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Gleichungen in Sachaufgaben

Spickzettel
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Um eine Gleichung aus einer Sachaufgabe aufzustellen, gehst du genauso vor wie bei Gleichungen in Zahlenrätseln. Du filterst die unwichtigen Informationen heraus und versuchst die wichtigen Informationen in die Sprache der Mathematik zu übersetzen. Die gesuchte Zahl schreibst du als Variable $x$ auf, behandelst sie aber wie jede andere Zahl.
Nun musst du aus der Aufgabenstellungen herausfinden, welche Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) mit $x$ durchgeführt werden. Gehe dabei Schritt für Schritt vor. Wird im ersten Schritt zur Zahl $x$ drei dazu ($x+3$) addiert und im zweiten das Ergebnis mit $4$ multipliziert, so schreibst du diesen Ausdruck als $(x+3) \cdot 4$ auf.
Da es sich um eine Gleichung handelt, musst der Term am Ende gleich einer Zahl sein. Soll der Ausdruck $(x+3) \cdot 4$ gleich $16$ sein, so schreibst du $(x+3) \cdot 4 = 16$.
Im nächsten Schritt löst du die Gleichung nach der gesuchten Variablen $x$ auf
$\begin{array}[t]{rll} (x+3) \cdot 4 &=& 16 \\[5pt] 4x + 12 &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; -12 \\[5pt] 4x &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] x &=& 1. \end{array}$
Somit ist die gesuchte Zahl gleich $1$.
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Einführung

Lineare Gleichungen: Gleichungen in Sachaufgaben
Abb. 1: Wie viel Geld hat jeder gesammelt?
Lineare Gleichungen: Gleichungen in Sachaufgaben
Abb. 1: Wie viel Geld hat jeder gesammelt?

Erklärung

Um eine Gleichung aus einer Sachaufgabe aufzustellen, gehst du genauso vor wie bei Gleichungen in Zahlenrätseln. Du filterst die unwichtigen Informationen heraus und versuchst die wichtigen Informationen in die Sprache der Mathematik zu übersetzen. Die gesuchte Zahl schreibst du als Variable $x$ auf, behandelst sie aber wie jede andere Zahl.
Nun musst du aus der Aufgabenstellungen herausfinden, welche Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) mit $x$ durchgeführt werden. Gehe dabei Schritt für Schritt vor. Wird im ersten Schritt zur Zahl $x$ drei dazu ($x+3$) addiert und im zweiten das Ergebnis mit $4$ multipliziert, so schreibst du diesen Ausdruck als $(x+3) \cdot 4$ auf.
Da es sich um eine Gleichung handelt, musst der Term am Ende gleich einer Zahl sein. Soll der Ausdruck $(x+3) \cdot 4$ gleich $16$ sein, so schreibst du $(x+3) \cdot 4 = 16$.
Im nächsten Schritt löst du die Gleichung nach der gesuchten Variablen $x$ auf
$\begin{array}[t]{rll} (x+3) \cdot 4 &=& 16 \\[5pt] 4x + 12 &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; -12 \\[5pt] 4x &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] x &=& 1. \end{array}$
Somit ist die gesuchte Zahl gleich $1$.

