Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gymnasium (G9)
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 10
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Funktionen
Differenzialrechnung
Einführung
Tangentensteigung
Einführung
h-Schreibweise
Änderungsrate
Differenzenquotient
Ableitungsfunktion
Ableiten von Potenzfu...
Ableiten von Sinus un...
Ableitungsregeln
Faktor- und Summenreg...
Kettenregel
Quotientenregel
Produktregel
Vermischte Aufgaben
Ganzrationale Funktio...
Einführung
Symmetrie
Grenzwerte
Nullstellen
Einführung
Linearfaktorzerlegung
Monotonie
Extremstellen
Vermischte Aufgaben
Wachstum
Einführung
Bestandsänderung
Änderungsrate
Rekonstruktion des Be...
Überlagerung von expo...
Beschränktes Wachstum
Logistisches Wachstum
Vermischte Aufgaben
Periodische Vorgänge
Einführung
Bogenmaß
Sinus- und Kosinusfun...
Einheitskreis
Eigenschaften
Streckung und Stauchu...
Verschiebung
Modellierung
Vermischte Aufgaben
Daten und Zufall
Arithmetisches Mittel
Zufallsvariable
Erwartungswert
Bernoulli-Kette
Binomialverteilung
Abhängigkeit und Unab...
Vermischte Aufgaben
Geometrie
Punkte
Vektoren
Einführung
Addition und Subtrakt...
Vervielfachen
Geraden
Geradengleichung
Punktprobe
Lage von Geraden
Potenzen
Einführung
Quadratzahlen und Po...
Rechnen mit Potenzen
Einfache Potenzen
Potenzen mit neg. Hoc...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen potenzieren
Potenzgesetze für rat...
Wissenschaftliche Sch...
Einführung
Ausrechnen und Umform...
Gleichungen
Potenzgleichungen lös...
Wurzeln
Einführung
Quadratwurzel
Irrationale Wurzeln
Intervallhalbierung
Heron-Verfahren
Reelle Zahlen
Rechnen mit Wurzeln
Addition und Subtrakt...
Multiplikation und Di...
Teilweise Wurzel zieh...
Wurzelgesetze
Wurzelgleichungen
Vermischte Aufgaben

Vermischte Aufgaben

Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.
Untersuchung der Funktion
Du hast die Funktion $f$ mit dem Funktionsterm $f(x)=2x^4-3x^2$ gegeben.
a)
Untersuche, ob der Graph von $f$ symmetrisch ist.
b)
Untersuche das Grenzwertverhalten.
c)
Bestimme die Koordinaten der Nullstellen von $f$ und deren Art.
d)
Untersuche auf welchen Intervallen die Funktion monoton fallend und monoton steigend ist.
e)
Bestimme die Extrempunkte des Graphen von $f$. Nutze dabei die Informationen aus Teilaufgabe d).
Bestimme die Extrempunkte des Graphen von
$f$. Nutze dabei die Informationen aus Teilaufgabe d).
2.
Extrempunkte
Bestimme die Extrempunkte des Graphen der Funktion $f(x)=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-6x$. Verwende die zweite Ableitung, um das hinreichende Kriterium zu überprüfen.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.
Untersuchung der Funktion
a)
$\blacktriangleright$   Symmetrie untersuchen
Der Funktionsterm von $f$ hat nur gerade Exponenten. Damit ist der Graph der Funktion symmetrisch zur $y$-Achse.
Dies kannst du auch mit folgender Gleichung zeigen. Damit eine Graph $y$-achsensymmetrisch ist, muss gelten:
$f(-x)\;=\;f(x)$
$f(-x)\;=\;f(x)$
$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=& 2\cdot(-x)^4-3\cdot(-x)^2 \\[5pt] &=& 2x^4-3x^2 \\[5pt] &=& f(x) \end{array}$
Der Graph der Funktion ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
b)
$\blacktriangleright$   Grenzwertverhalten untersuchen
Um zu untersuchen, ob die Funktion $f$ einen Grenzwert hat, untersuchst du das Verhalten von $f$ für $x\to\pm\infty$.
