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Monotonie

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Erklärung

Ein Graph einer Funktion $f$ kann in steigende, fallende und konstante Bereiche unterteilt werden. Man sagt, ein Graph einer Funktion $f$ mit $x_1 < x_2$ ist
  • monoton steigend, falls $f(x_1) \leq f(x_2) $ gilt.
  • monoton fallend, falls $f(x_1) \geq f(x_2)$ gilt.
Sollen konstante Abschnitte nicht miteinbezogen werden, so kann man den Graphen auf strenge Monotonie untersuchen: Der Graph heißt
  • streng monoton steigend, falls $f(x_1) < f(x_2) $ gilt.
  • streng monoton fallend, falls$f(x_1) > f(x_2) $ gilt.
Da es oft schwierig ist mit einer Ungleichung zu rechnen, kannst du in vielen Fällen auch mit dem Monotoniesatz arbeiten.
Monotoniesatz:
Wenn die Funktion $f$ in einem Intervall $I$ differenzierbar ist, dann ist $f$
  • streng monoton steigend, falls $f'(x) > 0 $ gilt, für alle $x$ aus $I$.
  • streng monoton fallend, falls
    $f'(x) < 0 $ gilt, für alle $x$ aus $I$.
Gilt dies nicht musst du mit der oberen Definition arbeiten.

