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Reinquadratische Gleichungen

Spickzettel
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Erklärung

Eine reinquadratische Gleichung hat die Form $ax^2+c=0$.
Löse die reinquadratische Gleichung durch Umformen und Wurzelziehen.
Allgemein Beispiel 1 Beispiel 2
$\begin{array}{rl@l} ax^2+c&=&0&\scriptsize{\mid -c }\\[5pt] ax^2&=&-c&\scriptsize{\mid :a}\\[5pt] x^2&=&-\dfrac{c}{a}&\scriptsize{\mid \sqrt{\;}}\\[5pt] x&=&\sqrt{-\dfrac{c}{a}}\\[5pt] \end{array}$
$\dfrac{c}{a}< 0$: zwei Lösungen
$\dfrac{c}{a}=0: x=0$
$\dfrac{c}{a}>0:$ keine reelle Lösung
$\begin{array}{rl@l} 4x^2-16&=&0&\scriptsize{\mid +16 }\\[5pt] 4x^2&=&16&\scriptsize{\mid :4}\\[5pt] x^2&=&4&\scriptsize{\mid \sqrt{\;}}\\[5pt] x_1&=&2\\[5pt] x_2&=&-2\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{2;-2\right\}$
$\begin{array}{rl@l} 3x^2+12&=&0&\scriptsize{\mid -12 }\\[5pt] 3x^2&=&-12&\scriptsize{\mid :3}\\[5pt] x^2&=&-4&\scriptsize{\mid \sqrt{\;}}\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\right\}$
keine reelle Lösung
Allgemein
$\begin{array}{rl@l} ax^2+c&=&0&\scriptsize{\mid -c }\\[5pt] ax^2&=&-c&\scriptsize{\mid :a}\\[5pt] x^2&=&-\dfrac{c}{a}&\scriptsize{\mid \sqrt{\;}}\\[5pt] x&=&\sqrt{-\dfrac{c}{a}}\\[5pt] \end{array}$
$\dfrac{c}{a}< 0$: zwei Lösungen
$\dfrac{c}{a}=0: x=0$
$\dfrac{c}{a}>0:$ keine reelle Lösung
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1. Löse diese reinquadratischen Gleichungen.
a)   $x^2=9$
b)   $2x^2=72$
c)   $\dfrac{1}{2}x^2=2$
d)   $3x^2=15$
e)   $x^2-25=0$
f)   $3x^2-192=0$
g)   $-x^2+1=1$
h)   $\dfrac{1}{4}x^2+1=0$
i)   $\dfrac{1}{3}x^2-5=3$
j)   $-\dfrac{1}{4}x^2+16=-9$
2. Gib zu der angegebenen Lösung eine zugehörige reinquadratische Gleichung an.
a)   $\mathbb{L}=\left\{1;-1\right\}$
b)   $\mathbb{L}=\left\{2;-2\right\}$
c)   $\mathbb{L}=\left\{4;-4\right\}$
d)   $\mathbb{L}=\left\{6;-6\right\}$
e)   $\mathbb{L}=\left\{\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right\}$
f)   $\mathbb{L}=\left\{\sqrt{10};-\sqrt{10}\right\}$
3. Ein Schachbrett ist quadratisch und hat 64 gleichgroße quadratische Felder.
Wie lang ist die Seite eines Feldes, wenn das Schachbrett einen Flächeninhalt von $1.600\,\text{cm}^2$ hat?
4. Ein Stein wird aus einem Flugzeug in $s=500\,$m Höhe fallen gelassen.
Berechne mit der Formel $s=5\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\cdot t^2$ die Fallzeit $t$ bis er am Boden aufschlägt.
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Lösungen
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1.
