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Gleichungen in Zahlenrätseln

Spickzettel
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Bei Gleichungen in Zahlenrätseln musst du den Text der Aufgabe in die Sprache der Mathematik übersetzen und eine Gleichung aufstellen. Unwichtige Informationen musst du dabei herausfiltern. Oft wird eine unbekannte Zahl gesucht, die du in deiner Gleichung als Variable kennzeichnest. Typischerweise wird die Variabel $x$ benutzt. Lasse dich dabei von der Bezeichnung nicht verunsichern und behandele die Variable als gewöhnliche Zahl.
Nun musst du aus der Aufgabe alle Rechenoperationen, wie Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division herausfinden, die mit der Variablen $x$ durchgeführt werden und welches Ergebnis du nach diesen Schritten bekommst.
$(x-2) \cdot 4 + 7 … = 16$
Als nächsten Schritt löst du die Gleichung nach $x$ auf, d.h. auf der einen Seite steht nur die Variable $x$ und auf der anderen einfache Zahlen.
$x = … $
Somit erhälst du die gesuchte Lösung für die gesuchte Variable.
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Einführung

Lineare Gleichungen: Gleichungen in Zahlenrätseln
Abb. 1: Welche Zahl hat sich Robert ausgedacht?
Lineare Gleichungen: Gleichungen in Zahlenrätseln
Abb. 1: Welche Zahl hat sich Robert ausgedacht?

Erklärung

Bei Gleichungen in Zahlenrätseln musst du den Text der Aufgabe in die Sprache der Mathematik übersetzen und eine Gleichung aufstellen. Unwichtige Informationen musst du dabei herausfiltern. Oft wird eine unbekannte Zahl gesucht, die du in deiner Gleichung als Variable kennzeichnest. Typischerweise wird die Variabel $x$ benutzt. Lasse dich dabei von der Bezeichnung nicht verunsichern und behandele die Variable als gewöhnliche Zahl.
Nun musst du aus der Aufgabe alle Rechenoperationen, wie Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division herausfinden, die mit der Variablen $x$ durchgeführt werden und welches Ergebnis du nach diesen Schritten bekommst.
$(x-2) \cdot 4 + 7 … = 16$
Als nächsten Schritt löst du die Gleichung nach $x$ auf, d.h. auf der einen Seite steht nur die Variable $x$ und auf der anderen einfache Zahlen.
$x = … $
Somit erhältst du die gesuchte Lösung für die gesuchte Variable.

Beispiel

Lineare Gleichungen: Gleichungen in Zahlenrätseln
Abb. 2: Robert hat sich die Zahl $3$ ausgedacht
Lineare Gleichungen: Gleichungen in Zahlenrätseln
Abb. 2: Robert hat sich die Zahl $3$ ausgedacht
Bildnachweise [nach oben]
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Aufgaben
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1.
Löse die Zahlenrätsel.
a)
Wenn du zu einer Zahl die Hälfte von $16$ addierst, so erhältst du das Dreifache der Zahl.
b)
Wenn du $24$ von einer halbierten Zahl subtrahierst, erhältst du die Differenz aus der Zahl und $54$.
c)
Wenn du zum Fünffachen einer Zahl $4$ addierst, bekommst du das Sechsfache der Zahl vermindert um $8$.
d)
Subtrahierst du von $120$ das Zehnfache einer Zahl und addierst dann das Fünffache der Zahl, so erhältst du die Differenz aus der Zahl und $15$.
e)
Wenn du zum vierten Teil einer Zahl $14$ addierst, erhältst du das Dreifache einer Zahl vermindert um $8$.
f)
Addierst du zu $45$ ein Drittel einer Zahl, so erhälst du das Produkt aus $7$ und $9$.
2.
