Inhalt
Better Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Werkrealschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 7
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Werkrealschulabschluss
Hauptschulabschluss
VERA 8
Werkrealschula...
Prüfung
wechseln
Werkrealschulabschluss
Hauptschulabschluss
VERA 8
Better Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Funktionen und Gleich...
Lineare Gleichungen
Einführung
Einfache lineare Glei...
Gleichungen mit Klamm...
Gleichungen mit Brüch...
Gleichungen mit Brüch...
Gleichungen in Zahlen...
Gleichungen in Sachau...
Quadratische Gleichun...
Einführung
Sonderfälle
Reinquadratische Glei...
x<sup>2</sup>+px=0
Gleichungen lösen
P-q-Formel
Mitternachtsformel
Satz von Vieta
Bruchgleichungen
Vermischte Aufgaben
Lineares Gleichungssy...
Einführung
Graphisches Lösungsve...
Rechnerisches Lösungs...
Gleichsetzungsverfahr...
Einsetzungsverfahren
Additionsverfahren
Determinantenverfahre...
Vermischte Aufgaben
Lineare Funktionen
Einführung
Funktionsgraphen zeic...
Funktionsgleichungen ...
Schnittpunkte
Parallele und orthogo...
Vermischte Aufgaben
Quadratische Funktion...
Einführung
Funktionsterm
Verschiebung in y-Ric...
Verschiebung in x-Ric...
Stauchung und Strecku...
Vermischte Aufgaben
Scheitelform und allg...
Funktionsgleichung au...
Schnittpunkt Gerade -...
Achsenschnittpunkte
Vermischte Aufgaben
Potenzfunktion
Mit positivem Exponen...
Mit negativem Exponen...
Streckung, Stauchung ...
Potenzgesetze
Vermischte Aufgaben
Exponentialfunktionen...
Exponentialgleichunge...
Exponentialfunktionen
Wachstum
Logarithmus
Logarithmusfunktion
Verschiebung und Spie...
Vermischte Aufgaben
Trigonometrische Funk...
Einheitskreis
Gradmaß und Bogenmaß
Eigenschaften der Sin...
Eigenschaften der Kos...
Eigenschaften der Tan...
Streckung und Stauchu...
Streckung und Strauch...
Vermischte Aufgaben
Proportionale Zuordnu...
Rechnen mit proportio...
Schaubilder von propo...
Weg-Zeit-Zuordnungen
Abbildungen Im Koordi...
Orthogonale Affinität
Parallelverschiebung
Achsenspiegelung
Drehung
Vermischte Aufgaben
Geometrie in der Eben...
Dreieck
Einführung
Gleichschenkliges Dre...
Gleichseitiges Dreiec...
Allgemeines Dreieck
Sinussatz
Kosinussatz
Vermischte Aufgaben
Rechtwinkliges Dreiec...
Einführung
Satz des Pythagoras
Kathetensatz
Höhensatz
Satz des Thales
Sinus, Kosinus und Ta...
Flächeninhalt und Umf...
Vermischte Aufgaben
Vierecke und Vielecke
Einführung
Quadrat
Rechteck
Parallelogramm
Rhombus und Raute
Trapez
Drachen
Allgemeines Viereck
Regelmäßiges Vieleck
Vermischte Aufgaben
Kreis
Einführung
Flächeninhalt und Umf...
Kreisring
Kreissektor und Kreis...
Kreissegment
Geraden und Winkel am...
Vermischte Aufgaben
Geometrische Konstruk...
Einführung
Mittelsenkrechte
Lotgerade
Senkrechte
Winkelhalbierende
Dreieckskonstruktione...
Zentrische Streckung
Vermischte Aufgaben
Strahlensätze
Geometrie im Raum
Körper
Einführung
Schrägbild
Körpernetz
Zweitafelbild
Prisma
Einführung
Würfel
Quader
Vermischte Aufgaben
Spitze Körper
Kegel
Pyramide
Stümpfe
Kegelstumpf
Pyramidenstumpf
Sonstige Körper
Zylinder
Kugel
Rotationskörper
Zusammengesetzte Körp...
