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Schnittpunkte mit der $x$-Achse

Die Schnittpunkte $S$ des Graphen einer Funktion $f$ mit der $x$-Achse haben folgende Form :
$S^x_i(x_i\mid 0)$
$S^x_i(x_i\mid 0)$
Dabei sind die $x_i$ die Nullstellen von $f$. Du kannst sie also berechnen, indem du die Gleichung $f(x) = 0$ löst.

Beispiel

$f(x) = x^2-4$
Setze $f(x) = 0$ und löse nach $x$ auf:
$\begin{array}{llllllll} x^2-4&=&0& \mid +4\\ x^2&=&4& \mid \sqrt{\;} \\ x_0&=&-2 \\ x_1&=&2 \\ \end{array}$
Die Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit der $x$-Achse ergeben sich also zu $S^x_0(-2\mid 0)$ und $S^x_1(2\mid 0)$.

Schnittpunkte mit der $y$-Achse

Der Graph einer Funktion $f$ kann nur einen Schnittpunkt mit der $y$-Achse ($S^y$) besitzen. Dieser hat folgende Form:
$S^y(0\mid f(0))$
$S^y(0\mid f(0))$
Du berechnest dessen Koordinaten also, indem du $0$ in $f(x)$ einsetzt.

Beispiel

$f(x) = x^2-4$
Berechne $f(0) $:
$\begin{array}{llllllll} 0^2-4&=&-4\\ \end{array}$
Der Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $y$-Achse ergibt sich also zu $S^y(0\mid -4)$.
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1.
Berechne die Schnittpunkte von $K_f$ mit den Koordinatenachsen.
b)
$f\left(x\right)=-\left(x-1\right)^2+4x-4$
d)
$f\left(x\right)=x^2+1$
2.
Berechne die Schnittpunkte von $K_f$ mit den Koordinatenachsen.
b)
$f\left(x\right)=x^4-5x^2+4$
3.
Berechne die Schnittpunkte von $K_f$ mit den Koordinatenachsen.
b)
$f\left(x\right)=\dfrac{\left(x-2\right)^2}{x+1}$
d)
$f\left(x\right)=\dfrac{\left(x+1\right)^2-3-x}{3x}$
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1.
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen berechnen
a)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $x$-Achse:
Setze den Funktionsterm der Fuktion $f$ gleich Null und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rll} f(x)&=&0\\ \left(x+2\right)^2&=&0&\scriptsize{ \mid\; \sqrt{\;}}\\ x+2&=&0&\scriptsize{ \mid\; -2}\\ x_{1,2}&=&-2 \\ \end{array}$
Daraus folgt der Punkt $P\left(-2\mid 0\right)$.
Es handelt sich um eine doppelte Nullstelle.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $y$-Achse:
Um den Schnittpunkt mit der $y$-Achse zu berechnen, setzt du $x=0$ in den Funktionsterm der Funktion $f$ ein.
$\begin{array}{rll} f\left(0\right)&=&\left(0+2\right)^2\\ f\left(0\right)&=&2^2\\ f\left(0\right)&=&4\\ \end{array}$
Daraus folgt der Punkt $Q\left(0\mid 4\right)$.
b)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $x$-Achse:
Setze den Funktionsterm der Fuktion $f$ gleich Null und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rll} -\left(x-1\right)^2+4x-4&=&0&\scriptsize{\text{Ausmultiplizieren}}\\ -\left(x^2-2x+1\right)+4x-4&=&0\\ -x^2+2x-1+4x-4&=&0\\ -x^2+6x-5&=&0&\scriptsize{\mid \cdot\left(-1\right)}\\ x^2-6x+5&=&0\\ \end{array}$
$ -\left(x-1\right)… $
$\boldsymbol{p}$-$\boldsymbol{q}$-Formel anwenden:
$\begin{array}{rll} x_{1,2} &=& 3\pm\sqrt {9-5}\\ &=&3\pm\sqrt{4}\\ &=&3\pm2\\ x_1&=&1\\ x_2&=&5\\ \end{array}$
Daraus folgen die Punkte $P_1\left(1\mid 0\right)$ und $P_2\left(5\mid 0\right)$.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $y$-Achse:
Um den Schnittpunkt mit der $y$-Achse zu berechnen, setzt du $x=0$ in den Funktionsterm der Funktion $f$ ein.
$\begin{array}{rll} f\left(0\right)&=&-\left(0-1\right)^2+4\cdot0-4\\ &=&-\left(-1\right)^2-4\\ &=&-1-4\\ &=&-5\\ \end{array}$
Daraus folgt der Punkt $Q\left(0\mid -5\right)$.
c)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $x$-Achse:
