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Streckung, Stauchung und Verschiebung

Spickzettel
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Die allgemeine Form einer Potenzfunktion lautet: $\;y=k\cdot(x-c)^n+d$.
Potenzfunktion: Streckung, Stauchung und Verschiebung
Potenzfunktion: Streckung, Stauchung und Verschiebung
Der Parameter $k$ streckt bzw. staucht die Potenzfunktion.
Gilt $k < 1$, so wird die Potenzfunktion gestaucht.
Gilt $k > 1$, so wird die Potenzfunktion gestreckt.
Der Parameter $c$ verschiebt die Potenzfunktion entlang der x-Achse.
Für $c<0$ wird die Potenzfunktion nach rechts verschoben.
Für $c>0$ wird die Potenzfunktion nach links verschoben.
Der Parameter $d$ verschiebt die Potenzfunktion entlang der y-Achse.
Für $d<0$ wird die Potenzfunktion nach unten verschoben.
Für $d>0$ wird die Potenzfunktion nach oben verschoben.
Der Parameter $n$ bestimmt den Grad der Potenzfunktion.
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Aufgaben
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1. Gegeben sind die Funktionen $f$ mit $y=x^{-2}$, $f_2$ mit $y=(x+2)^{-2}$,
$f_3$ mit $y=(x+2)^{-2}-4$ und $f_4$ mit $y=0,7\cdot(x+2)^{-2}-4$.
a)  Erstelle eine sinnvolle Wertetabelle und zeichne die vier Graphen in ein gemeinsames und geeignetes Koordinatensystem ein.
b)  Gib die Definitions- und Wertemenge der Funktionen $f_1$ und $f_4$ an.
c)  Beschreibe kurz und knapp, wie die Funktion $f_4$ aus der Funktion $f_1$ hervorgeht.
d)  Gib die Gleichung der Asymptoten der Funktionen $f_1$ und $f_4$ an.
2. Gib die Gleichung der Funktion $f$ an, die man erhält, wenn man das Schaubild von f um den Faktor $k$ staucht bzw. streckt, um $c$ Längeneinheiten entlang der $x$-Achse und um $d$ Längeneinheiten entlang der $y$-Achse verschiebt.
Zeichne den Graph in ein geeignetes Koordinatensystem.
a) $k=1$ $n=2$ $c=3$ nach rechts $d=0$ nach oben
b) $k=1$ $n=-2$ $c=0$ nach links $d=5$ nach unten
c) $k=3$ $n=-0,5$ $c=0$ nach links $d=0$ nach oben
d) $k=0,7$ $n=\dfrac{3}{4}$ $c=1,77$ nach links $d=2,3$ nach oben
3. Gegeben ist die Funktion $f$ mit $y=k\cdot(x-c)^n+d$.
Der Punkt $Q$ liegt auf dem Graphen der Funktion $f$.
a)   Erkläre, welche Auswirkungen die Parameter $k$, $c$, $n$ und $d$ auf die Funktion haben.
b)   $Q(0,6\mid y)$; $f$ mit $y=0,7\cdot(x-1,1)^{-3}+3$
Berechne den fehlenden Wert.
c)   $Q(x\mid27,5)$; $f$ mit $y=0,5\cdot(x-3)^2+3$
Berechne den fehlenden Wert.
d)   $Q(6\mid260,7)$; $f$ mit $y=(x-4)^{n}+4,7$
Berechne den fehlenden Wert.
e)   $Q(-7\mid18)$; $f$ mit $y=(x+8)^{-0,5}+d$
Berechne den fehlenden Wert.
f)   $Q(-3\mid-132,2)$; $f$ mit $y=k\cdot(x+1)^{5}-1$
Berechne den fehlenden Wert.
g)   $Q(5\mid17,5)$; $f$ mit $y=2\cdot(x-c)^{-2}+5$
Berechne den fehlenden Wert.
h)   $Q(3\mid-9,25)$; $f$ mit $y=3,5\cdot(x+1)^{-0,5}-d$
Berechne den fehlenden Wert.
i)   $Q(11\mid-2,49)$; $f$ mit $y=0,6\cdot(x-7)^{n}-4$
Berechne den fehlenden Wert.