Trigonometrie in Körp...
Streckenzug
Raumdiagonale
Potenzen und Wurzeln
Potenzen
Einführung
Quadratzahlen und Pot...
Rechnen mit Potenzen
Einfache Potenzen
Potenzen mit negative...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen potenzieren
Wissenschaftliche Sch...
Wurzeln
Einführung
Quadratwurzeln und Ku...
Rechnen mit Wurzeln
Wurzeln multipliziere...
Teilweises Wurzelzieh...
Rechnen mit Wurzeln u...
Daten und Zufall
Statistische Grundbeg...
Absolute und relative...
Listen und Häufigkeit...
Arithmetisches Mittel...
Median und Quartile
Spannweite und mittle...
Diagramme
Vermischte Aufgaben
Diagramme
Säulendiagramm
Balkendiagramm
Liniendiagramm
Kreisdiagramm
Streifendiagramm
Boxplot
Vermischte Aufgaben
Kombinatorik
Wahrscheinlichkeitsre...
Einstufige Zufallsexp...
Ergebnis und Ereignis
Gesetz der großen Zah...
Zufallsvariable und E...
Mehrstufige Zufallsex...
Sachrechnen
Zinseszins
Vermischte Aufgaben

Satz von Vieta

Spickzettel
Download als Dokument:PDF
Wenn $x_1$ und $x_2$ Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform sind, gilt:
$\quad$ $x_1+x_2=-p \qquad x_1\cdot x_2=q$
Somit lässt sich die quadratische Gleichung in Normalform als Produkt darstellen:
$\begin{array}[t]{rlll} x^2+px+q=&0\quad&\scriptsize\text{$p$ und $q$ einsetzen} \\ x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2=&0& \scriptsize\text{ausklammern} \\ (x-x_1)\cdot(x-x_2)=&0& \\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} x^2+px+q=&0 \\ x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2=&0 \\ (x-x_1)\cdot(x-x_2)=&0 \\ \end{array}$
Den Satz von Vieta kannst du zur Überprüfung oder zum Finden von Lösungen einer quadratischen Gleichung benutzen.

Beispiel

Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichung $x^2-7x+10$.
$\begin{array}[t]{rllllllllllllllllllllllllllll} -p&=&7&=&1+6&=&2+5=3+4 \quad& \scriptsize\text{Zahlenpaare, die in der Summe 7 ergeben.}\\ \;q&=&10&=&2\cdot5 &&& \scriptsize\text{Suche das Zahlenpaar aus, dessen Produkt 10 ist.} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rllllllllllllllllllllllllllll} -p&=&3+4 \\ \;q&=&2\cdot5 \end{array}$
$x_1=2$,$\quad$$x_2=5$$\qquad$ $\mathbb{L}=\left\{2;5\right\}$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.
Löse die Gleichung mithilfe des Satzes von Vieta.
b)
$x^2-3x+2=0$
d)
$x^2+6x+5=0$
f)
$x^2+3x-18=0$
2.
Überprüfe die Lösung der Gleichung mithilfe des Satzes von Vieta.
a)
$\mathbb{L}=\left\{2;1\right\} $$\qquad\quad\; x^2-3x+2=0$
b)
$\mathbb{L}=\left\{3;2\right\} $$\qquad\quad\; x^2-5x+6=0$
c)
$\mathbb{L}=\left\{-3;1\right\} $$\qquad\;\; x^2-x-3=0$
d)
$\mathbb{L}=\left\{-4;-2\right\} $$\qquad x^2+6x-8=0$
3.