Setze den Funktionsterm der Fuktion $f$ gleich Null und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rll} x\left(x+3\right)^3&=&0\\ \end{array}$
Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt, dass entweder der Term vor der Klammer oder die Klammer selbst gleich Null werden kann.
$\begin{array}{rll} x_1 &=&0\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll} \left(x+3\right)^3&=&0&\scriptsize{\mid \sqrt[3]{\;}}\\ x+3&=&0&\quad\scriptsize{\mid -3}\\ x_{2}&=&-3\\ \end{array}$
Daraus folgen die Punkte $P_1\left(0\mid0\right)$ und $P_{2}\left(-3\mid0\right)$.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $y$-Achse:
Um den Schnittpunkt mit der $y$-Achse zu berechnen, setzt du $x=0$ in den Funktionsterm der Funktion $f$ ein.
$\begin{array}{rll} f\left(0\right)&=&0\cdot\left(0+3\right)^3\\ &=&0\cdot\left(-3\right)^3\\ f\left(0\right)&=&0\\ \end{array}$
Daraus folgt der Punkt $Q\left(0\mid 0\right)$.
d)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $x$-Achse:
Setze den Funktionsterm der Fuktion $f$ gleich Null und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rll} x^2+1&=&0&\scriptsize{\mid -1}\\ x^2&=&-1&\scriptsize{\mid \sqrt{\;}}\\ x&=&\sqrt{-1}\\ \end{array}$
Für diese Gleichung gibt es keine Lösung, weil man aus einer negativen Zahl nicht die Wurzel ziehen kann.
Das Schaubild dieser Funktion hat also keine Schnittpunkte mit der $x$-Achse.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $y$-Achse:
Um den Schnittpunkt mit der $y$-Achse zu berechnen, setzt du $x=0$ in den Funktionsterm der Funktion $f$ ein.
$\begin{array}{rll} f\left(0\right)&=&0^2+1\\ f\left(0\right)&=&1\\ \end{array}$
Daraus folgt der Punkt $Q\left(0\mid 1\right)$.
2.
Schnittpunkte von $K_f$ mit den Koordinatenachsen berechnen
a)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $x$-Achse:
Setze den Funktionsterm der Fuktion $f$ gleich Null und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rll} x^3+x^2-6x&=&0&\scriptsize{ x\; \text{ausklammern}}\\ x\left(x^2+x-6\right)&=&0\\ \end{array}$
Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt, dass entweder der Term vor der Klammer oder die Klammer selbst gleich Null werden kann.
$\begin{array}{rll} x_1&=&0\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll} x^2+x-6&=&0\\ \end{array}$
$\boldsymbol{p}$-$\boldsymbol{q}$-Formel anwenden:
$\begin{array}{rll} x_{2,3}&=&-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}+6}\\ &=&-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{6,25}\\ &=&-\dfrac{1}{2}\pm2,5\\ x_2&=&-3\\ x_3&=&2\\ \end{array}$
Daraus folgen die Punkte $P_1\left(-3\mid 0\right)$; $P_2\left(0\mid 0\right)$; $P_3\left(2\mid 0\right)$.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $y$-Achse:
Um den Schnittpunkt mit der $y$-Achse zu berechnen, setzt du $x=0$ in den Funktionsterm der Funktion $f$ ein.
$\begin{array}{rll} f\left(0\right)&=&0^3+0^2-6\cdot0\\ f\left(0\right)&=&0\\ \end{array}$
Daraus folgt der Punkt $Q\left(0\mid0\right)$.
b)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $x$-Achse:
Setze den Funktionsterm der Funktion $f$ gleich Null und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rll} x^4-5x^2+4&=&0&\scriptsize{ \text{Substitution:}\; z=x^2}\\ z^2-5z+4&=&0\\ \end{array}$
$\boldsymbol{p}$-$\boldsymbol{q}$-Formel anwenden:
$\begin{array}{rll} z_{1,2}&=&\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}-4}\\ &=&\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{2,25}\\ &=&\dfrac{5}{2}\pm1,5\\ z_1&=&1\\ z_2&=&4\\ \end{array}$
Resubstitution:
$\begin{array}{rll} z_2&=&4\\ x_2^2&=&4&\quad\scriptsize{\mid \sqrt{\;}}\\ x_{3,4}&=&\pm2\\ \end{array}$
