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Vermischte Aufgaben

Schnittpunkt Gerade - Parabel

Spickzettel
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Erklärung

Im Schnittpunkt haben die Parabel und die Gerade die gleichen $x$- und $y$-Werte.
Diese kannst du durch Gleichsetzen der beiden Funktionsterme berechnen

Beispiel

Parabel: $y=x^2-2x+2$ und Gerade: $y=2x+14$
$\blacktriangleright$ 1. Funktionsterme gleichsetzen und auf Normalform bringen.
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{0.8cm}}l} x^2-2x+2=&2x+14& \mid -2x-14\\ x^2-4x-12=&0&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{0.8cm}}l} x^2-2x+2=&2x+14 \\ x^2-4x-12=&0 \\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ 2. Quadr. Gleichung mit p-q-Formel lösen.
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{.2cm}}ll} x_{1,2} =& - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}\\ x_{1,2} =& - \dfrac{-4}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{-4}{2}} \right)^2 +12}\\ x_{1,2} =& 2 \pm \sqrt {2^2 +12}\\ x_{1} =& 2 +4=6&x_{2} =& 2 -4=-2\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{.2cm}}ll} x_{1} =& 2 +4=6 & …\\ \end{array}$
$x$ einsetzen in $y=2x+14$
$\begin{array}{rl} x_1 \Longrightarrow &y_1=2\cdot6+14=26 \\ \Longrightarrow&\;S_1(6\mid 26)\\ x_2 \Longrightarrow& y_2=2\cdot (-2)+14=10\\ \Longrightarrow&\;S_2(-2\mid 10) \end{array}$
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Aufgaben
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1.
Bestimme rechnerisch die Schnittpunkte der Geraden $y=2x$ mit der Parabel $y=x^2$.
2.
Bestimme rechnerisch die Schnittpunkt der Geraden $y=-3x+10$
mit der Parabel $y=(x-3)^2+1$
3.
Berechne die Schnittpunkt der Parabeln $p_1$: $y=-(x+3)^2+3$ und $p_2$: $y=x^2+6x+10$.
Zeichne $p_1$ und $p_2$ in ein Koordinatensystem ein.
4.
Berechne die Schnittpunkte der beiden Parabeln.
b)
$p_1$: $y=(x-1)(x+1);$
$p_2$: $y=2x^2+2x$
d)
$p_1$: $y=-(x-5)^2+10;$
$p_2$: $y=(x-2)^2+1$
5.
Bestimme die Schnittpunkte bzw. Berührpunkte der beiden Parabeln. Zeichne diese in ein Koordinatensystem ein und überprüfe dein Ergebnis.
b)
$p_1$: $y=(x-1)(x+1)$
$p_2$: $y=2x^2+2x$
6.
Die Geschwindigkeit zweier Fahrzeuge kann näherungsweise innerhalb der ersten 13 Sekunden durch die Funktion $y=5x$ (Fahrzeug 1) und $y=\frac{1}{2}x^2$ (Fahrzeug 2) dargestellt werden. Die Zeit $x$ wird in Sekunden und der zurückgelegte Weg $y$ in Meter angegeben.
a)
Veranschauliche die Situation in einem Koordinatensystem.
b)
Welche Strecke hat Fahrzeug 1 bzw. Fahrzeug 2 nach 5 Sekunden zurückgelegt?
c)
Zu welchem Zeitpunkt wird Fahrzeug 1 überholt? Nach wie vielen Metern ist dies?
d)
Begründe warum die Funktion $y=\frac{1}{2}x^2$ für große $x$ ungeeignet ist den zurückgelegten Weg von Fahrzeug 2 in Abhängigkeit der Zeit zu beschreiben.
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Lösungen
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1.
Bestimmung der Schnittpunkte von $\boldsymbol{y=2x}$ und $\boldsymbol{y=x^2}$
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} 2x=&x^2& \mid -x^2\\ -x^2+2x=&0&\\ -x(x-2)=&0&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} 2x=&x^2 \\ -x^2+2x=&0 \\ -x(x-2)=&0 \\ \end{array}$
Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist. Das heißt, wenn $-x=0$ Oder $(x-2)=0$ ist. Dies ist für $x_1=0$ und $x_2=2$ der Fall. Damit ergeben sich die Schnittpunkte $S_1(0\mid?)$ und $S_2(2\mid?)$. Durch Einsetzen von $x_1=0$ und $x_2=2$ in eine der beiden Funktionsgleichung bekommst du die $y$-Werte der Schnittpunkte.
