)&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 28&=&28x+280&&\quad \scriptsize \mid\;-280\\[5pt] -252&=&28x&&\quad \scriptsize \mid\;\;:28\\[5pt] x&=&-9 \end{array}$
$28=7(4x+40)$
e)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 33&=&3(3x+8)&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 33&=&9x+24&&\quad \scriptsize \mid\;-24\\[5pt] 9&=&9x&&\quad \scriptsize\mid\;\;:9\\[5pt] x&=&1 \end{array}$
$33=3(3x+8)$
f)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 5(20+4x)&=&360&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 100+20x&=&360&&\quad \scriptsize \mid\;-100\\[5pt] 20x&=&260&&\quad \scriptsize\mid\;\;:20\\[5pt] x&=&13 \end{array}$
$5(20+4x)=360$
2.
Löse die Gleichungen
a)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 4(2x-4)&=&64&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 8x-16&=&64&&\quad \scriptsize\mid\; +16\\[5pt] 8x&=&80&&\quad \scriptsize\mid\;\;:8\\[5pt] x&=&10 \end{array}$
$4(2x-4)=64$
b)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 7(2x+4)&=&56&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 14x+28&=&56&&\quad \scriptsize \mid\;-28\\[5pt] 14x&=&28&&\quad \scriptsize \mid\;\;:14\\[5pt] x&=&2 \end{array}$
$7(2x+4)=56$
c)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 8(2x-6)&=&32&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 16x-48&=&32&&\quad \scriptsize\mid\; +48\\[5pt] 16x&=&80&&\quad \scriptsize \mid\;\;:16\\[5pt] x&=&5 \end{array}$
$8(2x-6)0=32$
d)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 3(3x-3)&=&36&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 9x-9&=&36&&\quad \scriptsize \mid\; +9\\[5pt] 9x&=&45&&\quad \scriptsize \mid\;\;:9\\[5pt] x&=&5 \end{array}$
$3(3x-3)=36$
e)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 12&=&(2x-4)\cdot 3&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 12&=&6x-12&&\quad \scriptsize \mid\;+12\\[5pt] 24&=&6x&&\quad \scriptsize\mid\;\;:6\\[5pt] x&=&4 \end{array}$
$12=(2x-4)$
f)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 90&=&5(3-5x)&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 90&=&15-25x&&\quad \scriptsize \mid\;-15\\[5pt] 75&=&-25x&&\quad \scriptsize \mid\;\;:(-25)\\[5pt] x&=&-3 \end{array}$
$90=5(3-5x)$
3.
Löse die Gleichungen
a)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 3x-2(x-6)&=&(x+4)\cdot 5&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 3x-2x+12&=&5x+20&&\quad \scriptsize{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] x+12&=&5x+20&&\quad \scriptsize\mid\; -5x\\[5pt] -4x+12&=&20&&\quad \scriptsize \mid\; -12\\[5pt] -4x&=&8&&\quad \scriptsize \mid\;\;:(-4)\\[5pt] x&=&-2 \end{array}$
$ 3x-2(x-6)=(x+4) $
b)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 4x-5(2x-4)&=&2(3x+6)-16&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 4x-10x+20&=&6x+12-16&&\quad \scriptsize{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] -6x+20&=&6x-4&&\quad \scriptsize \mid\; +6x\\[5pt] 20&=&12x-4&&\quad \scriptsize \mid\; +4\\[5pt] 24&=&12x&&\quad \scriptsize \mid\;\;:12\\[5pt] x&=&2 \end{array}$
$ 4x-5(2x-4)=2(3x+6)-16 $
c)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} -8(1-x)+14x&=&8(2x+9)-62&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] -8+8x+14x&=&16x+72-62&&\quad \scriptsize{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] -8+22x&=&16x+10&&\quad \scriptsize \mid\; -16x\\[5pt] -8+6x&=&10&&\quad \scriptsize\mid\; +8\\[5pt] 6x&=&18&&\quad \scriptsize \mid\;\;:6\\[5pt] x&=&3 \end{array}$
$ -8(1-x)+14x=… $
d)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 2x-(9+3x)\cdot 3&=&5(2x+16)-5&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 2x-27-9x&=&10x+80-5&&\quad \scriptsize{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] -7x-27&=&10x+75&&\quad \scriptsize \mid\; +7x\\[5pt] -27&=&17x+75&&\quad \scriptsize \mid\; -75\\[5pt] -102&=&17x&&\quad \scriptsize \mid\;\;:17\\[5pt] x&=&-6 \end{array}$
$ 2x-(9+3x)\cdot 3=…$
e)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} (11+13x)\cdot 2&=&6(9-2x)+6&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 22+26x&=&54-12x+6&&\quad \scriptsize{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 22+26x&=&60-12x&&\quad \scriptsize \mid\; +12x\\[5pt] 22+38x&=&60&&\quad \scriptsize \mid\; -22\\[5pt] 38x&=&38&&\quad \scriptsize\mid\;\;:38\\[5pt] x&=&1 \end{array}$
$ (11+13x)\cdot 2=6(9-2x)+6 $
f)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 8x+31-2(6-x)&=&5(4-2x)+39&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 8x+31-12+2x&=&20-10x+39&&\quad \scriptsize{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 10x+19&=&59-10x&&\quad \scriptsize \mid\; +10x\\[5pt] 20x+19&=&59&&\quad \scriptsize\mid\; -19\\[5pt] 20x&=&40&&\quad \scriptsize \mid\;\;:20\\[5pt] x&=&2 \end{array}$
$ 8x+31-2(6-x)=… $
4.
