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Aufgaben
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1.
Bestimme eine Gleichung der Tangente in dem Punkt $\boldsymbol{P}$
a)
$f(x)=2x^2-x+1$, $P(1\mid f(1))$
b)
$f(x)=\dfrac{x^3+3x}{x^2}$, $P(3\mid f(3))$
2.
Skifahrer
Die Geschwindigkeit eines Skifahrers wird mit der Funktion $v(t)=\dfrac{1}{3}t^2+1$ für $t\leq10$ beschrieben (Zeit $t$ in $\text{s}$; Geschwindigkeit $v$ in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$).
a)
Berechne die durchschnittliche Beschleunigung des Skifahrers im Intervall $[2;6]$.
b)
Berechne die Beschleunigung zum Zeitpunkt $t=9$.
c)
Die Geschwindigkeit eines Snowboarders wird durch die Funktion $g(t)=\dfrac{1}{2}t^2+1$ beschrieben. Bestimme den Zeitpunkt $t$, an dem seine Beschleunigung so groß ist wie die des Skifahrers aus Teilaufgabe b).
3.
Pizza
Der Abkühlvorgang einer Pizza wird durch folgenden Funktionsterm beschrieben: $T(t)=15+60\mathrm e^{-0,1t}$
Dabei beschreibt $T$ die Temperatur in $°C$ und $t$ die Zeit in $\text{min}$
a)
Wie schnell kühlt die Pizza nach $10\,\text{min}$ bzw. $30\,\text{min}$ ab?
b)
Berechne wie sich die Temperatur in dem Intervall $[0;60]$ durchschnittlich ändert.
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Lösungen
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1.
Bestimme eine Gleichung der Tangente in dem Punkt $\boldsymbol{P}$
a)
$\blacktriangleright$   Tangentengleichung aufstellen
Eine Tangente ist eine Gerade und hat die allgemeine Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& mx+b \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& mx+b \end{array}$
Die Steigung $m$ berechnest du mit Hilfe der Ableitung an der Stelle $x=1$. Den $y$-Achsenabschnitt $b$ kannst du anschließend mit dem Funktionswert $f(1)$ berechnen.
Steigung:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 2x^2-x+1 \\[5pt] f'(x)&=& 4x-1\\[5pt] f'(1)&=& 4\cdot1-1\\[5pt] f'(1)&=& 3 \end{array}$
Die Tangente hat an der Stelle $x=1$ die Steigung $m=1$.
$\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 2x^2-x+1 \\[5pt] f(1)&=& 2\cdot1^2-1+1\\[5pt] f(1)&=& 2 \end{array}$
Setze nun $x=1$, $f(1)$ und die Steigung $m$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& mx+b\\[5pt] 2&=& 3\cdot1+b&\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] b&=& -1 \end{array}$
Die Tangente durch den Punkt $P$ hat die Gleichung $y=3x-1$.
b)
$\blacktriangleright$   Tangentengleichung aufstellen
Eine Tangente ist eine Gerade und hat die allgemeine Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& mx+b \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& mx+b \end{array}$
Die Steigung $m$ berechnest du mit Hilfe der Ableitung an der Stelle $x=3$. Den $y$-Achsenabschnitt $b$ kannst du anschließend mit dem Funktionswert $f(3)$ berechnen.
Steigung:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \dfrac{x^3+3x}{x^2} \\[5pt] f'(x)&=& \dfrac{\left(3x^2+3\right)\cdot x^2-\left(x^3+3x\right)\cdot2x}{x^4}\\[5pt] f'(x)&=& \dfrac{x\cdot\left(\left(3x^2+3\right)\cdot x-\left(x^3+3x\right)\cdot2\right)}{x^4}\\[5pt] f'(x)&=& \dfrac{\left(3x^2+3\right)\cdot x-\left(x^3+3x\right)\cdot2}{x^3}\\[5pt] f'(x)&=& \dfrac{3x^3+3x-\left(2x^3+6x\right)}{x^3}\\[5pt] f'(x)&=& \dfrac{3x^3+3x-2x^3-6x}{x^3}\\[5pt] f'(x)&=& \dfrac{x^3-3x}{x^3}\\[5pt] f'(3)&=& \dfrac{3^3-3\cdot3}{3^3}\\[5pt] f'(3)&=& \dfrac{27-9}{27}\\[5pt] f'(3)&=& \dfrac{18}{27}\\[5pt] f'(3)&=& \dfrac{2}{3} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \dfrac{x^3+3x}{x^2} \\[5pt] f'(x)&=& \dfrac{x^3-3x}{x^3}\\[5pt] f'(3)&=& \dfrac{2}{3} \end{array}$
Die Tangente hat an der Stelle $x=3$ die Steigung $m=\dfrac{2}{3}$.
$\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \dfrac{x^3+3x}{x^2} \\[5pt] f(3)&=& \dfrac{x^3+3x}{x^2} \\[5pt] f(3)&=& \dfrac{3^3+3\cdot3}{3^2}\\[5pt] f(3)&=& \dfrac{27+9}{9}\\[5pt] f(3)&=& \dfrac{36}{9}\\[5pt] f(3)&=& 4 \end{array}$
Setze nun $x=3$, $f(3)$ und die Steigung $m$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& mx+b\\[5pt] 4&=& \dfrac{2}{3}\cdot3+b\\[5pt] 4&=& 2+b&\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] b&=& 2 \end{array}$
Die Tangente durch den Punkt $P$ hat die Gleichung $y=\dfrac{2}{3}x+2$.
2.
Skifahrer
a)
$\blacktriangleright$   Durchschnittliche Beschleunigung berechnen
Um die durchschnittliche Beschleunigung des Skifahreres in dem Intervall $[2;6]$ zu berechnen, berechnest du die mittlere Änderungsrate $m$.