Ergänze die fehlenden Platzhalter.
a)
$\mathbb{L}=\{2;$☐$\} $$\qquad\quad x^2-4x+ $☐$ =0$
b)
$\mathbb{L}=\{3; $☐$\} $$\qquad\quad x^2-6x+$☐$=0$
c)
$\mathbb{L}=\{-1;$☐$\} $$\qquad\; x^2-$☐$\; x +4=0$
d)
$\mathbb{L}=\{\sqrt{3};$☐$\} $$\qquad x^2-$☐$\; x-3=0$
4.
Bestimme die Lösung durch Linearfaktorzerlegung.
b)
$(x-4)\cdot(x-1)=0$
d)
$x^2+4x+4=0$
f)
$x^2+5x+6=0$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.
Gleichungen lösen
a)
$x^2$ $\color{#87c800}{-2}x+\color{#dc1400}{1}=0$
Wenn $x_1$ und $x_2$ die Lösungen der Gleichung sind, dann gilt nach dem Satz von Vieta:
$-p=2$$=x_1+x_2$
$\color{#dc1400}{q=1} $ $=x_1\cdot x_2$
Mögliche Zerlegungen von $-p$: $2=1+1$$=0+2$
Passendes Produkt $q$ aus den Zerlegungen von $-p$: $=1=1\cdot1$
$x_{1/2}=1$$\qquad$ $\mathbb{L}=\{1\}$
b)
$x^2-3x+2=0$
$p=-3$
$q=2$
Mögliche Zerlegungen von $-p$:
$3=2+1$$=0+3$
Passendes Produkt $q$ aus den Zerlegungen von $-p$: $q=2=2\cdot1$
$x_1=2$ $\qquad$ $x_2=1$ $\qquad$ $\mathbb{L}=\{1;2\}$
c)
$x^2-8x+16=0$
$p=-8$
$q=16$
Zerlegungen von $-p$:
$8=8+0$$=7+1=6+2$$=5+3=4+4$
Passendes Produkt $q$ aus den Zerlegungen von $-p$: $q=16$$=4\cdot4$
$x_{1/2}=4$ $\qquad$ $\mathbb{L}=\{4\}$
d)
$x^2+6x+5=0$
$p=6$
$q=5$
Zerlegungen von $-p$:
$-6=-6+0$$=-5+(-1)=-4+(-2)$$=-3+(-3)$
Passendes Produkt $q$ aus den Zerlegungen von $-p$: $q=5=-5\cdot(-1)$
$x_1=-5$ $\qquad$ $x_2=-1$ $\qquad$ $\mathbb{L}=\{-5;-1\}$
e)
$x^2+2x-24=0$
$p=2$
$q=-24$
Mögliche Zerlegungen von $q=-24$:
$-24=-2\cdot12$$=-3\cdot8=-4\cdot6=$…(jeweils noch das Minuszeichen vertauscht)
Zerlegung von $q$, deren Summe $-p$ ergibt: $-2=4+(-6)$
$x_1=4$ $\qquad$ $x_2=-6$ $\qquad$ $\mathbb{L}=\{-6;4\}$
f)
$x^2+3x-18=0$
$p=3$
$q=-18$
Mögliche Zerlegungen von $q=-18$:
$-18=-2\cdot9$$=-3\cdot6=-9\cdot2$$=-6\cdot3$
Zerlegung von $q$, die in der Summe $-p$ ergibt: $-3=-6+3$
$x_1=-6$ $\qquad$ $x_2=3$ $\qquad$ $\mathbb{L}=\{-6;3\}$
2.
Lösung überprüfen
a)
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A
$\mathbb{L}=\left\{2;1\right\} $$\qquad\; x^2-3x+2=0$
$-p=3=2+1$ $\qquad$ $\checkmark$
$q=2=2\cdot1$ $\qquad$ $\checkmark$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B
Nutze die Linearfaktorzerlegung.
