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Binomische Formeln

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Ein Quadrat wird auf beiden Seiten um die Strecke $b$ verlängert. Links findest du zwei unterschiedliche Berechnungen für den Flächeninhalt $A$ des Quadrates. Ordne die Berechnungen den beiden Abbildungen zu und vervollständige sie. Was fällt dir auf?
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Binomische Formeln
Abb. 2: Quadrat 2.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Binomische Formeln
Abb. 2: Quadrat 2.
$\begin{array}[t]{rll} A &=& a^2 + \;?\; + \;?\; + \;?\; &\quad \\[5pt] &=& ? \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A&=& (a+b) \cdot (a+b) &\quad \\[5pt] &=& ? \end{array}$
b)
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Binomische Formeln
Abb. 3: Quadrat 3.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Binomische Formeln
Abb. 3: Quadrat 3.
c)
Bei einer quadratischen Fläche (Seitenlänge $a$) wird eine Seite um $b$ verlängert, die andere Seite wird um $b$ verkürzt.
1)
Welche Form hat die neue Fläche? Fertige dir dazu am besten eine Skizze an.
2)
Vervollständige folgenden Rechenansatz:
$ (a+b)\cdot (a-b) = ?$

Aufgabe 1

Berechne die Terme.
b)
$(2 + x) \cdot (2 + x) $
d)
$ (e+f)^2 $
f)
$ (2x+ y)^2 $

Aufgabe 2

Multipliziere aus und fasse so weit wie möglich zusammen.
b)
$(a -3)\cdot(a-3)$
d)
$(3-b)^2$
f)
$(0,5- t)^2$

Aufgabe 3

Multipliziere die Klammern aus und fasse zusammen.
b)
$(y + 3)\cdot (y-3)$
d)
$(x+y)\cdot (x-y)$
f)
$(a+b)\cdot (b-a)$

Aufgabe 4

Notiere die Umformung, ohne die Terme auszurechnen. Orientiere dich dabei an der Tipp-Box in der Lösung Einführungsaufgabe.
b)
$(5 +x )\cdot(5+x)$
d)
$(9-g )\cdot(9+g)$
f)
$(22 - s)\cdot(22-s)$

Aufgabe 5

Bilde zwei wertgleiche Paare. Aber Vorsicht: Zwei Terme bleiben übrig!
$ (5-a)^2$
$\;$
$ (5+a) \cdot (5-a) $
$\;$
$ (5+a)^2 $
$\;$
$ 25 - 10a + a^2 $
$\;$
$ 9 + 6a + a^2 $
$ 25 -a^2 $
$\;$
$ (3 + a)^2 $
$\;$
$ 25 + 10a + a^2 $
$\;$
$ 9 - 6a + a^2 $
$\;$
$ 9- a^2 $
$ (5-a)^2$
$\;$
$ (5+a) \cdot (5-a) $
$\;$
$ (5+a)^2 $
$\;$
$ 25 - 10a + a^2 $
$\;$
$ 9 + 6a + a^2 $
$\;$
$ 25 -a^2 $
$\;$
$ (3 + a)^2 $
$\;$
$ 25 + 10a + a^2 $
$\;$
$ 9 - 6a + a^2 $
$\;$
$ 9- a^2 $

Aufgabe 6

Notiere vollständig:
b)
$ (11 + b)^2 = \; $ $\; + \;$ $ \; + \; b^2$
d)
$ (m \; - \; $ $)^2 \; = \; $ $\;- \;2m \;+ \; $

Aufgabe 7

Schreibe die Terme mit Klammern:
b)
$ d^2 + 4cd + 4c^2$
d)
$ 4x^2 - 12x + 9$
f)
$ 16x^2 - 72xy + 81y^2$

Aufgabe 8

Berechne die folgenden Terme. Wende die binomischen Formeln an, soweit möglich.
b)
$(d - 4)^2 - (d+1)^2$
d)
$(4f + 2g) + (3f + 5g) \cdot (f+ 2g)$
f)
$(a+b)^2 - (a-b)^2 - 4ab$