Gib die Lösung an.
a)
Ein Viertel einer Zahl addiert mit $0,5$ ergibt zusammen ebenso viel, wie drei Achtel dieser Zahl vermindert um $12$.
b)
Wenn du $8$ um sechs Neuntel einer Zahl verminderst, so erhältst du ebenso viel, wie wenn du $6$ mit einem Drittel von dieser Zahl addierst.
c)
Ein Viertel einer Zahl und ein Sechstel einer Zahl ergeben zusammen genauso viel, wie sechs Achtel dieser Zahl, vermindert um das Produkt aus $5$ und $6$.
d)
Subtrahierst du von dem Produkt aus $2$ und $3$ den dritten Teil einer Zahl, so erhälst du ebenso viel, wie wenn man zum Doppelten dieser Zahl zwei Zwölftel addiert.
3.
Löse die Zahlenrätsel.
a)
Wenn du eine Zahl um drei Viertel verminderst, erhältst du die Differenz aus dem Dreifachen dieser Zahl und $7.$
b)
Addierst du zum zweiten Teil einer Zahl $6$, erhältst du um $7$ weniger als das Dreifache dieser Zahl.
c)
Wenn du die Summe von dem Doppelten einer Zahl und $4$ mit $3$ multiplizierst, erhältst du ebenso viel, wie wenn du neun Viertel mit der Summe aus dem Vierfachen einer Zahl und $6$ multiplizierst.
d)
Dividiert man die Differenz aus dem Achtfachen einer Zahl und $12$ durch $4$ und addiert dazu $3$, erhält man ebenso viel, wie wenn man die Differenz aus dem Fünfzehnfachen einer Zahl und $9$ mit zwei Drittel multipliziert.
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Lösungen
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1.
Die Zahlenrätsel lösen
a)
1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„Addierst du zu einer Zahl“ $x\;+$
„…die Hälfte von $16$“ $x+8$
„…so erhältst du…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…das Dreifache der Zahl“ $3x$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x+8&=&3x&& \mid\;-x\\[5pt] 8&=&2x&& \mid\;:2\\[5pt] x&=&4 \end{array}$
b)
1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„Wenn du $24$“ $24$
„…von einer halbierten Zahl subtrahierst“ $0,5x-24$
„…so erhältst du…“ $=$
„Wenn du $24$“ $24$
„…von einer halbierten
Zahl subtrahierst“ $0,5x-24$
„…so erhältst du…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…die Differenz aus der Zahl“ $x\;-$
„…und $54$“ $x-54$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 0,5x-24&=&x-54&& \mid\;-x\\[5pt] -0,5x-24&=&-54&& \mid\;+24\\[5pt] -0,5x&=&-30&& \mid\;:(-0,5)\\[5pt] x&=&60 \end{array}$
$ 0,5x-24 = x-54 $
c)
1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„Wenn du zum Fünffachen einer Zahl“ $5x$
„…$4$ addiert“ $5x+4$
„…bekommst du…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…das Sechsfache der Zahl“ $6x$
„…vermindert um $8$“ $6x-8$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 5x+4&=&6x-8&& \mid\;-5x\\[5pt] 4&=&x-8&& \mid\;+8\\[5pt] x&=&12 \end{array}$
d)
1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„Subtrahierst du von $120$“ $120\;-$
„…das Zehnfache einer Zahl“ $120-10x$
„…addierst du dann das Fünffache der Zahl“ $120-10x+5x$
„…so erhältst du…“ $=$
„Subtrahierst du von $120$“ $120\;-$
„…das Zehnfache einer Zahl“ $120-10x$
„…addierst du dann das $120-10x$
Fünffache der Zahl“ $+5x$
