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Einführung

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Funktion

Eine Funktion ist eine Zuordnungsvorschrift. Das heißt, eine Funktion weist jedem Funktionsargument oder $x$-Wert einen Funktionswert oder $y$-Wert zu.
Jede Funktion hat eine Funktionsgleichung. Diese kann zum Beispiel so aussehen: $y=2\cdot x +1$.
Willst du den $y$-Wert für einen bestimmten $x$-Wert ermitteln, musst du den $x$-Wert in die Funktionsgleichung einsetzen und umgekehrt.

Beispiel

Die gegebene Funktionsgleichung ist: $y=2\cdot x+1$.
Du kannst damit den $y$-Wert für jeden $x$-Wert bestimmen. Die $y$-Werte für die $x$-Werte $x=0$, $x=1$ und $x=3$ sind:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 2\cdot x+1 \\[5pt] y&=& 2\cdot 0 +1 &=1\\[5pt] y&=& 2\cdot 1 +1 &=3\\[5pt] y&=& 2\cdot 3 +1 &=7\\[5pt] \end{array}$

Graph einer Funktion

Für jeden $x$-Wert erhältst du durch die Funktion einen $y$-Wert. Diese Werte kannst du als Koordinaten eines Punktes in einem Koordinatensystem sehen. Trägst du mehrere dieser Punkte in ein Koordinatensystem ein, kannst du daraus den Graph der Funktion zeichen.