Einsetzen von $x_1=0$ in $y=2x$ liefert $y=2\cdot0=0$. Daraus folgt: $\;S_1(0\mid0)$
Einsetzen von $x_2=2$ in $y=2x$ liefert $y=2\cdot2=4$. Daraus folgt: $\;S_2(2\mid4)$
2.
Bestimmung der Schnittpunkte von $\boldsymbol{y=-3x+10}$ und $\boldsymbol{y=(x-3)^2+1}$
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} -3x+10=&(x-3)^2+1&\\ -3x+10=&x^2-6x+9+1&\mid-9-1\\ -3x=&x^2-6x&\mid+3x\\ x^2-3x=&0&\\ x(x-3)=&0&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} x(x-3)=&0&\\ \end{array}$
Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist. Das heißt, wenn $x=0$ Oder $(x-3)=0$ ist. Dies ist für $x_1=0$ und $x_2=3$ der Fall. Damit ergeben sich die Schnittpunkte $S_1(0\mid?)$ und $S_2(3\mid?)$. Durch Einsetzen von $x_1=0$ und $x_2=3$ in eine der beiden Funktionsgleichung bekommst du die $y$-Werte der Schnittpunkte.
Einsetzen von $x_1=0$ in $y=-3x+10$ liefert $y=-3\cdot0+10=0$. Daraus folgt: $\;S_1(0\mid10)$
Einsetzen von $x_2=3$ in $y=-3x+10$ liefert $y=-3\cdot3+10=1$. Daraus folgt: $\;S_2(3\mid1)$
3.
Bestimmung der Schnittpunkte von $\boldsymbol{y=-(x+3)^2+3}$ und $\boldsymbol{y=x^2+6x+10}$
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} -(x+3)^2+3=&x^2+6x+10&\\ -(x^2+6x+9)+3=&x^2+6x+10&\\ -x^2-6x-9+3=&x^2+6x+10\\ -x^2-6x-6=&x^2+6x+10&\mid-x^2-6x-10\\ -2x^2-12x-16=&0&\mid:(-2)\\ x^2+6x+8=&0&\\ \end{array}$
$$ x^2+6x+8=0$$ $$…$$
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2 - q}$
$x_{1,2}=-\dfrac{6}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{6}{2}\right)^2-8}$
$x_{1,2}=-3\pm\sqrt{9-8}$
$x_{1,2}=-3\pm\sqrt{1}$
$x_{1}=-3-1=-4$; $x_{2}=-3+1=-2$
Damit ergeben sich die Schnittpunkte $(-4\mid?)$ und $(-2\mid?)$. Durch Einsetzen von $x_1=-4$ und $x_2=-2$ in eine der beiden Funktionsgleichung bekommst du die $y$-Werte der Schnittpunkte.
Einsetzen von $x_1=-4$ in $y=x^2+6x+10$ liefert $y=(-4)^2+6\cdot(-4)+10=2$. Daraus folgt: $ \;S_1(-4\mid2)$
Einsetzen von $x_2=-2$ in $y=x^2+6x+10$ liefert $y=(-2)^2+6\cdot(-2)+10=2$. Daraus folgt: $\;S_2(-2\mid2)$
Einzeichnen der Parabeln in ein Koordinatensystem
Damit du die Parabel $y=x^2+6x+10$ einzeichnen kannst, musst du sie erst in Scheitelpunktform bringen. Achte hierzu auf binomische Formeln.
Aus $y=\underbrace{(x^2+6x+3^2)}_{(x+3)^2}-3^2+10$ folgt: $y=(x+3)^2+1$
Quadratische Funktionen: Schnittpunkt Gerade - Parabel
Quadratische Funktionen: Schnittpunkt Gerade - Parabel
4.
Berechne die Schnittpunkte der beiden Parabeln.
a)
Bestimmung der Schnittpunkte von $y=x^2-4x+2$ und $y=-2(x-2)^2+10$
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} x^2-4x+2=&-2(x-2)^2+10&\\ x^2-4x+2=&-2(x^2-4x+4)+10&\\ x^2-4x+2=&-2x^2+8x+2& \mid+2x^2-8x-2\\ 3x^2-12x=&0&\\ 3x(x-4)=&0&\\ \end{array}$
$$ 3x(x-4) $$ $$…$$
Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist. Das heißt, wenn $3x=0$ Oder $(x-4)=0$ ist. Dies ist für $x_1=0$ und $x_2=4$ der Fall. Damit ergeben sich die Schnittpunkte $S_1(0\mid?)$ und $S_2(4\mid?)$. Durch Einsetzen von $x_1=0$ und $x_2=4$ in eine der beiden Funktionsgleichung bekommst du die $y$-Werte der Schnittpunkte.
