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Lösen durch quadratische Ergänzung

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Gleichungen, bei denen kein binomischer Ausdruck vorkommt, können mit der quadratischen Ergänzung gelöst werden. Erkläre und vergleiche die Rechenwege.
$\;$
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 6x + 8 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; ? \\[5pt] x^2 + (2 \cdot x \cdot 3) + 8 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; ? \\[5pt] (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 \color{#87c800}{\color{#87c800}{+3^2}}) \color{#87c800}{- 3^2} + 8 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; ? \\[5pt] (x + 3)^2 -1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; ? \\[5pt] (x + 3)^2 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; ? \\[5pt] x_1 + 3 &=& + 1 &\quad \scriptsize \mid\; ?\\[5pt] x_2 + 3&=& - 1 &\quad \scriptsize \mid\; ?\\[5pt] x_1 &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; ? \\[5pt] x_2 &=& -4 &\quad \scriptsize \mid\; ?\\[5pt] \color{#87c800}{(-2)}^2 + 6 \cdot \color{#87c800}{(-2)} + 8 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; ?\\[5pt] 0 &=& 0 \\[5pt] \color{#87c800}{(-4)}^2 + 6 \cdot \color{#87c800}{(-4)} + 8 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; ?\\[5pt] 0 &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
#quadratischeergänzung#gleichung

Aufgabe 1

Vervollständige die quadratische Ergänzung und löse die Gleichung.
b)
$\begin{array}[t]{rll} x^2 -6x + 8 &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 \; + \; ? \; - \; ? + 8 &=& 0 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 3x - 28 &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 + 2 \cdot x \cdot 1,5 \; + \; ? \; - \; ? \; - 28 &=& 0 \end{array}$
#quadratischeergänzung#gleichung

Aufgabe 2

Führe die quadratische Ergänzung durch und löse die Gleichung.
b)
$x^2 + 2x = 35$
d)
$x^2 + 21x = -104$
f)
$x^2 - 3x + 12 =0$
h)
$x^2 - 25x = -136$
j)
$x^2 + 14x +33= 0$
l)
$x^2 + 19x + 88 =0$
#gleichung#quadratischeergänzung#quadratischegleichung

Aufgabe 3

Löse die Gleichungen rechnerisch. Runde falls notwendig auf zwei Nachkommastellen.
b)
$22=11x^2-66x$
d)
$0,3x^2 - 0,12x - 0,42 =0$
f)
$ 10x^2 - 6x + 0,8 = 0$
#gleichung#quadratischegleichung

Aufgabe 4

Erstelle eine Gleichung um die Zahlenrätsel zu lösen.
a)
Quadrierst du eine Zahl und addierst zu dieser $\frac{9}{4}$, so erhältst du das Dreifache dieser Zahl.
b)
Subtrahierst du von dem Quadrat einer natürlichen Zahl das Zweifache dieser Zahl, so ist das Ergebnis $3$.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