Beispiel

Du verwendest hier die gleiche Funktion wie im Beispiel zuvor. Du kennst jetzt schon $3$ Punkte des Graphen: $P_1\,(0\,|\,1)$, $P_2\,(1\,|\,3)$ und $P_3\,(3\,|\,7)$.
Funktionen: Einführung
Funktionen: Einführung
Hier ist der Graph der Funktion eine Gerade. Die Funktion ist somit eine lineare Funktion. Bei anderen Funktionstypen variieren die Formen der Graphen.
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Aufgaben
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1. Finde die Funktionswerte für die gegebenen Funktionsgleichungen und $\boldsymbol{x}$-Werte:
a) Funktionsgleichung: $y=3\cdot x +1\;$, $\;x$-Werte: $x=0$, $x=2$ und $x=5$.
b) Funktionsgleichung: $y=(x-1)\cdot 2\;$, $\;x$-Werte: $x=1$, $x=-1$, $x=0$ und $x=3$.
c) Funktionsgleichung: $y=0,5 \cdot x -1\;$, $\;x$-Werte: $x=0$, $x=-2$, $x=4$ und $x=5$.
d) Funktionsgleichung:$y=-4\cdot x +2\;$, $\;x$-Werte: $x=-1$, $x=2$ und $x=3$.
2. Bestimme jeweils $\boldsymbol{3}$ Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen und zeichne den Graphen der Funktion:
a) Funktionsgleichung: $y=x+4$.
b) Funktionsgleichung: $y=3\cdot x -2$.
c) Funktionsgleichung: $y=-2\cdot x +3,5$.
3.  Bestimme die fehlenden Koordinaten so, dass die Punkte auf der Geraden mit der Gleichung $\boldsymbol{y=-2x+2}$ liegen.
a)  $P(2 \mid ?)$
b)  $Q(-1 \mid ?)$
c)  $T(? \mid 4)$
d)  $A(? \mid -6)$
e)  Schnittpunkt $x$-Achse $S_x(? \mid ?)$
f)  Schnittpunkt $y$-Achse $S_y(? \mid ?)$
4.   Überprüfe, ob die angegebenen Punkte auf dem Graphen der Funktion liegen: $\boldsymbol{y=0,5\cdot x -2}$
a)  $P_1(2 \mid -1)$
b)  $Q(0 \mid -2)$
c)  $T(-2 \mid 1)$
d)  $A(-1 \mid -2,5)$
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Lösungen
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1. Setze jeweils die $\boldsymbol{x}$-Werte in die Funktionsgleichung ein, um den passenden $\boldsymbol{y}$-Wert zu finden.
a) $\begin{array}[t]{rll} y&=& 3\cdot x +1 \\[5pt] y&=& 3\cdot 0 +1 &= 1\\[5pt] y&=& 3\cdot 2 +1 &= 7\\[5pt] y&=& 3\cdot 5 +1 &= 16\\[5pt] \end{array}$
b) $\begin{array}[t]{rll} y&=&(x-1)\cdot 2 \\[5pt] y&=&(1-1)\cdot 2 &= 0\\[5pt] y&=&(-1-1)\cdot 2 &= -4\\[5pt] y&=&(0-1)\cdot 2 &= -2\\[5pt] y&=&(3-1)\cdot 2 &= 4\\[5pt] \end{array}$
c) $\begin{array}[t]{rll} y&=& 0,5 \cdot x -1 \\[5pt] y&=& 0,5 \cdot 0 -1 &= -1\\[5pt] y&=& 0,5 \cdot -2 -1 &= -2\\[5pt] y&=& 0,5 \cdot 4 -1 &= 1\\[5pt] y&=& 0,5 \cdot 5 -1 &= 1,5\\[5pt] \end{array}$
d) $\begin{array}[t]{rll} y&=& -4\cdot x + 2 \\[5pt] y&=& -4\cdot -1 + 2 &= 6\\[5pt] y&=& -4\cdot 2 + 2 &= -6\\[5pt] y&=& -4\cdot 3 + 2 &= -10\\[5pt] \end{array}$
2. Bestimme jeweils $\boldsymbol{3}$ Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen und zeichne den Graphen der Funktion:
Setze jeweils $3$ $x$-Werte in die Funktionsgleichgung ein. Zum Beispiel $x=0$, $x=1$ und $x=2$. Zeichene anschließend die bestimmten Punkte und den Graph der Funktion in ein Koordinatensystem ein:
a) $\begin{array}[t]{rll} y&=& x+4\\[5pt] y&=& 0 + 4 &= 4 \Rightarrow P_0\,(0\,|\, 4)\\[5pt] y&=& 1 + 4 &= 5 \Rightarrow P_1\,(1\,|\, 5)\\[5pt] y&=& 2 + 4 &= 6 \Rightarrow P_2\,(2\,|\, 6)\\[5pt] \end{array}$
Funktionen: Einführung
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b) $\begin{array}[t]{rll} y&=& 3\cdot x - 2\\[5pt] y&=& 3\cdot 0 - 2 = -2 \Rightarrow P_0\,(0\,|\, -2)\\[5pt] y&=& 3\cdot 1 - 2 = 1 \Rightarrow P_1\,(1\,|\, 1)\\[5pt] y&=& 3\cdot 2 - 2 = 4 \Rightarrow P_2\,(2\,|\, 4)\\[5pt] \end{array}$
Funktionen: Einführung
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c)
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -2\cdot x +3,5\\[5pt] y&=& -2\cdot 0 +3,5 = 3,5 \Rightarrow P_0\,(0\,|\, 3,5)\\[5pt] y&=& -2\cdot 1 +3,5 = 1,5 \Rightarrow P_1\,(1\,|\, 1,5)\\[5pt] y&=& -2\cdot 2 +3,5 = -0,5 \Rightarrow P_2\,(2\,|\, -0,5)\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -2\cdot x +3,5\\[5pt] y&=& -2\cdot 0 +3,5 = 3,5 \\ &\Rightarrow & P_0\,(0\,|\, 3,5)\\[5pt] y&=& -2\cdot 1 +3,5 = 1,5 \\ &\Rightarrow & P_1\,(1\,|\, 1,5)\\[5pt] y&=& -2\cdot 2 +3,5 = -0,5 \\ & \Rightarrow & P_2\,(2\,|\, -0,5)\\[5pt] \end{array}$
Funktionen: Einführung
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3.  Bestimme die fehlenden Koordinaten so, dass die Punkte auf der Geraden mit der Gleichung $\boldsymbol{y=-2x+2}$ liegen.
Setze jeweils den $x$- oder $y$-Wert löse die Funktionsgleichung auf. Die Schnittpunkte bei mit $x$- und $y$-Achse kannst du bestimmen, indem du $y=4$ und $x=0$ in die Funktionsgleichung einsetzt:
a) $\begin{array}[t]{rll} y = -2\cdot 2 +2 =-2 \Rightarrow P\,(2\,|\,-2) \end{array}$
b) $\begin{array}[t]{rll} y = -2 \cdot (-1) +2 = 4 \Rightarrow Q\,(-1\,|\,4) \end{array}$
c) $\begin{array}[t]{rll} 4 &=& -2\cdot x +2 &\quad\mid\;\scriptsize -2 \\[5pt] 2 &=& -2\cdot x &\quad\mid\;\scriptsize :(-2) \\[5pt] -1 &=& x &\Rightarrow T\,(-1\,|\,4) \end{array}$
d) $\begin{array}[t]{rll} -6 &=& -2\cdot x +2 &\quad\mid\;\scriptsize -2 \\[5pt] -8 &=& -2\cdot x &\quad\mid\;\scriptsize :(-2) \\[5pt] 4 &=& x &\Rightarrow A\,(4\,|\,-6) \end{array}$
e)Setze $y=0$ in die Funktionsgleichung ein, um den Schnittpunkt mit der $x$-Achse zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& -2\cdot x +2 &\quad\mid\;\scriptsize -2\\[5pt] -2 &=& -2\cdot x &\quad\mid\;\scriptsize :(-2)\\[5pt] 1 &=& x &\Rightarrow S_x\,(1\,|\, 0)\\[5pt] \end{array}$
f) Setze $x=0$ in die Funktionsgleichung ein, um den Schnittpunkt mit der $y$-Achse zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} y &=& -2\cdot 0 +2 &= 2 \Rightarrow S_y\,(0\,|\,2) \end{array}$
4.   Überprüfe, ob die angegebenen Punkte auf dem Graphen der Funktion liegen: $\boldsymbol{y=0,5\cdot x -2}$
Setze sowohl $x$- als auch $y$-Wert in die Funktionsgleichung ein. Überprüfe anschließend, ob die Gleichung noch gültig ist.
a) $-1=0,5\cdot 2 -2 =-1\; \to -1=-1$: Die Gleichung ist erfüllt, somit liegt der Punkt $P_1$ auf dem Graphen der Funktion.
b) $-2 = 0,5 \cdot 0 - 3 =-2\; \to -2=-2$: Die Gleichung ist erfüllt, somit liegt der Punkt $Q$ auf dem Graphen der Funktion.
c) $1 = 0,5\cdot (-2) -2 = -3 \; \to 1 \neq -3$: Die Gleichung ist nicht erfüllt, somit liegt der Punkt $T$ nicht auf dem Graphen der Funktion.
d)
$-2,5 = 0,5 \cdot (-1) -2 = -2,5 \; \to -2,5 = -2,5$ : Die Gleichung ist erfüllt, somit liegt der Pnukt $A$ auf dem Graphen der Funktion.
$ -2,5$ : Die Gleichung ist erfüllt, somit liegt der Punkt $A$ auf dem Graphen der Funktion.
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