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Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Tipp
Die allgemeine Form einer Funktionsgleichung einer nach oben geöffneten Normalparabel lautet:
$y=x^2+px+q$
Tipp
Die allgemeine Form einer Funktionsgleichung einer nach oben geöffneten Normalparabel lautet:
$y=x^2+px+q$
Die Punkte $U\,(1\mid 2)$ und $V\,(4\mid 5)$ liegen auf der nach oben geöffneten Normalparabel $p_1$. Berechne die Funktionsgleichung von Parabel $p_1$.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 1: Parabel $p_1$
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 1: Parabel $p_1$
b)
Tipp
Die allgemeine Form einer Funktionsgleichung einer nach unten geöffneten Normalparabel lautet:
$y=-x^2+px+q$
Tipp
Die allgemeine Form einer Funktionsgleichung einer nach unten geöffneten Normalparabel lautet:
$y=-x^2+px+q$
Die Punkte $U\,(1\mid 1)$ und $V\,(4\mid 4)$ liegen auf der nach unten geöffnete Normalparabel $p_2$. Berechne die Funktionsgleichung von Parabel $p_2$.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 2: Parabel $p_2$
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 2: Parabel $p_2$
#einsetzungsverfahren#parabel#quadratischefunktion

Aufgabe 1

Die Lage von Normalparabeln wird durch zwei Punkte eindeutig festgelegt. Die beiden Punkte $P_1\,(1 \mid 3)$ und $Q_1\,(4 \mid 6)$ liegen auf der Normalparabel $p_1$.
Die beiden Punkte $P_2\,(-3 \mid 5)$ und $Q_2\,(0 \mid 2)$ liegen auf der Normalparabel $p_2$.
a)
Trage die Punkte $P_1$ und $Q_1$ sowie $P_2$ und $Q_2$ jeweils in ein Koordinatensystem ein.
b)
Zeichne die Parabeln $p_1$ und $p_2$ ein, indem du die Parabelschablone an die beiden Pukte anlegst.
c)
Lies die Koordinaten der Scheitelpunkte ab.
d)
Stelle die Scheitelpunktformen auf und forme sie in die Normalform um.
#quadratischefunktion#scheitelpunkt#scheitelpunktform

Aufgabe 2

Folgende Punktepaare liegen auf einer nach oben geöffneten Normalparabel. Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung. Bestimme dann die Koordinaten des Scheitelpunkts und zeichne die Parabel sowie die beiden Punkte in ein Koordinatensystem ein. Überprüfe ob deine Berechnungen stimmen.
b)
$A\,(-1 \mid 3)$ und $B\,(1 \mid -1)$.
d)
$A\,(1 \mid 2)$ und $B\,(3 \mid -2)$.
f)
$A\,(-1 \mid -1)$ und $B\,(0 \mid 2)$.
#quadratischefunktion#scheitelpunktform#parabel

Aufgabe 3

Folgende Punktepaare liegen auf einer nach unten geöffneten Normalparabel. Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung. Bestimme dann die Koordinaten des Scheitelpunkts und zeichne die Parabel sowie die beiden Punkte in ein Koordinatensystem. Überprüfe, ob deine Berechnungen stimmen.
b)
$A\,(2 \mid 1)$ und $B\,(3 \mid -2)$.
d)
$A\,(0 \mid -2)$ und $B\,(3 \mid -5)$.
#quadratischefunktion#scheitelpunktform#parabel

Aufgabe 4

Die Punkte $Q\,(0\mid -2)$ und $R\,(3 \mid -5)$ liegen sowohl auf einer nach oben geöffneten Parabel $p_2$, als auch auf einer nach unten geöffneten Normalparabel $p_1$.
a)
Zeichne beide Punkte $Q$ und $R$ in ein Koordinatensystem ein.
b)
Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichungen der nach unten geöffneten Parabel $p_1$.
c)
Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichungen der nach oben geöffneten Parabel $p_2$.
d)
Forme die Funktionsgleichung der nach unten geöffneten Parabel $p_1$ in die Scheitelpunktform um, um den Scheitelpunkt ablesen zu können.
e)
Forme die Funktionsgleichung der nach oben geöffneten Parabel $p_2$ in die Scheitelpunktform um, um den Scheitelpunkt ablesen zu können.
f)
Zeichne beide Parabeln in ein Koordinatensystem ein und überprüfe deine Rechnungen.
#parabel#quadratischefunktion#scheitelpunktform
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $\boldsymbol{p_1}$ bestimmen
Setze die $x$- und die $y$-Koordinaten der Punkte $U$ und $V$ in die allgemeine Parabelform ein. Dadurch erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Variablen $p$ und $q$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&y&=& x^2 +px+q &\quad \scriptsize\mid\;U\,(1 \mid 2) \\ \text{II}\quad&y&=& x^2+px+q &\quad \scriptsize\mid\;V\,(4 \mid 5)\\ \hline \text{I}\quad&2&=& 1^2 +1p+q & \\ \text{II}\quad&5&=& 4^2+4p+q &\\ \hline \text{I}\quad&2&=& 1+p+q & \\ \text{II}\quad&5&=& 16+4p+q &\\ \hline \text{I}\quad&1&=& p+q & \\ \text{II}\quad&-11&=& 4p+q &\\ \end{array}$
Forme Gleichung $\text{I}$ nach $q$ um.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&1&=& p+q &\quad \scriptsize\mid\;-p \\ \quad&1-p&=& q & \\ \quad&q&=& 1-p & \\ \end{array}$
$ q=1-p $
Setze $q$ von Gleichung $\text{I}$ in Gleichung $\text{II}$ ein und bestimme $p$.