„…so erhältst du…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…die Differenz aus der Zahl“ $x\;-$
„…und $15$“ $x-15$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 120-10x+5x&=&x-15&& \small{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 120-5x&=&x-15&& \mid\;+5x\\[5pt] 120&=&6x-15&& \mid\;+15\\[5pt] 135&=&6x&& \mid\;:6\\[5pt] x&=&22,5 \end{array}$
$ 120-10x+ … $
e)
1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„Wenn du zum vierten Teil einer Zahl“ $\dfrac{1}{4}x$
„…$14$ addierst“ $\dfrac{1}{4}x+14$
„…erhältst du…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…das Dreifache einer Zahl“ $3x$
„…vermindert um $8$“ $3x-8$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{1}{4}x+14&=&3x-8&& \mid\;\cdot 4\\[5pt] \dfrac{1\cdot \color{#87c800}{4}}{\color{#87c800}{4}}x+14\cdot 4&=&3x\cdot 4-8\cdot 4&&\small{\text{kürzen}}\\[5pt] x+56&=&12x-32&& \mid\;-x\\[5pt] 56&=&11x-32&& \mid\;+32\\[5pt] 88&=&11x&& \mid\;:11\\[5pt] x&=&8 \end{array}$
$ \dfrac{1}{4}x+14 = 3x-8 $
f)
1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„…Addierst du zu $45$“ $45\;+$
„…den dritten Teil einer Zahl“ $45+\dfrac{1}{3}x$
„…so erhältst du…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…Produkt aus $7$ und $9$“ $63$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 45+\dfrac{1}{3}x&=&63&& \mid\;\cdot 3\\[5pt] 45\cdot 3+\dfrac{1\cdot \color{#87c800}{3}}{\color{#87c800}{3}}x&=&63\cdot 3&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 135+x&=&189&& \mid\;-135\\[5pt] x&=&54 \end{array}$
$ 45+\dfrac{1}{3}x = 63 $
2.
Lösungen angeben
a)
1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„Ein Viertel einer Zahl“ $\dfrac{1}{4}x$
„…addiert mit $0,5$“ $\dfrac{1}{4}x+0,5$
„…ergibt zusammen ebenso viel…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…wie drei Achtel dieser Zahl“ $\dfrac{3}{8}x$
„…vermindert um $12$“ $\dfrac{3}{8}x-12$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{1}{4}x+0,5&=&\dfrac{3}{8}x-12&& \mid\;\cdot 8\;\scriptsize \text{(Hauptnenner)}\\[5pt] \dfrac{1\cdot \color{#87c800}{8}}{\color{#87c800}4}x+0,5\cdot 8&=&\dfrac{3\cdot \color{#87c800} {8}}{\color{#87c800}8}x-12\cdot 8&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 2x+4&=&3x-96&& \mid\;-2x\\[5pt] 4&=&x-96&& \mid\;+96\\[5pt] x&=&100& \end{array}$
$ \dfrac{1}{4}x+0,5 = \dfrac{3}{8}x-12 $
b)
1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„Wenn du $8$“ $8$
„…um sechs Neuntel einer Zahl verminderst“ $8-\dfrac{6}{9}x$
„..erhältst du ebenso viel…“ =
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…wenn du $6$“ $6$
„… mit ein Drittel von dieser Zahl addierst“ $6+\dfrac{1}{3}x$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 8-\dfrac{6}{9}x&=&6+\dfrac{1}{3}x&& \mid\;\cdot 9\;\scriptsize \text{(Hauptnenner)}\\[5pt] 8\cdot 9-\dfrac{6\cdot \color{#87c800}{9}}{\color{#87c800}9}x&=&6\cdot 9+\dfrac{1\cdot \color{#87c800} {9}}{\color{#87c800}3}x&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 72-6x&=&54+3x&& \mid\;+6x\\[5pt] 72&=&54+9x&& \mid\;-54\\[5pt] 18&=&9x&& \mid\;:9\\[5pt] x&=&2 \end{array}$