Die mittlere Änderungsrate einer Funktion $f$ in dem Intervall $[x_1;x_2]$ wird wie folgt berechnet:
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \end{array}$
Berechne zunächst die Funktionswerte $v(2)$ und $v(6)$ und setze diese dann in die Formel zur Berechnung der mittleren Änderungsrate ein.
$\begin{array}[t]{rll} v(t)&=& \dfrac{1}{3}t^2+1\\[5pt] v(2)&=& \dfrac{1}{3}\cdot2^2+1\\[5pt] v(2)&=& \dfrac{4}{3}+1\\[5pt] v(2)&=& \dfrac{7}{3} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} v(6)&=& \dfrac{1}{3}\cdot6^2+1\\[5pt] v(6)&=& \dfrac{36}{3}+1\\[5pt] v(6)&=& 12+1\\[5pt] v(6)&=& 13 \end{array}$
Nun kannst du die mittlere Änderungsrate berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{v(6)-v(2)}{6-2}\\[5pt] m&=& \dfrac{13-\frac{7}{3}}{6-2}\\[5pt] m&=& \dfrac{\frac{32}{3}}{4}\\[5pt] m&=& \dfrac{8}{3}\\[5pt] m&=& 2,67 \end{array}$
Der Skifahrer hat in dem Intervall $[2;6]$ eine durchschnittliche Beschleunigung von etwa $2,67\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$.
b)
$\blacktriangleright$   Momentane Änderungsrate berechnen
Die Beschleunigung des Skifahrers zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ entspricht der momentanen Änderungsrate.
Um diese zum Zeitpunkt $t=9$ zu bestimmen, berechnest du den Wert der ersten Ableitung $v'$ an dieser Stelle.
$\begin{array}[t]{rll} v(t)&=& \dfrac{1}{3}t^2+1\\[5pt] v'(t)&=& \dfrac{2}{3}t\\[5pt] v'(9)&=& \dfrac{2}{3}\cdot9\\[5pt] v'(9)&=& 2\cdot3\\[5pt] v'(9)&=& 6 \end{array}$
Die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt $t=9$ beträgt $6\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$
c)
$\blacktriangleright$   Zeitpunkt bestimmen
Du sollst nun den Zeitpunkt $t$ bestimmen, an dem der Snowboarder ebenfalls eine Beschleunigung von $6\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ hat. Bilde dazu die erste Ableitung $g'$ und setze diese mit der Beschleunigung gleich. Löse dann nach $t$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} g(t)&=& \dfrac{1}{2}t^2+1\\[5pt] g'(t)&=& \dfrac{2}{2}t\\[5pt] g'(t)&=& t \end{array}$
Gleichsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} g'(t)&=& 6\\[5pt] t&=& 6 \end{array}$
Nach $6\,\text{s}$ hat der Snowboarder die selbe Beschleunigung wie der Skifahrer aus Teilaufgabe b).
3.
Pizza
a)
$\blacktriangleright$   Momentane Änderungsrate bestimmen
Um zu berechnen, wie schnell die Pizza nach $10\,\text{min}$ bzw. nach $30\,\text{min}$ abkühlt, berechnest du die momentane Änderungsrate.
$\begin{array}[t]{rll} T(t)&=& 15+60\mathrm e^{-0,1t}\\[5pt] T'(t)&=& 60\mathrm e^{-0,1t}\cdot(-0,1)\\[5pt] T'(t)&=& -6\mathrm e^{-0,1t} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} T'(t)&=& -6\mathrm e^{-0,1t}\\[5pt] T'(10)&=& -6\mathrm e^{-0,1\cdot10}\\[5pt] T'(10)&=& -6\mathrm e^{-1}\\[5pt] T'(10)&=& -2,2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} T'(30)&=& -6\mathrm e^{-0,1\cdot30}\\[5pt] T'(30)&=& -6\mathrm e^{-3}\\[5pt] T'(30)&=& -0,3 \end{array}$
Nach $10\,\text{min}$ kühlt die Pizza mit $2,2\,\text{°C}$ pro Minute ab und nach $30\,\text{min}$ mit $0,3\,\text{°C}$ pro Minute.
b)
$\blacktriangleright$   Mittlere Änderungsrate bestimmen
Die durschnittliche Änderung der Temperatur innerhalb der ersten Stunde berechnest du mit der mittleren Änderungsrate.
Die mittlere Änderungsrate einer Funktion $f$ in dem Intervall $[x_1;x_2]$ wird wie folgt berechnet:
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \end{array}$
Berechne nun die Funktionswerte von $T(0)$ und $T(60)$ und setze die Werte in die Formel zur Berechnung der mittleren Änderungsrate ein.
$\begin{array}[t]{rll} T(t)&=& 15+60\mathrm e^{-0,1t}\\[5pt] T(0)&=& 15+60\mathrm e^{-0,1\cdot0}\\[5pt] T(0)&=& 15+60\cdot1\\[5pt] T(0)&=& 75 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} T(t)&=& 15+60\mathrm e^{-0,1t}\\[5pt] T(60)&=& 15+60\mathrm e^{-0,1\cdot60}\\[5pt] T(60)&=& 15+60\mathrm e^{-6}\\[5pt] T(60)&=& 15,15 \end{array}$
Nun kannst du die mittlere Änderungsrate berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{T(t_2)-T(t_1)}{t_2-t_1} \\[5pt] &=&\dfrac{15,15-75}{60-0} \\[5pt] &=&\dfrac{-59,85}{60} \\[5pt] &\approx& -1,0 \end{array}$
Die Temperatur der Pizza ändert sich in dem Intervall $[0;60]$ durchschnittlich um ca. $1\,\text{°C}$.
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