$\begin{array}{lrll} \text{II}\quad&-11 &=& 4p+q &\quad \scriptsize\mid\; q=1-p\\ \quad&-11 &=& 4p+(1-p) &\quad \\ \quad&-11 &=& 4p+1-p &\quad \\ \quad&-12 &=& 3p &\quad \\ \quad&-4 &=& p &\quad \\ \quad&p &=& -4 &\quad \\ \end{array}$
$ p=-4 $
Setze $p$ wieder in Gleichung $\text{I(2.)}$ ein und berechne $q$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&q &=& 1-p &\quad \scriptsize\mid\; p=-4\\ \quad&q &=& 1-(-4) &\\ \quad&q &=& 5 &\\ \end{array}$
$ q=5 $
Funktionsgleichung aufstellen
Setze $p=-4$ und $q=5$ in die allgemeine Funktionsgleichung einer Normalparabel ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+px+q& \\[5pt] y&=& x^2-4x+5& \\[5pt] \end{array}$
Die Parabel $p_1$ hat die Funktionsgleichung $y=x^2-4x+5$.
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Setze die $x$- und die $y$-Koordinaten der Punkte $U$ und $V$ in die allgemeine Parabelform ein. Dadurch erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Variablen $p$ und $q$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&y&=& -x^2 +px+q &\quad \scriptsize\mid\;U\,(1\mid 1) \\ \text{II}\quad&y&=& -x^2+px+q &\quad \scriptsize\mid\;V\,(4 \mid 4)\\ \hline \text{I}\quad&1&=& -(1^2) +1p+q & \\ \text{II}\quad&4&=& -(4^2)+4p+q &\\ \hline \text{I}\quad&1&=& -1+p+q & \\ \text{II}\quad&4&=& -16+4p+q &\\ \hline \text{I}\quad&2&=& p+q & \\ \text{II}\quad&20&=& 4p+q &\\ \end{array}$
Forme Gleichung $\text{I}$ nach $q$ um.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&2&=& p+q &\quad \scriptsize\mid\;-p \\ \quad&2-p&=& q & \\ \quad&q&=& 2-p & \\ \end{array}$
$ q=2-p $
Setze $q$ von Gleichung $\text{I}$ in Gleichung $\text{II}$ ein und bestimme $p$.
$\begin{array}{lrll} \text{II}\quad&20 &=& 4p+q &\quad \scriptsize\mid\; q=2-p\\ \quad&20 &=& 4p+2-p &\quad \\ \quad&18 &=& 3p &\quad \\ \quad&p &=& 6 &\quad \\ \end{array}$
$ p=6 $
Setze $p$ wieder in Gleichung $\text{I(2.)}$ ein und berechne $q$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&q &=& 2-p &\quad \scriptsize\mid\; p=6\\ \quad&q &=& 2-6 &\\ \quad&q &=& -4 &\\ \end{array}$
$ q=-4 $
Funktionsgleichung aufstellen
Setze $p=6$ und $q=-4$ in die allgemeine Funktionsgleichung einer nach unten geöffneten Normalparabel ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x^2+px+q& \\[5pt] y&=& -x^2+6x-4& \\[5pt] \end{array}$
Die Parabel $p_2$ hat die Funktionsgleichung $y=-x^2+6x-4$.
#parabel#einsetzungsverfahren#quadratischefunktion

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Punkte $\boldsymbol{P_1}$ und $\boldsymbol{Q_1}$ einzeichen
Zeichne die beiden Punkte $P_1$ und $Q_1$ in ein Koordinatensystem ein.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 1: Punkte im Koordinatensystem
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 1: Punkte im Koordinatensystem
$\blacktriangleright$  Punkte $\boldsymbol{P_2}$ und $\boldsymbol{Q_2}$ einzeichen
Zeichne die beiden Punkte $P_2$ und $Q_2$ in ein Koordinatensystem ein.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 2: Punkte im Koordinatensystem
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 2: Punkte im Koordinatensystem
b)
$\blacktriangleright$  Parabel $\boldsymbol{p_1}$ einzeichnen
Zeichne eine nach oben geöffnete Normalparabel mithilfe deiner Parabelschablone ein. Die beiden Punkte $P_1$ und $Q_1$ liegen auf der Parabel.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 3: Parabel
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 3: Parabel
$\blacktriangleright$  Parabel $\boldsymbol{p_2}$ einzeichnen
Zeichne eine nach oben geöffnete Normalparabel mithilfe deiner Parabelschablone ein. Die beiden Punkte $P_2$ und $Q_2$ liegen auf der Parabel.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 4: Parabel
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 4: Parabel
c)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkt von $\boldsymbol{p_1}$ ablesen
Der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt der Parabel. Du kannst ihn gut im Koordinatensystem erkennen. Die Parabel $p_1$ hat den Scheitelpunkt $S_1$ mit den Koordinaten $S_1\,(2\mid 2)$.
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkt von $\boldsymbol{p_2}$ ablesen
Die Parabel $P_2$ hat den Scheitelpunkt $S_2$ mit den Koordinaten $S_2\,(-1\mid 1)$.
d)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform $\boldsymbol{p_1}$ bestimmen
Tipp
Die Allgemeine Scheitelpunktform einer nach oben geöffneten Normalparabel hat die Form:
$y=(x-x_s)^2+y_s$.
$x_s$ und $y_s$ sind die Koordinaten des Scheitelpunktes.
Tipp
Die Allgemeine Scheitelpunktform einer nach oben geöffneten Normalparabel hat die Form:
$y=(x-x_s)^2+y_s$.
$x_s$ und $y_s$ sind die Koordinaten des Scheitelpunktes.
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=2$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=2$.
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt die Scheitelpunktform bestimmen:
Die Scheitelpunktform lautet damit: $p_1$: $y=(x-2)^2+2$.
$\blacktriangleright$  Normalform von $\boldsymbol{p_1}$ aufstellen
Um die Normalform aufzustellen, kannst du die Scheitelpunktform ausmultiplizieren.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& (x-2)^2+2 &\\[5pt] y&=& x^2-4x+4+2 &\\[5pt] y&=& x^2-4x+6 &\\[5pt] \end{array}$
Die Normalform der Funktionsgleichung von Parabel $p_1$ lautet: $y= x^2-4x+6$.
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform $\boldsymbol{p_2}$ bestimmen
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=-1$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=1$.
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt die Scheitelpunktform bestimmen:
Die Scheitelpunktform lautet damit: $p_2$: $y=(x+1)^2+1$.
