Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gymnasium (G9)
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 10
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Funktionen
Differenzialrechnung
Einführung
Tangentensteigung
Einführung
h-Schreibweise
Änderungsrate
Differenzenquotient
Ableitungsfunktion
Ableiten von Potenzfu...
Ableiten von Sinus un...
Ableitungsregeln
Faktor- und Summenreg...
Kettenregel
Quotientenregel
Produktregel
Vermischte Aufgaben
Ganzrationale Funktio...
Einführung
Symmetrie
Grenzwerte
Nullstellen
Einführung
Linearfaktorzerlegung
Monotonie
Extremstellen
Vermischte Aufgaben
Wachstum
Einführung
Bestandsänderung
Änderungsrate
Rekonstruktion des Be...
Überlagerung von expo...
Beschränktes Wachstum
Logistisches Wachstum
Vermischte Aufgaben
Periodische Vorgänge
Einführung
Bogenmaß
Sinus- und Kosinusfun...
Einheitskreis
Eigenschaften
Streckung und Stauchu...
Verschiebung
Modellierung
Vermischte Aufgaben
Daten und Zufall
Arithmetisches Mittel
Zufallsvariable
Erwartungswert
Bernoulli-Kette
Binomialverteilung
Abhängigkeit und Unab...
Vermischte Aufgaben
Geometrie
Punkte
Vektoren
Einführung
Addition und Subtrakt...
Vervielfachen
Geraden
Geradengleichung
Punktprobe
Lage von Geraden
Potenzen
Einführung
Quadratzahlen und Po...
Rechnen mit Potenzen
Einfache Potenzen
Potenzen mit neg. Hoc...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen potenzieren
Potenzgesetze für rat...
Wissenschaftliche Sch...
Einführung
Ausrechnen und Umform...
Gleichungen
Potenzgleichungen lös...
Wurzeln
Einführung
Quadratwurzel
Irrationale Wurzeln
Intervallhalbierung
Heron-Verfahren
Reelle Zahlen
Rechnen mit Wurzeln
Addition und Subtrakt...
Multiplikation und Di...
Teilweise Wurzel zieh...
Wurzelgesetze
Wurzelgleichungen
Vermischte Aufgaben

h-Schreibweise

Spickzettel
Download als Dokument:PDF
Die Steigung $m$ einer Tangente an einen Graphen einer Funktion $f$ im Punkt $P(x\mid f(x))$ kannst du mit Hilfe eines Differenzenquotienten bestimmen. Dabei geht es darum die Tangentensteigung durch die Steigung einer Sekante anzunähern. Eine Sekante ist eine Gerade, die den Graphen in zwei Punkten schneidet.
Im Schaubild siehst du eine Tangente an den Punkt $P(0\mid0)$ an den Graphen von $f$ (grün) und eine Sekante durch die Punkte $P$ und $Q$ (orange). Je näher an $P$ man den Punkt $Q$ wählt, desto besser nähert die Steigung der Sekante die tatsächliche Steigung der Tangente an. Die Steigung der Sekante durch zwei Punkte $P(x_p\mid y_p)$ und $Q(x_q\mid y_q)$ kannst du bekanntermaßen durch folgenden Bruch berechnen:
$m = \dfrac{y_q-y_p}{x_q-x_p}$
Man wählt nun für die beiden Punkte den Punkt $P(x\mid f(x))$, der meistens gegeben ist, und $Q(x+h\mid f(x+h))$, der für kleines $h$ sehr nah an $P$ und immernoch auf dem Graphen von $f$ liegt. Durch einsetzen in die Sekantensteigung erhält man folgende Näherung für die Tangentensteigung:
$m \approx \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
$m \approx \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
Dabei gilt: Je kleiner das $h$ ist, desto genauer wird die Näherung.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.
Zeichne den Graphen von $\boldsymbol{\,f}$ und lege graphisch eine Tangente im Punkt $\boldsymbol{P}$ an. Bestimme anschließend mit Hilfe der Tangente einen Schätzwert für die Steigung des Graphen von $\boldsymbol{\,f}$ in diesem Punkt.
b)
$f(x) = x^4$, $\quad P(0\mid f(0))$
d)
$f(x) = -x^3 + 2$, $\quad P(1\mid f(1))$
2.
Finde eine Näherung für die Steigung des Graphen von $\boldsymbol{\,f}$ im Punkt $\boldsymbol{\,Q(1\mid f(1))}$, indem du kleine Werte für $\boldsymbol{\,h}$ verwendest um den Differenzenquotienten zu berechnen.
b)
$f(x) = 2x^4+2$
d)
$f(x) = 2x^3 +x - 3$
f)
$f(x) = \sqrt{x-1}$
3.