Daraus folgen die Punkte $P_1\left(-2\mid0\right)$; $P_2\left(-1\mid 0\right)$; $P_3\left(1\mid 0\right)$; $P_4\left(2\mid 0\right)$.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $y$-Achse:
Um den Schnittpunkt mit der $y$-Achse zu berechnen, setzt du $x=0$ in den Funktionsterm der Funktion $f$ ein.
$\begin{array}{rll} f\left(0\right)&=&0^4-5\cdot0^2+4\\ f\left(0\right)&=&4 \end{array}$
Daraus folgt der Punkt $Q\left(0\mid 4\right)$.
3.
Schnittpunkte von $K_f$ mit den Koordinatenachsen berechnen
a)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $x$-Achse:
Setze den Zähler gleich Null und löse $x$ auf:
$\begin{array}{rll} x+1&=&0&\scriptsize{\mid -1}\\ x&=&-1\\ \end{array}$
Daraus folgt der Punkt $P\left(-1\mid 0\right)$.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $y$-Achse:
Um den Schnittpunkt mit der $y$-Achse zu berechnen, setzt du $x=0$ in den Funktionsterm der Funktion $f$ ein.
$\begin{array}{rll} f\left(0\right)&=&\dfrac{0+1}{2\cdot0}\\ &=&\dfrac{1}{0}\\ \end{array}$
Diese Gleichung hat keine Lösung, da man keine Zahl durch 0 teilen darf. Das Schaubild der Funktion besitzt somit keinen Schnittpunkt mit der $y$-Achse.
b)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $x$-Achse:
Setze den Zähler gleich Null und löse $x$ auf:
$\begin{array}{rll} \left(x-2\right)^2&=&0&\scriptsize{\mid \sqrt{\;}}\\ x-2&=&0&\scriptsize{\mid +2}\\ x&=&2\\ \end{array}$
Daraus folgt der Punkt $P\left(2\mid 0\right)$.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $y$-Achse:
Um den Schnittpunkt mit der $y$-Achse zu berechnen, setzt du $x=0$ in den Funktionsterm der Funktion $f$ ein.
$\begin{array}{rll} f\left(0\right)&=&\dfrac{\left(0-2\right)^2}{0+1}\\ &=&\dfrac{4}{1}\\ &=&4\\ \end{array}$
Daraus folgt der Punkt $Q\left(0\mid4\right)$.
c)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $x$-Achse:
Setze den Zähler gleich Null und löse $x$ auf:
$\begin{array}{rll} x^2-4&=&0&\scriptsize{\mid -4}\\ x^2&=&4&\scriptsize{\mid \sqrt{\;}}\\ x_{1,2}&=&\pm2\\ \end{array}$
Daraus folgen die Punkte $P_1\left(-2\mid 0\right)$ und $P_2\left(2\mid 0\right)$.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $y$-Achse:
Um den Schnittpunkt mit der $y$-Achse zu berechnen, setzt du $x=0$ in den Funktionsterm der Funktion $f$ ein.
$\begin{array}{rll} f\left(0\right)&=&\dfrac{0^2-4}{0-1}\\ &=&\dfrac{-4}{-1}\\ f\left(0\right)&=&4\\ \end{array}$
Daraus folgt der Punkt $Q\left(0\mid 4\right)$.
d)
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $x$-Achse:
Setze den Zähler gleich Null und löse $x$ auf:
$\begin{array}{rll} \left(x+1\right)^2-3-x&=&0&\scriptsize{\text{Ausmultiplizieren}}\\ x^2+2x+1-3-x&=&0\\ x^2+x-2&=&0\\ \end{array}$
$ (x+1)^2-3-x=… $
$\boldsymbol{p}$-$\boldsymbol{q}$-Formel anwenden:
$\begin{array}{rll} x_{1,2}&=&-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}+2}\\ &=&-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{2,25}\\ &=&-\dfrac{1}{2}\pm1,5\\ x_1&=&-2\\ x_2&=&1\\ \end{array}$
Daraus folgen die Punkte $P_1\left(-2\mid 0\right)$, $P_2\left(1\mid 0\right)$.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $y$-Achse:
Um den Schnittpunkt mit der $y$-Achse zu berechnen, setzt du $x=0$ in den Funktionsterm der Funktion $f$ ein.
$\begin{array}{rll} f\left(0\right)&=&\dfrac{\left(0+1\right)^2-3-0}{3\cdot0}\\ &=&\dfrac{1-3}{0}\\ \end{array}$
Für diese Gleichung gibt es keine Lösung, weil keine Zahl durch 0 geteilt werden darf.
Das Schaubild dieser Funktion hat also keinen Schnittpunkt mit der $y$-Achse.
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