Beispiel

Ganzrationale Funktionen: Monotonie
Abb. 1: Graphen der Funktion $f(x)=x^3$.
Ganzrationale Funktionen: Monotonie
Abb. 1: Graphen der Funktion $f(x)=x^3$.
Bildnachweise [nach oben]
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Aufgabe 1
Gegeben ist der Graph einer Funktion. Zeichne die Monotonieintervalle ein.
Ganzrationale Funktionen: Monotonie
Ganzrationale Funktionen: Monotonie
Aufgabe 2
Gegeben sind die folgenden Funktionsterme. Auf welchen Intervallen sind diese monoton steigend, auf welchen monoton fallend?
b)
$f_2(x)=x^4-2x^2$
Aufgabe 3
Gegeben sind die folgenden Funktionsterme. Auf welchen Intervallen sind diese streng monoton steigend, auf welchen streng monoton fallend?
b)
$ f_2(x)=2x^2-3x$
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Lösungen
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Aufgabe 1
Deine Skizze sollte wie unten aussehen. Stellen, an denen der Graph die Steigung Null aufweist, wurden grün markiert. Dort ist der Graph nicht streng monoton.
Ganzrationale Funktionen: Monotonie
Ganzrationale Funktionen: Monotonie
Aufgabe 2
Ein Graph einer Funktion $f$ ist monoton fallend, falls für die erste Ableitung $f'(x)\leq 0$ gilt. Er ist monoton steigend, sofern $f'(x)\geq 0$ gilt.
a)
Betrachte zunächst die erste Ableitung der Funktion:
$\begin{array}[t]{rll} f_1(x)&=&x^2 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] f_1'(x)&=&2x\\ \end{array}$
Wann ist die Ableitung kleiner bzw. größer gleich Null? Dazu kannst du den Term der ersten Ableitung mit Null gleichsetzen, denn wechselt der Graph von steigend zu fallend oder umgekehrt, muss die erste Ableitung mindestens einmal den Funktionswert Null annehmen:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&2x &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] 0&=&x\\ \end{array}$
Für $x=0$ weist der Graph keine Steigung auf. Für welche $x$ ist er jedoch steigend bzw. fallend? Setze einen Wert kleiner bzw. größer Null in den Ableitungsterm ein und teste:
$\begin{array}[t]{rll} f_1'(-1)&=&2\cdot(-1) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-2 &\quad \scriptsize \\[10pt] f_1'(1)&=&2\cdot 1 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&2 &\quad \scriptsize \\ \end{array}$
Der Graph ist damit für alle $x \in (-\infty;\;0]$ monoton fallend und für alle $x \in [0\;\infty)$ monoton steigend.
b)
Betrachte zunächst die erste Ableitung der Funktion:
$\begin{array}[t]{rll} f_2(x)&=&x^4-2x^2 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] f_2'(x)&=&4x^3-4x\\ \end{array}$
Wann ist die Ableitung kleiner bzw. größer gleich Null? Dazu kannst du den Term der ersten Ableitung mit Null gleichsetzen, denn wechselt der Graph von steigend zu fallend oder umgekehrt, muss die erste Ableitung mindestens einmal den Funktionswert Null annehmen:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&4x^3-4x &\quad \scriptsize \;\text{ausklammern} \\[5pt] 0&=&x(4x^2-4) &\quad \scriptsize \\ \end{array}$
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt, dass entweder $x$ oder der Term in der Klammer Null werden muss, damit das gesamte Produkt Null wird. Für $x_1=0$ kann sich die Monotonie ändern. Untersuche, ob es weitere $x$ gibt, für die die erste Ableitung den Wert Null annimmt.
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&4x^2-4 &\quad \scriptsize \mid\; +4\\[5pt] 4&=&4x^2 &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] 1&=&x^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] \pm 1&=&x &\quad \scriptsize \\ \end{array}$
Folglich gibt es zwei weitere Stellen. Insgesamt schneidet die erste Ableitung die $x$-Achse an $x_1=0$, $x_2=1$ und $x_3=-1$. Für welche $x$ innerhalb dieser Grenzen ist der Graph jedoch steigend bzw. fallend? Setze einen Wert kleiner bzw. größer in den Ableitungsterm ein und teste:
$\begin{array}[t]{rll} f_2'(-2)&=&4(-2)^3-4(-2) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-24 &\quad \scriptsize \\[10pt] f_2'\left(-\frac{1}{2}\right)&=&4\left(-\frac{1}{2}\right)^3-4\left(-\frac{1}{2}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\frac{3}{2} &\quad \scriptsize \\[10pt] f_2'\left(\frac{1}{2}\right)&=&4\left(\frac{1}{2}\right)^3-4\left(\frac{1}{2}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-\frac{3}{2} &\quad \scriptsize \\[10pt] f_2'(2)&=&4(2)^3-4(2) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&24 &\quad \scriptsize \\[10pt] \end{array}$
Der Graph ist damit für alle $x$ in
  • $(-\infty;\;-1]$ und $[0;\;1]$ monoton fallend und für
  • $[-1;\;0]$ und $[1;\;\infty)$ monoton steigend.
Aufgabe 3
Ein Graph einer Funktion $f$ ist streng monoton fallend, falls für die erste Ableitung $f'(x)< 0$ gilt. Er ist streng monoton steigend, sofern $f'(x)> 0$ gilt.
a)
Betrachte zunächst die erste Ableitung der Funktion:
$\begin{array}[t]{rll} f_1(x)&=&x^3+2 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] f_1'(x)&=&3x^2\\ \end{array}$
Wann ist die Ableitung echt kleiner bzw. größer Null? Dazu kannst du den Term der ersten Ableitung mit Null gleichsetzen, denn wechselt der Graph von steigend zu fallend oder umgekehrt, muss die erste Ableitung mindestens einmal den Funktionswert Null annehmen:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&3x^2 &\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] 0&=&x^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] 0&=&x &\quad \\ \end{array}$
Für $x=0$ weist der Graph keine Steigung auf. Für welche $x$ ist er jedoch steigend bzw. fallend? Setze einen Wert kleiner bzw. größer Null in den Ableitungsterm ein und teste:
$\begin{array}[t]{rll} f_1'(-1)&=&3(-1)^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&3 &\quad \scriptsize \\[10pt] f_1'(1)&=&3(1)^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&3 &\quad \scriptsize \\ \end{array}$
Der Graph ist damit für alle $x \in (-\infty;\;0)$ und $x \in (0\;\infty)$ streng monoton steigend. Beachte, dass bei strenger Monotonie die Null ausgeschlossen wird.
b)
Betrachte zunächst die erste Ableitung der Funktion:
$\begin{array}[t]{rll} f_2(x)&=&2x^2-3x &\quad \scriptsize \; \\[5pt] f_2'(x)&=&4x-3\\ \end{array}$
Wann ist die Ableitung echt kleiner bzw. größer Null? Dazu kannst du den Term der ersten Ableitung mit Null gleichsetzen, denn wechselt der Graph von steigend zu fallend oder umgekehrt, muss die erste Ableitung mindestens einmal den Funktionswert Null annehmen:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&4x-3 &\quad \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt] 3&=&4x &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] \frac{3}{4}&=&x &\quad \\ \end{array}$
Insgesamt schneidet die erste Ableitung die $x$-Achse an $x_1=\frac{3}{4}$. Für welche $x$ ist der Graph jedoch streng monoton steigend bzw. fallend? Setze einen Wert kleiner bzw. größer in den Ableitungsterm ein und teste:
$\begin{array}[t]{rll} f_2'(0)&=&4(0)-3 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-3 &\quad \scriptsize \\[10pt] f_2'(1)&=&4(1)-3 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&1 &\quad \scriptsize \\ \end{array}$
Der Graph ist damit für alle $x$ in
  • $\left(-\infty;\;\frac{3}{4}\right)$ streng monoton fallend und für
  • $\left(\frac{3}{4};\;\infty\right)$ streng monoton steigend.
Beachte, dass bei strenger Monotonie der Wert $\frac{3}{4}$ ausgeschlossen wird.
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