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1.  Gegeben sind die Funktionen $f$ durch $y=f(x)=\sin x$ , $g$ durch $y=g(x)=-3\cdot\sin x$ und $h$ durch $y= 3\cdot\cos x$.
Gegeben ist folgende Wertetabelle:
x0$\frac{\pi}{2}$$\pi$$\frac{3\cdot\pi}{2}$$2\cdot\pi$$\frac{5\cdot\pi}{2}$$3\cdot\pi$$\frac{7\cdot\pi}{2}$$4\cdot\pi$
$f(x)$
$g(x)$
$h(x)$
a)  Übernimm folgende Wertetabelle und ergänze die fehlenden Funktionswerte.
b)  Zeichne die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ in dasselbe Koordinatensystem ein.
c)  Beschreibe, wie die Funktion $g$ aus der Funktion $f$ hervorgeht.
2. Gegeben sind die Funktionen $m$ durch $y=m(x)=-4\cdot\cos x$ und $n$ durch $y=n(x)=2,4\cdot\sin x$.
a)  Zeichne die Funktionen $m$ und $n$ im Intervall $-\pi\leq x<2\cdot\pi$ in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.
b)  Vergleiche die beiden Funktionen $m$ und $n$ im angegebenen Intervall (siehe Teilaufgabe a)) hinsichtlich Wertebereich, kleinste Periode und Nullstellen.
3.  Gegeben ist die Funktion $h$ durch $y=i(x)=5\cdot\sin x$.
a)  Berechne alle Nullstellen der Funktion $i$ im Intervall [0;3$\cdot\pi$].
b)  Prüfe ob die Punkte $P\left(\frac{\pi}{2}\mid 5\right)$, $Q(\pi\mid 0)$ und $R\left(\frac{3\cdot\pi}{2}\mid -5\right)$ auf dem Graph der Funktion $i$ liegen.
c)  Für welchen Wert von t liegen die Punkte $S\left(\frac{5\cdot\pi}{2}\mid t_1\cdot\frac{7}{\pi}\right)$ und $T\left(\frac{7\cdot\pi}{3}\mid 2\cdot t_2\right)$ auf dem Graph der Funktion $i$?
d)  Zeichne die Funktion $i$ im Intervall [0;3$\pi$] in ein geeignetes Koordinatensystem ein.
4.  Gegeben ist die Funktion $j_a$ durch $y=j_a(x)=-a\cdot \sin x$
a)  Für welchen Wert von $a$ läuft der Graph der Funktion $j_a$ durch den Punkt $P\left(\frac{\pi}{-2}\mid2,5\right)$?
b)  Für $a=3$ hat die Tangente im Punkt $R\left(\frac{2\cdot\pi}{5}\mid j\left(\frac{2\cdot\pi}{5}\right)\right)$ die Steigung $m\approx-0,93$. (siehe Skizze)
Trigonometrische Funktionen: Vermischte Aufgaben
Trigonometrische Funktionen: Vermischte Aufgaben
Wie groß ist demnach die Steigung der Tangente im Punkt $T\left(\frac{12\cdot\pi}{5}\mid j\left(\frac{12\cdot\pi}{5}\right)\right)$?
c)  Es gilt: $j_a(1)=s\cdot\sin(1)=2$.
Welchen Wert hat demnach $j_a(1+2\cdot\pi)$?
5.  Löse folgende Gleichungen im angegebenen Intervall.
a)   $6\cdot\sin x=3$,     $0\leq x\leq 2\cdot\pi$
b)   $6\cdot\sin x=-3$,     $0\leq x\leq2\cdot\pi$
6.   Für welche Werte von $a$ treffen folgende Aussagen für die Gleichung $a\cdot\sin x=2$ im Intervall $-\pi\leq x\leq 2\cdot\pi$ zu?