Der Funktionsterm enthält nur gerade Exponenten, die Funktion strebt daher gegen $\infty$.
Der Funktionsterm enthält nur gerade Exponenten, die Funktion strebt daher gegen
$\infty$.
Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\pm\infty} f(x)&=& \lim\limits_{x\to\pm\infty} \left(2x^4-3x^2\right)\\[5pt] &=&\infty \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$   Nullstellen bestimmen
Die Nullstellen der Funktion bestimmst du, indem du den Funktionsterm gleich Null setzt und nach $x$ auflöst. Beachte dabei den Satz vom Nullprodukt.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\[5pt] 2x^4-3x^2&=& 0\\[5pt] x^2\cdot\left(2x^2-3\right)&=& 0 &\quad \scriptsize \text{Satz vom Nullprodukt} \\[5pt] x_{1,2}&=& 0\\[5pt] 2x^2-3&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt] 2x^2&=& 3&\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x^2&=& \frac{3}{2}&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_{3,4}&=& \pm\sqrt{\frac{3}{2}} \end{array}$
$ f(x)=… $
Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle mit den Koordinaten $N_{1,2}(0\mid0)$ und zwei weitere Nullstellen mit den Koordinaten $N_3\left(-\frac{3}{2}\mid0\right)$ und $N_4\left(\frac{3}{2}\mid0\right)$.
d)
$\blacktriangleright$   Monotonieintervalle untersuchen
Ein Graph einer Funktion $f$ ist
  • $\quad$monoton steigend, falls $f'(x)\geq 0$ gilt.
  • $\quad$monoton fallend, falls $f'(x)\leq 0$ gilt.
Du kannst so vorgehen:
  1. $\quad$Bilde zunächst die erste Ableitung $f'$.
  2. $\quad$Um zu untersuchen, wann die erste Ableitung kleiner oder größer Null ist, setzt du diese gleich Null und löst nach $x$ auf. An dieser Stelle wechselt die Funktion ihr Monotonieverhalten.
  3. $\quad$Setze einen Wert kleiner oder größer des ermittelten Wertes in den Term der ersten Ableitung ein, um das Monotonieverhalten zu bestimmen.
1. Schritt: Erste Ableitung $\boldsymbol{f'}$ bilden
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 2x^4-3x^2 \\[5pt] f'(x)&=& 8x^3-6x \end{array}$
2. Schritt: Erste Ableitung gleich Null setzen
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 0 \\[5pt] 8x^3-6x &=& 0\\[5pt] x(8x^2-6)&=& 0&\quad \scriptsize \text{Satz vom Nullprodukt} \\[5pt] x_1&=& 0\\[5pt] 8x^2-6&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +6\\[5pt] 8x^2&=& 6&\quad \scriptsize \mid\; :8\\[5pt] x^2&=& \frac{6}{8}&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_{2,3}&=& \pm\sqrt{\frac{3}{4}}\\[5pt] x_{2,3}&\approx& \pm0,87 \end{array}$
$ f'(x)=… $
Du erhältst also folgende Monotonieintervalle:
  • $\quad(-\infty;-0,87]$
  • $\quad[-0,87;0]$
  • $\quad[0;0,87]$
  • $\quad[0,87;\infty)$
3. Schritt: Monotonieverhalten in den Intervallen bestimmen
Setze nun Werte aus den Intervallen in den Term der ersten Ableitung ein.
