Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Hauptschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 7
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Hauptschulabschluss
VERA 8
Hauptschulabs...
Prüfung
wechseln
Hauptschulabschluss
VERA 8
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Funktionen und Gleich...
Lineare Gleichungen
Einführung
Einfache lineare Glei...
Gleichungen mit Klamm...
Gleichungen mit Brüch...
Gleichungen mit Brüch...
Gleichungen in Zahlen...
Gleichungen in Sachau...
Quadratische Gleichun...
Einführung
Sonderfälle
Reinquadratische Glei...
x<sup>2</sup>+px=0
Gleichungen lösen
P-q-Formel
Mitternachtsformel
Satz von Vieta
Bruchgleichungen
Vermischte Aufgaben
Lineares Gleichungssy...
Einführung
Graphisches Lösungsve...
Rechnerisches Lösungs...
Gleichsetzungsverfahr...
Einsetzungsverfahren
Additionsverfahren
Determinantenverfahre...
Vermischte Aufgaben
Lineare Funktionen
Einführung
Funktionsgraphen zeic...
Funktionsgleichungen ...
Schnittpunkte
Parallele und orthogo...
Vermischte Aufgaben
Quadratische Funktion...
Einführung
Funktionsterm
Verschiebung in y-Ric...
Verschiebung in x-Ric...
Stauchung und Strecku...
Vermischte Aufgaben
Scheitelform und allg...
Funktionsgleichung au...
Schnittpunkt Gerade -...
Achsenschnittpunkte
Vermischte Aufgaben
Potenzfunktion
Mit positivem Exponen...
Mit negativem Exponen...
Streckung, Stauchung ...
Potenzgesetze
Vermischte Aufgaben
Exponentialfunktionen...
Exponentialgleichunge...
Exponentialfunktionen
Wachstum
Logarithmus
Logarithmusfunktion
Verschiebung und Spie...
Vermischte Aufgaben
Trigonometrische Funk...
Einheitskreis
Gradmaß und Bogenmaß
Eigenschaften der Sin...
Eigenschaften der Kos...
Eigenschaften der Tan...
Streckung und Stauchu...
Streckung und Strauch...
Vermischte Aufgaben
Proportionale Zuordnu...
Rechnen mit proportio...
Schaubilder von propo...
Weg-Zeit-Zuordnungen
Abbildungen Im Koordi...
Orthogonale Affinität
Parallelverschiebung
Achsenspiegelung
Drehung
Vermischte Aufgaben
Geometrie in der Eben...
Dreieck
Einführung
Gleichschenkliges Dre...
Gleichseitiges Dreiec...
Allgemeines Dreieck
Sinussatz
Kosinussatz
Vermischte Aufgaben
Rechtwinkliges Dreiec...
Einführung
Satz des Pythagoras
Kathetensatz
Höhensatz
Satz des Thales
Sinus, Kosinus und Ta...
Flächeninhalt und Umf...
Vermischte Aufgaben
Vierecke und Vielecke
Einführung
Quadrat
Rechteck
Parallelogramm
Rhombus und Raute
Trapez
Drachen
Allgemeines Viereck
Regelmäßiges Vieleck
Vermischte Aufgaben
Kreis
Einführung
Flächeninhalt und Umf...
Kreisring
Kreissektor und Kreis...
Kreissegment
Geraden und Winkel am...
Vermischte Aufgaben
Geometrische Konstruk...
Einführung
Mittelsenkrechte
Lotgerade
Senkrechte
Winkelhalbierende
Dreieckskonstruktione...
Zentrische Streckung
Vermischte Aufgaben
Strahlensätze
Geometrie im Raum
Körper
Einführung
Schrägbild
Körpernetz
Zweitafelbild
Prisma
Einführung
Würfel
Quader
Vermischte Aufgaben
Spitze Körper
Kegel
Pyramide
Stümpfe
Kegelstumpf
Pyramidenstumpf
Sonstige Körper
Zylinder
Kugel
Rotationskörper
Zusammengesetzte Körp...
Trigonometrie in Körp...
Streckenzug
Raumdiagonale
Potenzen und Wurzeln
Potenzen
Einführung
Quadratzahlen und Pot...
Rechnen mit Potenzen
Einfache Potenzen
Potenzen mit negative...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen potenzieren
Wissenschaftliche Sch...
