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Gleichungen mit Brüch...
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Vermischte Aufgaben

Rechnen mit proportionalen Zuordnungen

Spickzettel
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In einer Zuordnung wird einem Wert einer Größe ein Wert einer anderen Größe zugeordnet. Zum Beispiel kann einem Apfel ein Preis zugeordnet werden. Bei einer proportionalen Zuordnung nimmt die zweite Größe zu, wenn auch die erste zunimmt und zwar gleichmäßig, das heißt, kaufst du zwei Äpfel, dann zahlst du auch den doppelten Preis, bei drei Äpfeln den dreifachen Preis und so weiter.
Bei solchen Zuordnungen kannst du also gut den Dreisatz verwenden, um gesuchte Größen zu berechnen, da dort auf beiden Seiten die gleichen Rechnungen durchgeführt werden.
Oft werden Zuordnungen in Tabellen wie der folgenden angegeben, in denen verschiedene Zuordnungspaare eingetragen sind.
kg $1$ $2$ $3$ $4$ $5$
$1,30$ $2,60$ $3,90$ $5,20$ $6,50$
Um zu erkennen, ob es sich bei einer Zuordnung um eine proportionale handelt, kannst du zum Beispiel die Zuordnungsverhältnisse berechnen. Dies ist das Verhältnis zwischen der zweiten Größe und der ersten Größe, in diesem Beispiel also $\frac{€}{\text{kg}}$. Ist dieses Verhältnis für jedes Zuordnungspaar gleich, handelt es sich um eine proportionale Zuordnung.