$\boldsymbol{(-\infty;-0,87]}:$
Einsetzen von $x=-1$:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 8x^3-6x \\[5pt] f'(-1)&=& 8\cdot (-1)^3-6\cdot(-1)\\[5pt] &=& -8+6\\[5pt] &=& -2&\quad \scriptsize <0 \\[5pt] \end{array}$
$\boldsymbol{[-0,87;0]}:$
Einsetzen von $x=-\frac{1}{2}$:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 8x^3-6x \\[5pt] f'\left(-\frac{1}{2}\right)&=& 8\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^3-6\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\\[5pt] &=& 8\cdot\left(-\frac{1}{8}\right)+\frac{6}{2}\\[5pt] &=& -1+3\\[5pt] &=& 2&\quad \scriptsize >0 \\[5pt] \end{array}$
$ f'(x)=… $
$\boldsymbol{[0;0,87]}:$
Einsetzen von $x=\frac{1}{2}$:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 8x^3-6x \\[5pt] f'\left(\frac{1}{2}\right)&=& 8\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3-6\cdot\frac{1}{2}\\[5pt] &=& 8\cdot\left(\frac{1}{8}\right)-\frac{6}{2}\\[5pt] &=& 1-3\\[5pt] &=& -2&\quad \scriptsize <0 \\[5pt] \end{array}$
$\boldsymbol{[0,87;\infty)}:$
Einsetzen von $x=1$:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 8x^3-6x \\[5pt] f'(1)&=& 8\cdot 1^3-6\cdot1\\[5pt] &=& 8-6\\[5pt] &=& 2&\quad \scriptsize >0 \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion $f$ ist in den Intervallen $(-\infty;-0,87]$ und $[0;0,87]$ monoton fallend. In den Intervallen $[-0,87;0]$ und $[0,87;\infty)$ ist die Funktion $f$ monoton steigend.
e)
$\blacktriangleright$   Extrempunkte bestimmen
Für einen Extrempunkt eines Graphen von $f$ müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  1. $\quad$Notwendiges Kriterium: $f'(x_E) = 0$
  2. $\quad$Hinreichendes Kriterium: Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten
    • $\quad$Wert der zweiten Ableitung: $f''(x_E) <0$ $\Rightarrow$ An der Stelle $x_E$ liegt ein Hochpunkt des Graphen von $f$. $f''(x_E) > 0$ $\Rightarrow$ An der Stelle $x_E$ befindet sich ein Tiefpunkt des Graphen von $f$
    • $\quad$Vorzeichen-Wechsel der ersten Ableitung: Ist der Wert der ersten Ableitung von $f$ vor der Stelle $x_E$ positiv und nach $x_E$ negativ, so liegt in $x_E$ ein Hochpunkt des Graphen.
      Umgekehrt: Ist der Wert der ersten Ableitung von $f$ vor der Stelle $x_E$ negativ und nach $x_E$ positiv, so liegt in $x_E$ ein Tiefpunkt des Graphen.
Aus Teilaufgabe d) weißt du, dass das notwendige Kriterium für $x_1=0$, $x_2=-0,87$ und $x_3=0,87$ erfüllt ist.
Außerdem kennst du durch die Untersuchung des Monotonieverhaltens, wie sich das Vorzeichen der ersten Ableitung $f'$ an diesen Stellen ändert.
An der Stelle $x_1=0$ ändert sich das Vorzeichen von $+$ nach $-$. Damit hat die Funktion an der Stelle $x_1=0$ ein Maximum.
An den Stellen $x_2=-0,87$ und $x_3=0,87$ ändert sich das Vorzeichen der ersten Ableitung $f'$ von $-$ nach $+$. Somit liegt an diesen Stellen jeweils ein Minimum vor.