Aufgabe 9

Verwende die binomischen Formeln und löse die Gleichungen:
b)
$(m+0,1) \cdot (m-0,7) = (m+0,3)^2 - 0,4m$
d)
$ (x+3)^2 + 2x + 15 - (x-2) \cdot (x+2) = 60$
f)
$ (s-2)^2 + (s-1)^2 = (s+4)^2 + s^2 - 25 $

Aufgabe 10

Wenn man die Seiten eines Quadrats jeweils um $2,5 \; \text{LE}$ vergrößert, so wird sein Flächeninhalt um $31,25 \; \text{LE}$ größer. Wie lang ist die ursprüngliche Quadratseite? Löse mithilfe einer Gleichung.
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Rechenwege zuordnen
$\blacktriangleright$  Figur 1
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Binomische Formeln
Abb. 1: Figur 1
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Binomische Formeln
Abb. 1: Figur 1
Für Rechtecke lautet die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes:
$A_{Rechteck} = a \cdot b$
$A_{Quadrat} = a \cdot b$
In Figur 1 hast du insgesamt zwei Quadrate und zwei Rechtecke. Für den Flächeninhalt der Figur 1 muss also gelten:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& a^2 + b^2 + a \cdot b + a \cdot b &\quad \\[5pt] &=& a^2 + b^2 + 2ab \end{array}$
$\blacktriangleright$  Figur 2
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Binomische Formeln
Abb. 2: Figur 2
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Binomische Formeln
Abb. 2: Figur 2
b)
$\blacktriangleright$  Rechenweg vervollständigen
Du sollst den Rechenweg für den Flächeninhalt $A$ des um $b$ verkürzten Quadrats vervollständigen :
$\begin{array}[t]{rll} A &=& (a-b)^2 &\quad \\[5pt] &=&(a-b) \cdot (a-b) &\quad \\[5pt] &=& a^2 -ab - ab + b^2&\quad \\[5pt] &=& a^2 -2ab + b^2&\quad \\[5pt] \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Skizze anfertigen und Rechnung vervollständigen
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Binomische Formeln
Abb. 3: Figur 3
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Binomische Formeln
Abb. 3: Figur 3
Tipp
Binome sind zweigliedrige Terme. Sie haben die Form $(a + b)$ oder $(a - b)$. Beim Multiplizieren und Potenzieren unterscheidest du drei binomische Formeln:
  1. $(a+b) \cdot (a+b) = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
  2. $(a-b) \cdot (a-b) = (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
  3. $(a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2$
Tipp
Binome sind zweigliedrige Terme. Sie haben die Form $(a + b)$ oder $(a - b)$. Beim Multiplizieren und Potenzieren unterscheidest du drei binomische Formeln:
1. $(a+b) \cdot (a+b) = (a+b)^2$
$= a^2 + 2ab + b^2$
2. $(a-b) \cdot (a-b) = (a-b)^2$
$= a^2 - 2ab + b^2$
3. $(a+b) \cdot (a-b)$
$= a^2 - b^2$
#binomischeformeln

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (a+b)^2 &=& (a+b) \cdot (a+b) &\quad \\[5pt] &=& a^2 + ab + ab + b^2 &\quad \\[5pt] &=& a^2 +2ab + b^2 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (2 + x) \cdot (2 + x) &=& 4 + 2x + 2x +x^2 &\quad \\[5pt] &=& 4 + 4x +x^2 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (3 + d)^2 &=& (3+d) \cdot (3 +d) &\quad \\[5pt] &=& 9 + 3d + 3d +d^2 &\quad \\[5pt] &=& 9 + 6d +d^2 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (e+f)^2 &=& (e+f) \cdot (e+f) &\quad \\[5pt] &=& e^2 + ef +ef + f^2 &\quad \\[5pt] &=& e^2 + 2ef +f^2 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (3a+b) \cdot (3a+b) &=& 9a^2 +3ab + 3ab+ b^2 &\quad \\[5pt] &=& 9a^2 + 6ab +b^2 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (2x+ y)^2 &=& (2x +y) \cdot (2x +y) &\quad \\[5pt] &=& 4x^2 + 2xy + 2xy + y^2 &\quad \\[5pt] &=& 4x^2 + 4xy + y^2 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
#binomischeformeln

