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Eigenschaften der Kosinusfunktion

Spickzettel
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  • Wir betrachten die Funktion $f(x)=\cos(x)$
  • Wertebereich: $\mathbb{W}=\left[-1;1\right]$;   Definitionsbereich: $\mathbb{D}=\mathbb{R}$
  • $\cos(x+2m\pi)=\cos(x)$, wobei $m\in\mathbb{Z}$, das heißt hier fängt der Durchlauf von vorne an.
  • $\cos(-x)=-\cos(x)$
  • $\cos(x)=0$ für $\dfrac{m\pi}{2}$, wobei $m$ ungerade ist.
Trigonometrische Funktionen: Eigenschaften der Kosinusfunktion
Trigonometrische Funktionen: Eigenschaften der Kosinusfunktion

Beispiel

a)   $\cos(x)=0$ gilt für $x=-\frac{3\pi}{2}$, $x=-\frac{\pi}{2}$, $x=\frac{\pi}{2}$, $x=\frac{3\pi}{2}$, $x=\frac{5\pi}{2}$, usw.
b)   Es gilt: $\cos(\frac{\pi}{2})=\cos(\frac{\pi}{2}+2m\pi)$ $ =\cos(\frac{5\pi}{2})=\cos(\frac{9\pi}{2})$ $=\cos(\frac{13\pi}{2})$ usw.
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1.  Berechne die folgenden Terme und zeige, dass $\cos(x)=\cos(x+2m\pi)$.
a)  $\cos(\frac{3\pi}{2})$
b)  $\cos(\frac{7\pi}{2})$
c)  $\cos(\frac{11\pi}{2})$
d)  $\cos(0)$
e)  $\cos(4\pi)$
f)  $\cos(12\pi)$
g)  $\cos(\pi)$
h)  $\cos(5\pi)$
i)  $\cos(33\pi)$
2.  Finde jeweils mindestens 3 weitere Terme, die den gleichen Wert haben.
a)  $\cos(\frac{\pi}{2})$
b)  $\cos(\frac{4\pi}{3})$
c)  $\cos(3\pi)$
3.  Stelle den Cosinusterm durch einen gleichwertigen Sinusterm dar.
a)  $\cos(x)$
b)  $\cos(3+x)$
c)  $\cos(4x)$
d)  $\cos(4x)+2$
e)  $5\cdot\cos(x)$
f)  $2\cdot\cos(x+\pi)$
4.  Löse folgende Gleichungen im angegebenen Intervall
a)  $\cos(x)=1$;  $\left[0;\pi\right]$
b)  $2\cos(x)=-2$;  $\left[-2\pi;2\pi\right]$
c)  $\frac{1}{2}+\cos(x)=\frac{1}{2}$;  $\left[-2\pi;\pi\right]$
5.  Gegeben ist die Funktion $f_a(x)=2\cdot\cos(ax+\pi)-3$ auf dem Intervall $\left[0;2\pi\right]$.
a)   Für welchen Wert von $a$ liegt der Punkt $P(\pi;-1)$ auf der Funktion?
b)   Die Funktion $f_a$ hat an der Stelle $x=0$ den Wert $-3$. Welchen Wert hat die Funktion an der Stelle $x=4\pi$?
6.  Gegeben ist die Funktion $f_a(x)=\cos(x)+a$ auf dem Intervall $\left[\pi;2\pi\right]$. Für welche Werte von $a$ treffen folgende Aussagen zu?
a)   Die Funktion hat keine Nullstellen.
b)   Die Funktionswerte von $f_a$ liegen im Intervall $\left[-4;-2\right]$.
c)   Die Funktion berührt die Gerade $g(x)=4$.