Beispiel

Melanie, Oliver und Jonas sammeln alle zusammen $315$ €, d.h. d.h. du schreibst auf die eine Seite der Gleichung $=315.$ Melanie sammelt $31$ € weniger als Oliver und Jonas $13$ € mehr als Oliver, d.h. wir bezeichnen das Geld, das Oliver gesammelt hat, mit $x$, das Geld von Melanie mit $x-31$ und das von Oliver als $x+13$.
Oliver Melanie Jonas Gesamt
$x$ $x-31$ $x+13$ $315$
Somit erhälst du folgende Gleichung, die den Sachverhalt beschreibt.
$x+(x-31)+(x+13)=315.$
Im nächsten Schritt löst du die Gleichung nach $x$ auf.
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x+(x-31)+(x+13)&=&315&& \scriptsize{\text{Klammern auflösen}}\\[5pt] x+x-31+x+13&=&315&& \scriptsize{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 3x-18&=&315&& \mid\; \scriptsize{+18}\\[5pt] 3x&=&333&& \mid \;\scriptsize{:3}\\[5pt] x&=&111 \end{array}$
$x+(x-31)+(x+13)= … $
Oliver hat also $111$ € gesammelt. Somit weißt du automatisch, dass Melanie $111 - 31 = 80$ € und Jonas $111 + 13 = 124$ € gesammelt haben.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Aufgaben
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1.
Übersetze die Sachaufgaben in die Sprache der Mathematik und löse sie.
a)
Bei einer Erstaufführung in einem Musical wurden insgesamt $820$ Karten verkauft. Von den Parkettplätzen wurden $102$ Karten mehr verkauft als von den Logenplätzen. Von den Rangplätzen wurden $140$ Karten weniger verkauft als von den Logenplätzen. Wie viele Karten wurden jeweils verkauft?
b)
Auf einem Weihnachtsmarkt verkauften drei achte Klassen Kuchen für einen wohltätigen Zweck. Sie haben insgesamt $705$€ eingenommen. Die Klasse 8c konnte $20$€ mehr einnehmen als die Klasse 8a. Die Klasse 8b hat $35$€ weniger eingenommen wie die Klasse 8a. Wie viel Geld hat jede Klasse eingenommen?
c)
Ein Bauer besitzt $5.000$ m2 Land. Das Erdbeerfeld ist $66$ m2 kleiner als das Getreidefeld. Das Maisfeld ist $206$ m2 größer als das Getreidefeld. Gib die Größe aller Felder an.
d)
Rebecca besitzt drei verschiedene Bankkonten. Insgesamt hat sie $10.450$€ angespart. Dieses Geld ist auf den drei Konten verteilt. Auf Konto A befinden sich $614$€ mehr als auf Konto B. Auf Konto C befinden sich $2.164$€ weniger als auf Konto B. Wie viel Geld befindet sich auf jedem der drei Konten?
e)
Bei einer Stadtrundfahrt in Berlin saßen bei Beginn der Fahrt achtmal soviel Frauen wie Männer im Bus. Am Brandenburger Tor sind $8$ Frauen ausgestiegen und $2$ Männer eingestiegen. Damit betrug die Anzahl der Frauen nur noch das Doppelte der Anzahl der Männer. Wie viele Frauen und wie viele Männer saßen zu Beginn der Stadtrundfahrt in dem Bus?
f)
Ein kleine Gemeinde sammelt Spenden für die Unterstützung der Sanierung des Pausenhofes der Hauptschule. Herr Maier bringt $115$€ weniger Spenden zusammen als Frau Bayer, Herr Kimmig sammelt $74$€ mehr als Frau Bayer. Insgesamt übergebend sie der Hauptschule $850$€ an Spendengeldern. Wie viel Euro hat jeder eingesammelt?
g)
Das Erbe ein älteren Frau wird auf $3$ Familien verteilt. Insgesamt erben die Familien $680.000$€. Familie Bähr erhält $44.900$€ weniger vom Erbe als Familie Zink. Die Familie Junker erbt $100.000$€ mehr als Familie Zink. Wie viel Geld erhält jede Familie?
h)
Gegeben ist die Gleichung $x-45+x+x+119=860$. Erfinde zu dieser Gleichung eine eigene Sachaufgabe, löse die Gleichung und beantworte die Fragestellung.
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Lösungen
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1.
Übersetze die Sachaufgaben in die Sprache der Mathematik und löse sie.
a)
1. Schritt: Text ins mathematische übersetzen
Logenplätze:
$x$
Parkettplätze:
$x+102$
$=820$
$=820$
Rangplätze:
$x-140$
2. Schritt: Gleichung lösen
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x+x+102+x-140&=&820&& \small{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 3x-38&=&820&& \mid\; +38\\[5pt] 3x&=&858&& \mid\;:3\\[5pt] x&=&286 \end{array}$
$ x+x+102+x-140 = 820 $
3. Schritt: Fragestellung beantworten
Logeplätze: $286$ $=286$ Karten
Parkettplätze: $286+102$ $=388$ Karten
Rangplätze: $286-140$ $=146$ Karten
b)
1. Schritt: Text ins mathematische übersetzen
Klasse 8a:
$x$
Klasse 8b:
$x-35$
$=705$
Klasse 8c:
$x+20$
2. Schritt: Gleichung lösen