Die vollständigen Koordinaten erhältst du, indem du $x_1$, $x_2$ und $x_3$ in den Funktionsterm einsetzt.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 2x^4-3x^2 \\[5pt] f(0)&=& 2\cdot0^4-3\cdot0^2\\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f\left(-\sqrt{\frac{3}{4}}\right)&=& 2\cdot\left(-\sqrt{\frac{3}{4}}\right)^4-3\cdot\left(-\sqrt{\frac{3}{4}}\right)^2\\[5pt] &=& 2\cdot\dfrac{9}{16}-3\cdot\dfrac{3}{4}\\[5pt] &=& \dfrac{9}{8}-\dfrac{9}{4}\\[5pt] &=& -\dfrac{9}{8}\\[5pt] &\approx& -1,13 \end{array}$
$ f\left(-\sqrt{\frac{3}{4}}\right)=… $
$\begin{array}[t]{rll} f\left(\sqrt{\frac{3}{4}}\right)&=& 2\cdot\left(\sqrt{\frac{3}{4}}\right)^4-3\cdot\left(\sqrt{\frac{3}{4}}\right)^2\\[5pt] &=& 2\cdot\dfrac{9}{16}-3\cdot\dfrac{3}{4}\\[5pt] &=& \dfrac{9}{8}-\dfrac{9}{4}\\[5pt] &=& -\dfrac{9}{8}\\[5pt] &\approx& -1,13 \end{array}$
Der Graph von $f$ hat einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(0\mid0)$ und zwei Tiefpunkte mit den Koordinaten $T_1(-0,87\mid-1,13)$ und $T_2(0,87\mid-1,13)$.
2.
Extrempunkte bestimmen
Um die Extremstellen einer Funktion $f$ zu bestimmen, muss das notwendige und hinreichende Kriterium erfüllt sein. Kennst du diese nicht mehr, kannst du sie in Aufgabe 1. e) nachlesen. Hier sollst du nun das hinreichende Kriterium mit der zweiten Ableitung überprüfen.
Du kannst nun so vorgehen:
  1. $\quad$Bilde die erste und zweite Ableitung
  2. $\quad$Prüfe das notwenidge Kriterium
  3. $\quad$Prüfe das hinreichende Kriterium
  4. $\quad$Berechne die vollständigen Koordinaten
1. Schritt: Ableitungen bilden
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-6x\\[5pt] f'(x)&=& x^2+x-6\\[5pt] f''(x)&=& 2x+1 \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium prüfen
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 0\\[5pt] x^2+x-6&=& 0&\quad \scriptsize \text{Mitternachtsformel}\\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-6)}}{2\cdot1}\\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-1\pm\sqrt{25}}{2}\\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-1\pm5}{2}\\[5pt] x_1&=& -3\\[5pt] x_2&=& 2 \end{array}$
$ f'(x)=… $
Die Funktion hat an den Stellen $x_1=-3$ und $x_2=2$ potenzielle Extremstellen.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium prüfen
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=& 2x+1\\[5pt] f''(-3)&=& 2\cdot(-3)+1\\[5pt] f''(-3)&=& -6+1\\[5pt] f''(-3)&=& -5&\quad \scriptsize <0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=& 2x+1\\[5pt] f''(2)&=& 2\cdot2+1\\[5pt] f''(2)&=& 4+1\\[5pt] f''(2)&=& 5&\quad \scriptsize >0 \end{array}$
Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x_1=-3$ einen Maximum und an der Stelle $x_2=2$ ein Minimum.
4. Schritt: Vollständige Koordinaten berechnen
Setze $x_1=-3$ und $x_2=2$ in den Funktionsterm von $f$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-6x\\[5pt] f(-3)&=& \frac{1}{3}\cdot(-3)^3+\frac{1}{2}\cdot(-3)^2-6\cdot(-3)\\[5pt] f(-3)&=& \frac{1}{3}\cdot(-27)+\frac{1}{2}\cdot9+18\\[5pt] f(-3)&=& -9+\frac{9}{2}+18\\[5pt] f(-3)&=& 13,5 \end{array}$
$ f(x)=… $
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-6x\\[5pt] f(2)&=& \frac{1}{3}\cdot2^3+\frac{1}{2}\cdot2^2-6\cdot2\\[5pt] f(2)&=& \frac{1}{3}\cdot8+\frac{1}{2}\cdot4-12\\[5pt] f(2)&=& \frac{8}{3}+2-12\\[5pt] f(2)&=& -\frac{22}{3}\\[5pt] f(2)&\approx& -7,33 \end{array}$
Der Graph von $f$ hat einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(-3\mid13,5)$ und einen Tiefpunkt $T(2\mid-7,33)$.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App