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1.  $\blacktriangleright$ Berechnen der Werte
a)  $\cos(\frac{3\pi}{2})=0$
b)  $\cos(\frac{7\pi}{2})=\cos(\frac{\pi}{2}+2\pi)=0$
c)  $\cos(\frac{11\pi}{2})=\cos(\frac{\pi}{2}+2\cdot2\pi)=0$
d)  $\cos(0)=1$
e)  $\cos(4\pi)=\cos(0+2\cdot2\pi)=1$
f)  $\cos(12\pi)=\cos(0+2\cdot6\pi)=1$
g)  $\cos(\pi)=-1$
h)  $\cos(5\pi)=\cos(\pi+2\cdot2\pi)=-1$
i)  $\cos(33\pi)=\cos(\pi+2\cdot16\pi)=-1$
Man kann feststellen, dass die Cosinusfunktion periodisch ist, das heißt, dass $\cos(x+2m\pi)=\cos(x)$ ist.
2.  $\blacktriangleright$ Berechnen der Werte
a)  $\cos(\frac{\pi}{2})=\cos(\frac{\pi}{2}+2m\pi)$
Wähle $m=1,2,3$ und berechne die Terme, die gleichwertig sind durch Einsetzen von $m$.
$\Rightarrow$ Terme mit gleichem Wert sind:
$\cos(\frac{5\pi}{2})=\cos(\frac{9\pi}{2})=\cos(\frac{13\pi}{2})$
b)  $\cos(\frac{4\pi}{3})=\cos(\frac{4\pi}{3}+2m\pi)$
Wähle $m=1,2,3$ und berechne die Terme, die gleichwertig sind durch Einsetzen von $m$.
$\Rightarrow$ Terme mit gleichem Wert sind:
$\cos(\frac{10\pi}{3})=\cos(\frac{16\pi}{3})=\cos(\frac{22\pi}{3})$
c)  $\cos(3\pi)=\cos(3\pi+2m\pi)$
Wähle $m=1,2,3$ und berechne die Terme, die gleichwertig sind durch Einsetzen von $m$.
$\Rightarrow$ Terme mit gleichem Wert sind:
$\cos(5\pi)=\cos(7\pi)=\cos(9\pi)$
3.  $\blacktriangleright$ Berechnen der gleichwertigen Sinusterme
a)  $\cos(x)=\sin(x+\frac{\pi}{2})$
b)  $\cos(3+x)=\sin(3+x+\frac{\pi}{2})$
c)  $\cos(4x)=\sin(4x+\frac{\pi}{2})$
d)  $\cos(4x)+2=\sin(4x+\frac{\pi}{2})+2$
e)  $5\cdot\cos(x)=5\cdot\sin(x+\frac{\pi}{2})$
f)  $2\cdot\cos(x+\pi)=2\cdot\sin(x+\pi+\frac{\pi}{2})+2=2\cdot\cos(x+\frac{3\pi}{2})$
4.  $\blacktriangleright$ Lösen der Gleichungen
a)  $\cos(x)=1$ $\cos(x)$ schneidet die Funktion $x=1$ im Intervall $\left[0;\pi\right]$ bei $x=0$
b) 
$\begin{array}{rll} 2\cdot\cos(x)=&-2&\scriptsize{\mid:2}\\[5pt] \cos(x)=&-1& \end{array}$
$\begin{array}{rll} 2\cdot\cos(x)=&-2&\\[5px] \cos(x)=&-1& \end{array}$
$\cos(x)$ schneidet die Funktion $x=-1$ im Intervall $\left[-2\pi;2\pi\right]$ für $x\in\{-\pi; \pi\}$
c) 
$\begin{array}{rll} \frac{1}{2}+\cos(x)=&\frac{1}{2}&\scriptsize{\mid-\frac{1}{2}}\\[5pt] \cos(x)=&0\\ \end{array}$
$\cos(x)$ schneidet die Funktion $x=0$ im Intervall $\left[-2\pi;-\pi\right]$ für $x=-\dfrac{3\pi}{2}$
Trigonometrische Funktionen: Eigenschaften der Kosinusfunktion
Trigonometrische Funktionen: Eigenschaften der Kosinusfunktion
5. 
a)   $\blacktriangleright$ Berechnen des Wertes von \boldsymbol{a}
Um den Wert von $a$ zu berechnen, setzen wir den Punkt $P(\pi;-1)$ in die Funktion
$f_a(x)=2\cdot\cos(ax+\pi)-3$ ein und formen die Gleichung um.