a)   $\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2&=&9&\scriptsize{ \mid \sqrt{\;\;\;}}\\[5pt] x&=&\sqrt{9}\\[5pt] x_1&=&3\\[5pt] x_2&=&-3\\[5pt] \mathbb{L}&=&\{-3;3\} \end{array}$
b)   $\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} 2x^2&=&72&\scriptsize{ \mid :2}\\[5pt] x^2&=&36&\scriptsize{ \mid \sqrt{\;\;\;}}\\[5pt] x&=&\sqrt{36}\\[5pt] x_1&=&6\\[5pt] x_2&=&-6\\[5pt] \mathbb{L}&=&\{-6;6\} \end{array}$
c)   $\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} \dfrac{1}{2}x^2&=&2&\scriptsize{ \mid \cdot 2}\\[5pt] x^2&=&4&\scriptsize{ \mid \sqrt{\;\;\;}}\\[5pt] x&=&\sqrt{4}\\[5pt] x_1&=&2\\[5pt] x_2&=&-2\\[5pt] \mathbb{L}&=&\{-2;2\} \end{array}$
d)   $\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} 3x^2&=&15&\scriptsize{ \mid :3}\\[5pt] x^2&=&5&\scriptsize{ \mid \sqrt{\;\;\;}}\\[5pt] x&=&\sqrt{5}\\[5pt] x_1&=&\sqrt{5}\\[5pt] x_2&=&-\sqrt{5}\\[5pt] \mathbb{L}&=&\{-\sqrt{5};\sqrt{5}\} \end{array}$
e)   $\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2-25&=&0&\scriptsize{ \mid +25}\\[5pt] x^2&=&25&\scriptsize{ \mid \sqrt{\;\;\;}}\\[5pt] x&=&\sqrt{25}\\[5pt] x_1&=&5\\[5pt] x_2&=&-5\\[5pt] \mathbb{L}&=&\{-5;5\} \end{array}$
f)   $\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} 3x^2-192&=&0&\scriptsize{ \mid +192}\\[5pt] 3x^2&=&192&\scriptsize{ \mid :3}\\[5pt] x^2&=&64&\scriptsize{ \mid \sqrt{\;\;\;}}\\[5pt] x&=&\sqrt{64}\\[5pt] x_1&=&8\\[5pt] x_2&=&-8\\[5pt] \mathbb{L}&=&\{-8;8\} \end{array}$
g)   $\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} -x^2+1&=&1&\scriptsize{ \mid -1}\\[5pt] -x^2&=&0&\scriptsize{ \mid \cdot(-1)}\\[5pt] x^2&=&0&\scriptsize{ \mid \sqrt{\;\;\;}}\\[5pt] x&=&\sqrt{0}\\[5pt] x&=&0\\[5pt] \mathbb{L}&=&\{0\} \end{array}$
h)   $\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} \dfrac{1}{4}x^2+1&=&0&\scriptsize{ \mid -1}\\[5pt] \dfrac{1}{4}x^2&=&-1&\scriptsize{ \mid \cdot4}\\[5pt] x^2&=&-4 \end{array}$
Diese Gleichung hat keine Lösung. $\mathbb{L}=\{\}$
i)   $\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} \dfrac{1}{3}x^2-5&=&3&\scriptsize{ \mid +5}\\[5pt] \dfrac{1}{3}x^2&=&8&\scriptsize{ \mid \cdot3}\\[5pt] x^2&=&24&\scriptsize{ \mid \sqrt{\;\;\;}}\\[5pt] x&=&\sqrt{24}\\[5pt] x_1&=&\sqrt{24}\\[5pt] x_2&=&-\sqrt{24}\\[5pt] \mathbb{L}&=&\{-\sqrt{24};\sqrt{24}\} \end{array}$
j)   $\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} -\dfrac{1}{4}x^2+16&=&-9&\scriptsize{ \mid -16}\\[5pt] -\dfrac{1}{4}x^2&=&-25&\scriptsize{ \mid \cdot(-4)}\\[5pt] x^2&=&100&\scriptsize{ \mid \sqrt{\;\;\;}}\\[5pt] x&=&\sqrt{100}\\[5pt] x_1&=&10\\[5pt] x_2&=&-10\\[5pt] \mathbb{L}&=&\{-10;10\} \end{array}$
2. Um mögliche quadratische Gleichungen finden zu können, musst du die Gleichung schrittweise aufbauen. Das machst du, indem du die Lösungsschritte zum Lösen einer quadratischen Gleichung rückwärts durchgehst.
a)   $\mathbb{L}=\left\{1;-1\right\}$
Das bedeutet:
$x_1=1$ und $x_2=-1$ (oder $x_1=-1$ und $x_2=1$)
Die Umkehroperation vom Wurzelziehen ist das Quadrieren:
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x_1&=&1&\scriptsize{ \mid ^2}\\[5pt] x_1^2&=&1\\[5pt] \end{array}$
Genauso kannst du für $x_2$ vorgehen:
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x_2&=&-1&\scriptsize{ \mid ^2}\\[5pt] x_2^2&=&1\\[5pt] \end{array}$
Du erhältst also:
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2&=&1&\scriptsize{ \mid -1}\\[5pt] x^2-1&=&0\\[5pt] \end{array}$
Das ist die einfachste reinquadratische Gleichung zu der angegebenen Lösung. Diese Gleichung kannst du noch z.B. durch Multiplikation verändern.
