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Proportionalität

Spickzettel
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Proportionalität liegt immer dann vor, wenn der Quotient zwischen zwei Größen immer konstant ist. Das heißt, wenn der Quotient $\dfrac{y}{x}$ immer den gleichen Wert $m$ ergibt, dann ist $x$ proportional zu $y$. Man schreibt auch:
$x \sim y$ oder $x \propto y$
$m$ ist die Proportionalitätskonstante, die die Abhängigkeit der beiden Größen beschreibt.

Beispiel

Gegeben ist die Wertetabelle einer Funktion. In der ersten Spalte steht der $x$-Wert, in der zweiten Spalte der $y$-Wert und in der dritten Spalte der Quotient $\dfrac{y}{x}$. Ist der Quotient in jeder Spalte gleich, dann liegt eine Proportionalität vor.
$x$$y$$\dfrac{y}{x}$
$2$$4$$2$
$3$$6$$2$
$5$$10$$2$
$x$$y$$\dfrac{y}{x}$
$1$$3$$3$
$2$$5$$2,5$
$3$$7$$2,33$
$x$$y$$\dfrac{y}{x}$
$4$$6$$1,5$
$6$$9$$1,5$
$8$$12$$1,5$
Bei der ersten und der dritten Tabelle ist der Quotient jeweils konstant, deswegen liegt eine Proportionalität vor. Bei der zweiten Tabelle ist der Quotient nicht konstant, somit gibt es auch keine Proportionalität.

Dreisatz

Den Zusammenhang zwischen proportionalen Größen kannst du mit einem Dreisatz berechnen. Willst du die eine Seite beispielsweise verdoppeln, musst du auch die andere Seite verdoppeln.

Beispiel

Zwei Brezeln kosten $1,40$ €. Was kostet $1$ oder $5$ Brezeln?
$\begin{array}{rrcll} \scriptsize :2 \;\mid&\quad 2\,\text{Brezel} &\hat{=}& 1,40\,\text{€} &\quad\mid\;\scriptsize :2 \\[5pt] \scriptsize \cdot 5 \;\mid&\quad 1\,\text{Brezel} &\hat{=}& 0,70\,\text{€} &\quad\mid\;\scriptsize \cdot 5 \\[5pt] \scriptsize \;&\quad 5\,\text{Brezel} &\hat{=}& 3,50\,\text{€} &\quad\;\scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Graph von proportionalen Größen