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (x -6)\cdot(x-6) &=& x^2 - 6x -6x + 36 &\quad \\[5pt] &=& x^2 - 12x + 36 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (a -3)\cdot(a-3) &=& a^2 - 3a - 3a + 9 &\quad \\[5pt] &=& a^2 - 6a + 9 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (8-y)\cdot(8-y) &=& 64 - 8y - 8y + y^2 &\quad \\[5pt] &=& 64 - 16y + y^2 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (3-b)^2 &=& (3-b) \cdot (3-b) &\quad \\[5pt] &=& 9 - 3b - 3b + b^2 &\quad \\[5pt] &=& 9 - 6b + b^2 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (g - 1) \cdot (g-1) &=& g^2 - g - g + 1 &\quad \\[5pt] &=& g^2 - 2g + y &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (0,5- t)^2 &=& (0,5 - t) \cdot (0,5 -t) &\quad \\[5pt] &=& 0,25 - 0,5t - 0,5t + t^2 &\quad \\[5pt] &=& 0,25 - t + t^2 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
#binomischeformeln

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (x+ 2)\cdot(x-2) &=& x^2 - 2x + 2x - 4&\quad \\[5pt] &=& x^2 - 4 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (y + 3)\cdot (y-3) &=& y^2 - 3y + 3y + 9 &\quad \\[5pt] &=& y^2 + 9 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (5 + j)\cdot(5-j) &=& 25 - 5j + 5j + j^2 &\quad \\[5pt] &=& 25 + j^2 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (x+y)\cdot (x-y) &=& x^2 - xy + xy + y^2 &\quad \\[5pt] &=& x^2 + y^2 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (f+1)\cdot(f-1) &=& f^2 - f + f - 1 &\quad \\[5pt] &=& f^2 - 1 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (a+b)\cdot (b-a) &=& ab - a^2 + b^2 -ab &\quad \\[5pt] &=& -a^2 + b^2 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
#binomischeformeln

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Umformung notieren
2. Binomische Formel
$\begin{array}[t]{rll} (a+4)\cdot (a-4) &=& a^2 - 16&\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Umformung notieren
1. Binomische Formel
$\begin{array}[t]{rll} (5 +x )\cdot(5+x) &=& 25 + 10x + x^2&\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Umformung notieren
2. Binomische Formel
$\begin{array}[t]{rll} (d-7)\cdot (d-7) &=& d^2 - 14d + 49&\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Umformung notieren
3. Binomische Formel
$\begin{array}[t]{rll} (9-g )\cdot(9+g) &=& 81 - g^2&\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Umformung notieren
1. Binomische Formel
$\begin{array}[t]{rll} (14 + t)\cdot (t+14) &=& 196 + 28t + t^2&\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Umformung notieren
1. Binomische Formel
$\begin{array}[t]{rll} (22 - s)\cdot(22-s) &=& 484 - 44s + s^2&\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
#binomischeformeln

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$  Wertpaare bilden
Hier sollst du die passenden Wertpaare bilden. Berechne dazu zuerst die Terme.
$ (5-a)^2$
$\;=$
$ 25 - 10a + a^2 $
$ (5+a)^2 $
$\;=$
$ 25 + 10a + a^2 $
$ (5+a) \cdot (5-a) $
$\;=$
$ 25 -a^2 $
$ (3 + a)^2 $
$\;=$
$ 9 + 6a + a^2 $
Diese beiden Terme haben kein Wertepaar:
$ 9 - 6a + a^2 $
$\;$
$ 9- a^2 $
$ (5-a)^2$