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Lösungen
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1.
a)  Wertetabelle erstellen
$x$ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
$y=x^{-2}$ 0,04 0,06 0,011 0,25 1 - 1 0,25
$y=(x+2)^{-2}$ 0,11 0,25 1 - 1 0,25 0,11 0,06
$y=(x+2)^{-2}-4$ -3,89 -3,75 -3 - -3 -3,75 -3,89 -3,94
$y=0,7\cdot(x+2)^{-2}-4$ -3,92 -3,83 -3,3 - -3,3 -3,83 -3,92 -3,96
Graphen zeichnen
Potenzfunktion: Streckung, Stauchung und Verschiebung
Potenzfunktion: Streckung, Stauchung und Verschiebung
b)  Definitionsmenge
$f_1$: $y=x^{-2}$ $f_4$: $y=0,7\cdot(x+2)^{-2}-4$
Da du für $x$ jeden Wert außer Null einsetzen darfst, ergibt sich folgende Definitionsmenge: Da du für $x$ jeden Wert außer -2 einsetzen darfst, ergibt sich folgende Definitionsmenge:
$\mathbb{D}\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$ $\mathbb{D}\in\mathbb{R}\backslash\{-2\}$
Wertemenge
$f_1$: $y=x^{-2}$
Du kannst sowohl der Wertetabelle als auch dem Schaubild entnehmen, dass die Funktion keine negativen Funktionswerte annimmt. Die Wertemenge lautet also wie folgt:
$\mathbb{W}\in\mathbb{R^+}$
$f_4$: $y=0,7\cdot(x+2)^{-2}-4$
Du kannst sowohl der Wertetabelle als auch dem Schaubild entnehmen, dass die Funktion keine Funktionswerte kleiner als -4 annimmt. Die Wertemenge lautet also wie folgt:
$\mathbb{W}=[-4,\infty]$
c)  Beschreibe wie die Funktion $f_4$ aus der Funktion $f_1$ hervorgeht
Die Funktion $f_4$ geht durch eine Verschiebung um 2 Längeneinheiten nach links entlang der $x$-Achse und um 4 Längeneinheiten nach unten entlang der $y$-Achse hervor. Außerdem wurde die Funktion $f_4$ noch um den Faktor 0,7 gestaucht.
d)  Asymptoten
$f_1$: $y=x^{-2}$
Für die Potenzfunktion $f_1$ gilt: $n\in\mathbb{Z^-}$ und der Exponent ist gerade.
Aus diesem Grund kannst du sagen, dass die Hyperbel achsensymmetrisch ist und Asymptoten bei $x=0$ und $y=0$ besitzt.
$f_4$: $y=0,7\cdot(x+2)^{-2}-4$
Die Funktion $f_4$ geht durch eine Verschiebung um 2 Längeneinheiten nach links, um 4 Längeneinheiten nach unten und durch eine Stauchung um den Faktor 0,7 aus der Funktion $f_1$ hervor. Durch die Verschiebung wurden auch die Asymptoten mit verschoben. (Die Stauchung hat keinen Einfluss auf die Asymptoten.)
Da die Funktion $f_4$ um 2 Längeneinheiten nach links verschoben wurde, besitzt die Funktion eine Asymptote bei $x=-2$.
Da die Funktion $f_4$ um 4 Längeneinheiten nach unten verschoben wurde, besitzt die Funktion eine weitere Asymptote bei $y=-4$.
2. Funktionsgleichung aufstellen & Grafen zeichnen
Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du die allgemeine Form der Potenzfunktion und die Auswirkungen der Parameter kennen.
Die allgemeine Form lautet $y=k\cdot(x-c)^n+d$.
Der Parameter $k$ streckt bzw. staucht die Potenzfunktion.