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} (x-2)(x-1)&=&0& \text{ausmultiplizieren}\\ x^2-x-2x+2&=&0& \text{vereinfachen}\\ x^2-3x+2&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2-3x+2&=&0 \end{array}$
Die Lösungen sind korrekt.
b)
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A
$\mathbb{L}=\left\{3;2\right\} $$\qquad\quad\; x^2-5x+6=0$
$-p=5=3+2$ $\qquad$ $\checkmark$
$q=6=3\cdot2$ $\qquad$$\checkmark$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B
Nutze die Linearfaktorzerlegung.
$\begin{array}[t]{llllllllllllll} (x-3)(x-2)&=&0& \text{ausmultiplizieren}\\ x^2-2x-3x+6&=&0& \text{vereinfachen}\\ x^2-5x+6&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{llllllllllllll} x^2-5x+6&=&0 \end{array}$
Die Lösungen sind richtig.
c)
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A
$\mathbb{L}=\left\{-3;1\right\}$$\qquad$$\;\; x^2-x-3=0$
$-p=1\neq-3+1=2$ $\qquad$ falsch
$q=-3=-3\cdot(-1)$ $\qquad$ $\checkmark$
Die Lösungen sind nicht richtig.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B
Nutze die Linearfaktorzerlegung.
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} (x+3)(x-1)&=&0& \text{ausmultiplizieren}\\ x^2-x+3x-3&=&0& \text{vereinfachen}\\ x^2+2x-3&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2+2x-3&=&0 \end{array}$
Die Lösungen sind nicht korrekt. Die angegebene Lösungsmenge $\mathbb{L}=\left\{-3;1\right\}$ gilt für die Gleichung $x^2+2x-3=0$.
d)
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A
$\mathbb{L}=\left\{-4;-2\right\}$ $\qquad$ $x^2+6x-8=0$
$-p=-6=-4+(-2)$$\qquad$$\checkmark$
$q=-8\neq-4\cdot(-2)=8$ $\qquad$ falsch
Die Lösungen sind nicht korrekt.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B
Nutze die Linearfaktorzerlegung.
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} (x+4)(x+2)&=&0& \text{ausmultiplizieren}\\ x^2+2x+4x+8&=&0& \text{vereinfachen}\\ x^2+6x+8&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2+6x+8&=&0 \end{array}$
Die Lösung ist nicht korrekt. Die angegebene Lösungsmenge $\mathbb{L}=\left\{-4;-2\right\}$ gilt für die Gleichung $x^2+6x+8=0$.
3.
Platzhalter ergänzen
Um mit den Platzhaltern rechnen zu können, ersetzt du sie durch Variablen (z.B. a und b).
a)
$\mathbb{L}=\left\{2;a\right\}$$\qquad\quad$ $x^2-4x+b=0$
Mithilfe des Satzes von Vieta kannst du diese Aufgabe einfach lösen.
$-p=4=2+a$$\qquad$$\Rightarrow$ $a=2$
$b=q=x_1\cdot x_2$$=2\cdot2=4$
$\mathbb{L}=\left\{2;\textbf{2}\right\}$$\qquad\quad$$ x^2-4x+\textbf{4}=0$
b)
$\mathbb{L}=\left\{3;a\right\}$$\qquad\quad $$x^2-6x+b=0$
$-p=6=3+a$ $\qquad$ $\Rightarrow$ $a=3$
$b=q=x_1\cdot x_2$$= 3\cdot3=9$
$\mathbb{L}=\left\{3;\textbf{3}\right\}$$\qquad\quad$$ x^2-6x+\textbf{9}=0$
c)
$\mathbb{L}=\left\{-1;a\right\}$$\qquad$$\; x^2-bx+4=0$
Nutze die Linearfaktorzerlegung.