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x+x-35+x+20&=&705&& \small{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 3x-15&=&705&& \mid\; +15\\[5pt] 3x&=&720&& \mid\; :3\\[5pt] x&=&240 \end{array}$
$ x+x-35+x+20 = 705 $
3. Schritt: Fragestellung beantworten
Klasse 8a:
$240$
$=240$€
Klasse 8b:
$240-35$
$=205$€
Klasse 8c:
$240+20$
$=260$€
c)
1. Schritt: Text ins mathematische übersetzen
Getreidefeld:
$x$
Erdbeerfeld:
$x-66$
$=5.000$
Maisfeld:
$x+206$
Getreidefeld:
$x$
Erdbeerfeld:
$x-66$
$=5.000$
Maisfeld:
$x+206$
2. Schritt: Gleichung lösen
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x+x-66+x+206&=&5.000&& \small{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 3x+140&=&5.000&& \mid\; -140\\[5pt] 3x&=&4.860&& \mid\;:3\\[5pt] x&=&1.620 \end{array}$
$ x+x-66+x+206 = 5.000 $
3. Schritt: Fragestellung beantworten
Getreidefeld:
$1.620$
$=1.620\,\text{m}^2$
Erdbeerfeld
$1.620-66$
$=1.554\,\text{m}^2$
Maisfeld
$1.620+206$
$=1.826\,\text{m}^2$
$\text{Getreidefeld: } 1.620 …$
d)
1. Schritt: Text ins mathematische übersetzen
Konto A:
$x+614$
Konto B:
$x$
$=10.450$
Konto C:
$x-2.164$
2. Schritt: Gleichung lösen
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x+614+x+x-2.164&=&10.450&& \small{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 3x-1.550&=&10.450&& \mid\; +1.550\\[5pt] 3x&=&12.000&& \mid\;:3\\[5pt] x&=&4.000 \end{array}$
$ x+614+x+x-2.164 = … $
3. Schritt: Fragestellung beantworten
Konto A:
$4.000+614$
$=4.614$€
Konto B
$4.000$
$=4.000$€
Konto C
$4.000-2.164$
$=1.836$€
$\text{Konto A: } 4.000+614 … $
e)
1. Schritt: Text ins mathematische übersetzen
linke Seite der Gleichung:
„…achtmal soviele Frauen“ $8x$
„…sind $8$ Frauen ausgestiegen“ $8x-8$
rechte Seite der Gleichung:
„…und $2$ Männer eingestiegen“ $x+2$
„…Anzal der Frauen nur noch das doppelte von der Anzahl der Männer“ $2(x+2)$
Tipp:
Man könnte erst meinen, dass man die Seite der Frauen mit 2 multiplizieren muss, da am Ende doppelt soviele Frauen wie Männer im Bus sitzen. Gerade aus diesem Grund musst du jedoch die Seite der Männer mit 2 multiplizieren, da die Waage sonst nicht im Gleichgewicht ist. $x$ steht für die Männer, z.B. bedeutet achtmal soviele Frauen (8$x$) nichts anders als: Achtmal soviele Frauen wie Männer.
2. Schritt: Gleichung lösen
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 8x-8&=&2(x+2)&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 8x-8&=&2x+4&& \mid\; -2x\\[5pt] 6x-8&=&4&& \mid\;\ +8\\[5pt] 6x&=&12&& \mid\;:6\\[5pt] x&=&2 \end{array}$
$x=2$
3. Schritt: Fragestellung beantworten
Anzahl Männer:
$2$
$=2$
Anzahl Frauen:
$2 \cdot 8$
$=16$
f)
1. Schritt: Text ins mathematische übersetzen
Herr Maier:
$x-115$
Herr Bayer:
$x$
$=850$
Herr Kimmig:
$x+74$
2. Schritt: Gleichung lösen
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x-115+x+x+74&=&850&& \small{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 3x-41&=&850&& \mid\; +41\\[5pt] 3x&=&891&& \mid\;:3\\[5pt] x&=&297 \end{array}$
$ x-115+x+x+74 = 850 $
3. Schritt: Fragestellung beantworten
Herr Maier
$297-115$
$=182$€
Herr Bayer
$297$
$=297$€
Herr Kimmig
$297+74$
$=371$€
g)
1. Schritt: Text ins mathematische übersetzen
Familie Bähr:
$x-44.900$
Familie Zink
$x$
$=680.000$
Familie Junker:
$x+100.000$
$\text{Familie Bähr: } x-44.900 … $
2. Schritt: Gleichung lösen
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x-44.900+x+x+100.000&=&680.000&& \small{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 3x+55.100&=&680.000&& \mid\; -55.100\\[5pt] 3x&=&624.900&& \mid\;:3\\[5pt] x&=&208.300 \end{array}$
$ x-44.900+x+x+ … $
3. Schritt: Fragestellung beantworten
Familie Bähr:
$208.300-44.900$
$=163.400$€
Familie Zink:
$208.300$
$=208.300$€
Familie Junker:
$208.300+100.000$
$=308.300$€
$\text{Familie Bähr:} … $
h)
1. Schritt: Gleichung in einen Text übersetzen
Erfinde hier eine Sachaufgabe zu der gegebenen Gleichung.
2. Schritt: Gleichung lösen
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x-45+x+x+119&=&860&& \small{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 3x+74&=&860&& \mid\; -74\\[5pt] 3x&=&786&& \mid\;:3\\[5pt] x&=&262 \end{array}$
$ x-45+x+x+119 = 860 $
3. Schritt: Fragestellung beantworten
Beantworte hier deine eigene erfundene Fragestellung
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