$\;=$
$ 25 - 10a + a^2 $
$ (5+a)^2 $

$\;=$
$ 25 + 10a + a^2 $
$ (5+a) \cdot (5-a) $

$\;=$
$ 25 -a^2 $
$ (3 + a)^2 $

$\;=$
$ 9 + 6a + a^2 $
Diese beiden Terme haben kein Wertepaar:
$ 9 - 6a + a^2 $

$ 9- a^2 $
#binomischeformeln

Aufgabe 6

Berechne die Terme, um die Lücken auszufüllen.
a)
$\blacktriangleright$  Rechnung vervollständigen
$\begin{array}[t]{rll} (x +3)^2 &=& (x + 3) \cdot (x+3)&\quad \\[5pt] &=& x^2 + 3x + 3x + 9&\quad \\[5pt] &=& x^2 + \color{#87c800}{6x} + 9&\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Rechnung vervollständigen
$\begin{array}[t]{rll} (11 + b)^2 &=& (11 + b) \cdot (11+b)&\quad \\[5pt] &=& 121 + 11b + 11b + b^2&\quad \\[5pt] &=& \color{#87c800}{121} + \color{#87c800}{22b} + b^2&\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Rechnung vervollständigen
$\begin{array}[t]{rll} (d + \color{#87c800}{f}) \cdot (d - \color{#87c800}{f}) &=& d^2 - df + df - f^2&\quad \\[5pt] &=& \color{#87c800}{d^2} - f^2 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Rechnung vervollständigen
$\begin{array}[t]{rll} (m-\color{#87c800}{1})^2 &=& (m-1) \cdot (m-1) &\quad \\[5pt] &=& m^2 - m - m + 1 &\quad \\[5pt] &=& \color{#87c800}{m^2} - 2m + \color{#87c800}{1} &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
#binomischeformeln

Aufgabe 7

a)
$\blacktriangleright$  Term in Klammern schreiben
$9x^2 - 36y^2$
Zuerst musst du herausfinden, um welche binomische Formel es sich handelt. Da in der Formel nur ein Minus steht, ist es die dritte binomische Formel.
$(a + b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2$
Jetzt schreibst du dir auf, welcher Teil der Formel welcher Größe entspricht.
$\begin{array}[t]{rll} a^2 &=& 9x^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[4pt] a &=& 3x &\quad \\[5pt] b^2 &=& 36y^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] b &=& 6y \end{array}$
Die Lösung ist also:
$(3x - 6y)^2 = 9x^2 - 36y^2$
b)
$\blacktriangleright$  Term in Klammern schreiben
$d^2 + 4cd + 4c^2$
Zuerst musst du herausfinden, um welche binomische Formel es sich handelt. Da in der Formel zwei Pluszeichen stehen, ist es die erste binomische Formel.
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Jetzt schreibst du dir auf, welcher Teil der Formel welcher Größe entspricht.
$\begin{array}[t]{rll} a^2 &=& d^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[4pt] a &=& d &\quad \\[5pt] b^2 &=& 4c^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] b &=& 2c \end{array}$
Die Lösung ist also:
$(d + 2c)^2 = d^2 + 4cd + 4c^2$
c)
$\blacktriangleright$  Term in Klammern schreiben
$1 - d^2$
Zuerst musst du herausfinden, um welche binomische Formel es sich handelt. Da in der Formel ein Minuszeichen steht, ist es die dritte binomische Formel.
$(a + b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2$
Jetzt schreibst du dir auf, welcher Teil der Formel welcher Größe entspricht.
$\begin{array}[t]{rll} a^2 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[4pt] a &=& 1 &\quad \\[5pt] b^2 &=& d^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] b &=& d \end{array}$
Die Lösung ist also:
$(1 - d) \cdot (1 + d) = 1 - d^2$
d)
$\blacktriangleright$  Term in Klammern schreiben
$4x^2 - 12x + 9$
Zuerst musst du herausfinden, um welche binomische Formel es sich handelt. Da in der Formel ein Minuszeichen und ein Pluszeichen steht, ist es die zweite binomische Formel.
$(a - b)^2= a^2 - 2ab + b^2$
Jetzt schreibst du dir auf, welcher Teil der Formel welcher Größe entspricht.
$\begin{array}[t]{rll} a^2 &=& 4x^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[4pt] a &=& 2x &\quad \\[5pt] b^2 &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] b &=& 3 \end{array}$
Die Lösung ist also:
$(2x - 3)^2= 4x^2 - 12x + 9$
e)
$\blacktriangleright$  Term in Klammern schreiben
$49x^2 + 42xy + 9y^2$
Zuerst musst du herausfinden, um welche binomische Formel es sich handelt. Da in der Formel zwei Pluszeichen stehen, ist es die erste binomische Formel.
$(a + b)^2= a^2 + 2ab + b^2$
Jetzt schreibst du dir auf, welcher Teil der Formel welcher Größe entspricht.
$\begin{array}[t]{rll} a^2 &=& 49x^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[4pt] a &=& 7x &\quad \\[5pt] b^2 &=& 9y^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] b &=& 3y \end{array}$
Die Lösung ist also:
$(7x + 3y)^2= 49x^2 + 42xy + 9y^2$
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Term in Klammern schreiben
$16x^2 - 72xy + 81y^2$
Zuerst musst du herausfinden, um welche binomische Formel es sich handelt. Da in der Formel ein Minus- und ein Pluszeichen stehen, ist es die zweite binomische Formel.
$(a - b)^2= a^2 - 2ab + b^2$
Jetzt schreibst du dir auf, welcher Teil der Formel welcher Größe entspricht.
$\begin{array}[t]{rll} a^2 &=& 16x^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[4pt] a &=& 4x &\quad \\[5pt] b^2 &=& 81y^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] b &=& 9y \end{array}$
Die Lösung ist also:
$(4x - 9y)^2= 16x^2 - 72xy + 81y^2$
$ ERGEBNIS $
#binomischeformeln