$\blacktriangleright$  Normalform von $\boldsymbol{p_2}$ aufstellen
Um die Normalform aufzustellen, kannst du die Scheitelpunktform ausmultiplizieren.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& (x+1)^2+1 &\\[5pt] y&=& x^2+2x+1+1 &\\[5pt] y&=& x^2+2x+2 &\\[5pt] \end{array}$
Die Normalform der Funktionsgleichung von Parabel $p_2$ lautet: $y= x^2+2x+2$.
#scheitelpunktform#einsetzungsverfahren#quadratischefunktion#parabel

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Setze die $x$- und die $y$-Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ in die allgemeine Parabelform ein. Dadurch erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Variablen $p$ und $q$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&y&=& x^2 +px+q &\quad \scriptsize\mid\;A\,(2 \mid 2) \\ \text{II}\quad&y&=& x^2+px+q &\quad \scriptsize\mid\;B\,(4 \mid 2)\\ \hline \text{I}\quad&2&=& 2^2 +2p+q & \\ \text{II}\quad&2&=& 4^2+4p+q &\\ \hline \text{I}\quad&2&=& 4 +2p+q & \\ \text{II}\quad&2&=& 16+4p+q &\\ \hline \text{I}\quad&-2&=& 2p+q & \\ \text{II}\quad&-14&=& 4p+q &\\ \end{array}$
Forme Gleichung $\text{I}$ nach $q$ um.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-2&=& 2p+q &\quad \scriptsize\mid\;-2p \\ \quad&-2p-2&=& q & \\ \quad&q&=& -2-2p & \\ \end{array}$
$ q=-2-2p $
Setze $q$ von Gleichung $\text{I}$ in Gleichung $\text{II}$ ein und bestimme $p$.
$\begin{array}{lrll} \text{II}\quad&-14 &=& 4p+q &\quad \scriptsize\mid\; q=-2-2p\\ \quad&-14 &=& 4p+(-2-2p) &\quad \\ \quad&-14 &=& 4p-2-2p &\quad \\ \quad&-12 &=& 4p-2p &\quad \\ \quad&-12 &=& 2p &\quad \\ \quad&-6 &=& p &\quad \\ \quad& p &=& -6 &\quad \\ \end{array}$
$ p=-6 $
Setze $p$ wieder in Gleichung $\text{I(2.)}$ ein und berechne $q$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&q &=& -2-2p &\quad \scriptsize\mid\; p=-6\\ \quad&q &=& -2-2\cdot(-6) &\\ \quad&q &=& -2+12 &\\ \quad&q &=& 10 &\\ \end{array}$
$ q=10 $
Funktionsgleichung aufstellen
Setze $p=-6$ und $q=2$ in die allgemeine Funktiongleichung einer Normalparabel ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+px+q& \\[5pt] y&=& x^2-6x+10& \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkt bestimmen
1. Schritt: Scheitelpunktform aufstellen
Um die Parabel zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-6x+10 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 3+10 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 3+ 3^2-3^2 +10 & \\[5pt] y&=& (x^2-2\cdot x \cdot 3+ 3^2)-9+10 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x-3)^2+1 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x-3)^2+1 $
2. Schritt: Scheitelpunkt bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=3$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=1$.
Der Scheitelpunkt hat somit die Koordinaten $S(3\mid 1)$.
$\blacktriangleright$  Parabel zeichnen
Zeichne die Parabel in ein Koordinatensystem. Lege dazu deine Parabelschablone an den Scheitelpunkt $S\,(3\mid 1)$. Dann kannst du die beiden Punkte $A\,(2\mid 2)$ und $B\,(4\mid 2)$ einzeichnen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 5: Parabel
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 5: Parabel
Die beiden Punkte $A$ und $B$ liegen auf der Parabel. Die Funktionsgleichung der Parabel ist somit richtig.
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Setze die $x$- und die $y$-Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ in die allgemeine Parabelform ein. Dadurch erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Variablen $p$ und $q$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&y&=& x^2 +px+q &\quad \scriptsize\mid\;A\,(-1 \mid 3) \\ \text{II}\quad&y&=& x^2+px+q &\quad \scriptsize\mid\;B\,(1 \mid -1)\\ \hline \text{I}\quad&3&=& (-1)^2 -1p+q & \\ \text{II}\quad&-1&=& 1^2+1p+q &\\ \hline \text{I}\quad&3&=& 1-p+q & \\ \text{II}\quad&-1&=& 1+p+q &\\ \hline \text{I}\quad&2&=& -p+q & \\ \text{II}\quad&-2&=& p+q &\\ \end{array}$
Forme Gleichung $\text{I}$ nach $q$ um.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&2&=& -p+q &\quad \scriptsize\mid\;+p \\ \quad&2+p&=& q & \\ \quad&q&=& 2+p & \\ \end{array}$
$ q=2+p $
Setze $q$ von Gleichung $\text{I}$ in Gleichung $\text{II}$ ein und bestimme $p$.
$\begin{array}{lrll} \text{II}\quad&-2&=& p+q &\quad \scriptsize\mid\; q=2+p\\ \quad&-2 &=& p+(2+p) &\quad \\ \quad&-2&=& 2+2p &\quad \\ \quad&-2p &=& 4 &\quad \\ \quad&p &=& -2 &\quad \\ \end{array}$
$ p=-2 $
Setze $p$ wieder in Gleichung $\text{I(2.)}$ ein und berechne $q$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-2&=& p+q &\quad \scriptsize\mid\; p=-2\\ \quad&-2 &=& -2+q &\\ \quad&0 &=& q &\\ \quad&q &=& 0 &\\ \end{array}$
$ q=0 $
Funktionsgleichung aufstellen
Setze $p=-2$ und $q=0$ in die allgemeine Funktionsgleichung einer Normalparabel ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+px+q& \\[5pt] y&=& x^2-2x+0& \\[5pt] y&=& x^2-2x& \\[5pt] \end{array}$
$ y=x^2-2x $
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkt bestimmen
1. Schritt: Scheitelpunktform aufstellen
Um die Parabel zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-2x & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 1 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 1+ 1^2-1^2 & \\[5pt] y&=& (x^2-2\cdot x \cdot 1+ 1^2)-1 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x-1)^2-1 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x-1)^2-1 $
2. Schritt: Scheitelpunkt bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=1$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=-1$.