Finde eine möglichst genaue Näherung für die Steigung des Graphen von $\boldsymbol{\,f}$ im Punkt $\boldsymbol{\,P(0\mid f(0))}$.
b)
$f(x) = 5x^4+ 2x^3 $
d)
$f(x) = \sqrt{x^2+3}$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.
Zeichne den Graphen von $\boldsymbol{\,f}$ und lege graphisch eine Tangente im Punkt $\boldsymbol{P}$ an. Bestimme anschließend mit Hilfe der Tangente einen Schätzwert für die Steigung des Graphen von $\boldsymbol{\,f}$ in diesem Punkt.
Du kannst die Funktionsgraphen wie gewohnt zeichnen. Falls du nicht mehr weißt wie das geht, kannst du auch eine Wertetabelle anlegen. Trage dann zunächst den angegebenen Punkt ein und lege anschließend eine Tangente an den Graphen in diesem Punkt. Beachte dabei, dass sich die Tangente sozusagen an den Graphen „ anschmiegt“, ihn aber nicht durchstößt.
a)
$f(x) = x^2$, $\quad P(1\mid f(1))$
$\blacktriangleright$   Graphen und Tangente zeichnen
Hierbei handelt es sich um eine Normalparabel. Du kannst diese also wie gewohnt zeichnen. Insgesamt ergibt sich dann folgendes Schaubild:
Differenzialrechnung: h-Schreibweise
Differenzialrechnung: h-Schreibweise
$\blacktriangleright$   Steigung bestimmen
Graphisch kannst du die Steigung der Tangente durch ein Steigungsdreieck bestimmen. Wählst du hier beispielsweise das Steigungsdreieck des Punkts $P$ mit dem Schnittpunkt $S$ mit der $y$-Achse, dann erhältst du für die Steigung der Tangente $t$:
$\begin{array}[t]{rll} m_t&=& \dfrac{y_P-y_S}{x_P-x_S} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1-(-1)}{1-0} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Mit Hilfe der Tangente erhält man für die Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $P(1\mid 1)$ den ungefähren Wert $2$.
b)
$f(x) = x^4$, $\quad P(0\mid f(0))$
$\blacktriangleright$   Graphen und Tangente zeichnen
Hierbei handelt es sich um eine Parabel 4. Grades. Du kannst sie zum Beispiel mit Hilfe einer Wertetabelle zeichnen. Insgesamt ergibt sich dann folgendes Schaubild:
Differenzialrechnung: h-Schreibweise
Differenzialrechnung: h-Schreibweise
$\blacktriangleright$   Steigung bestimmen
Du kannst erkennen, dass die Tangente genau die $x$-Achse ist. Damit ist sie waagerecht und besitzt daher die Steigung $0$.
Mit Hilfe der Tangente erhält man für die Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $P(0\mid 0)$ den ungefähren Wert $0$.
c)
$f(x) = 2x^3-1$, $\quad P(0\mid f(0))$
$\blacktriangleright$   Graphen und Tangente zeichnen
Zeichne den Graphen mit Hilfe einer Wertetabelle und gehe dann wie oben vor.
Differenzialrechnung: h-Schreibweise
Differenzialrechnung: h-Schreibweise
$\blacktriangleright$   Steigung bestimmen
Du kannst erkennen, dass die Tangente hier ebenfalls waagerecht ist und daher die Steigung $0$ besitzt.
Mit Hilfe der Tangente erhält man für die Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $P(0\mid -1)$ den ungefähren Wert $0$.
d)
$f(x) = -x^3 + 2$, $\quad P(1\mid f(1))$
$\blacktriangleright$   Graphen und Tangente zeichnen
Zeichne den Graphen mit Hilfe einer Wertetabelle und gehe dann wie oben vor.
Differenzialrechnung: h-Schreibweise
Differenzialrechnung: h-Schreibweise
$\blacktriangleright$   Steigung bestimmen
Mit Hilfe des Steigungsdreiecks, das sich durch den Punkten $P$ und den Schnittpunkt $S$ mit der $y$-Achse ergibt, erhältst du folgende Tangentensteigung:
$\begin{array}[t]{rll} m_t&=&\dfrac{y_S-y_P}{x_S-x_P} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{4-1}{0-1}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -3 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Mit Hilfe der Tangente erhält man für die Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $P(1\mid 1)$ den ungefähren Wert $-3$.
2.