Der Graph zweier proportionaler Größen ist immer eine Ursprungsgerade. Die Steigung der Geraden ist gleich dem Proportionalitätsfaktor $m$. Die Funktionsgleichung hat die Form:
$y=m\cdot x$
Funktionen: Proportionalität
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Aufgaben
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1. Bestimme jeweils, ob die zwei Größen proportional zueinander sind. Gib zudem eine mögliche Proportionalitätskonstante an.
a)
$x$$y$
$2$$3,4$
$3$$5,1$
$5$$8,5$
b)
$x$$y$
$8$$20,8$
$12$$31,2$
$15$$42$
c)
$x$$y$
$-1$$2,1$
$2$$4,2$
$3$$6,3$
d)
$x$$y$
$4$$23,2$
$7$$40,6$
$5$$29$
2. Berechne.
a) $12$ Liter Benzin kostet $14,40\,\text{€}$. Wie viel kosten $45$ Liter Benzin?
b) Ein $1,5\,\text{m}$ langes Stahlrohr wiegt $4,5\,\text{kg}$. Wie viel wiegt ein gleich dickes Stahlrohr mit einer Länge von $4\,\text{m}$?
c) Um $50$ Apfelbäume anpflanzen zu können braucht man eine Fläche von $600\,\text{m}^2$. Wie groß muss die Fläche für $75$ Apfelbäume sein?
3. Bestimme jeweils die Proportionalitätskonstante und zeichne den Graph der zugehörigen Zuordnungsvorschrift.
a)
$x$$y$
$1$$1,5$
$3$$4,5$
$4$$6$
b)
$x$$y$
$7$$13,3$
$3$$5,7$
$2$$3,8$
c)
$x$$y$
$-1$$2,1$
$2$$-4,2$
$3$$-6,3$
d)
$x$$y$
$0,5$$1,1$
$2,5$$5,5$
$3$$6,6$
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Lösungen
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1. Bestimme jeweils, ob die zwei Größen proportional zueinander sind. Gib zudem eine mögliche Proportionalitätskonstante an.
Bestimme jeweils den Quotienten. Ist der Quotient konstant, dann sind die Größen proportional.
a) $\begin{array}[t]{rll} \dfrac{3,4}{2}&=& 1,7 \\[5pt] \dfrac{5,1}{3}&=& 1,7 \\[5pt] \dfrac{8,5}{5}&=& 1,7 \\[5pt] \end{array}$
Der Quotient ist konstant. Die Proportionalitätskonstante ist $m=1,7$.
b) $\begin{array}[t]{rll} \dfrac{20,8}{8}&=& 2,6 \\[5pt] \dfrac{31,2}{12}&=& 2,6 \\[5pt] \dfrac{42}{15}&=& 2,8 \\[5pt] \end{array}$
Der Quotient ist nicht konstant. Die Größen sind nicht proportional.
c) $\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2,1}{-1}&=& -2,1 \\[5pt] \dfrac{4,2}{2}&=& 2,1 \\[5pt] \dfrac{6,3}{3}&=& 2,1 \\[5pt] \end{array}$
Der Quotient ist nicht konstant. Die Größen sind nicht proportional.
d) $\begin{array}[t]{rll} \dfrac{23,2}{4}&=& 5,8 \\[5pt] \dfrac{40,6}{7}&=& 5,8 \\[5pt] \dfrac{29}{5} &=& 5,8 \\[5pt] \end{array}$
Der Quotient ist konstant. Die Proportionalitätskonstante ist $m=5,8$.
2. Berechne.
Verwende jeweils eine Dreisatzrechnung:
a)
$\begin{array}[t]{rrcll} \scriptsize & :12 \;\mid&\quad 12\,\text{Liter} &\hat{=}& 14,40\,\text{€} &\quad\mid\;\scriptsize :12 \\[5pt] \scriptsize &\cdot 45 \;\mid&\quad 1\,\text{Liter} &\hat{=}& 1,20\,\text{€} &\quad\mid\;\scriptsize \cdot 45 \\[5pt] \scriptsize &\;&\quad 45\,\text{Liter} &\hat{=}& 54\,\text{€} &\quad\;\scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$45$ Liter Benzin kosten $54\,\text{€}$.
$ 45 $
$45$ Liter Benzin kosten $54\,\text{€}$.
b)
$\begin{array}[t]{rrcll} \scriptsize & :1,5 \;\mid&\quad 1,5\,\text{m} &\hat{=}& 4,5\,\text{kg} &\quad\mid\;\scriptsize :1,5 \\[5pt] \scriptsize &\cdot 4 \;\mid&\quad 1\,\text{m} &\hat{=}& 3\,\text{kg} &\quad\mid\;\scriptsize \cdot 4 \\[5pt] \scriptsize &\;&\quad 4\,\text{m} &\hat{=}& 12\,\text{kg} &\quad\;\scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Das $4\,\text{m}$ Stahlrohr wiegt $12\,\text{kg}$.
$ 12 $
Das $4\,\text{m}$ Stahlrohr wiegt $12\,\text{kg}$.
c)
$\begin{array}[t]{rrcll} \scriptsize & :50 \;\mid&\quad 50\,\text{AB} &\hat{=}& 600\,\text{m}^2 &\quad\mid\;\scriptsize :50 \\[5pt] \scriptsize &\cdot 75 \;\mid&\quad 1\,\text{AB} &\hat{=}& 12\,\text{m}^2 &\quad\mid\;\scriptsize \cdot 75 \\[5pt] \scriptsize &\;&\quad 75\,\text{AB} &\hat{=}& 900\,\text{m}^2 &\quad\;\scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$75$ Apfelbäume brauchen eine Fläche von $900\,\text{m}^2$.
$ 900 $
$75$ Apfelbäume brauchen eine Fläche von $900\,\text{m}^2$.
3. Bestimme jeweils die Proportionalitätskonstante und zeichne den Graph der zugehörigen Zuordnungsvorschrift.
a) $\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1,5}{1}&=& 1,5 \\[5pt] \dfrac{4,5}{3}&=& 1,5 \\[5pt] \dfrac{6}{4}&=& 1,5 \\[5pt] \end{array}$
Die Proportionalitätskonstante ist $m=1,5$.
Funktionen: Proportionalität
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b) $\begin{array}[t]{rll} \dfrac{13,3}{7}&=& 1,9 \\[5pt] \dfrac{5,7}{3}&=& 1,9 \\[5pt] \dfrac{3,8}{2}&=& 1,9 \\[5pt] \end{array}$
Die Proportionalitätskonstante ist $m=1,9$.
Funktionen: Proportionalität
Funktionen: Proportionalität
c) $\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2,1}{-1}&=& -2,1 \\[5pt] \dfrac{-4,2}{2}&=& -2,1 \\[5pt] \dfrac{-6,3}{3}&=& -2,1 \\[5pt] \end{array}$
Die Proportionalitätskonstante ist $m=-2,1$.
Funktionen: Proportionalität
Funktionen: Proportionalität
d)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1,1}{0,5}&=& 2,2 \\[5pt] \dfrac{5,5}{2,5}&=& 2,2 \\[5pt] \dfrac{6,6}{3} &=& 2,2 \\[5pt] \end{array}$
Die Proportionalitätskonstante ist $m=2,2$
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