Der Scheitelpunkt hat somit die Koordinaten $S(1\mid -1)$.
$\blacktriangleright$  Parabel zeichnen
Zeichne die Parabel in ein Koordinatensystem. Lege dazu deine Parabelschablone an den Scheitelpunkt $S\,(1\mid -1)$. Dann kannst du die beiden Punkte $A\,(-1\mid 3)$ und $B\,(1\mid -1)$ einzeichnen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 6: Parabel
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 6: Parabel
Die beiden Punkte $A$ und $B$ liegen auf der Parabel. Die Funktionsgleichung der Parabel ist somit richtig. Der Punkt $B$ ist außerdem der Scheitelpunkt der Parabel.
c)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Setze die $x$- und die $y$-Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ in die allgemeine Parabelform ein. Dadurch erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Variablen $p$ und $q$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&y&=& x^2 +px+q &\quad \scriptsize\mid\;A\,(-2 \mid 4) \\ \text{II}\quad&y&=& x^2+px+q &\quad \scriptsize\mid\;B\,(1 \mid 1)\\ \hline \text{I}\quad&4&=& (-2)^2 -2p+q & \\ \text{II}\quad&1&=& 1^2+1p+q &\\ \hline \text{I}\quad&4&=& 4 -2p+q & \\ \text{II}\quad&1&=& 1+1p+q &\\ \hline \text{I}\quad&0&=& -2p+q & \\ \text{II}\quad&0&=& p+q &\\ \end{array}$
Forme Gleichung $\text{I}$ nach $q$ um.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0&=& -2p+q &\quad \scriptsize\mid\;+2p \\ \quad&2p&=& q & \\ \quad&q&=& 2p & \\ \end{array}$
$ q=2p $
Setze $q$ von Gleichung $\text{I}$ in Gleichung $\text{II}$ ein und bestimme $p$.
$\begin{array}{lrll} \text{II}\quad&0 &=& p+q &\quad \scriptsize\mid\; q=2p\\ \quad&0 &=& p+2p &\quad \\ \quad&0 &=& 3p &\quad \\ \quad&p &=& 0 &\quad \\ \end{array}$
$ p=0 $
Setze $p$ wieder in Gleichung $\text{I(2.)}$ ein und berechne $q$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&q &=& 2p &\quad \scriptsize\mid\; p=0\\ \quad&q &=& 0 &\\ \end{array}$
Funktionsgleichung aufstellen
Setze $p=0$ und $q=0$ in die allgemeine Funktionsgleichung einer Normalparabel ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+px+q& \\[5pt] y&=& x^2+0x+0& \\[5pt] y&=& x^2& \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkt bestimmen
Die Normalparabel mit der Funktionsgleichung $y=x^2$ hat den Scheitelpunkt im Ursprung des koordinatensystems, da sie nicht verschoben ist. Der Scheitelpunkt hat somit die Koordinaten $S(0\mid 0)$.
$\blacktriangleright$  Parabel zeichnen
Zeichne die Parabel in ein Koordinatensystem. Lege dazu deine Parabelschablone an den Scheitelpunkt $S\,(0\mid 0)$. Dann kannst du die beiden Punkte $A\,(-2\mid 4)$ und $B\,(1\mid 1)$ einzeichnen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 7: Parabel
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 7: Parabel
Die beiden Punkte $A$ und $B$ liegen auf der Parabel. Die Funktionsgleichung der Parabel ist somit richtig.
d)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Setze die $x$- und die $y$-Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ in die allgemeine Parabelform ein. Dadurch erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Variablen $p$ und $q$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&y&=& x^2 +px+q &\quad \scriptsize\mid\;A\,(1 \mid 2) \\ \text{II}\quad&y&=& x^2+px+q &\quad \scriptsize\mid\;B\,(3 \mid -2)\\ \hline \text{I}\quad&2&=& 1^2 +1p+q & \\ \text{II}\quad&-2&=& 3^2+3p+q &\\ \hline \text{I}\quad&2&=& 1 +p+q & \\ \text{II}\quad&-2&=& 9+3p+q &\\ \hline \text{I}\quad&1&=& p+q & \\ \text{II}\quad&-11&=& 3p+q &\\ \end{array}$
Forme Gleichung $\text{I}$ nach $q$ um.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&1&=& p+q &\quad \scriptsize\mid\;-p \\ \quad&1-p&=& q & \\ \quad&q&=& 1-p & \\ \end{array}$
Setze $q$ von Gleichung $\text{I}$ in Gleichung $\text{II}$ ein und bestimme $p$.
$\begin{array}{lrll} \text{II}\quad&-11 &=& 3p+q &\quad \scriptsize\mid\; q=1-p\\ \quad&-11 &=& 3p+(1-p) &\quad \\ \quad&-11 &=& 2p+1 &\quad \\ \quad&-12 &=& 2p &\quad \\ \quad&-6 &=& p &\quad \\ \quad& p &=& -6 &\quad \\ \end{array}$
$ p=-6 $
Setze $p$ wieder in Gleichung $\text{I(2.)}$ ein und berechne $q$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&q &=& 1-p &\quad \scriptsize\mid\; p=-6\\ \quad&q &=& 1-(-6) &\\ \quad&q &=& 1+6 &\\ \quad&q &=& 7 &\\ \end{array}$
$ q=7 $
Funktionsgleichung aufstellen
Setze $p=-6$ und $q=7$ in die allgemeine Funktionsgleichung einer Normalparabel ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+px+q& \\[5pt] y&=& x^2-6x+7& \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkt bestimmen
1. Schritt: Scheitelpunkform aufstellen
Um die Parabel zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-6x+7 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 3+7 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 3+ 3^2-3^2 +7 & \\[5pt] y&=& (x^2-2\cdot x \cdot 3+ 3^2)-9+7 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x-3)^2-2 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x-3)^2-2 $
2. Schritt: Scheitelpunkt bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=3$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=-2$.