Finde eine Näherung für die Steigung des Graphen von $\boldsymbol{\,f}$ im Punkt $\boldsymbol{\,Q(1\mid f(1))}$, indem du kleine Werte für $\boldsymbol{\,h}$ verwendest um den Differenzenquotienten zu berechnen.
a)
$f(x) = 3x^2$
Berechne den Differenzenquotienten zum Beispiel für $h = 0,1$:
$\begin{array}[t]{rll} m&\approx&\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} &\quad \scriptsize \mid\; x=1 \\[5pt] &=& \dfrac{f(1+0,1)-f(1)}{0,1}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{f(1,1)-f(1)}{0,1}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{3\cdot 1,1^2-3\cdot 1^2}{0,1}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 6,3&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m&=& 6,3&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $P(1\mid 3)$ beträgt ungefähr $6,3$.
b)
$f(x) = 2x^4+2$
Berechne den Differenzenquotienten hier beispielsweise für $h= 0,01$. Du könntest auch wie zuvor $h =0,1$ wählen.
$\begin{array}[t]{rll} m&\approx& \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}&\quad \scriptsize\\[5pt] &=& \dfrac{f(1+0,01)-f(1)}{0,01}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{f(1,01)-f(1)}{0,01}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{2\cdot 1,01^4+2-(2\cdot1^4+2)}{0,01}&\quad \scriptsize\\[5pt] &\approx& 8,12 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m&\approx& 8,12 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $P(1\mid 4)$ beträgt ca. $8,12$.
c)
$f(x) = 2x^3+x+1$
Wähle zum Beispiel $h = 0,001$:
$\begin{array}[t]{rll} m&\approx& \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{f(1+0,001)-f(1)}{0,001}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{f(1,001)- f(1)}{0,001}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{2\cdot 1,001^3+1,001+1- (2\cdot 1^3+1+1)}{0,001}&\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 7,006&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m&\approx& 7,006&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $P(1\mid 4)$ beträgt ca. $7,006$.
d)
$f(x) = 2x^3 +x - 3$
Wähle zum Beispiel $h = 0,001$:
$\begin{array}[t]{rll} m&\approx& \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{f(1+0,001)-f(1)}{0,001}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{f(1,001)- f(1)}{0,001}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{2\cdot 1,001^3+1,001-3- (2\cdot 1^3+1-3)}{0,001}&\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 7,006&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m&\approx& 7,006&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $P(1\mid 0)$ beträgt ca. $7,006$.
e)
$f(x) = \dfrac{5}{x}$
Setze z.B. $h= 0,01$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} m&\approx& \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{f(1+0,01)-f(1)}{0,01}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{f(1,01)-f(1)}{0,01}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{5}{1,01}-\frac{5}{1}}{0,01}&\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& -4,95&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $P(1\mid 5)$ beträgt ca. $-4,95$.
f)
$f(x) = \sqrt{x-1}$
Setze z.B. $h= 0,01$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} m&\approx& \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{f(1,01)-f(1)}{0,01}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{\sqrt{1,01-1}-\sqrt{1-1}}{0,01}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 10&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $P(1\mid 0)$ beträgt ca. $10$.
3.
Finde eine möglichst genaue Näherung für die Steigung des Graphen von $\boldsymbol{\,f}$ im Punkt $\boldsymbol{\,P(0\mid f(0))}$.
Um eine möglichst genaue Näherung zu erhalten, setze zunächst zwei Werte von $h$ ein und vergleiche bis auf wie viele Nachkommastellen diese bereits übereinstimmen. Soweit ist die Näherung dann bereits genau. Möchtest du die Genauigkeit noch weiter verbessern kannst du nochmals kleinere Werte für $h$ einsetzen.
a)
$f(x) = x^3 $
Gehe wie oben beschrieben vor. Beginne beispielsweise mit $h_1 = 0,1$ und fahre fort mit $h_2= 0,05$:
$\begin{array}[t]{rll} m_1&=&\dfrac{f\left(x+h_1\right)-f(x)}{h_1} &\quad \scriptsize\\[5pt] &=& \dfrac{f\left( 0+0,1\right)-f(0)}{0,1} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{0,1^3-0}{0,1}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,01&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Für $h_2 = 0,05$ erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} m_2&=&\dfrac{f\left(x+h_2\right)-f(x)}{h_2} &\quad \scriptsize\\[5pt] &=& \dfrac{f\left( 0+0,05\right)-f(0)}{0,05} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{0,05^3-0}{0,05}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,0025&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Differenz zwischen den beiden Näherungen $m_1$ und $m_2$ beträgt nur $0,0075$. Die Näherung $m_2$ ist also bereits bis auf zwei Nachkommastellen genau. Eine Näherung für die Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $P(0\mid 0)$, die bis auf zwei Nachkommastellen genau ist, ist also beispielsweise $m \approx m_2 \approx 0,00$.