Beispiel

$2$ kg Trauben kosten im Supermarkt $6$ €.
Wie viel kg erhältst du für $15$ €? Mit dem Dreisatz kannst du zunächst berechnen, wie viel du für $1\,$€ bekommst, und dies anschließend auf $15\,$€ umrechnen:
$\begin{array}{rrcll} \scriptsize:6\;\mid&\quad 6 \,€ &\mathrel{\widehat{=}}&2\,\text{kg}\quad&\scriptsize\mid\;:6\\[5pt] \scriptsize\cdot 15\;\mid&1 \,€&\mathrel{\widehat{=}}&\frac{1}{3}\,\text{kg} &\scriptsize\mid\;\cdot 15\\[5pt] &15\,€&\mathrel{\widehat{=}}&5\,\text{kg}& \end{array}$
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Aufgaben
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1.  Löse die Aufgaben.
a)  Das neue, sparsame Auto von Sven benötigt lediglich $5$ $\ell$ Benzin pro $100$ km. Um einen Freund in Hannover zu besuchen, fährt er mit seinem Auto eine Strecke von $350$ km.
Wie viel Benzin benötigt das Auto für die Fahrt nach Hannover?
b)  Ein Weltklasse-Läufer braucht bei den Olympischen Spielen für $100$ m bei konstanter Geschwindigkeit ca. $9,6$ s.
Wie viele Sekunden braucht der Sprinter für die ersten $40$ m?
c)  Auf einem Wochenmarkt kosten $4$ kg Bananen $7$ €.
Wie viel Geld muss man für $9$ kg Bananen bezahlen?
d)  Eine Maschine füllt in einer Fabrik $150$ Flaschen in $10$ min ab.
Wie viele Flaschen sind nach $5$ h abgefüllt?
e)  Maria bezahlt bei ihrem Handytarif $12$ Cent pro Minute. Sie hat $21$ € Guthaben.
Wie viele Minuten kann sie mit diesem Guthaben telefonieren?
2.  Vervollständige die Tabellen.
a)  $5$ kg Orangen kosten $6,50$ €.
kg $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$
$6,50$
b)  In einer Firma werden in $7$ h $35$ Computer zusammengebaut.
Zeit (h) $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$
Anzahl $35$
c)  Eine Tunnelbohrmaschine benötigt $20$ min, um einen Weg von $1,5$ cm zurückzulegen.
Zeit (h) $1$ $8$ $16$ $24$ $40$
cm $18$ $54$ $90$ $135$
d)
Liter Preis
$2$ $2,60$ €
$6,50$ €
$9$
$16,90$ €
$17$
$27,30$ €
Stück Preis
$5$
$16$
$28,56$ €
$29$ $39,44$ €
$47,60$ €
$43$
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Lösungen
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1.  Löse die Aufgaben.
a)  Benötigtes Benzin für das Auto berechnen
$\begin{array}{rrcll} \scriptsize:100\;\mid&\quad100 \,\text{ km}&=&5\,\text{$\ell$}\quad&\scriptsize\mid\;:100\\[5pt] \scriptsize\cdot 350\;\mid&1\,\text{km}&=&0,05\,\text{$\ell$} &\scriptsize\mid\;\cdot 350\\[5pt] &350\,\text{ km}&=&17,5\,\text{$\ell$}& \end{array}$
$ 350\,\text{ km} = 17,5\,\text{$\ell$} $
Für die Fahrt nach Hannover benötigt Svens Auto $17,5$ $\ell$ Benzin.
b)  Sekunden für die ersten $40$ m berechnen
$\begin{array}{rrcll} \scriptsize:100\;\mid&\quad100 \,\text{m}&=&9,6\,\text{s}\quad&\scriptsize\mid\;:100\\[5pt] \scriptsize\cdot 40\;\mid&1\,\text{m}&=&0,096\,\text{s} &\scriptsize\mid\;\cdot 40\\[5pt] &40\,\text{m}&=&3,84\,\text{s}& \end{array}$
$ 40\,\text{m} = 3,84\,\text{s} $
Für die ersten $40$ m benötigt der Läufer $3,84$ s.
c)  Preis für $9\,\text{kg}$ Bananen bestimmen
$\begin{array}{rrcll} \scriptsize:4\;\mid&\quad4\,\text{kg}&=&7\,€\quad&\scriptsize\mid\;:4\\[5pt] \scriptsize\cdot9\;\mid&1\,\text{kg}&=&1,75\,€ &\scriptsize\mid\;\cdot9\\[5pt] &9\,\text{kg}&=&15,75\,€& \end{array}$
Für $9$ kg Bananen muss man $15,75$€ bezahlen.
d)  Anzahl der abgefüllten Flaschen berechnen
Rechne zuerst alle Größen in die gleichen Einheiten um.
1. Schritt: Stunden in Minuten umrechnen
$5\,\text{h} \cdot 60 = 300$ min
2. Schritt: Anzahl der Flaschen berechnen
$\begin{array}{rrcll} \scriptsize:10\;\mid&\quad10\,\text{min}&=&150\,\text{Flaschen}\quad&\scriptsize\mid\;:10\\[5pt] \scriptsize\cdot300\;\mid&1\,\text{min}&=&15\,\text{Flaschen} &\scriptsize\mid\;\cdot300\\[5pt] &300\,\text{min}&=&4.500\,\text{Flaschen} \end{array}$
$ 10\,\text{min} = 150\,\text{Flaschen} $
Nach $5$ h ($300$ min) sind $4.500$ Flaschen abgefüllt.
e)  Gesprächsdauer in Minuten berechnen
Rechne zuerst alle Größen in die gleichen Einheiten um.
1. Schritt: Euro in Cent umrechnen
$21€ \cdot 100 = 2.100\, \text{Cent}$
2. Schritt: Gesprächsdauer in Minuten berechnen
$\begin{array}{rrcll} \scriptsize:12\;\mid&\quad12\,\text{Cent}&=&1\,\text{min}\quad&\scriptsize\mid\;:12\\[5pt] \scriptsize\cdot2.100\;\mid&1\,\text{Cent}&=&0,08333\,\text{min} &\scriptsize\mid\;\cdot2.100\\[5pt] &2.100\,\text{Cent}&=&175\,\text{min} \end{array}$
$ 12\,\text{Cent} = 1\,\text{min} $
Mit einem Guthaben von $21$ € kann Maria $175$ Minuten telefonieren.
2.  Vervollständige die Tabellen.
a)  Fehlende Größen berechnen und Tabellen ausfüllen.
Du weißt, dass $5$ kg Orangen 6,50€ kosten. Mit einem Dreisatz kannst du die fehlenden Größen berechnen
Beispiel für 1 kg Orangen:
$5\,\text{kg} \mathrel{\widehat{=}} 6,50€$
$1\,\text{kg} \mathrel{\widehat{=}}6,50 €:5=1,30€$
$\text{kg}$12345678910
$€$1,302,603,905,206,507,809,1010,4011,7013,00
$\text{kg}$ $€$
1 1,30
2 2,60
3 3,90
4 5,20
5 6,50
6 7,80
7 9,10
8 10,40
9 11,70
10 13,00
b)  Fehlende Größen berechnen und Tabellen ausfüllen.
Dir ist bekannt, dass in $7$h $35$ Computer zusammengebaut werden.
Beispiel für 1 h:
$7\,\text{h}\mathrel{\widehat{=}} 35\,\text{Computer}$
$1\,\text{h} \mathrel{\widehat{=}} 35\,\text{Computer}:7=5\,\text{Computer}$
$1\,\text{h} \mathrel{\widehat{=}} 35\,\text{Computer}:7$ $=5\,\text{Computer}$
$\text{Zeit(h)}$12345678910
$\text{Anzahl}$5101520253035404550
$\text{Zeit(h)}$ $\text{Anzahl}$
1 5
2 10
3 15
4 20
5 25
6 30
7 35
8 40
9 45
10 50
c)  Fehlende Größen berechnen und Tabellen ausfüllen.
In $20$ min legt die Tunnelbohrmaschine $1,5$ cm zurück. Berechne zuerst, wie viele cm die Tunnelbohrmaschine in $1$ h ($60$ min) zurücklegt und fülle dann den Rest der Tabelle aus.
Beispiel für 1 h:
$\begin{array}{rrcll} \scriptsize:60\;\mid&\quad20\,\text{min}&=&1,5\,\text{cm}\quad&\scriptsize\mid\;:60\\[5pt] \scriptsize\cdot60\;\mid&1\,\text{min}&=&0,075\,\text{cm}&\scriptsize\mid\;\cdot60\\[5pt] &60\,\text{min}&=&4,5\,\text{cm}& \end{array}$
$ 60\,\text{min} = 4,5\,\text{cm} $
Zeit (h) 1 4 8 12 16 20 24 30 40
cm 4,5 18 36 54 72 90 108 135 180
Zeit (h) cm
1 4,5
4 18
8 36
12 54
16 72
20 90
24 108
30 135
40 180
d)  Fehlende Größen berechnen und Tabellen ausfüllen.
In beiden Tabellen sind zwei bekannte Größen einander zugeordnet, sodass du die fehlenden Größen mit dem Dreisatz berechnen kannst.
Beispiel für 1 h:
$\begin{array}{rrcll} \scriptsize:2\;\mid&\quad2\,\text{$\ell$}&=&2,6€\quad&\scriptsize\mid\;:2\\[5pt] \scriptsize\cdot9\;\mid&1\,\text{$\ell$}&=&1,30€&\scriptsize\mid\;\cdot9\\[5pt] &9\,\text{$\ell$}&=&11,70€& \end{array}$
Liter Preis
2 2,60 €
5 6,50 €
9 11,70€
13 16,90 €
17 22,10€
21 27,30 €
Stück Preis
5 6,80€
16 21,76€
21 28,56 €
29 39,44 €
35 47,60 €
43 58,48€
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