Der Scheitelpunkt hat somit die Koordinaten $S(3\mid -2)$.
$\blacktriangleright$  Parabel zeichnen
Zeichne die Parabel in ein Koordinatensystem. Lege dazu deine Parabelschablone an den Scheitelpunkt $S\,(3\mid -2)$. Dann kannst du die beiden Punkte $A\,(1\mid 2)$ und $B\,(3\mid -2)$ einzeichnen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 8: Parabel
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 8: Parabel
Die Punkte $A$ und $B$ liegen auf der Parabel. Die Funktionsgleichung der Parabel ist somit richtig.
e)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Setze die $x$- und die $y$-Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ in die allgemeine Parabelform ein. Dadurch erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Variablen $p$ und $q$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&y&=& x^2 +px+q &\quad \scriptsize\mid\;A\,(-1 \mid -1) \\ \text{II}\quad&y&=& x^2+px+q &\quad \scriptsize\mid\;B\,(2 \mid 2)\\ \hline \text{I}\quad&-1&=& (-1)^2 -1p+q & \\ \text{II}\quad&2&=& 2^2+2p+q &\\ \hline \text{I}\quad&-1&=& 1 -p+q & \\ \text{II}\quad&2&=& 4+2p+q &\\ \hline \text{I}\quad&-2&=& -p+q & \\ \text{II}\quad&-2&=& 2p+q &\\ \end{array}$
Forme Gleichung $\text{I}$ nach $q$ um.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-2&=& -p+q &\quad \scriptsize\mid\;+p \\ \quad& -2+p&=& q & \\ \quad&q&=& -2+p & \\ \end{array}$
$ q=-2+p $
Setze $q$ von Gleichung $\text{I}$ in Gleichung $\text{II}$ ein und bestimme $p$.
$\begin{array}{lrll} \text{II}\quad&-2 &=& 2p+q &\quad \scriptsize\mid\; q=-2+p\\ \quad&-2 &=& 2p+(-2+p) &\quad \\ \quad&-2 &=& 3p-2 &\quad \\ \quad&0 &=& 3p &\quad \\ \quad&p &=& 0 &\quad \\ \end{array}$
$ p=0 $
Setze $p$ wieder in Gleichung $\text{I(2.)}$ ein und berechne $q$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&q &=& -2+p &\quad \scriptsize\mid\; p=0\\ \quad&q &=& -2+0 &\\ \quad&q &=& -2 &\\ \end{array}$
$ q=-2 $
Funktionsgleichung aufstellen
Setze $p=0$ und $q=-2$ in die allgemeine Funktionsgleichung einer Normalparabel ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+px+q& \\[5pt] y&=& x^2+0x-2& \\[5pt] y&=& x^2-2& \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkt bestimmen
1. Schritt: Scheitelpunktform aufstellen
Um die Parabel zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Diese kannst du hier ganz einfach aufstellen, indem du eine Null addierst.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-2 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\;\\[5pt] y&=& (x+0)^2-2 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x+0)^2-2 $
2. Schritt: Scheitelpunkt bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=0$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=-2$.
Der Scheitelpunkt hat somit die Koordinaten $S(0\mid -2)$.
$\blacktriangleright$  Parabel zeichnen
Zeichne die Parabel in ein Koordinatensystem. Lege dazu deine Parabelschablone an den Scheitelpunkt $S\,(0\mid -2)$. Dann kannst du die beiden Punkte $A\,(-1\mid -1)$ und $B\,(2\mid 2)$ einzeichnen. Liegen sie auf der Parabel?
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 9: Parabel
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 9: Parabel
Die beiden Punkte $A$ und $B$ liegen auf der Parabel. Die Funktionsgleichung der Parabel ist somit richtig.
f)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Setze die $x$- und die $y$-Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ in die allgemeine Parabelform ein. Dadurch erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Variablen $p$ und $q$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&y&=& x^2 +px+q &\quad \scriptsize\mid\;A\,(-1 \mid -1) \\ \text{II}\quad&y&=& x^2+px+q &\quad \scriptsize\mid\;B\,(0 \mid 2)\\ \hline \text{I}\quad&-1&=& (-1)^2 -1p+q & \\ \text{II}\quad&2&=& 0^2+0p+q &\\ \hline \text{I}\quad&-1&=& 1-p+q & \\ \text{II}\quad&2&=& q &\\ \hline \text{I}\quad&-2&=& -p+q & \\ \text{II}\quad&2&=& q &\\ \end{array}$
Forme Gleichung $\text{II}$ nach $q$ um.
$\begin{array}{lrll} \text{II}\quad&2&=&q & \\ \quad& q &=& 2 & \\ \end{array}$
Setze $q$ von Gleichung $\text{II}$ in Gleichung $\text{I}$ ein und bestimme $p$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-2 &=& -p+q &\quad \scriptsize\mid\; q=2\\ \quad&-2 &=& -p+2 &\quad \\ \quad&-4 &=& -p &\quad \\ \quad& p &=& 4 &\quad \\ \end{array}$
$ p=4 $
Funktionsgleichung aufstellen
Setze $p=4$ und $q=2$ in die allgemeine Funktionsgleichung einer Normalparabel ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+px+q& \\[5pt] y&=& x^2+4x+2& \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkt bestimmen
1. Schritt: Scheitelpunktform aufstellen
Um die Parabel zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+4x+2 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 2+2 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 2+ 2^2-2^2 +2 & \\[5pt] y&=& (x^2+2\cdot x \cdot 2+ 2^2)-4+2 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x+2)^2-2 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x+2)^2-2 $
2. Schritt: Scheitelpunkt bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=-2$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=-2$.
Der Scheitelpunkt hat somit die Koordinaten $S(-2\mid -2)$.
$\blacktriangleright$  Parabel zeichnen
Zeichne die Parabel in ein Koordinatensystem. Lege dazu deine Parabelschablone an den Scheitelpunkt $S\,(-2\mid -2)$. Dann kannst du die beiden Punkte $A\,(-1\mid -1)$ und $B\,(0\mid 2)$ einzeichnen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 10: Parabel
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 10: Parabel
Die beiden Punkte $A$ und $B$ liegen auf der Parabel. Die Funktionsgleichung der Parabel ist somit richtig.