  1. Die Gleichung besitzt genau eine Lösung.
  2. Die Gleichung besitzt genau 2 Lösungen.
  3. Die Gleichung besitzt keine Lösung.
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1. 
a)  $\blacktriangleright$ Wertetabelle vervollständigen
x0$\frac{\pi}{2}$$\pi$$\frac{3\cdot\pi}{2}$$2\cdot\pi$$\frac{5\cdot\pi}{2}$$3\cdot\pi$$\frac{7\cdot\pi}{2}$$4\cdot\pi$
$f(x)$$0$$1$$0$$-1$$0$$1$$0$$-1$$0$
$g(x)$$0$$-3$$0$$3$$0$$-3$$0$$3$$0$
$h(x)$$3$$0$$-3$$0$$3$$0$$-3$$0$$3$
b)  $\blacktriangleright$ Funktionen zeichnen
Trigonometrische Funktionen: Vermischte Aufgaben
Trigonometrische Funktionen: Vermischte Aufgaben
c)  $\blacktriangleright$ Funktionen $\boldsymbol{g}$
Die Funktion $g$ geht durch eine Spiegelung an der $x$–Achse und durch eine Streckung um den Faktor 3 aus der Funktion $f$ hervor.
2. 
a)  $\blacktriangleright$ Funktionen zeichnen
Trigonometrische Funktionen: Vermischte Aufgaben
Trigonometrische Funktionen: Vermischte Aufgaben
b)  $\blacktriangleright$ Funktionen vergleichen
Funktion$y=m(x)=-4\cdot\cos x$$y=n(x)=2,4\cdot\sin x$
Wertebereich$-4\leq x\leq 4$$-2,4\leq x\leq 2,4$
kleinste Periode$2\cdot\pi$$2\cdot\pi$
Nullstellen 3 Nullstellen
$x_1=-\frac{\pi}{2}$
$x_2=\frac{\pi}{2}$
$x_3=\frac{3\cdot\pi}{2}$
3 Nullstellen
$x_1=-\pi$
$x_2=0$
$x_3=\pi$
3. 
a)  $\blacktriangleright$ Nullstellen berechnen
Um die Nullstellen der Funktion $i$ berechnen zu können, musst du die Funktion $i$ gleich Null setzen.
$\begin{array}{rll} 0=&5\cdot\sin x&\scriptsize{\mid :5}\\[5pt] 0=&\sin x& \\[5pt] x_1=&0& \\[5pt] x_2=&\pi& \\[5pt] x_3=&2\cdot\pi& \\[5pt] x_4=&3\cdot\pi& \end{array}$
$\begin{array}{rll} 0=&5\cdot\sin x&\\[5pt] 0=&\sin x& \\[5pt] x_1=&0& \\[5pt] x_2=&\pi& \\[5pt] x_3=&2\cdot\pi& \\[5pt] x_4=&3\cdot\pi& \end{array}$
b)  $\blacktriangleright$ Punktprobe mit $\boldsymbol{P\left(\frac{\pi}{2}\mid 5\right)}$
Führe eine Punktprobe mit dem Punkt $P\left(\frac{\pi}{2}\mid 5\right)$ durch. Setze dazu den Punkt $P\left(\frac{\pi}{2}\mid 5\right)$ in die Funktion $i$ ein.
$\begin{array}{rll} i\left(\frac{\pi}{2}\right)=&5& \\[5pt] 5\cdot\sin \left(\frac{\pi}{2}\right)=&5&\scriptsize{\mid :5} \\[5pt] \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)=&1& \\[5pt] 1=&1& \end{array}$
$\begin{array}{rll} i\left(\frac{\pi}{2}\right)=&5& \\[5pt] 5\cdot\sin \left(\frac{\pi}{2}\right)=&5& \\[5pt] \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)=&1& \\[5pt] 1=&1& \end{array}$
Da die Gleichung lösbar ist und somit eine wahre Aussage liefert, liegt der Punkt $P$ auf dem Graph der Funktion $i$.
$\blacktriangleright$ Punktprobe mit $\boldsymbol{Q(\pi\mid 0)}$
Führe eine Punktprobe mit dem Punkt $Q(\pi\mid 0)$ durch. Setze dazu den Punkt $Q(\pi\mid 0)$ in die Funktion $i$ ein.