Der Parameter $c$ verschiebt die Potenzfunktion entlang der $x$-Achse.
Der Parameter $d$ verschiebt die Potenzfunktion entlang der $y$-Achse.
a)  $f_a: y=1\cdot(x-3)^2+0$
$f_a: y=(x-3)^2$
Potenzfunktion: Streckung, Stauchung und Verschiebung
Potenzfunktion: Streckung, Stauchung und Verschiebung
b)   $f_b: y=1\cdot(x-0)^{-2}-5$
$f_b: y=x^{-2}-5$
Potenzfunktion: Streckung, Stauchung und Verschiebung
Potenzfunktion: Streckung, Stauchung und Verschiebung
c)   $f_c: y=3\cdot(x-0)^{-0,5}+0$
$f_c: y=3\cdot x^{-0,5}$
Potenzfunktion: Streckung, Stauchung und Verschiebung
Potenzfunktion: Streckung, Stauchung und Verschiebung
d)   $f_d: y=0,7\cdot(x+1,77)^{\frac{3}{4}}+2,3$
Potenzfunktion: Streckung, Stauchung und Verschiebung
Potenzfunktion: Streckung, Stauchung und Verschiebung
3.
a)   Auswirkungen der Parameter
Die allgemeine Form einer Potenzfunktion lautet $y=k\cdot(x-c)^n+d$.
Der Parameter $k$ streckt bzw. staucht die Potenzfunktion.
Der Parameter $c$ verschiebt die Potenzfunktion entlang der $x$-Achse.
Der Parameter $n$ bestimmt den Grad der Potenzfunktion.
Der Parameter $d$ verschiebt die Potenzfunktion entlang der $y$-Achse.
Den fehlenden Wert berechnest du am besten mithilfe einer Punktprobe mit dem jeweils angegebenen Punkt.
b)   $y$ berechnen
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&0,7\cdot(x-1,1)^{-3}+3&\scriptsize \text{Punktprobe mit}\;Q(0,6\mid\;y) \\ y=&0,7\cdot(0,6-1,1)^{-3}+3&\scriptsize\\ y=&-2,6&\scriptsize \end{array}$
c)   $x$ berechnen
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&0,5\cdot(x-3)^2+3&\scriptsize \text{Punktprobe mit}\;Q(x\mid27,5)\\ 27,5=&0,5\cdot(x-3)^2+3&\scriptsize \mid\;-3\\ 24,5=&0,5\cdot(x-3)^2&\scriptsize \mid\;:0,5\\ \frac{24,5}{0,5}=&(x-3)^2&\scriptsize\\ 49=&x^2-6\cdot x+9&\scriptsize \mid\;-49\\ 0=&x^2-6\cdot x-40&\scriptsize \text{PQ-Formel}\\ x_{1,2}=&-\dfrac{(-6)}{2}\pm\sqrt{\left({\frac{(-6)}{2}}\right)^2-(-40)}&\scriptsize\\ x_{1,2}=&3\pm\sqrt{\frac{36}{4}+40}&\scriptsize\\ x_{1,2}=&3\pm\sqrt{\frac{36}{4}+\frac{160}{4}}&\scriptsize\\ x_{1,2}=&3\pm\sqrt{\frac{196}{4}}&\scriptsize\\ x_{1,2}=&3\pm7&\scriptsize\\ x_{1}=&10&\scriptsize\\ x_{2}=&-4&\scriptsize \end{array}$
d)   $n$ berechnen
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&(x-4)^n+4,7&\scriptsize \text{Punktprobe mit}\;Q(6\mid260,7)\\ 260,7=&(6-4)^n+4,7&\scriptsize\\ 260,7=&2^n+4,7&\scriptsize \mid\;-4,7\\ 256=&2^n&\scriptsize \mid\;\lg\\ \lg256=&\lg2^n&\scriptsize \text{Logarithmusgesetze}\\ \lg256=&n\cdot\lg2&\scriptsize \mid\;:\lg2\\ n=&\frac{\lg256}{\lg2}&\scriptsize\\ n=&8&\scriptsize \end{array}$