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2-1&=&0&\scriptsize{ \mid \cdot4}\\[5pt] 4x^2-4&=&0\\[5pt] \end{array}$
Eine mögliche reinquadratische Gleichung ist: $4x^2-4=0$.
b)   $\mathbb{L}=\left\{2;-2\right\}$
$x_1=2$ und $x_2=-2$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x_{1,2}^2&=&4&\scriptsize{ \mid -4}\\[5pt] x_{1,2}^2-4&=&0&\scriptsize{ \mid +7}\\[5pt] x_{1,2}^2+3&=&7 \end{array}$
Die einfachste reinquadratische Gleichung ist $x^2-4=0$. Eine weitere mögliche reinquadratische Gleichung ist $x^2+3=7$.
c)   $\mathbb{L}=\left\{4;-4\right\}$
$x_1=4$ und $x_2=-4$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x_{1,2}^2&=&16&\scriptsize{ \mid -16}\\[5pt] x_{1,2}^2-16&=&0&\scriptsize{ \mid :3}\\[5pt] \dfrac{1}{3}x_{1,2}^2-\dfrac{16}{3}&=&0 \end{array}$
Die einfachste reinquadratische Gleichung ist $x^2-16=0$. Eine weitere mögliche reinquadratische Gleichung ist $\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{16}{3}=0$.
d)   $\mathbb{L}=\left\{6;-6\right\}$
$x_1=6$ und $x_2=-6$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x_{1,2}^2&=&36&\scriptsize{ \mid -36}\\[5pt] x_{1,2}^2-36&=&0&\scriptsize{ \mid \cdot(-5)}\\[5pt] -5x_{1,2}^2+180&=&0 \end{array}$
Die einfachste reinquadratische Gleichung ist $x^2-36=0$. Eine weitere mögliche reinquadratische Gleichung ist $-5x^2+180=0$.
e)   $\mathbb{L}=\left\{\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right\}$
$x_1=\frac{1}{2}$ und $x_2=-\frac{1}{2}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x_{1,2}^2&=&\dfrac{1}{4}&\scriptsize{ \mid -\frac{1}{4}}\\[5pt] x_{1,2}^2-\dfrac{1}{4}&=&0&\scriptsize{ \mid \cdot4}\\[5pt] 4x_{1,2}^2-1&=&0 \end{array}$
Die einfachste reinquadratische Gleichung ist $x^2-\dfrac{1}{4}=0$. Eine weitere mögliche reinquadratische Gleichung ist $4x^2-1=0$.
f)   $\mathbb{L}=\left\{\sqrt{10};-\sqrt{10}\right\}$
$x_1=\sqrt{10}$ und $x_2=-\sqrt{10}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x_{1,2}^2&=&10&\scriptsize{ \mid -10}\\[5pt] x_{1,2}^2-10&=&0&\scriptsize{ \mid -5}\\[5pt] x_{1,2}^2-15&=&-5 \end{array}$
Die einfachste reinquadratische Gleichung ist $x^2-10=0$. Eine weitere mögliche reinquadratische Gleichung ist $x^2-15=-5$.
3. Sei $x$ die Seitenlänge eines kleinen Quadrats. Dann ist:
  • $x^2$: Flächeninhalt eines kleinen Quadrats
  • $64x^2$: Flächeninhalt des gesamten Schachbretts
Folgende reinquadratische Gleichung beschreibt also den Flächeninhalt des Schachbretts:
$64x^2=1600$
Diese musst du nun nach $x$ auflösen.
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} 64x^2&=&1600&\scriptsize{ \mid :64}\\[5pt] x^2&=&25&\scriptsize{ \mid \sqrt{\;\;\;}}\\[5pt] x&=&\sqrt{25}\\[5pt] x_1&=&5\\[5pt] x_2&=&-5 \end{array}$
Das Ergebnis $x_2=-5$ macht in diesem Kontext keinen Sinn, da es keine negativen Seitenlängen gibt.
Die Seitenlänge eines Schachbrettfelds beträgt 5 cm.
4. Die Strecke (Fallhöhe) ist gegeben. Diese setzt du in die Formel ein und löst sie nach t auf.
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} 500\;\text{m}&=&5\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\cdot t^2&\scriptsize{ \mid :5\dfrac{\text{m}}{\text{sec}^2}}\\[5pt] 100\;\text{sec}^2&=&t^2&\scriptsize{ \mid \sqrt{\;\;\;}}\\[5pt] t&=&\sqrt{100\;\text{sec}^2}\\[5pt] t_1&=&10\;\text{sec}\\[5pt] t_2&=&-10\;\text{sec}\\[5pt] \end{array}$
Da die gesuchte Größe eine Zeitspanne ist, macht die Lösung $t_2=-10\;\text{sec}$ keinen Sinn.
Der Stein schlägt nach 10 Sekunden auf dem Boden auf.
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