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Linearfaktorzerlegung

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Erklärung

Ist ein Polynom
$f(x)= a_0 + a_1\cdot x^1 + a_2\cdot x^2 + … + a_n\cdot x^n$
$f(x)= a_0 + a_1\cdot x^1 + a_2\cdot x^2 + … + a_n\cdot x^n$
$ f(x)=… $
gegeben, das die Nullstellen $n_1$, …, $n_m$ besitzt, so können wir dieses Polynom in seine Linearfaktoren zerlegen, das heißt, du kannst eine Darstellung von $f$ der folgenden Form angeben:
$\boldsymbol{f(x)=(x - n_1)\cdot (x - n_2)\cdot … \cdot (x - n_m) \cdot f_r(x)}$
$ f(x)=…$
Dabei ist $f_r$ ein Restterm, der nicht zerlegt werden kann. Um eine solche Darstellung angeben zu können, müssen alle Nullstellen des Polynoms $f$ bekannt sein. Andernfalls kannst du eine Nullstelle bestimmen und mittels Polynomdivision die Linearfaktorzerlegung ermitteln. Beachte, dass du zuvor alle Faktoren ausklammerst und erst dann eine Zerlegung durchführst.
Ein Polynom zerfällt genau dann vollständig in Linearfaktoren, wenn die Anzahl der Nullstellen mit dem höchsten Exponenten des ausmultiplizierten Terms übereinstimmt!

Beispiel

Gegeben sei die Funktion $f(x)=2 \cdot x^2 -2=2 \cdot (x^2-1)$. Zerlege diesen Funktionsterm in seine Linearfaktoren. Das heißt, du musst in einem ersten Schritt alle Nullstellen bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& x^2 -1&\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] 1&=& x^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] \pm 1&=& x & \\ \end{array}$
Es gibt also zwei Nullstellen $n_1=1$ und $n_2=-1$. Die Anzahl der Nullstellen stimmt mit dem höchsten Exponenten $2$ überein, folglich zerfällt das Polynom vollständig in Linearfaktoren:
$(x-1)\cdot (x-(-1)) $$=(x-1)\cdot (x+1) $$=x^2 -2$
Hier muss jetzt nur noch mit dem zuvor ausgeklammerten Faktor $2$ multipliziert werden:
$f(x)=2 \cdot (x-1)\cdot (x+1)$
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Aufgabe 1
Zerlege die folgenden Funktionsterme in ihre Linearfaktoren.
b)
$\quad f_2(x)=x^2+4x+3$
d)
$\quad f_4(x)=x^3+3x^2+3x+1$
f)
$\quad f_6(x)=x^3+2x^2-5x-6$
h)
$\quad f_8(x)=x^3+x^2-2x$
Aufgabe 2
Entscheide, ob eine vollständige Linearfaktorzerlegung existiert und gib diese, wenn möglich, an.
b)
$\quad g_2(x)=x^2+9x+20$
d)
$\quad g_4(x)=x^2+6x-6$
f)
$\quad g_6(x)=3x^2-24x+12$
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Lösungen
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Aufgabe 1
Um die Funktionsterme in Linearfaktoren zu zerlegen, ermitteln wir zunächst ihre Nullstellen.
a)
Mit Null Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&x^2-4 &\quad \scriptsize \mid\; +4\\[5pt] 4&=&x^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] \pm 2&=&x &\\ \end{array}$
Die Nullstellen lauten $\boldsymbol{x_1=2}$ und $\boldsymbol{x_2=-2}$. Wir überprüfen die Darstellung:
$\begin{array}[t]{rll} (x-2)(x-(-2))&=&(x-2)(x+2) &\quad \\[5pt] &=&x^2-4 &\quad \\ \end{array}$
$ (x-2)(x-(-2))=… $
Damit ist $f_1(x)=(x-2)(x+2)$ die gesuchte Linearfaktorzerlegung.
b)
Mit Null Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&x^2+4x+3 &\quad \scriptsize \; \\ \end{array}$
Wende die Mitternachtsformel an, es gilt $a=1$, $b=4$ und $c=3$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&\dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 4 \pm \sqrt {4^2 - 4\cdot 1 \cdot 3} }}{{2\cdot 1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 4 \pm \sqrt {4} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 4 \pm 2 }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_1&=& -1 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& -3 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Nullstellen lauten $\boldsymbol{x_1=-1}$ und $\boldsymbol{x_2=-3}$. Wir überprüfen die Darstellung:
$\begin{array}[t]{rll} (x-(-1))(x-(-3))&=&(x+1)(x+3) &\quad \\[5pt] &=&x^2+4x+3 &\quad \\ \end{array}$
$ (x-(-1))(x-(-3))=… $
Damit ist $f_2(x)=(x+1)(x+3)$ die gesuchte Linearfaktorzerlegung.