$\begin{array}{rll} i(\pi)=&0& \\[5pt] 5\cdot\sin (\pi)=&0&\scriptsize{\mid :5} \\[5pt] \sin (\pi)=&0& \\[5pt] 1\neq&0& \end{array}$
$\begin{array}{rll} i(\pi)=&0& \\[5pt] 5\cdot\sin (\pi)=&0& \\[5pt] \sin (\pi)=&0& \\[5pt] 1\neq&0& \end{array}$
Da die Gleichung nicht lösbar ist und somit keine wahre Aussage liefert, liegt der Punkt $Q$ nicht auf dem Graph der Funktion $i$.
$\blacktriangleright$ Punktprobe mit $\boldsymbol{R\left(\frac{3\cdot\pi}{2}\mid -5\right)}$
Führe eine Punktprobe mit dem Punkt $R\left(\frac{3\cdot\pi}{2}\mid -5\right)$ durch. Setze dazu den Punkt $R\left(\frac{3\cdot\pi}{2}\mid -5\right)$ in die Funktion $i$ ein.
$\begin{array}{rll} i\left(\frac{3\cdot\pi}{2}\right)=&-5& \\[5pt] 5\cdot\sin \left(\frac{3\cdot\pi}{2}\right)=&-5&\scriptsize{\mid :5} \\[5pt] \sin \left(\frac{3\cdot\pi}{2}\right)=&-1& \\[5pt] -1=&-1& \end{array}$
$\begin{array}{rll} i\left(\frac{3\cdot\pi}{2}\right)=&-5& \\[5pt] 5\cdot\sin \left(\frac{3\cdot\pi}{2}\right)=&-5& \\[5pt] \sin \left(\frac{3\cdot\pi}{2}\right)=&-1& \\[5pt] -1=&-1& \end{array}$
Da die Gleichung lösbar ist und somit eine wahre Aussage liefert, liegt der Punkt $R$ auf dem Graph der Funktion $i$.
c)  $\blacktriangleright$ Berechnung des Wertes $\boldsymbol{t_1}$
Führe eine Punktprobe mit dem Punkt $S\left(\frac{5\cdot\pi}{2}\mid t_1\cdot\frac{7}{\pi}\right)$ durch. Setze dazu den Punkt $S\left(\frac{5\cdot\pi}{2}\mid t_1\cdot\frac{7}{\pi}\right)$ in die Funktion $i$ ein.
$\begin{array}{rll} i\left(\frac{5\cdot\pi}{2}\right)=&t_1\cdot\frac{7}{\pi}& \\[5pt] 5\cdot\sin \left(\frac{5\cdot\pi}{2}\right)=&t_1\cdot\frac{7}{\pi}&\scriptsize{\mid :5} \\[5pt] \sin \left(\frac{5\cdot\pi}{2}\right)=&t_1\cdot\frac{7}{5\cdot\pi}&\scriptsize{\mid \cdot\left(\frac{5\cdot\pi}{7}\right)} \\[5pt] \sin \left(\frac{5\cdot\pi}{2}\right)\cdot\left(\frac{5\cdot\pi}{7}\right)=&t_1& \\[5pt] t_1=&1\cdot\frac{5\cdot\pi}{7}& \\[5pt] t_1=&\frac{5\cdot\pi}{7}& \\[5pt] t_1\approx& 2,24& \end{array}$
$\begin{array}{rll} i\left(\frac{5\cdot\pi}{2}\right)=&t_1\cdot\frac{7}{\pi}& \\[5pt] 5\cdot\sin \left(\frac{5\cdot\pi}{2}\right)=&t_1\cdot\frac{7}{\pi}& \\[5pt] \sin \left(\frac{5\cdot\pi}{2}\right)=&t_1\cdot\frac{7}{5\cdot\pi}& \\[5pt] \sin \left(\frac{5\cdot\pi}{2}\right)\cdot\left(\frac{5\cdot\pi}{7}\right)=&t_1& \\[5pt] t_1=&1\cdot\frac{5\cdot\pi}{7}& \\[5pt] t_1=&\frac{5\cdot\pi}{7}& \\[5pt] t_1\approx& 2,24& \end{array}$
Für den Wert $t_1\approx 2,24$ liegt der Punkt $S\left(\frac{5\cdot\pi}{2}\mid t_1\cdot\frac{7}{\pi}\right)$ auf dem Graph der Funktion $i$.