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} (x-(-1))(x-a)&=&0& \text{ausmultiplizieren}\\ x^2-ax+x-a&=&0& \text{zusammenfassen}\\ x^2-(a-1)x-a&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} (x-(-1))(x-a)&=&0& \\ x^2-ax+x-a&=&0& \\ x^2-(a-1)x-a&=&0 \end{array}$
Nun kannst du den Wert für $a$ in der Gleichung oben ablesen und mithilfe von a dann auch b bestimmen.
$\Rightarrow\; a=-4$
$\Rightarrow\; b= (a-1) = -5$
$\mathbb{L}=\left\{-1;\textbf{-4}\right\}$$\qquad$$\; x^2\textbf{+5}x+4=0$
d)
$\mathbb{L}=\left\{\sqrt{3};a\right\}$$\qquad$$ x^2-bx-3=0$
Nutze die Linearfaktorzerlegung.
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} (x-\sqrt{3})(x-a)&=&0& \text{ausmultiplizieren}\\ x^2-ax-\sqrt{3}x+\sqrt{3}a&=&0& \text{zusammenfassen}\\ x^2-(a+\sqrt{3})x+\sqrt{3}a&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} (x-\sqrt{3})(x-a)&=&0& \\ \end{array}$
Nun kannst du den Wert für $a$ mithilfe der Gleichung oben bestimmen.
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} -3&=&\sqrt{3}a& \mid :\sqrt{3}\\ a&=&-\sqrt{3} \end{array}$
Jetzt kannst du auch $b$ bestimmen.
$b=(a+\sqrt{3})$$=(-\sqrt{3}+\sqrt{3})=0$
$\mathbb{L}=\left\{\sqrt{3};\boldsymbol{-\sqrt{3}}\right\}$$\qquad$$ x^2-\textbf{0}x-3=0$
4.
Linearfaktorzerlegung und Lösungen bestimmen
a)
$(x-2)\cdot(x+1)=0$
Da nach dem Satz von Vieta $(x-x_1)(x-x_2)=0$ gilt und $x_1$ und $x_2$ die Lösungen der Gleichung sind, kannst du die beiden Lösungen hier direkt aus der Linearfaktorzerlegung ablesen. Beachte dabei die Vorzeichen!
$x_1=2$ $\qquad$ $x_2=-1$ $\qquad$ $\mathbb{L}=\{-1;2\}$
b)
$(x-4)\cdot(x-1)=0$
Auch hier kannst du die Lösungen direkt ablesen.
$x_1=4$ $\qquad$ $x_2=1$ $\qquad$ $\mathbb{L}=\{1;4\}$
c)
$(x+1)\cdot(x-2)=0$
Hier kannst du die Lösung ebenfalls direkt ablesen.
$x_1=-1$ $\qquad$ $x_2=2$ $\qquad$ $\mathbb{L}=\{-1;2\}$
d)
$x^2+4x+4=0$
Bei dieser Gleichung musst du die Linearfaktorzerlegung erst finden. Die Gleichung sollte dich an die 1. Binomische Formel erinnern. Dann hast du auch die Linearfaktorzerlegung.
$(x+2)(x+2)=0$
Nun kannst du die Lösung wieder direkt ablesen.
$x_1=-2$ $\qquad$ $x_2=-2$ $\qquad$ $\mathbb{L}=\{-2\}$
e)
$x^2-3x+2=0$
Durch gezieltes Probieren erhältst du die Linearfaktorzerlegung (Überlege dir, wie du durch eine Multiplikation zweier Zahlen auf das Ergebnis $2$ kommst).
$(x-2)(x-1)=0$
Lese die Lösung ab.
$x_1=2$ $\qquad$ $x_2=1$ $\qquad$ $\mathbb{L}=\{2;1\}$
f)
$x^2+5x+6=0$
Durch gezieltes Probieren erhältst du folgende Linearfaktorzerlegung:
$(x+2)(x+3)=0$
Lese die Lösungen daraus ab.
$x_1=-2$ $\qquad$ $x_2=-3$ $\qquad$ $\mathbb{L}=\{-3;-2\}$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App