#quadratischefunktion#parabel#scheitelpunktform

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Setze die $x$- und die $y$-Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ in die allgemeine Parabelform ein. Dadurch erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Variablen $p$ und $q$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&y&=& -x^2 +px+q &\quad \scriptsize\mid\;A\,(-3\mid 1) \\ \text{II}\quad&y&=& -x^2+px+q &\quad \scriptsize\mid\;B\,(0 \mid -2)\\ \hline \text{I}\quad&1&=& -(-3)^2 -3p+q & \\ \text{II}\quad&-2&=& -0^2+0p+q &\\ \hline \text{I}\quad&1&=& -9-3p+q & \\ \text{II}\quad&-2&=& q &\\ \hline \text{I}\quad&10&=& -3p+q & \\ \text{II}\quad&-2&=& q &\\ \end{array}$
Forme Gleichung $\text{II}$ nach $q$ um.
$\begin{array}{lrll} \text{II}\quad&-2&=& q & \\ \quad&q&=& -2 & \\ \end{array}$
Setze $q$ von Gleichung $\text{II}$ in Gleichung $\text{I}$ ein und bestimme $p$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-8 &=& -3p+q &\quad \scriptsize\mid\; q=-2\\ \quad&10 &=& -3p-2 &\quad \\ \quad&12 &=& -3p &\quad \\ \quad&-12 &=& 3p &\quad \\ \quad&p &=& -4 &\quad \\ \end{array}$
$ p=-4 $
Funktionsgleichung aufstellen
Setze $p=-4$ und $q=-2$ in die allgemeine Funktionsgleichung einer Normalparabel ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x^2+px+q& \\[5pt] y&=& -x^2-4x-2& \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkt bestimmen
1. Schritt: Scheitelpunktform aufstellen
Um die Parabel zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x^2-4x-2 & \quad \scriptsize \mid \text{ausklammern}\;\\[5pt] y&=& -(x^2+4x)-2 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& -(x^2+2\cdot x \cdot 2)-2 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& -(x^2+2\cdot x \cdot 2+ 2^2-2^2) -2 & \\[5pt] y&=& -(x^2+2\cdot x \cdot 2+ 2^2)+4-2 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& -(x+2)^2+2 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= -(x+2)^2+2 $
2. Schritt: Scheitelpunkt bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=-2$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=2$.
Der Scheitelpunkt hat somit die Koordinaten $S(-2\mid 2)$.
$\blacktriangleright$  Parabel zeichnen
Zeichne die Parabel in ein Koordinatensystem. Lege dazu deine Parabelschablone an den Scheitelpunkt $S\,(-2\mid 2)$. Dann kannst du die beiden Punkte $A\,(-3\mid 1)$ und $B\,(0\mid -2)$ einzeichnen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 11: Parabel
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 11: Parabel
Die beiden Punkte $A$ und $B$ liegen auf der Parabel. Die Funktionsgleichung der Parabel ist somit richtig.
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Setze die $x$- und die $y$-Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ in die allgemeine Parabelform ein. Dadurch erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Variablen $p$ und $q$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&y&=& -x^2 +px+q &\quad \scriptsize\mid\;A\,(2\mid 1) \\ \text{II}\quad&y&=& -x^2+px+q &\quad \scriptsize\mid\;B\,(3 \mid -2)\\ \hline \text{I}\quad&1&=& -(2^2) +2p+q & \\ \text{II}\quad&-2&=& -(3^2)+3p+q &\\ \hline \text{I}\quad&1&=& -4+2p+q & \\ \text{II}\quad&-2&=& -9+3p+q &\\ \hline \text{I}\quad&5&=& 2p+q & \\ \text{II}\quad&7&=& 3p+q &\\ \end{array}$
Forme Gleichung $\text{I}$ nach $q$ um.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&5&=& 2p+q &\quad \scriptsize\mid\;-2p \\ \quad&5-2p&=& q & \\ \quad&q&=& 5-2p & \\ \end{array}$
$ q=5-2p $
Setze $q$ von Gleichung $\text{I}$ in Gleichung $\text{II}$ ein und bestimme $p$.
$\begin{array}{lrll} \text{II}\quad&7 &=& 3p+q &\quad \scriptsize\mid\; q=5-2p\\ \quad&7 &=& 3p+5-2p &\quad \\ \quad&2 &=& p &\quad \\ \quad&p &=& 2 &\quad \\ \end{array}$
$ p=2$
Setze $p$ wieder in Gleichung $\text{I(2.)}$ ein und berechne $q$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&q &=& 5-2p &\quad \scriptsize\mid\; p=2\\ \quad&q &=& 5-2\cdot(2) &\\ \quad&q &=& 5-4 &\\ \quad&q &=& 1 &\\ \end{array}$
$ q=1 $
Funktionsgleichung aufstellen
Setze $p=2$ und $q=1$ in die allgemeine Funktionsgleichung einer Normalparabel ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x^2+px+q& \\[5pt] y&=& -x^2+2x+1& \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkt bestimmen
1. Schritt: Scheitelpunktform aufstellen
Um die Parabel zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x^2+2x+1 & \quad \scriptsize \mid \text{ausklammern}\;\\[5pt] y&=& -(x^2-2x)+1 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& -(x^2-2\cdot x \cdot 1)+1 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& -(x^2-2\cdot x \cdot 1+ 1^2-1^2) +1 & \\[5pt] y&=& -(x^2-2\cdot x \cdot 1+ 1^2)+1+1 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& -(x-1)^2+2 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= -(x-1)^2+2 $
1. Schritt: Scheitelpunkt bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=1$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=2$.
Der Scheitelpunkt hat somit die Koordinaten $S(1\mid 2)$.