c)
Mit Null Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&x^2-8x+16 &\quad \scriptsize \; \\ \end{array}$
Wende die Mitternachtsformel an, es gilt $a=1$, $b=-8$ und $c=16$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&\dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - (-8) \pm \sqrt {(-8)^2 - 4\cdot 1 \cdot 16} }}{{2\cdot 1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ 8 \pm \sqrt {0} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_1&=& 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ x_{1,2}=… $
Es liegt eine doppelte Nullstelle $\boldsymbol{x_{1,2}=4}$ vor. Wir überprüfen die Darstellung:
$\quad \begin{array}[t]{rll} (x-4)(x-4)&=&(x-4)^2 &\quad \\[5pt] &=&x^2-8x+16 &\quad \\ \end{array}$
$ (x-4)(x-4)=… $
Damit ist $f_3(x)=(x-4)^2$ die gesuchte Linearfaktorzerlegung.
d)
Mit Null Gleichsetzen liefert:
$ \begin{array}[t]{rll} 0&=&x^3+3x^2+3x+1 &\quad \scriptsize \; \\ \end{array}$
Hier kann keine Mitternachtsformel angewandt werden, da der höchste Exponent $3$ ist. Rate zunächst eine Nullstelle und klammere diesen Linearfaktor aus. Auf den Restterm kannst du dann schließlich die Mitternachtsformel anwenden.
Für $x=-1$ liegt eine Nullstelle vor. Klamere nun $(x-(-1))=(x+1)$ aus:
$\begin{array}[t]{rll} x^3+3x^2+3x+1&=&(x+1)\cdot (x^2+2x+1) &\quad \scriptsize \; \\ \end{array}$
$ x^3+3x^2+3x+1=… $
Wende die Mitternachtsformel auf den Restterm an, es gilt $a=1$, $b=2$ und $c=1$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&\dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 2 \pm \sqrt {2^2 - 4\cdot 1 \cdot 1} }}{{2\cdot 1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 2 \pm \sqrt {0} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_1&=& -1 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& -1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Es liegt eine doppelte Nullstelle $\boldsymbol{x_{1,2}=-1}$ vor. Wir überprüfen die Darstellung:
$\begin{array}[t]{rll} (x-(-1))(x-(-1))&=&(x+1)(x+1) &\quad \\[5pt] &=&x^2+2x+1 &\quad \\ \end{array}$
$ (x-(-1))(x-(-1))=… $
Damit ist $f_4(x)=(x+1)(x+1)(x+1)$ die gesuchte Linearfaktorzerlegung.
e)
Mit Null Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&x^2-x &\quad \scriptsize \; \text{ausklammern}\\[5pt] 0&=&x(x-1) &\quad \\ \end{array}$
Die Nullstellen können nach dieser Umformung direkt abgelesen werden und lauten $\boldsymbol{x_1=0}$ und $\boldsymbol{x_2=1}$.
Damit ist $f_5(x)=(x-0)(x-1)=x(x-1)$ die gesuchte Linearfaktorzerlegung.
f)
Mit Null Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&x^3+2x^2-5x-6 &\quad \scriptsize \; \\ \end{array}$
Hier kann keine Mitternachtsformel angewandt werden, da der höchste Exponent $3$ ist. Rate zunächst eine Nullstelle und klammere diesen Linearfaktor aus. Auf den Restterm kannst du dann schließlich die Mitternachtsformel anwenden.
Für $x=-3$ liegt eine Nullstelle vor. Klamere nun $(x-(-3))=(x+3)$ aus:
$\begin{array}[t]{rll} x^3+2x^2-5x-6&=&(x+3)\cdot (x^2-x-2) &\quad \scriptsize \; \\ \end{array}$
$ x^3+2x^2-5x-6=… $
Wende die Mitternachtsformel auf den Restterm an, es gilt $a=1$, $b=-1$ und $c=-2$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&\dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - (-1) \pm \sqrt {(-1)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-2)} }}{{2\cdot 1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ 1 \pm \sqrt {9} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ 1 \pm 3 }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_1&=& 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& -1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ x_{1,2}=… $
Die Nullstellen lauten $\boldsymbol{x_1=2}$ und $\boldsymbol{x_2=-1}$. Wir überprüfen die Darstellung:
$\begin{array}[t]{rll} (x-2)(x-(-1))&=&(x-2)(x+1) &\quad \\[5pt] &=&x^2-x-2 &\quad \\ \end{array}$
$ (x-2)(x-(-1))=… $
Damit ist $f_6(x)=(x+3)(x-2)(x+1)$ die gesuchte Linearfaktorzerlegung.
g)
Mit Null Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&x+1 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] -1&=&x &\quad \\ \end{array}$
Die Nullstelle kann nach dieser Umformung direkt abgelesen werden und lautet $\boldsymbol{x_1=-1}$. Der Funktionsterm war bereits in Linearfaktordarstellung.
