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Grenzwerte

Spickzettel
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Die Grenzwerte ganzrationaler Funktionen $\lim\limits_{x \to \infty} f(x)$ bzw. $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ sind entweder $\infty$ oder $-\infty$. Sei nun $n$ der höchste Exponent der Funktion $f$ und $a_n$ der Koeffzienten vor $x^n$. Dann gilt Folgendes:
  • $n$ gerade und
    $a_n > 0 \Longrightarrow \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \infty, $
    $ a_n > 0 \Longrightarrow … $
  • $n$ gerade und
    $a_n < 0 \Longrightarrow \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) $$= -\infty, $
    $ a_n < 0 \Longrightarrow… $
  • $n$ ungerade und
    $a_n > 0 \Longrightarrow \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \infty$ und $ \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, $
    $ a_n > 0 \Longrightarrow $
  • $n$ ungerade und
    $a_n < 0 \Longrightarrow \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = -\infty$ und $ \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \infty. $
    $ a_n < 0 \Longrightarrow $

Grenzwerte rationaler Funktionen

Jetzt betrachten wir die Grenzwerte $\lim\limits_{x\to \pm \infty}f(x)$ von rationalen Funktionen, also Funktionen der Form
$f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} = \dfrac{a_n\cdot x^n + a_{n-1}\cdot x^{n-1} +… + a_1 \cdot x+a_0}{b_m\cdot x^m + b_{m-1}\cdot x^{m-1} +… + b_1 \cdot x+b_0}, $
$f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} = \dfrac{a_n\cdot x^n + a_{n-1}\cdot x^{n-1} +… + a_1 \cdot x+a_0}{b_m\cdot x^m + b_{m-1}\cdot x^{m-1} +… + b_1 \cdot x+b_0}, $
$ f(x)=… $
$g(x)$ und $h(x)$ sind dabei ganzrationale Funktionen.
Um nun $\lim\limits_{n\to \pm \infty}f(x)$ zu bestimmen, musst du folgende Fälle beachten:
  1. Der Grad von $g(x)$ ist gleich dem von $h(x)$
  2. Bezeichne den Grad der Funktionen $g(x)$ und $h(x)$ als $n$ und die entsprechenden Koeffizienten als $a_n$ und $b_n$, dann gilt $$ \lim\limits_{x\to \infty}f(x) = \lim\limits_{x\to -\infty}f(x) = \dfrac{a_n}{b_n}.$$ Beispiel: $\lim\limits_{x\to \pm \infty} \dfrac{5x^3 -2x^2 + x - 17}{9x^3 - 4} = \dfrac{5}{9}, $ denn der Grad des Zählers und Nenners ist $3$ und $a_3 = 5$ und $b_3 = 9.$
  3. Der Grad von $g(x)$ ist größer als der Grad von $h(x)$
  4. Bezeichne als $n$ den Grad des Zählers und als $m$ den Grad des Zählers, dann gilt: $$\lim\limits_{x\to \pm \infty} f(x) = \lim\limits_{x\to \pm \infty} \dfrac{a_n}{b_m} x^{n-m}, $$
    Letzteres ist eine ganzrationale Funktion, sodass die Grenzwerte nach obigem Vorgehen bestimmt werden können.
    Beispiel: $\lim\limits_{x\to \pm \infty} \dfrac{17x^6 -6x^2}{-2x^3 - 5} = \lim\limits_{x\to \pm \infty} \dfrac{17}{-2} x^{6-3} $$= \lim\limits_{x\to \pm \infty} \dfrac{17}{-2} x^{3} $$= \left\{\begin{array}{cl} -\infty, & \mbox{für } x \rightarrow \infty \\ \infty, & \mbox{für } x \rightarrow -\infty \end{array}\right. . $
  5. Der Grad von $g(x)$ ist kleiner als der Grad von $h(x)$
  6. Dann gilt $$\lim\limits_{x\to \pm \infty}f(x) = 0$$ Beispiel: $\lim\limits_{x\to \pm \infty} \dfrac{14x^3 + 200x^2 + 99x + 17}{x^5} $$= 0, $ denn der Grad des Nenner ist größer als der des Zählers. Der Rest spielt dabei keine Rolle.
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1.
Betrachte das Grenzverhalten folgender ganzrationaler Funktionen.
a)
$f(x) = -x^3 + 2x - 7$
b)
$f(x) = 5$
c)
$f(x) = 3x^{101} - 4x^{100} + 5$
d)
$f(x) = x^2 - x^4 -3$
2.
Berechne den Grenzwert folgender Funktionen für $x \rightarrow \infty$.
a)
$f(x) = \dfrac{3x^4 + 5x - 100}{x^4 - \frac{1}{2}}$
b)
$f(x) = \dfrac{17x^5 - 3x + \sqrt{2} x^2}{x(x^2 + 5)(14x - 4)}$
c)
$f(x) = \dfrac{16x^3 + 9}{32x^4}$
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1.
Betrachte das Grenzverhalten folgender ganzrationaler Funktionen.
a)
$\lim\limits_{x\to\infty} f(x) $$ =\lim\limits_{x\to\infty} -x^3 + 2x - 7 $$ = - \infty$ und $\lim\limits_{x \to -\infty} -x^3 + 2x - 7 = \infty$, da der größte Exponent 3 ungerade ist und vor $x^3$ ein Minuszeichen steht.
b)
$\lim\limits_{x\to\infty} f(x) $$ = \lim\limits_{x\to\infty} 5 $$ = 5 = \lim\limits_{x \to -\infty} 5 $$= \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$, da der Grenzwert konstanter Funktionen $f(x)=c$ gleich $c$ ist.
c)
$\lim\limits_{x\to\infty} f(x) $$ = \lim\limits_{x\to\infty} 3x^{101} - 4x^{100} + 5 $$ = \infty$ und $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) $$ = \lim\limits_{x\to-\infty} 3x^{101} - 4x^{100} + 5 $$ = -\infty$, da der höchste Exponent ungerade ist.
d)
$\lim\limits_{x\to\infty} f(x) $$ = \lim\limits_{x\to\infty} x^2 - x^4 + 3 $$= \lim\limits_{x\to-\infty} x^2 - x^4 + 3 $$ = -\infty,$ da der höchste Exponent $4$ gerade und der Koeffizient $-1$ ist.
2.
Berechne den Grenzwert für folgender Funktionen $x \rightarrow \infty$.
a)
$\lim\limits_{x\to\infty} f(x) $$ = \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{3x^4 + 5x - 100}{x^4 - \frac{1}{2}} $$ = \dfrac{3}{1} = 3,$ denn der höchste Exponent im Zähler und Nenner ist $4$. Der Grenzwert ist somit der Quotient des Koeffizienten von $x^4$ im Zähler und Nenner.
b)
$\lim\limits_{x\to\infty} f(x) $$ = \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{17x^5 - 3x + \sqrt{2} x^2}{x(x^2 + 5)(14x - 4)} $$= \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{17}{14} x^{5-4} $$ = \infty,$ denn der Grad des Zählers ist $5$, der des Nenners ist $4$. Also muss der zweite Fall des Spickzettel angewandt werden.
c)
$\lim\limits_{x\to\infty} f(x) $$ = \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{16x^3 + 9}{32x^4} $$ = 0,$ denn der Grad des Zählers ist kleiner als der des Nenners, $3 < 4$.
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