$\blacktriangleright$  Parabel zeichnen
Zeichne die Parabel in ein Koordinatensystem. Lege dazu deine Parabelschablone an den Scheitelpunkt $S\,(1\mid 2)$. Dann kannst du die beiden Punkte $A\,(2\mid 1)$ und $B\,(3\mid -2)$ einzeichnen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 12: Parabel
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 12: Parabel
Die beiden Punkte $A$ und $B$ liegen auf der Parabel. Die Funktionsgleichung der Parabel ist somit richtig.
c)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Setze die $x$- und die $y$-Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ in die allgemeine Parabelform ein. Dadurch erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Variablen $p$ und $q$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&y&=& -x^2 +px+q &\quad \scriptsize\mid\;A\,(-1\mid 2) \\ \text{II}\quad&y&=& -x^2+px+q &\quad \scriptsize\mid\;B\,(1 \mid 2)\\ \hline \text{I}\quad&2&=& -(-1^2) -1p+q & \\ \text{II}\quad&2&=& -(1^2)+1p+q &\\ \hline \text{I}\quad&2&=& -1-p+q & \\ \text{II}\quad&2&=& -1+p+q &\\ \hline \text{I}\quad&3&=& -p+q & \\ \text{II}\quad&3&=& p+q &\\ \end{array}$
Forme Gleichung $\text{I}$ nach $q$ um.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&3&=& -p+q &\quad \scriptsize\mid\;+p \\ \quad&3+p&=& q & \\ \quad&q&=& 3+p & \\ \end{array}$
$ q=3+p $
Setze $q$ von Gleichung $\text{I}$ in Gleichung $\text{II}$ ein und bestimme $p$.
$\begin{array}{lrll} \text{II}\quad&3 &=& p+q &\quad \scriptsize\mid\; q=3+p\\ \quad&3 &=& p+3+p &\quad \\ \quad&0 &=& 2p &\quad \\ \quad&p &=& 0 &\quad \\ \end{array}$
$ p=0 $
Setze $p$ wieder in Gleichung $\text{I(2.)}$ ein und berechne $q$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&q &=& 3+p &\quad \scriptsize\mid\; p=0\\ \quad&q &=& 3+0 &\\ \quad&q &=& 3 &\\ \end{array}$
$ q=3 $
Funktionsgleichung aufstellen
Setze $p=0$ und $q=3$ in die allgemeine Funktionsgleichung einer Normalparabel ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x^2+px+q& \\[5pt] y&=& -x^2+0x+3& \\[5pt] y&=& -x^2+3& \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkt bestimmen
1. Schritt: Scheitelpunktform aufstellen
Um die Parabel zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x^2+0x+3 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\;\\[5pt] y&=& -(x+0)^2+3 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= -(x+0)^2+3 $
1. Schritt: Scheitelpunkt bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=0$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=3$.
Der Scheitelpunkt hat somit die Koordinaten $S(0\mid 3)$.
$\blacktriangleright$  Parabel zeichnen
Zeichne die Parabel in ein Koordinatensystem. Lege dazu deine Parabelschablone an den Scheitelpunkt $S\,(0\mid 3)$. Dann kannst du die beiden Punkte $A\,(-1\mid 2)$ und $B\,(1\mid 2)$ einzeichnen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 13: Parabel
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 13: Parabel
Die beiden Punkte $A$ und $B$ liegen auf der Parabel. Die Funktionsgleichung der Parabel ist somit richtig.
d)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Setze die $x$- und die $y$-Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ in die allgemeine Parabelform ein. Dadurch erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Variablen $p$ und $q$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&y&=& -x^2 +px+q &\quad \scriptsize\mid\;A\,(0\mid -2) \\ \text{II}\quad&y&=& -x^2+px+q &\quad \scriptsize\mid\;B\,(3 \mid -5)\\ \hline \text{I}\quad&-2&=& -(0)^2 +0p+q & \\ \text{II}\quad&-5&=& -(3)^2+3p+q &\\ \hline \text{I}\quad&-2&=& q & \\ \text{II}\quad&-5&=& -9+3p+q &\\ \hline \text{I}\quad&-2&=& q & \\ \text{II}\quad&4&=& 3p+q &\\ \end{array}$
Forme Gleichung $\text{I}$ nach $q$ um.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-2&=& q & \\ \quad&q&=& -2 & \\ \end{array}$
Setze $q$ von Gleichung $\text{I}$ in Gleichung $\text{II}$ ein und bestimme $p$.
$\begin{array}{lrll} \text{II}\quad&4 &=& 3p+q &\quad \scriptsize\mid\; q=-2\\ \quad&4 &=& 3p-2 &\quad \\ \quad&6 &=& 3p &\quad \\ \quad&2 &=& p &\quad \\ \quad&p &=& 2 &\quad \\ \end{array}$
$ p=2 $
Funktionsgleichung aufstellen
Setze $p=2$ und $q=-2$ in die allgemeine Funktionsgleichung einer Normalparabel ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x^2+px+q& \\[5pt] y&=& -x^2+2x-2& \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkt bestimmen
1. Schritt: Scheitelpunktform aufstellen
Um die Parabel zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x^2+2x-2 & \quad \scriptsize \mid \text{ausklammern}\;\\[5pt] y&=& -(x^2-2x)-2 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& -(x^2-2\cdot x \cdot 1)-2 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& -(x^2-2\cdot x \cdot 1+ 1^2-1^2) -2 & \\[5pt] y&=& -(x^2-2\cdot x \cdot 1+ 1^2)+1-2 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& -(x-1)^2-1 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= -(x-1)^2-1 $
2. Schritt: Scheitelpunkt bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=1$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=-1$.
Der Scheitelpunkt hat somit die Koordinaten $S(1\mid -1)$.
$\blacktriangleright$  Parabel zeichnen
Zeichne die Parabel in ein Koordinatensystem. Lege dazu deine Parabelschablone an den Scheitelpunkt $S\,(1\mid -1)$. Dann kannst du die beiden Punkte $A\,(0\mid -2)$ und $B\,(3\mid -5)$ einzeichnen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 14: Parabel
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 14: Parabel
Die beiden Punkte $A$ und $B$ liegen auf der Parabel. Die Funktionsgleichung der Parabel ist somit richtig.