Wurzeln
Einführung
Quadratwurzeln und Ku...
Rechnen mit Wurzeln
Wurzeln multipliziere...
Teilweises Wurzelzieh...
Rechnen mit Wurzeln u...
Daten und Zufall
Statistische Grundbeg...
Absolute und relative...
Listen und Häufigkeit...
Arithmetisches Mittel...
Median und Quartile
Spannweite und mittle...
Diagramme
Vermischte Aufgaben
Diagramme
Säulendiagramm
Balkendiagramm
Liniendiagramm
Kreisdiagramm
Streifendiagramm
Boxplot
Vermischte Aufgaben
Kombinatorik
Wahrscheinlichkeitsre...
Einstufige Zufallsexp...
Ergebnis und Ereignis
Gesetz der großen Zah...
Zufallsvariable und E...
Mehrstufige Zufallsex...
Sachrechnen
Zinseszins
Vermischte Aufgaben

Vermischte Aufgaben

Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.  Der Graf der Funktion $f$ mit $y=2\cdot(x-2)^{-3}+4$ wird durch den Vektor $\overrightarrow{v}=\left( \begin{array}{l} 2,7\\-3\end{array} \right)$ auf den Grafen der Funktion $f_1$ verschoben.
a)  Gib die Definitions- und Wertemenge der Funktion $f$ an.
b)  Gib die Gleichung von $f_1$.
c)  Zeichne die Grafen zu $f$ und $f_1$ in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.
2.  Die Funktion $f$ mit $y=0,5\cdot(x-2)^4-1$ wird an der $y$-Achse gespiegelt.
a)  Berechne die Gleichung der gespiegelten Funktion $f_1$.
b)  Zeichne den Graphen zu $f_1$ in geeignetes Koordinatensystem ein.
3.  Stelle eine Gleichung für folgende Aussagen auf und löse sie.
a)  Das Dreifache der 4. Potenz einer Zahl ist 48.
b)  Die Wurzel aus der 4. Potenz einer Zahl ist 81.
c)  Halbiert man die 3. Potenz einer Zahl, so erhält man 32.
d)  Die 4. Wurzel einer Zahl ergibt die 2. Potenz der Zahl 2.
4.  In einer Stadt nahe Stuttgart gibt es eine parabelförmige Unterführung. Die Unterführung ist zweispurig, hat eine Höhe von 5 Meter und ist 10 Meter breit.
(Die Unterführung wird durch die Gleichung $f$ einer Parabel zweiten Grades beschrieben).
Potenzfunktion: Vermischte Aufgaben
Potenzfunktion: Vermischte Aufgaben
     Ein Lastwagen mit einer rechteckigen Querschnittsfläche (gemeint ist die Fläche des Aufliegers) möchte durch die Unterführung fahren. Die Ladefläche des Lastwagens befindet sich 0,5 Meter über dem Boden.
(Du kannst davon ausgehen, dass der Lastwagen seine Fahrspur bis zur Mitte voll ausnutzt.)
a)  Berechne die Gleichung $f$ der Unterführung.
b)  Berechne die Breite des Lastwagens, wenn er eine Querschnittsfläche von 7,4 Quadratmeter hat und eine Höhe von 4,2 Meter.
Passt dieser Lastwagen durch die Unterführung?
c)  Passt ein Lastwagen mit einer Breite von 2,5 Meter und einer Querschnittsfläche von 7,5 Quadratmeter durch die Unterführung?
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1. 
a)  Definitions- und Wertemenge
In diesem Fall handelt es sich um eine Potenzfunktion mit einem ungeraden und negativen Exponenten.
Da die Funktion um 2 Längeneinheiten nach rechts verschoben wurde, darfst du für $x$ jeden Wert außer 2 einsetzen.
Es ergibt sich also folgende Difinitionsmenge:
$\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash\{0\}$
Da die Funktion um 4 Längeneinheiten nach oben verschoben wurde, weißt du, dass der Funktionswert nie den Wert 4 annimmt.
Die Wertemenge lautet also wie folgt:
$\mathbb{W}=\mathbb{D}\backslash\{4\}$
b)  Gleichung von $f_1$ berechnen
Der Vektor $\overrightarrow{v}$ besagt lediglich, dass die Funktion um 2,7 Längeneinheiten nach rechts und um 3 Längeneinheiten nach unten verschoben werden soll.
