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Einführung

Spickzettel
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Ganzrationale Funktionen sind Polynomfunktionen, also Funktionen der Form:
$f(x) = a_n\cdot x^n + a_{n-1}\cdot x^{n-1} +… + a_1 \cdot x+a_0,$
$ f(x)=… $
dabei ist $n$ eine natürliche Zahl und $a_n, a_{n-1},…, a_1, a_0$ sind relle Zahlen, wobei $a_n \neq 0$. Dabei bezeichnet $n$ den Grad der Funktion.

Beispiele

- $f(x) = 5 x^3 + 2x - 7 $$ = 5 x^3 + 0 x^2 + 2x - 7,$ der Grad dieser Funktion beträgt $3$, denn der größte Exponent ist $3$.
$n$0123
$a_{n}$-7205
- $g(x) = (x+4)(x+1) - 13x^5 + \frac{1}{2} x^7,$ bringe die Funktion in die oben angegebene Form, indem du die Klammern ausmultiplizierst und die Ausdrücke der Größe nach absteigend ordnest:
$g(x) = (x+4)(x+1) - 13x^5 + \frac{1}{2} x^7 $$= x^2 + 5x + 4 - 13x^5 + \frac{1}{2} x^7 $$ = \frac{1}{2} x^7 - 13x^5 + x^2 + 5x + 4. $
$n$01234567
$a_{n}$45100-130$\frac{1}{2}$
- $h(x) = 5 \mathrm e^x + x^2 - 4$ ist keine rationale Funktion, denn $h(x)$ lässt sich wegen $\mathrm e^x$ nicht in die Form der Polynomenfunktionen bringen.
Lineare Funktionen und quadratische Funktionen sind Spezialfälle der ganzrationalen Funktionen.
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Aufgaben
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1.
Erkläre in eigenen Worten, was eine ganzrationale Funktion ist.
2.
Entscheide, welche Funktionen den ganzrationalen Funktionen zugeordnet werden.
b)
$\begin{array}[t]{llll} x^{\frac{1}{3}} - 5x^4 + 17\\ \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{llll} x \cdot (x - 1) (x + 1) \cdot 5 \\ \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{llll} \mathrm e^{\ln \left( \frac{1}{2} x^4 + x^2 + 1 \right)}\\ \end{array}$
3.
Gegeben ist die ganzrationale Funktion $f(x)$$ = 5x^4 + 8x^6 - (x+2)(x-1)$. Stelle die Koeffizienten $a_0, a_1, …, a_n$ in einer Wertetabelle dar.
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Lösungen
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1.
Erkläre
Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die nur aus der Summe von Ausdrücken der Form $a_n x^n$ besteht, dabei ist $n$ eine natürliche Zahl und $a_n$ eine reelle Zahl, d.h. Ausdrücke wie $\sin(x), \ln(x), \mathrm e^x,$ usw. dürfen in einer ganzrationalen Funktion nicht vorkommen. Für das größte $n$ einer ganzrationalen Funktion gilt $a_n \neq 0.$
2.
Ganzrationale Funktionen
a)
$x^3 - 3 + x^2 = x^3 + x^2 + 0 x - 3$ hat die Form einer Polynomfunktion und ist somit eine ganzrationale Funktion.
b)
$x^{\frac{1}{3}} - 5x^4 + 17$ ist keine ganzrationale Funktion, denn der Ausdruck $x^{\frac{1}{3}}$ gehört nicht zur Form der Polynomfunktionen.
c)
$\sin(x) - 3 + x^2$ ist wegen $\sin(x)$ ebenfalls keine ganzrationale Funktion.
d)
$ x \cdot (x - 1) (x + 1) \cdot 5$ lässt sich in die Form einer Polynomfunktion bringen und ist somit eine ganzrationale Funktion: $x \cdot (x - 1) (x + 1) \cdot 5 $$ = x \cdot (x^2 - 1) \cdot 5 = 5x^3 - 5x.$
e)
$~~(x-1)^2 + 5x^3 - 3x$ lässt sich durch Ausmultiplizieren der Klammer in die Form $(x-1)^2 + 5x^3 - 3x $$ = x^2 - 2x + 1 + 5x^3 - 3x $$= 5x^3 + x^2 - 5x + 1$ bringen und ist somit ganzrational.
f)
$ ~ \mathrm e^{\ln \left( \frac{1}{2} x^4 + x^2 + 1 \right)}$ sieht auf den ersten Blick nicht nach einer ganzrationalen Funktion aus. Doch bei genauerem Betrachten erkennt man, dass $\mathrm e^{\ln \left( \frac{1}{2} x^4 + x^2 + 1 \right)} = \frac{1}{2} x^4 + x^2 + 1$ ist, denn die Logarithmusfunktion $\ln(x)$ ist nur für $x > 0$ definiert, was für $\frac{1}{2} x^4 + x^2 + 1$ stets der Fall ist, sodass man diese e-Funktion in eine ganzrationale Funktion umschreiben kann.
3.
Koeffizienten
Bringe die Funktion $f$ im ersten Schritt auf die Polynomenform, indem du die Klammer ausmultiplizierst und die Exponenten der Höhe absteigend ordnest:
$f(x) = 5x^4 + 8x^6 - (x+2)(x-1) $$= 8x^6 + 5x^4 - x^2 - x + 2.$
Jetzt musst du die Koeffizienten nur noch ablesen.
$n$0123456
$a_n$2-1-10508
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