$ 8-\dfrac{6}{9}x = 6+\dfrac{1}{3}x $
c)
1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„Ein Viertel einer Zahl“ $\dfrac{1}{4}x$
„…und ein Sechstel einer Zahl“ $\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{6}x$
„..ergeben zusammen genauso viel…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…sechs Achtel dieser Zahl“ $\dfrac{6}{8}x$
„…vermindert um das Produkt aus $5$ und $6$“ $\dfrac{6}{8}x-30$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{6}x&=&\dfrac{6}{8}x-30&& \mid\;\cdot 24\;\scriptsize \text{(Hauptnenner)}\\[5pt] \dfrac{1\cdot \color{#87c800}{24}}{\color{#87c800}4}x+\dfrac{1\cdot \color{#87c800}{24}}{\color{#87c800}6}x&=&\dfrac{6\cdot \color{#87c800}{24}}{\color{#87c800}8}x-30\cdot 24&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 6x+4x&=&18x-720&& \small{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 10x&=&18x-720&& \mid\;-18x\\[5pt] -8x&=&-720&& \mid\;:(-8)\\[5pt] x&=&90 \end{array}$
$ \dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{6}x = \dfrac{6}{8}x-30 $
d)
1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„Subtrahierst du von dem Produkt aus $2$ und $3$“ $6\;-$
„…den dritten Teil einer Zahl“ $6-\dfrac{1}{3}x$
„..so erhälst du ebenso viel…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…zum Doppelten dieser Zahl“ $2x$
„…zwei Zwölftel addiert“ $2x+\dfrac{2}{12}$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 6-\dfrac{1}{3}x&=&2x+\dfrac{\color{#87c800}{2}}{\color{#87c800}{12}}&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 6-\dfrac{1}{3}x&=&2x+\dfrac{1}{6}&& \mid\;\cdot 6\;\scriptsize \text{(Hauptnenner)}\\[5pt] 6\cdot 6-\dfrac{1\cdot \color{#87c800}6}{\color{#87c800}3}x&=&2x\cdot 6+\dfrac{1\cdot \color{#87c800}6}{\color{#87c800}6}&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 36-2x&=&12x+1&& \mid\;+2x\\[5pt] 36&=&14x+1&& \mid\;-1\\[5pt] 35&=&14x&& \mid\;:14\\[5pt] x&=&2,5 \end{array}$
$ 6-\dfrac{1}{3}x = 2x+\dfrac{\color{#87c800}{2}}{\color{#87c800}{12}} $
3.
Löse das Zahlenrätsel
a)
1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„Wenn du eine Zahl“ $x$
„…um drei Viertel verminderst“ $x-\dfrac{3}{4}$
„…erhältst du…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…Differenz aus dem Dreifachen dieser Zahl“ $3x-$
„…und $7$“ $3x-7$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x-\dfrac{3}{4}&=&3x-7&& \mid\;\cdot 4\\[5pt] x\cdot 4-\dfrac{3\cdot \color{#87c800}{4}}{\color{#87c800}4}&=&3x\cdot 4-7\cdot 4&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 4x-3&=&12x-28&& \mid\;-4x\\[5pt] -3&=&8x-28&& \mid\;+28\\[5pt] 25&=&8x&& \mid\;:8\\[5pt] x&=&3,125& \end{array}$
$ x-\dfrac{3}{4} = 3x-7 $
b)
1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„Addierst du zum zweiten Teil einer Zahl“ $\dfrac{1}{2}x\;+$
„…$6$“ $\dfrac{1}{2}x+6$
„…erhälst du…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…$7$ weniger als“ $-\;7$