Du erhältst also folgende Funktionsgleichung:
$f_1:y=2\cdot((x-2,7)-2)^{-3}+4-3$
$f_1:y=2\cdot(x-4,7)^{-3}+1$
c)  Graphen zu $f$ und $f_1$ berechnen
Potenzfunktion: Vermischte Aufgaben
Potenzfunktion: Vermischte Aufgaben
2. 
a)  Gleichung der Funktion $f_1$ berechnen
Um die Gleichung der Funktion $f_1$ berechnen zu können, musst du die Formel zur Spiegelung einer Funktion an der $y$-Achse kennen.
Die Formel lautet: $f_1(x)=f(-x)$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} f_1(x)=&f(-x)&\scriptsize \text{einsetzen}\\ f_1(x)=&0,5\cdot((-x)-2)^4-1&\scriptsize\\ f_1(x)=&0,5\cdot(-x-2)^4-1&\scriptsize \text{Binomische Formel}\\ f_1(x)=&0,5\cdot(x^4+(-x)^3\cdot(-2)+x^2\cdot(-2)^2+(-x)\cdot(-2)^3+(-2)^4)-1&\scriptsize\\ f_1(x)=&0,5\cdot(x^4+2\cdot x^3+4\cdot x^2+8\cdot x\cdot+16)-1&\scriptsize \text{Binomische Formel}\\ f_1(x)=&0,5\cdot(x+2)^4-1&\scriptsize \end{array}$
Die Gleichung der Funktion $f_1$ lautet $y=0,5\cdot(x+2)^4-1$.
b)  Graphen zu $f_1$ zeichnen
Potenzfunktion: Vermischte Aufgaben
Potenzfunktion: Vermischte Aufgaben
3. 
a)  Gleichung aufstellen
$3\cdot x^4=48$
Gleichung nach $x$ auflösen
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} 3\cdot x^4=&48&\scriptsize \mid\;:3\\ x^4=&16&\scriptsize \mid\;\sqrt[4]{\;}\\ \sqrt[4]{x^4}=&\sqrt[4]{16}&\scriptsize\\ x=&\pm2&\scriptsize\\ x_1=&2&\scriptsize\\ x_2=&-2&\scriptsize \end{array}$
b)  Gleichung aufstellen
$\sqrt{x^4}=81$
Gleichung nach $x$ auflösen
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} \sqrt{x^4}=&81&\scriptsize \mid\;(…)^2\\ (\sqrt{x^4})^2=&81^2&\scriptsize\\ x^4=&6561&\scriptsize \mid\;\sqrt[4]{\;}\\ \sqrt[4]{x^4}=&\sqrt[4]{6561}&\scriptsize\\ x=&\pm9&\scriptsize\\ x_1=&9&\scriptsize\\ x_2=&-9&\scriptsize \end{array}$
c)  Gleichung aufstellen
$\frac{x^3}{2}=32$
Gleichung nach $x$ auflösen
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} \frac{x^3}{2}=&32&\scriptsize \mid\;\cdot 2\\ x^3=&64&\scriptsize \mid\;\sqrt[3]{\;}\\ \sqrt[3]{x^3}=&\sqrt[3]{64}&\scriptsize\\ x=&4&\scriptsize \end{array}$
d)  Gleichung aufstellen
$\sqrt[4]{x}=2^2$
Gleichung nach $x$ auflösen
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} \sqrt[4]{x}=&2^2&\scriptsize\\ \sqrt[4]{x}=&4&\scriptsize \mid\;(…)^4\\ (\sqrt[4]{x})^4=&4^4&\scriptsize\\ x=&256&\scriptsize \end{array}$
4.  
a)  Gleichung $f$ der Unterführung berechnen
Dem Text kannst du entnehmen, dass die Unterführung parabelförmig ist. Aus diesem Grund wird die Gleichung durch die Funktion $f$ mit $y=k\cdot(x-c)^2+d$ ausgedrückt.
Um die Aufgabe schneller lösen zu können, ist es sinvoll die Parabel wie in der Abbildung vorgegeben in ein Koordinatensystem hineinzulegen.