Einsetzen von $x_1=0$ in $y=x^2-4x+2$ liefert $y=0^2-4\cdot0+2=2$. Daraus folgt: $\;S_1(0\mid2)$
Einsetzen von $x_2=4$ in $y=x^2-4x+2$ liefert $y=4^2-4\cdot4+2=2$. Daraus folgt: $\;S_2(4\mid2)$
b)
Bestimmung der Schnittpunkte von $y=(x-1)(x+1)$ und $y=2x^2+2x$
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} (x-1)(x+1)=&2x^2+2x&\\ x^2-1=&2x^2+2x&\mid-2x^2-2x\\ -x^2-2x-1=&0& \mid :(-1)\\ x^2+2x+1=&0&\\ \end{array}$
$$ x^2+2x+1=0 $$ $$…$$
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2 - q}$
$x_{1,2}=-\dfrac{2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-1}$
$x_{1,2}=-1\pm\sqrt{0}$
$x=-1+0=-1$
Damit ergibt sich der einzige Schnittpunkt $(-1\mid?)$. Es handelt sich also um einen Berührpunkt.
Durch Einsetzen von $x=-1$ in eine der beiden Funktionsgleichung bekommst du den $y$-Wert des Berührpunkts.
$x=-1$ eingesetzt in $y=2x^2+2x$ liefert $y=2\cdot(-1)^2+2\cdot(-1)=0$. Daraus folgt: $\;S(-1\mid0)$
c)
Bestimmung der Schnittpunkt von $y=(x-2)(x+1)$ und $y=(x-1)^2$
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} (x-2)(x+1)=&(x-1)^2&\\ x^2+x-2x-2=&x^2-2x+1^2& \mid-x^2+2x-1\\ x-3=&0&\mid+3\\ x=&3& \\ \end{array}$
Damit ergibt sich der Schnittpunkt $(3\mid?)$. Durch Einsetzen von $x=3$ in eine der beiden Funktionsgleichungen bekommst du noch den $y$-Wert des Schnittpunktes.
$x=3$ eingesetzt in $y=(x-1)^2$ liefert $y=(3-1)^2=4$. Daraus folgt: $\;S_1(3\mid4)$
d)
Bestimmung der Schnittpunkte von $y=-(x-5)^2+10$ und $y=(x-2)^2+1$
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} -(x-5)^2+10=&(x-2)^2+1&\\ -(x^2-10x+25)+10=&x^2-4x+4+1&\\ -x^2+10x-15=&x^2-4x+5&\mid-x^2+4x-5\\ -2x^2+14x-20=&0& \mid :(-2)\\ x^2-7x+10=&0&\\ \end{array}$
$$ x^2-7x+10=0$$ $$…$$
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2 - q}$
$x_{1,2}=\dfrac{7}{2}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{7}{2}\right)^2-10}$
$x_{1,2}=3,5\pm\sqrt{2,25}$
$x_1=3,5+1,5=5$
$x_2=3,5-1,5=2$
Damit ergeben sich die Schnittpunkte $(5\mid?)$ und $(2\mid?)$. Durch Einsetzen von $x=5$ und $x=2$ in eine der beiden Funktionsgleichung bekommst du noch die $y$-Werte der Punkte.
$x=5$ eingesetzt in $y=(x-2)^2+1$ liefert $y=(5-2)^2+1=10$. Daraus folgt: $\;S_1(5\mid10)$
$x=2$ eingesetzt in $y=(x-2)^2+1$ liefert $y=(2-2)^2+1=0$. Daraus folgt: $\;S_2(2\mid1)$
5.