Damit ist $f_7(x)=(x-(-1))=x+1$ die gesuchte Linearfaktorzerlegung.
h)
Mit Null Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&x^3+x^2-2x &\quad \scriptsize \; \text{ausklammern} \\[5pt] 0&=&x(x^2+x-2) &\quad \scriptsize \; \\[5pt] 0&=&(x-0)(x^2+x-2) &\quad \scriptsize \; \\ \end{array}$
$ 0=… $
Wende die Mitternachtsformel auf den Restterm an, es gilt $a=1$, $b=1$ und $c=-2$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&\dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {1^2 - 4\cdot 1 \cdot (-2)} }}{{2\cdot 1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {9} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 1 \pm 3 }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_1&=& 1 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& -2 &\quad \scriptsize \\ \end{array}$
Die Nullstellen lauten $\boldsymbol{x_1=1}$ und $\boldsymbol{x_2=-2}$. Wir überprüfen die Darstellung:
$\begin{array}[t]{rll} (x-1)(x-(-2))&=&(x-1)(x+2) \\[5pt] &=&x^2+x-2 \\ \end{array}$
Damit ist $f_8(x)=(x)(x-1)(x+2)$ die gesuchte Linearfaktorzerlegung.
i)
Mit Null Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&x^3+3x^2 &\quad \scriptsize \; \text{ausklammern}\\[5pt] 0&=&x \cdot x \cdot (x+3) &\quad \scriptsize \; \\[5pt] 0&=&(x-0) \cdot (x-0) \cdot (x+3) &\quad \scriptsize \; \\ \end{array}$
$ 0=x^3+3x^2 … $
Die Nullstellen können nach dieser Umformung direkt abgelesen werden und lauten $\boldsymbol{x_1=-3}$ und $\boldsymbol{x_{2,3}=0}$.
Damit ist $f_9(x)=x \cdot x \cdot (x+3)$ die gesuchte Linearfaktorzerlegung.
Aufgabe 2
Eine vollständige Linearfaktorzerlegung existiert, wenn die Anzahl der Nullstellen im Reellen dem höchsten Exponenten im ausmultiplizierten Funktionsterm entspricht.
a)
Der höchste Exponent ist $2$, du musst also $2$ Nullstellen finden. Setze mit Null gleich:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&x^2+x+3 &\quad \scriptsize \\ \end{array}$
An dieser Stelle kannst du die Mitternachtsformel anwenden. Es gilt $a=1$, $b=1$ und $c=3$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&\dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {1^2 - 4\cdot 1 \cdot 3} }}{{2\cdot 1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {-11} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\ \end{array}$
Unter der Wurzel steht eine negative Zahl. Folglich hat diese Funktion keine Nullstellen.
Demnach existiert auch keine Linearfaktorzerlegung.
b)
Der höchste Exponent ist $2$, du musst also $2$ Nullstellen finden. Setze mit Null gleich:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&x^2+9x+20 &\quad \scriptsize \\ \end{array}$
An dieser Stelle kannst du die Mitternachtsformel anwenden. Es gilt $a=1$, $b=9$ und $c=20$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&\dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 9 \pm \sqrt {9^2 - 4\cdot 1 \cdot 20} }}{{2\cdot 1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 9 \pm \sqrt {1} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_1&=&-4 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=&-5 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Nullstellen lauten $\boldsymbol{x_1=-4}$ und $\boldsymbol{x_2=-5}$. Wir überprüfen die Darstellung:
$\begin{array}[t]{rll} (x-(-4))(x-(-5))&=&(x+4)(x+5) &\quad \\[5pt] &=&x^2+9x+20 &\quad \\ \end{array}$
$ (x-(-4))(x-(-5))=… $
Damit ist $g_2(x)=(x-(-4))(x-(-5))$$=(x+4)(x+5)$ die gesuchte Linearfaktorzerlegung.
c)
Der höchste Exponent ist $2$, du musst also $2$ Nullstellen finden. Setze mit Null gleich:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&2x^2-8 &\quad \scriptsize \; \text{ausklammern}\\[5pt] 0&=&2(x^2-4) &\quad \scriptsize \; \\ \end{array}$
Es konnte ein Vorfaktor ausgeklammert werden. Kannst du eine Linearfaktordarstellung für den Term in der Klammer finden?
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&x^2-4 &\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] 4&=&x^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] \pm 2&=&x &\quad \scriptsize \mid\; \\ \end{array}$
Die Nullstellen lauten $\boldsymbol{x_1=2}$ und $\boldsymbol{x_2=-2}$. Damit existieren $2$ Nullstellen und folglich existiert die Linearfaktorzerlegung.