Aufgabe 8

a)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (a + 2)^2 + (a + 3)^2 &=& a^2 + 4a + 4 + a^2 + 6a + 9 &\quad\\[5pt] &=& 2a^2 + 10a + 13 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (d - 4)^2 - (d+1)^2 &=& d^2 - 8d + 16 - (d^2 +2d + 1) &\quad\\[5pt] &=& d^2 -8d + 16 - d^2 - 2d -1 &\quad\\[5pt] &=& -10d + 15 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (2x + 3y)^2 - (4x + y)^2 &=& 4x^2 + 12xy + 9y^2 - (16x^2 + 8xy + y^2) &\quad\\[5pt] &=& 4x^2 + 12xy + 9y^2 - 16x^2 - 8xy - y^2 &\quad\\[5pt] &=& -12x^2 + 4xy + 8y^2 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (4f + 2g) + (3f + 5g) \cdot (f+ 2g) &=& 4f + 2g + 3f^2 + 6fg + 5fg + 10 g^2 &\quad\\[5pt] &=& 4f + 2g + 3f^2 + 11fg + 10g^2 &\quad\\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (10s + 4t) \cdot (10s - 4t) + (2s - 5t)^2 &=& 100s^2 - 16t^2 +4s^2 - 10st + 25t^2 &\quad\\[5pt] &=& 104s^2 9t^2 -10st &\quad\\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (a+b)^2 - (a-b)^2 - 4ab &=& a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2) -4ab &\quad\\[5pt] &=& a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 - 4ab &\quad\\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
#binomischeformeln