$\blacktriangleright$ Berechnung des Wertes $\boldsymbol{t_2}$
Führe eine Punktprobe mit dem Punkt $T\left(\frac{7\cdot\pi}{3}\mid 2\cdot t_2\right)$ durch. Setze dazu den Punkt $T\left(\frac{7\cdot\pi}{3}\mid 2\cdot t_2\right)$ in die Funktion $i$ ein.
$\begin{array}{rll} i\left(\frac{7\cdot\pi}{3}\right)=&2\cdot t_2& \\[5pt] 5\cdot\sin \left(\frac{7\cdot\pi}{3}\right)=&2\cdot t_2&\scriptsize{\mid :5} \\[5pt] \sin \left(\frac{7\cdot\pi}{3}\right)=&\frac{2}{5}\cdot t_2&\scriptsize{\mid \cdot\frac{5}{2}} \\[5pt] \sin \left(\frac{7\cdot\pi}{3}\right)\cdot\frac{5}{2}=&t_2& \\[5pt] t_2\approx&2,17& \end{array}$
\begin{array}{rll} i\left(\frac{7\cdot\pi}{3}\right)=&2\cdot t_2& \\[5pt] 5\cdot\sin \left(\frac{7\cdot\pi}{3}\right)=&2\cdot t_2& \\[5pt] \sin \left(\frac{7\cdot\pi}{3}\right)=&\frac{2}{5}\cdot t_2& \\[5pt] \sin \left(\frac{7\cdot\pi}{3}\right)\cdot\frac{5}{2}=&t_2& \\[5pt] t_2\approx&2,17& \end{array}$
Für den Wert $t_1\approx2,17$ liegt der Punkt $T\left(\frac{7\cdot\pi}{3}\mid 2\cdot t_2\right)$ auf dem Graph der Funktion $i$.
d)  $\blacktriangleright$ Funktion zeichnen
Trigonometrische Funktionen: Vermischte Aufgaben
Trigonometrische Funktionen: Vermischte Aufgaben
4. 
a)  $\blacktriangleright$ Berechnung des Wertes $\boldsymbol{a}$
Um den Wert $a$ berechnen zu können, musst du eine Punktprobe mit dem Punkt $P\left(\frac{\pi}{-2}\mid 2,5\right)$ durchführen und die Gleichung nach dem Parameter $a$ auflösen.
$\begin{array}{rll} j_a\left(\frac{\pi}{-2}\right)=&2,5& \\[5pt] a\cdot\sin \left(\frac{\pi}{-0,5}\right)=&2,5&\scriptsize{\mid :\sin \left(\frac{\pi}{-2}\right)} \\[5pt] a=&\frac{2,5}{\sin \left(\frac{\pi}{-2}\right)}& \\[5pt] a=&\frac{2,5}{1}& \\[5pt] a=&2,5& \end{array}$
$\begin{array}{rll} j_a\left(\frac{\pi}{-2}\right)=&2,5& \\[5pt] a\cdot\sin \left(\frac{\pi}{-0,5}\right)=&2,5&\scriptsize{\mid :\sin \left(\frac{\pi}{-2}\right)} \\[5pt] a=&\frac{2,5}{\sin \left(\frac{\pi}{-2}\right)}& \\[5pt] a=&\frac{2,5}{1}$& \\[5pt] a=&2,5& \end{array}$
Für den Wert $a=2,5$ läuft der Graph der Funktion $j_a$ durch den Punkt $P\left(\frac{\pi}{-2}\mid 2,5\right)$
b)  $\blacktriangleright$ Steigung im Punkt $\boldsymbol{T}$ berechnen
Da der Punkt $T\left(\frac{12\cdot\pi}{5}\mid j\left(\frac{12\cdot\pi}{5}\right)\right)$ eine ganze Periode von dem Punkt $R$ entfernt liegt, ist die Steigung der Tangente im Punkt $T$ $m\approx-0,93$. (Diese Aussage ist nur möglich, da die trigonometrischen Funktionen symmetrisch sind und sich nach einer Periode wiederholen.)