Wir überprüfen die Darstellung:
$\begin{array}[t]{rll} (x-2)(x-(-2))&=&(x-2)(x+2) &\quad \\[5pt] &=&x^2-4 &\quad \\ \end{array}$
$ (x-2)(x-(-2))=… $
Beachte den zuvor ausgeklammerten Vorfaktor und du erhältst schließlich $g_3(x)=2 \cdot (x-2)(x+2)$ als Linearfaktorzerlegung.
d)
Der höchste Exponent ist $2$, du musst also $2$ Nullstellen finden. Setze mit Null gleich:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&x^2+6x-6 &\quad \scriptsize \\ \end{array}$
An dieser Stelle kannst du die Mitternachtsformel anwenden. Es gilt $a=1$, $b=6$ und $c=-6$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&\dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 6 \pm \sqrt {6^2 - 4\cdot 1 \cdot (-6)} }}{{2\cdot 1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 6 \pm \sqrt {60} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 6 \pm 2\sqrt {15} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 3 \pm \sqrt {15} }}{{1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_1&=&- 3 + \sqrt {15} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=&- 3 - \sqrt {15} &\quad \scriptsize \\ \end{array}$
Die Nullstellen lauten $\boldsymbol{x_1=- 3 + \sqrt {15}}$ und $\boldsymbol{x_2=- 3 - \sqrt {15}}$. Wir überprüfen die Darstellung:
$\begin{array}[t]{rll} \left(x-\left(- 3 + \sqrt {15}\right)\right)\left(x-\left(- 3 - \sqrt {15}\right)\right)&=&\left(x+3 - \sqrt {15}\right)\left(x+3 + \sqrt {15}\right) &\quad \\[5pt] &=&x^2+6x-6 &\quad \\ \end{array}$
$ (x-(-4))(x-(-5))=… $
Damit ist $g_4(x)=\left(x+3 - \sqrt {15}\right)\left(x+3 + \sqrt {15}\right)$ die gesuchte Linearfaktorzerlegung.
e)
Der höchste Exponent ist $2$, du musst also $2$ Nullstellen finden. Setze mit Null gleich:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&x^2-x+7 &\quad \scriptsize \\ \end{array}$
An dieser Stelle kannst du die Mitternachtsformel anwenden. Es gilt $a=1$, $b=-1$ und $c=7$.
$\quad \begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&\dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - (-1) \pm \sqrt {(-1)^2 - 4\cdot 1 \cdot 7} }}{{2\cdot 1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ 1 \pm \sqrt {-27} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ x_{1,2}=… $
Unter der Wurzel steht eine negative Zahl. Folglich hat diese Funktion keine Nullstellen.
Demnach existiert auch keine Linearfaktorzerlegung.
f)
Der höchste Exponent ist $2$, du musst also $2$ Nullstellen finden. Setze mit Null gleich:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&3x^2-24x+12 &\quad \scriptsize \; \text{ausklammern}\\[5pt] 0&=&3(x^2-8x+4) &\quad \scriptsize \; \\ \end{array}$
$ 0=… $
Es konnte ein Vorfaktor ausgeklammert werden.
Kannst du eine Linearfaktordarstellung für den Term in der Klammer finden?
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&x^2-8x+4 &\quad \scriptsize \\ \end{array}$
An dieser Stelle kannst du die Mitternachtsformel anwenden. Es gilt $a=1$, $b=-8$ und $c=4$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&\dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - (-8) \pm \sqrt {(-8)^2 - 4\cdot 1 \cdot 4} }}{{2\cdot 1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ 8 \pm 4\sqrt {3} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ 4 \pm 2\sqrt {3} }}{{1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_1&=&4 + 2\sqrt {3} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=&4 - 2\sqrt {3} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ x_{1,2}=… $
Die Nullstellen lauten $\boldsymbol{x_1=4 + 2\sqrt {3}}$ und $\boldsymbol{x_2=4 - 2\sqrt {3}}$. Damit existieren $2$ Nullstellen und folglich existiert die Linearfaktorzerlegung. Wir überprüfen die Darstellung:
$\begin{array}[t]{rll} \left(x-\left(4 + 2\sqrt {3}\right)\right)\left(x-\left(4 - 2\sqrt {3}\right)\right)&=&\left(x-\left(4 + 2\sqrt {3}\right)\right)\left(x-\left(4 - 2\sqrt {3}\right)\right) &\quad \\[5pt] &=&\left(x-4 - 2\sqrt {3}\right)\left(x-4 +2\sqrt {3}\right) &\quad \\[5pt] &=&x^2-8x+4&\quad \\ \end{array}$
$ (x-(4+2\sqrt{3}))… $
Beachte den zuvor ausgeklammerten Vorfaktor und du erhältst schließlich $g_6(x)$$ =3 \cdot \left(x-4 - 2\sqrt {3}\right)\left(x-4 +2\sqrt {3}\right)$ als Linearfaktorzerlegung.
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