b)
$f(x) = 5x^4+ 2x^3 $
Beginne hier auch mit $h_1 = 0,1$ und fahre mit $h_2 = 0,01$ fort:
$\begin{array}[t]{rll} m_1&=&\dfrac{f\left(x+h_1\right)-f(x)}{h_1} &\quad \scriptsize\\[5pt] &=& \dfrac{f\left( 0+0,1\right)-f(0)}{0,1} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{5\cdot 0,1^4+2\cdot 0,1^3-0}{0,1}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,025&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m_1&=& 0,025&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m_2&=&\dfrac{f\left(x+h_2\right)-f(x)}{h_2} &\quad \scriptsize\\[5pt] &=& \dfrac{f\left( 0+0,01\right)-f(0)}{0,01} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{5\cdot 0,01^4+2\cdot 0,01^3-0}{0,01}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,000205&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m_2&=& 0,000205&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Führe noch eine weitere Rechnung für $h_3 =0,001$ durch:
$\begin{array}[t]{rll} m_3&=&\dfrac{f\left(x+h_3\right)-f(x)}{h_3} &\quad \scriptsize\\[5pt] &=& \dfrac{f\left( 0+0,001\right)-f(0)}{0,001} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{5\cdot 0,001^4+2\cdot 0,001^3-0}{0,001}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,000002005&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m_3&=& 0,000002005&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Diese letzten beiden Näherungen stimmen bereits in den ersten drei Nachkommastellen überein, $m_3$ ist also mindestens bis auf drei Nachkommastellen genau.
Eine Näherung für die Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $P(0\mid 0)$, die mindestens bis auf drei Nachkommastellen genau ist, ist also beispielsweise $m \approx m_3 \approx 0,000$.
c)
$f(x) = 3x^2+4x$
Starte hier gleich mit $h_1 = 0,01$ und fahre beispielsweise fort mit $h_2= 0,001$:
$\begin{array}[t]{rll} m_1&=&\dfrac{f\left(x+h_1\right)-f(x)}{h_1} &\quad \scriptsize\\[5pt] &=& \dfrac{f\left( 0+0,01\right)-f(0)}{0,01} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{3\cdot 0,01^2+4\cdot 0,01-0}{0,01}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 4,03&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m_1&=& 4,03&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m_2&=&\dfrac{f\left(x+h_2\right)-f(x)}{h_2} &\quad \scriptsize\\[5pt] &=& \dfrac{f\left( 0+0,001\right)-f(0)}{0,001} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{3\cdot 0,001^2+4\cdot 0,001-0}{0,001}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 4,003&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m_2&=& 4,003&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Für $h_3 = 0,0001$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} m_3&=&\dfrac{f\left(x+h_3\right)-f(x)}{h_3} &\quad \scriptsize\\[5pt] &=& \dfrac{f\left( 0+0,0001\right)-f(0)}{0,0001} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{3\cdot 0,0001^2+4\cdot 0,0001-0}{0,0001}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 4,0003&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m_3&=& 4,0003&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die letzte Näherung ist nun schon mindestens bis auf zwei Nachkommastellen genau, da soweit die letzten beiden Näherungen übereinstimmen. Eine Näherung für die Steigung im Punkt $P(0\mid0)$ mit einer Genauigkeit bis auf mindestens zwei Nachkommastellen ist $4,00$.
d)
$f(x) = \sqrt{x^2+3}$
Beginne beispielsweise mit $h_1 = 0,001$ und $h_2 = 0,0001$:
$\begin{array}[t]{rll} m_1&=&\dfrac{f\left(x+h_1\right)-f(x)}{h_1} &\quad \scriptsize\\[5pt] &=& \dfrac{f\left( 0+0,001\right)-f(0)}{0,001} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{ \sqrt{0,001^2+3} -\sqrt{3}}{0,001}&\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 0,000289&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m_2&=&\dfrac{f\left(x+h_2\right)-f(x)}{h_2} &\quad \scriptsize\\[5pt] &=& \dfrac{f\left( 0+0,0001\right)-f(0)}{0,0001} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{ \sqrt{0,0001^2+3} -\sqrt{3}}{0,0001}&\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die letzte Näherung ist nun schon mindestens bis auf drei Nachkommastellen genau, da soweit die letzten beiden Näherungen übereinstimmen. Eine Näherung für die Steigung im Punkt $P(0\mid\sqrt{3})$ mit einer Genauigkeit bis auf mindestens drei Nachkommastellen ist $0,000$.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App