Aufgabe 9

a)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 4x + (x-1) \cdot (x+2) &=& x^2 + 3&\quad \scriptsize \mid\; \text{rechne die Klammer aus} \\[5pt] 4x + x^2 - 2 &=& x^2 + 3 &\quad \scriptsize \mid\; -x^2 \\[5pt] 4x - 2 &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] 4x &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] x &=& 1,25 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} (m+0,1) \cdot (m-0,7) &=& (m+0,3)^2 - 0,4m &\quad \scriptsize \mid\; \text{rechne die Klammer aus} \\[5pt] m^2 - 0,7m + 0,1m -0,07 &=& m^2 + 0,6m + 0,09 - 0,4m &\quad \scriptsize \mid\; -m^2 \\[5pt] -0,6m - 0,07 &=& 0,2m + 0,09 &\quad \scriptsize \mid\; -0,2m \\[5pt] -0,8m - 0,07 &=& 0,09 &\quad \scriptsize \mid\; +0,07 \\[5pt] -0,8m &=& 0,16 &\quad \scriptsize \mid\; : (-0,8) \\[5pt] m &=& -2 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} (y - 2)^2 - (y + 2)^2 &=& -48 &\quad \scriptsize \mid\; \text{rechne die Klammer aus} \\[5pt] y^2 - 4y + 4 - (y^2 + 4y + 4) &=& -48 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf} \\[5pt] y^2 - 4y + 4 - y^2 - 4y - 4 &=& -48 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] -8y &=& -48 &\quad \scriptsize \mid\; :(-8) \\[5pt] y &=& 6 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} (x+3)^2 + 2x + 15 - (x-2) \cdot (x+2) &=& 60 &\quad \scriptsize \mid\; \text{rechne die Klammer aus} \\[5pt] x^2 + 6x + 9 + 2x + 15 - (x^2 - 4) &=& 60 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf} \\[5pt] x^2 + 6x + 9 + 2x + 15 - x^2 + 4 &=& -48 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 8x + 28 &=& 60 &\quad \scriptsize \mid\; -28 \\[5pt] 8x &=& 32 &\quad \scriptsize \mid\; :8 \\[5pt] y &=& 4 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} (t-4)^2 &=& t^2 - 4 \cdot (t-1) &\quad \scriptsize \mid\; \text{rechne die Klammer aus} \\[5pt] t^2 - 8t + 16 &=& t^2 - 4t + 4 &\quad \scriptsize \mid\; -t^2 \\[5pt] -8t + 16 &=& - 4t + 4 &\quad \scriptsize \mid\; +4t \\[5pt] -4t + 16 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; -16 \\[5pt] -4t &=& -12 &\quad \scriptsize \mid\; : (-4) \\[5pt] t &=& 3 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} (s-2)^2 + (s-1)^2 &=& (s+4)^2 + s^2 - 25 &\quad \scriptsize \mid\; \text{rechne die Klammer aus} \\[5pt] s^2 - 4s + 4 + s^2 - 2s + 1&=& s^2 + 8s + 16 + s^2 - 25 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 2s^2 -6s + 5 &=& 2s^2 + 8s -9 &\quad \scriptsize \mid\; -2s^2 \\[5pt] -6s + 5 &=& 8s - 9 &\quad \scriptsize \mid\; -5 \\[5pt] -6s &=& 8s - 14 &\quad \scriptsize \mid\; -8s \\[5pt] -14s &=& -14 &\quad \scriptsize \mid\; : (-14) \\[5pt] t &=& 1 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
#binomischeformeln#gleichung

Aufgabe 10

$\blacktriangleright$  Gleichung aufstellen und lösen
Das Quadrat hat die Seitenlänge $a$. Diese Seitenlänge wird um $2,5\;\text{LE}$ erweitert. Der Flächeninhalt erweitert sich dadurch um $31,25\;\text{LE}$. Die Formel für die Berechnung des Flächeninhalts eines Quadrates lautet:
$A_{Quadrat} = a^2$
$A_{Quadrat} = a^2$
Da der Flächeninhalt um $31,25$ und die Seitenlänge $a$ um $2,5$ vergrößert wird, kannst du die Formel abändern und nach $a$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} a^2 + 31,25 &=& (a + 2,5)^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{rechne die Klammer aus} \\[5pt] a^2 + 31,25 &=& a^2 + 5a + 6,25 &\quad \scriptsize \mid\; -a^2\\[5pt] 31,25 &=& 5a + 6,25 &\quad \scriptsize \mid\; -6,25\\[5pt] 25 &=& 5a &\quad \scriptsize \mid\; :5\\[5pt] 5 &=& a \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Seitenlänge $a$ ist also $5\;\text{LE}$ lang.
#binomischeformeln
Bildnachweise [nach oben]
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