„…das Dreifache dieser Zahl“ $3x-7$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{1}{2}x+6&=&3x-7&& \mid\;\cdot 2\\[5pt] \dfrac{1\cdot \color{#87c800}{2}}{\color{#87c800}2}x+6 \cdot 2&=&3x\cdot 2-7\cdot 2&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] x+12&=&6x-14&& \mid\;-x\\[5pt] 12&=&5x-14&& \mid\;+14\\[5pt] 26&=&5x&& \mid\;:5\\[5pt] x&=&5,2& \end{array}$
$ \dfrac{1}{2}x+6 = 3x-7 $
c)
1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„die Summe von dem Doppelten einer Zahl und $4$“ $\qquad (2x+4)$
„…mit $3$ multiplizierst“ $\qquad (2x+4)\cdot 3$
„…erhältst du ebenso viel…“ $\qquad =$
„die Summe von dem $\qquad (2x+4)$
Doppelten einer Zahl und $4$“
„…mit $3$ multiplizierst“ $\qquad (2x+4)\cdot 3$
„…erhältst du ebenso viel…“ $\qquad =$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…neun Viertel“ $\qquad \dfrac{9}{4}$
„…mit der Summe aus dem Vierfachen einer Zahl und $6$ multiplizierst“ $\qquad \dfrac{9}{4}(4x+6)$
„…neun Viertel“ $\qquad \dfrac{9}{4}$
„…mit der Summe
aus dem Vierfachen einer Zahl
und $6$ multiplizierst“ $\qquad \dfrac{9}{4}(4x+6)$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} (2x+4)\cdot 3&=&\dfrac{9}{4}(4x+6)&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 6x+12&=&\dfrac{9\cdot \color{#87c800}4}{\color{#87c800}4}x+\dfrac{9\cdot \color{#87c800}6}{\color{#87c800}4}&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 6x+12&=&9x+\dfrac{27}{2}&& \mid\;\cdot 2\\[5pt] 6x\cdot 2+ 12\cdot 2&=&9x\cdot 2+\dfrac{27\cdot \color{#87c800}2}{\color{#87c800}2}&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 12x+24&=&18x+27&& \mid\;-12x\\[5pt] 24&=&6x+27&& \mid\;-27\\[5pt] -3&=&6x&& \mid\;:6\\[5pt] x&=&-0,5 \end{array}$
$ (2x+4)\cdot 3 = \dfrac{9}{4}(4x+6) $
d)
1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„die Differenz aus dem Achtfachen einer Zahl und $12$“ $\qquad (8x-12)$
„…dividiert durch $4$…“ $\qquad (8x-12)\cdot \dfrac{1}{4}$
„…und addierst dazu $3$“ $\qquad(8x-12)\cdot \dfrac{1}{4}+3$
„…erhälst du ebenso viel…“ $\qquad=$
„die Differenz aus dem Achtfachen einer Zahl und $12$“ $\qquad (8x-12)$
„…dividiert durch $4$…“ $\qquad (8x-12)$
$\cdot \dfrac{1}{4}$
„…und addierst dazu $3$“ $\qquad(8x-12)$
$\cdot \dfrac{1}{4}+3$
„…erhälst du ebenso viel…“ $\qquad=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…die Differenz aus dem Fünfzehnfachen einer Zahl und $9$“ $\qquad (15x-9)$
„…mit zwei Drittel multipliziert“ $\qquad (15x-9)\cdot \dfrac{2}{3} $
„…die Differenz aus
dem Fünfzehnfachen einer
Zahl und $9$“ $\qquad (15x-9)$
„…mit zwei Drittel
multipliziert“ $\qquad (15x-9)\cdot \frac{2}{3} $
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} (8x-12)\cdot \dfrac{1}{4}+3&=&(15x-9)\cdot \dfrac{2}{3}&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] \dfrac{1\cdot \color{#87c800}8}{\color{#87c800}4}x-\dfrac{1\cdot \color{#87c800}{12}}{\color{#87c800}4}+3&=&\dfrac{\color{#87c800}{15}\cdot 2}{\color{#87c800}3}x-\dfrac{\color{#87c800}9^{3}\cdot 2}{\color{#87c800}3}&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 2x&=&10x-6&& \mid\;-10x\\[5pt] -8x&=&-6&& \mid\;:(-8)\\[5pt] x&=&0,75 \end{array}$
$ (8x-12)\cdot \dfrac{1}{4}+3 = … $
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