#scheitelpunktform#parabel#quadratischefunktion

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Punkte einzeichnen
Zeichne die Punkte $Q\,(0\mid -2)$ und $R\,(3 \mid -5)$ in ein Koordinatensystem.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 15: Punkte $Q$ und $R$
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 15: Punkte $Q$ und $R$
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung $\boldsymbol{p_1}$ bestimmen
Setze die $x$- und die $y$-Koordinaten der Punkte $Q$ und $R$ in die allgemeine Parabelform ein. Dadurch erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Variablen $p$ und $q$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&y&=& -x^2 +px+q &\quad \scriptsize\mid\;Q\,(0\mid -2) \\ \text{II}\quad&y&=& -x^2+px+q &\quad \scriptsize\mid\;R\,(3 \mid -5)\\ \hline \text{I}\quad&-2&=& -(0^2) +0p+q & \\ \text{II}\quad&-5&=& -(3^2)+3p+q &\\ \hline \text{I}\quad&-2&=& q & \\ \text{II}\quad&-5&=& -9+3p+q &\\ \hline \text{I}\quad&-2&=& q & \\ \text{II}\quad&4&=& 3p+q &\\ \end{array}$
Forme Gleichung $\text{I}$ nach $q$ um.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-2&=& q & \\ \quad&q&=& -2 & \\ \end{array}$
Setze $q$ von Gleichung $\text{I}$ in Gleichung $\text{II}$ ein und bestimme $p$.
$\begin{array}{lrll} \text{II}\quad&4 &=& 3p+q &\quad \scriptsize\mid\; q=-2\\ \quad&4 &=& 3p-2 &\quad \\ \quad&6 &=& 3p &\quad \\ \quad&2 &=& p &\quad \\ \quad&p &=& 2 &\quad \\ \end{array}$
$ p=2 $
Funktionsgleichung aufstellen
Setze $p=2$ und $q=-2$ in die allgemeine Funktionsgleichung einer Normalparabel ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x^2+px+q& \\[5pt] y&=& -x^2+2x-2& \\[5pt] \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung $\boldsymbol{p_2}$ bestimmen
Setze die $x$- und die $y$-Koordinaten der Punkte $Q$ und $R$ in die allgemeine Parabelform ein. Dadurch erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Variablen $p$ und $q$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&y&=& x^2 +px+q &\quad \scriptsize\mid\;Q\,(0 \mid -2) \\ \text{II}\quad&y&=& x^2+px+q &\quad \scriptsize\mid\;R\,(3 \mid -5)\\ \hline \text{I}\quad&-2&=& (0)^2 +0p+q & \\ \text{II}\quad&-5&=& 3^2+3p+q &\\ \hline \text{I}\quad&-2&=& q & \\ \text{II}\quad&-5&=& 9+3p+q &\\ \hline \text{I}\quad&-2&=& q & \\ \text{II}\quad&-14&=& 3p+q &\\ \end{array}$
Forme Gleichung $\text{I}$ nach $q$ um.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-2&=&q & \\ \quad& q &=& -2 & \\ \end{array}$
Setze $q$ von Gleichung $\text{I}$ in Gleichung $\text{II}$ ein und bestimme $p$.
$\begin{array}{lrll} \text{II}\quad&-14 &=& 3p+q &\quad \scriptsize\mid\; q=-2\\ \quad&-14 &=& 3p-2 &\quad \\ \quad&-12 &=& 3p &\quad \\ \quad& -4 &=& p &\quad \\ \quad& p &=& -4 &\quad \\ \end{array}$
$ p=-4 $
Funktionsgleichung aufstellen
Setze $p=-4$ und $q=-2$ in die allgemeine Funktionsgleichung einer Normalparabel ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+px+q& \\[5pt] y&=& x^2-4x-2& \\[5pt] \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkt $\boldsymbol{S_1}$ bestimmen
1. Schritt: Scheitelpunktform aufstellen
Um die Parabel zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x^2+2x-2 & \quad \scriptsize \mid \text{ausmultiplizieren}\;\\[5pt] y&=& -(x^2-2x)-2 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& -(x^2-2\cdot x \cdot 1)-2 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& -(x^2-2\cdot x \cdot 1+ 1^2-1^2) -2 & \\[5pt] y&=& -(x^2-2\cdot x \cdot 1+ 1^2)+1-2 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& -(x-1)^2-1 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= -(x-1)^2-1 $
2. Schritt: Scheitelpunkt bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=1$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=-1$.
Der Scheitelpunkt hat somit die Koordinaten $S_1(1\mid -1)$.
e)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkt $\boldsymbol{S_2}$ bestimmen
1. Schritt: Scheitelpunktform aufstellen
Um die Parabel zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-4x-2 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 2-2 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 2+ 2^2-2^2 -2 & \\[5pt] y&=& (x^2-2\cdot x \cdot 2+ 2^2)-4-2 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x-2)^2-6 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x-2)^2-6 $
2. Schritt: Scheitelpunkt bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=2$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=-6$.
Der Scheitelpunkt hat somit die Koordinaten $S_2(2\mid -6)$.
f)
$\blacktriangleright$  Parabeln zeichnen
Zeichne die Parabeln in das Koordinatensystem aus Aufgabenteil a). Lege dazu deine Parabelschablone an den Scheitelpunkt $S_1\,(1\mid -1)$ um Parabel $p_1$ zu zeichnen. Diese ist nach unten geöffnet! Lege die Parabel an den Scheitelpunkt $S_2\,(2\mid -6)$ um Parabel $p_2$ zu zeichnen. Dann zeichnest du die Punkte $Q$ und $R$ in das Koordinatensystem.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 16: Parabeln $p_1$ und $p_2$
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln
Abb. 16: Parabeln $p_1$ und $p_2$
Die beiden Punkte $Q$ und $R$ liegen auf den beiden Parabeln $p_1$ und $p_2$. Die Funktionsgleichungen der Parabeln sind somit richtig.
#quadratischefunktion#parabel#scheitelpunktform
Bildnachweise [nach oben]
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