Löse die Gleichungen
a)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 2x-(21+x)-16&=&-42-3(23+6x)-8(-x-12)&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 2x-21-x-16&=&-42-69-18x+8x+96&&\quad \scriptsize{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] x-37&=&-15-10x&&\quad \scriptsize \mid\; +10x\\[5pt] 11x-37&=&-15&&\quad \scriptsize \mid\; +37\\[5pt] 11x&=&22&&\quad \scriptsize \mid\;\;:11\\[5pt] x&=&2 \end{array}$
$ 2x-(21+x)-16=… $
b)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} -25(2x+1)+48&=&14(11-3x)+41-2(3x-16)&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] -50x-25+48&=&154-42x+41-6x+32&&\quad \scriptsize{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] -50x+23&=&227-48x&&\quad \scriptsize \mid\; +48x\\[5pt] -2x+23&=&227&&\quad \scriptsize \mid\; -23\\[5pt] -2x&=&204&&\quad \scriptsize\mid\;\;:(-2)\\[5pt] x&=&-102 \end{array}$
$ -25(2x+1)+48=… $
c)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 23(5x+4)-15&=&-12(3x+5)-133+(x-6)\cdot 4&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 115x+92-15&=&-36x-60-133+4x-24&&\quad \scriptsize{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 115x+77&=&-32x-217&&\quad \scriptsize\mid\; +32x\\[5pt] 147x+77&=&-217&&\quad \scriptsize \mid\; -77\\[5pt] 147x&=&-294&&\quad \scriptsize \mid\;\;:147\\[5pt] x&=&-2 \end{array}$
$ 23(5x+4)-15=… $
d)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 15x+(36-2x)-5&=&-22-3(9x-13)+214&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 15x+36-2x-5&=&-22-27x+39+214&&\quad \scriptsize{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 13x+31&=&-27x+231&&\quad \scriptsize \mid\; +27x\\[5pt] 40x+31&=&231&&\quad \scriptsize\mid\; -31\\[5pt] 40x&=&200&&\quad \scriptsize\mid\;\;:40\\[5pt] x&=&5 \end{array}$
$ 15x+(36-2x)-5=… $
e)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 33+4(9x-3)-68+2(6x+2)&=&33x-10+12(16-5x)&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 33+36x-12-68+12x+4&=&33x-10+192-60x&&\quad \scriptsize{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] -43+48x&=&-27x+182&&\quad \scriptsize \mid\; +27x\\[5pt] -43+75x&=&182&&\quad \scriptsize \mid\; +43\\[5pt] 75x&=&225&&\quad \scriptsize \mid\;\;:75\\[5pt] x&=&3 \end{array}$
$ 33+4(9x-3)-68+2(6x+2)= $
f)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} -(22x-13)+45-x+16x&=&3(3x+6)-91-(5x+3)\cdot 7&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] -22x+13+45-x+16x&=&9x+18-91-35x-21&&\quad \scriptsize{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] -7x+58&=&-26x-94&&\quad \scriptsize \mid\; +26x\\[5pt] 19x+58&=&-94&&\quad \scriptsize \mid\; -58\\[5pt] 19x&=&-152&&\quad \scriptsize \mid\;\;:19\\[5pt] x&=&-8 \end{array}$
$ -(22x-13)+45-x+16x=… $
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