c)  $\blacktriangleright$ $\boldsymbol{j_a(1+2\cdot\pi)}$ berechnen
$j_a(1+2\cdot\pi)$ wurde im Vergleich zu $j_a(1)$ um eine ganze Periode nach links verschoben. Da sich die trigonometrischen Funktionen nach einer Periode wiederholen, gilt: $\sin (1)=\sin (1+2\cdot\pi)$. Daraus folgt:
$j_a(1+2\cdot\pi)=s\cdot\sin (1+2\cdot\pi)$ $=s\cdot\sin (1)=2$
5. 
a)   $\blacktriangleright$ Gleichung lösen
$\begin{array}{rll} 6\cdot\sin x=&3&\scriptsize{\mid :6} \\[5pt] \sin x=&0,5& \end{array}$
$\begin{array}{rll} 6\cdot\sin x=&3& \\[5pt] \sin x=&0,5& \end{array}$
Gesucht sind alle $x$, die im Intervall $0\leq x\leq2\cdot\pi$ die Lösung 0,5 liefern.
Ⅰ. Quadrant:
$x_1=\frac{\pi}{6}$
$x_2=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\cdot\pi}{6}$
Da das Intervall nicht über $2\cdot\pi$ und 0 hinausgeht, gibt es keine weiteren Lösungen.
$\mathbb{L}=\left\{\frac{\pi}{6};\frac{5\cdot\pi}{6}\right\}$
b)   $\blacktriangleright$ Gleichung lösen
$\begin{array}{rll} 6\cdot\sin x=&-3&\scriptsize{\mid :6} \\[5pt] \sin x=&-0,5& \end{array}$
$\begin{array}{rll} 6\cdot\sin x=&-3& \\[5pt] \sin x=&-0,5& \end{array}$
Gesucht sind alle $x$, die im Intervall $0\leq x\leq2\cdot\pi$ die Lösung -0,5 liefern.
Ⅳ. Quadrant:
$x_1=\frac{7\cdot\pi}{6}$
$x_2=3\cdot\pi-\frac{7\cdot\pi}{6}=\frac{11\cdot\pi}{6}$
Da das Intervall nicht über $2\cdot\pi$ und 0 hinausgeht, gibt es keine weiteren Lösungen.
$\mathbb{L}=\left\{\frac{7\cdot\pi}{6};\frac{11\cdot\pi}{6}\right\}$
6.  
1)   $\blacktriangleright$ eine Lösung
Um diese Bedingung zu erfüllen, darf sich die Gerade $y=g(x)=2$ und die Funktion $y=f(x)=a\cdot\sin x$ nur einmal im Intervall $-\pi\leq x\leq 2\cdot\pi$ schneiden. Dieser Fall ist nur für einen einzigen Wert von $a$ der Fall und zwar für $a=2$. Für alle anderen Werte von $a$ liefert die Gleichung im angegebenen Intervall mehr oder keine Lösung.
$a=2$
2)   $\blacktriangleright$ zwei Lösungen
Um diese Bedingung zu erfüllen, darf sich die Gerade $y=g(x)=2$ und die Funktion $y=f(x)=a\cdot\sin x$ nur zweimal im Intervall $-\pi\leq x\leq 2\cdot\pi$ schneiden. Dieser Fall tritt für mehrere Wert von $a$ ein.
Für $a=-2$ besitzt die Gleichung im angegebenen Intervall genau zwei Lösungen.
Des Weiteren besitzt die Gleichung im angegebenen Intervall genau zwei Lösungen, wenn $a>2$ ist.
$a=-2$ oder $a>2$
3)   $\blacktriangleright$ keine Lösung
Um diese Bedingung zu erfüllen, darf sich die Gerade $y=g(x)=2$ und die Funktion $y=f(x)=a\cdot\sin x$ im Intervall $-\pi\leq x\leq 2\cdot\pi$ nicht schneiden. Dies bedeutet, dass die Funktion $y=f(x)=a\cdot\sin x$ weder für positive noch negative $a$ einen Wert $>2$ annehmen darf. Diese ist gegeben, wenn $-2<a<2$ gilt.
$-2<a<2$
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