Potenzfunktion: Vermischte Aufgaben
Potenzfunktion: Vermischte Aufgaben
     Dies hat zur Folge, dass die Parabel weder nach rechts noch nach links verschoben ist. Der Parameter $c$ ist also gleich Null. Die Gleichung wird also durch die Funktion $f$ mit $y=k\cdot x^2+d$ ausgedrückt.
Um nun die Gleichung $f$ berechnen zu können, benötigst du die Koordinaten von 2 Punkten.
Da die Parabel 5 Meter Hoch sein soll kennst du die Koordinaten des Punktes $P_1(0\mid5)$.
Ein weiterer Punkt lautet $P_2(5\mid0)$, da die Unterführung 10 Meter breit sein soll.
Jetzt kannst du mithilfe von Punktproben die Parameter $k$ und $d$ berechnen.
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&k\cdot x^2+d&\scriptsize \text{Punktprobe mit} \;P_1(0\mid5)\\ 5=&k\cdot 0^2+d&\scriptsize\\ d=&5&\scriptsize \end{array}$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&k\cdot x^2+5&\scriptsize \text{Punktprobe mit}\;P_1(5\mid0)\\ 0=&k\cdot 5^2+5&\scriptsize\\ 0=&k\cdot25+5&\scriptsize \mid\;-5\\ -5=&k\cdot25&\scriptsize \mid\;:25\\ k=&-0,2&\scriptsize \end{array}$
Die Gleichung $f$ der Unterführung lautet $y=-0,2\cdot x^2+5$.
b)  Breite des Lastwagens berechnen
Der Auflieger selbst hat nur eine Höhe von $4,2-0,5=3,7$ Meter, da sich die Ladefläche des Lastwagens 0,5 Meter über dem Boden befindet.
Mithilfe der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks, kannst du nun die Breite des Lastwagens bestimmen.
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} A=&h\cdot b&\scriptsize\\ 7,4\;\text{m}^2=&3,7\;\text{m}\cdot b&\scriptsize :3,7\;\text{m}\\ b=&\frac{7,4\;\text{m}^2}{3,7\;\text{m}}&\scriptsize\\ b=&2\;\text{m}&\scriptsize \end{array}$
Der Lastwagen hat eine Breite von 2 Meter.
Passt der Lastwagen durch die Unterführung
Um zu überprüfen, ob der Lastwagen durch die Unterführung passt, musst du für $x$ den Wert 2 einsetzen, da der Lastwagen eine Breite von 2 Meter hat. Das Ergebnis verrät dir dann, wie Hoch der Lastwagen maximal sein darf.
Sollte das Ergebnis also kleiner als 4,2 sein, so passt der Lastwagen nicht durch die Unterführung. Sollte das Ergebniss allerdings genau 4,2 oder größer sein, so passt der Lastwagen durch die Unterführung.
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&-0,2\cdot x^2+5&\scriptsize x=2 \\ y=&-0,2\cdot 2^2+5&\scriptsize y=&4,2&\scriptsize \end{array}$
Der Lastwagen darf also eine Höhe von maximal 4,2 Meter haben und passt somit genau durch die Unterführung.
c)  Passt der Lastwagen durch die Unterführung?
Zuerst musst du mit der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks die Höhe des Auflieges berechnen. Anschließend musst du zu dieser Höhe 0,5 Meter addieren, um die gesamt Höhe des Lastwagens zu kennen.
Nachdem du die Höhe des Lastwagens kennst, kannst du wie in Teilaufgabe b) erklärt berechnen, wie hoch der Lastwagen bei einer Breite von 2,5 Meter maximal sein darf, um durch die Unterführung zu passen.
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} A=&h\cdot b&\scriptsize \text{einsetzen}\\ 7,5\;\text{m}^2=&h\cdot 2,5\;\text{m}&\scriptsize \mid\;:2,5\;\text{m}\\ h=&3\;\text{m}&\scriptsize \end{array}$
Der Lastwagen hat eine Höhe von $3+0,5=3,5$ Meter.
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&-0,2\cdot x^2+5&\scriptsize x=2,5\\ y=&-0,2\cdot 2,5^2+5&\scriptsize\\ y=&3,75&\scriptsize \end{array}$
Der Lastwagen darf eine maximale Höhe von 3,75 Meter haben. Da der Lastwagen nur eine Höhe von 3,5 Meter hat, passt er durch die Unterführung
© SchulLV 2015
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App