e)   $d$ berechnen
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&(x+8)^{-0,5}+d&\scriptsize \text{Punktprobe mit}\;Q(-7\mid18)\\ 18=&(-7+8)^{-0,5}+d&\scriptsize\\ 18=&1+d&\scriptsize \mid\;-1\\ d=&17&\scriptsize \end{array}$
f)   $k$ berechnen
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&k\cdot(x+1)^5-1&\scriptsize \text{Punktprobe mit}\;Q(-3\mid-132,2)\\ -132,2=&k\cdot(-3+1)^5-1&\scriptsize\mid\;+1\\ -131,2=&k\cdot(-3+1)^5&\scriptsize\\ -132,2=&k\cdot(-32)&\scriptsize \mid\;:-32\\ k=&\frac{-132,2}{-32}&\scriptsize\\ k\approx&4,1&\scriptsize \end{array}$
g)   $c$ berechnen
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&2\cdot(x-c)^{-2}+5&\scriptsize \text{Punktprobe mit}\;Q(5\mid17,5)\\ 17,5=&2\cdot(5-c)^{-2}+5&\scriptsize \mid\;-5\\ 12,5=&2\cdot(5-c)^{-2}&\scriptsize \mid\;:2\\ 6,25=&(5-c)^{-2}&\scriptsize\\ 6,25=&\frac{1}{(5-c)^2}&\scriptsize\\ 6,25=&\frac{1}{25-10\cdot c+c^2}&\scriptsize \mid\;\cdot(25-10\cdot c+c^2)\\ 6,25\cdot(25-10\cdot c+c^2)=&1&\scriptsize\\ 156,25-62,5\cdot c+ 6,25\cdot c^2=&1&\scriptsize \mid\;-1\\ 6,25\cdot c^2-62,5\cdot c+155,25=&0&\scriptsize \mid\;:6,25\\ c^2-10\cdot c+24,84=&0&\scriptsize \text{PQ-Formel}\\ c_{1,2}=&-\dfrac{(-10)}{2}\pm\sqrt{\left({\frac{(-10)}{2}}\right)^2-24,84}&\scriptsize\\ c_{1,2}=&5\pm\sqrt{\frac{100}{4}-\frac{99,36}{4}}&\scriptsize\\ c_{1,2}=&5\pm\sqrt{0,16}&\scriptsize\\ c_{1,2}=&5\pm0,4&\scriptsize\\ c_{1}=&4,6&\scriptsize\\ c_{2}=&5,4&\scriptsize \end{array}$
h)   $d$ berechnen
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&3,5\cdot(x+1)^{-0,5}-d&\scriptsize \text{Punktprobe mit}\;Q(3\mid-9,25)\\ -9,25=&3,5\cdot(3+1)^{-0,5}-d&\scriptsize\\ -9,25=&3,5\cdot0,5-d&\scriptsize\\ -9,25=&1,75-d&\scriptsize \mid\;-1,75\\ -d=&-11&\scriptsize \mid\;\cdot -1\\ d=&11&\scriptsize \end{array}$
i)   $n$ berechnen
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&0,5\cdot(x-7)^n-4&\scriptsize \text{Punktprobe mit}\;Q(11\mid-2,49)\\ -2,49=&0,5\cdot(11-7)^n-4&\scriptsize \mid\;+4\\ 1,51=&0,5\cdot4^n&\scriptsize \mid\;:0,5\\ 4^n=&\frac{1,51}{0,5}&\scriptsize\\ 4^n=&3,02&\scriptsize \mid\;\lg\\ \lg4^n=&\lg3,02&\scriptsize \text{Logarithmusgesetze}\\ n\cdot\lg4=&\lg3,02&\scriptsize \mid\;:\lg4\\ n=&\frac{\lg3,02}{\lg4}&\scriptsize\\ n\approx&0,8&\scriptsize \end{array}$
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