$\begin{array}{rll} f_a(\pi)=&2\cdot\cos(a\cdot\pi+\pi)-3\\[5pt] 2\cdot\cos(a\cdot\pi+\pi)-3=&-1&\scriptsize{\mid+3}\\[5pt] 2\cdot\cos(a\cdot\pi+\pi)=&2&\scriptsize{\mid:2}\\[5pt] \cos(a\cdot\pi+\pi)=&1 \end{array}$
$\begin{array}{rll} f_a(\pi)=&2\cdot\cos(a\cdot\pi+\pi)-3\\[5pt] 2\cdot\cos(a\cdot\pi+\pi)-3=&-1&\\[5pt] 2\cdot\cos(a\cdot\pi+\pi)=&2&\\[5pt] \cos(a\cdot\pi+\pi)=&1 \end{array}$
Durch das geschickte Umformen wird der Term einfacher. Bestimme nun nur noch den Schnittpunkt dieser Funktion mit $y=1$ in unserem gegebenen Intervall.
Die Funktion $\cos(x)$ schneidet im Intervall $\left[0;2\pi\right]$ die Funktion $y=1$ für $x\in\left\{0;2\pi\right\}$.
$a\pi+\pi$ kann allerdings nicht 0 werden, egal was man für $a$ einsetzen würde. Daher betrachte nur noch den Schnittpunkt bei $2\pi$.
$a\pi+\pi=2\pi$ gilt für $a=1$.
Das bedeutet, wenn man $a=1$ setzt, liegt der Punkt $P(\pi;-1)$ auf der Funktion $f_a$.
b)   $\blacktriangleright$ Berechnen des Wertes bei $\boldsymbol{x=4\pi}$
Die Cosinusfunktion ist periodisch und es gilt $\cos(x)=\cos(x+2m\pi)$.
Es gilt $4\pi=0+2\cdot2\pi$, daher sind die Werte an den Stellen $x=0$ und $x=4\pi$ gleich. Somit hat die Funktion an der Stelle $x=4\pi$ auch den Wert $-3$.
6. 
a)   $\blacktriangleright$ Berechnen von $\boldsymbol{a}$ (Nullstellen)
Die Cosinusfunktion hat den Wertebereich $\left[-1;1\right]$, das heißt, damit die Funktion $f_a(x)=\cos(x)+a$ keine Nullstellen hat, muss sie in $y$–Richtung nach oben, bzw. unten verschoben sein. Das bedeutet falls $a>1$ bzw. $a<-1$ ist, hat die Funktion keine Nullstellen mehr. Beispielsweise schneidet die Funktion $\cos(x)+1,5$ die $x$–Achse nicht mehr.
b)   $\blacktriangleright$ Berechnen von $\boldsymbol{a}$ (Intervall)
Damit die Funktion $f_a(x)=\cos(x)+a$ den Wertebereich $\left[-4;-2\right]$ hat, muss sie um 3 Einheiten nach unten verschoben werden. Daraus ergibt sich der Wert $a=-3$.
c)   $\blacktriangleright$ Berechnen von $\boldsymbol{a}$ (Berühren der Gerade)
Damit die Funktion $f_a(x)=\cos(x)+a$ die Gerade $g(x)=4$ berührt, muss diese genau der untere, oder der obere Rand des Wertebereichs sein. Es ergeben sich also entweder der Wertebereich $\left[4;6\right]$ oder der Wertebereich $\left[2;4\right]$. Das bedeutet, die Cosinusfunktion wurde entweder um 5 Einheiten, oder um 3 Einheiten in $y$–Richtung nach oben verschoben. Daraus ergeben sich die Werte $a=3$ bzw. $a=5$.
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