Um die Schnittpunkte der beiden Parabeln berechnen zu können, müssen diese gleichgesetzt werden.
a)
$y_1=x^2-4x+2;$$;y_2=2x^2+6$
$\begin{array}[t]{rll} x^2-4x+2=&2x^2+6\\ 0=&x^2+4x+4\\ x_{1/2}=&-\dfrac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-4}\\ x_{1/2}=&-2\pm\sqrt{0}\\ x=&-2 \end{array}$
$x$ in $y_2$ eingesetzt ergibt sich
$\begin{array}[t]{rll} y=&2(-2)^2+6\\ y=&14&S(-2\mid14) \end{array}$
b)
$y_1=(x-1)(x+1)$$;y_2=2x^2+2x$
$\begin{array}[t]{rll} (x-1)(x+1)=&2x^2+2x\\ x^2-1=&2x^2+2x&{\mid-x^2+1}\\ 0=&x^2+2x+1\\ x_{1/2}=&-\dfrac{2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-1}\\ x_{1/2}=&-1\pm\sqrt{0}\\ x=&-1 \end{array}$
$x$ in $y_1$ eingesetzt:
$\begin{array}[t]{rll} y=&(-1-1)(-1+1)\\ y=&0&S(-1\mid0) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y=&(-1-1)(-1+1)\\ y=&0 \end{array}$
c)
$y_1=(x-2)(x+1)$$;y_2=(x-1)^2$
$\begin{array}[t]{rll} (x-2)(x+1)=&(x-1)^2\\ x^2+x-2x-2=&x^2-2x+1&{\mid-x^2+2x+2}\\ x=&3 \end{array}$
$x$ in $y_2$ eingesetzt:
$y=(3-1)^2=4$
$S(3\mid4)$
6.
a)
Fahrzeug 1: $y=5x$; Fahrzeug 2: $y=\dfrac{1}{2}x^2$
Quadratische Funktionen: Schnittpunkt Gerade - Parabel
Quadratische Funktionen: Schnittpunkt Gerade - Parabel
b)
Die $y$-Werte geben die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit der Zeit $x$ in Sekunden an. Gefragt ist also nach dem $y$-Wert für $x=5$ (nach 5 Sekunden). Setzt man $x=5$ in die Gleichungen ein ergibt sich
Fahrzeug 1: $y=5\cdot5=25$. Daraus folgt: Zurückgelegter Weg $=25$ m.
Fahrzeug 2: $y=\dfrac{1}{2}\cdot5^2=12,5$. Daraus folgt: Zurückgelegter Weg $=12,5$ m.
c)
Im Schnittpunkt der beiden Funktionen treffen sich die Fahrzeuge. Im Schnittpunkt haben Fahrzeug 1 und Fahrzeug 2 innerhalb der gleichen Zeit, den gleichen Weg zurückgelegt.
Bestimmung des Schnittpunkts
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} 5x=&\dfrac{1}{2}x^2& \mid -5x \\ \dfrac{1}{2}x^2-5x=&0& \\ x\cdot\left(\dfrac{1}{2}x-5\right)=&0& \\ \end{array}$
Die obere Gleichung ist $=0$, wenn entweder $x=0$ wird Oder $\left(\dfrac{1}{2}x-5\right)=0$ ist.
Dies ist für $x=0$ und $x=10$ der Fall.
Die Lösung $x=0$ ist nicht gefragt, da es sich von selbst versteht, dass beim Start der beiden Fahrzeuge sie auf gleicher Höhe sind. Folglich ist $x=10$ die gesuchte Lösung. Sie bedeutet, dass nach $10$ Sekunden Fahrzeug 1 und Fahrzeug 2 auf gleicher Höhe sind und Fahrzeug 2 für $x>10$ das Fahrzeug 1 überholt hat. Um den zurückgelegten Weg der beiden Fahrzeuge zu bestimmen, setzt man $x=10$ in eine der beiden Funktionsgleichungen ein.
Bestimmung des zurückgelegten Weges
$x=10$ eingesetzt in $y=\dfrac{1}{2}x^2$ liefert
$y=\dfrac{1}{2}\cdot10^2=\dfrac{1}{2}\cdot100=50$
Beide Fahrzeuge haben nach $10$ Sekunden $50$ m zurückgelegt. Oder anders formuliert: nach $50$ m überholt Fahrzeug 2 Fahrzeug 1.
d)
Die Funktion $y=\dfrac{1}{2}x^2$ wird für große $x$ sehr sehr groß. Für $x=100$ erhält man z.B. $y=5000$. Für Fahrzeug 2 würde das bedeuten, dass es innerhalb von $100$ Sekunden $5000$ m$=5$ km zurücklegen muss. Das sind $50$ m pro Sekunde, also $180\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
Um in $200$ Sekunden $20$ km zurückzulegen, müsste Fahrzeug 2 im Schnitt $360\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ fahren. Längerfristig ist also zu erwarten, dass die Funktion nicht mehr mit dem möglichen Tempo eines Autos übereinstimmt. Deshalb eignet sich die Funktion nur für eine Darstellung für kleine $x$.
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