Um Gleichungen quadratisch zu ergänzen, gehst du immer wie folgt vor:
  1. Nimm die Zahl, die vor der nicht-quadrierten Variable steht, dividiere sie mit 2, quadriere sie, addiere und subtrahiere sie wieder. Die Subtraktion muss erfolgen um die Gleichheit der Terme zu bewahren.
  2. Jetzt wandelst du die ersten drei Teile der Gleichung in ein Binom um.
  3. Berechne im Anschluss die Variable. Beachte, dass du beim Wurzelziehen zwei Ergebnisse bekommst!
a)
$\blacktriangleright$  Rechnung erklären
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 6x &=& 7 &\quad \scriptsize \mid\; 6x \text{ ausklammern} \\[5pt] x^2 + (2 \cdot x \cdot 3) &=& 7 &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 \color{#87c800}{+3^2}) &=& 7 \color{#87c800}{+ 3^2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{in binomische Form bringen} \\[5pt] (x + 3)^2 &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x_1 + 3 &=& + 4 &\quad \scriptsize \mid\; -3 \\[5pt] x_2 + 3&=& - 4 &\quad \scriptsize \mid\; -3 \\[5pt] x_1 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1 \\[5pt] x_2 &=& -7 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2 \\[5pt] \color{#87c800}{1}^2 + 6 \cdot \color{#87c800}{1} &=& 7 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] 7 &=& 7 \\[5pt] \color{#87c800}{(-7)}^2 + 6 \cdot \color{#87c800}{(-7)} &=& 7 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] 7 &=& 7 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Rechnung erklären
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 6x + 8 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; 6x \text{ ausklammern} \\[5pt] x^2 + (2 \cdot x \cdot 3) + 8 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 \color{#87c800}{\color{#87c800}{+3^2}}) \color{#87c800}{- 3^2} + 8 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{in binomische Form bringen} \\[5pt] (x + 3)^2 -1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] x^2 + (2 \cdot x \cdot 3) + 8 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; ? \\[5pt] (x + 3)^2 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x_1 + 3 &=& + 1 &\quad \scriptsize \mid\; -3 \\[5pt] x_2 + 3&=& - 1 &\quad \scriptsize \mid\; -3 \\[5pt] x_1 &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1 \\[5pt] x_2 &=& -4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2 \\[5pt] \color{#87c800}{(-2)}^2 + 6 \cdot \color{#87c800}{(-2)} + 8 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1\\[5pt] 0 &=& 0 \\[5pt] \color{#87c800}{(-4)}^2 + 6 \cdot \color{#87c800}{(-4)} + 8 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2\\[5pt] 0 &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 4x&=& 12 &\quad \\[5pt] x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 \; + \; 2^2 &=& 12 \; + \; 2^2 \\[5pt] (x + 2)^2 &=& 12 \; + \; 2^2 \\[5pt] (x + 2)^2 &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_1 + 2 &=& + 4 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] x_2 + 2 &=& - 4 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] x_1 &=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1 \\[5pt] x_2 &=& -6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 -6x + 8 &=& 0 &\quad \\[5pt] (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 8&=& 0 &\quad \\[5pt] (x - 3)^2 -1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] (x - 3)^2 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_1 - 3 &=& +1 &\quad \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt] x_2 - 3 &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt] x_1 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1 \\[5pt] x_2 &=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 - 2x &=& 8 &\quad \\[5pt] x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 &=& 8 + 1^2 &\quad \\[5pt] (x - 1)^2 &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x_1 - 1 &=& +3 &\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] x_2 - 1 &=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] x_1 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1 \\[5pt] x_2 &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 3x - 28 &=& 0 &\quad \\[5pt] (x^2 + 2 \cdot x \cdot 1,5 + 1,5^2) - 1,5^2 - 28 &=& 0 &\quad \\[5pt] (x + 1,5)^2 -30,25 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +30,25 \\[5pt] (x + 1,5)^2 &=& 30,25 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x_1 +1,5 &=& +5,5 &\quad \scriptsize \mid\; -1,5 \\[5pt] x_2 +1,5 &=& -5,5 &\quad \scriptsize \mid\; -1,5 \\[5pt] x_1 &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1 \\[5pt] x_2 &=& -7 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 - 27x +72 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] (x^2 - 2 \cdot x \cdot 13,5 \color{#87c800}{+ 13,5^2}) \color{#87c800}{-13,5^2} + 72 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{in binomische Formel bringen} \\[5pt] (x - 13,5)^2 &=& 110,25 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_1 - 13,5 &=& + 10,5&\quad \scriptsize \mid\; +13,5 \\[5pt] x_2 - 13,5 &=& - 10,5&\quad \scriptsize \mid\; +13,5 \\[5pt] x_1 &=& 23,5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1 \\[5pt] x_2 &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2 \\[5pt] \color{#87c800}{23,5}^2 - 27 \cdot \color{#87c800}{23,5} +72 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{3}^2 - 27 \cdot \color{#87c800}{3} +72 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2 \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 2x &=& 35 &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] (x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 \color{#87c800}{+ 1^2}) &=& 35 \color{#87c800}{+1^2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{in binomische Formel bringen} \\[5pt] (x +1)^2 &=& 36 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_1 + 1 &=& + 6 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] x_2 + 1 &=& - 6 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] x_1 &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1 \\[5pt] x_2 &=& -7 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2 \\[5pt] \color{#87c800}{5}^2 + 2 \cdot \color{#87c800}{5} &=& 35 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] 35 &=& 35 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-7)}^2 + 2 \cdot \color{#87c800}{(-7)} &=& 35 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] 35 &=& 35 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + x &=& 132 &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] (x^2 + 2 \cdot x \cdot 0,5 \color{#87c800}{+ 0,5^2}) &=& 132 \color{#87c800}{+0,5^2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{in binomische Formel bringen} \\[5pt] (x + 0,5)^2 &=& 132,25 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_1 + 0,5 &=& + 11,5 &\quad \scriptsize \mid\; -0,5 \\[5pt] x_2 + 0,5 &=& - 11,5 &\quad \scriptsize \mid\; -0,5 \\[5pt] x_1 &=& 11 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1 \\[5pt] x_2 &=& -12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2 \\[5pt] \color{#87c800}{11}^2 + \color{#87c800}{11} &=& 132 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] 132 &=& 132 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-12)}^2 + \color{#87c800}{(-12)} &=& 132 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2 \\[5pt] 132 &=& 132 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 21x &=& -104 &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] (x^2 + 2 \cdot x \cdot 10,5 \color{#87c800}{+ 10,5^2}) &=& -104 \color{#87c800}{+10,5^2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{in binomische Formel bringen} \\[5pt] (x + 10,5)^2 &=& 6,25 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_1 + 10,5 &=& + 2,5 &\quad \scriptsize \mid\; -10,5 \\[5pt] x_2 + 10,5 &=& - 2,5 &\quad \scriptsize \mid\; -10,5 \\[5pt] x_1 &=& -8 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1 \\[5pt] x_2 &=& -13 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2 \\[5pt] \color{#87c800}{(-8)}^2 + 21 \cdot \color{#87c800}{(-8)} &=& 104 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] -104 &=& -104 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-13)}^2 + 21 \cdot \color{#87c800}{(-13)} &=& -104 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2 \\[5pt] -104 &=& -104 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 18x + 81 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] (x^2 + 2 \cdot x \cdot 9 \color{#87c800}{+ 9^2}) \color{#87c800}{-9^2} + 81 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{in binomische Formel bringen} \\[5pt] (x + 9)^2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x + 9 &=& 0&\quad \scriptsize \mid\; -9 \\[5pt] x &=& -9 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung} \\[5pt] \color{#87c800}{(-9)}^2 + 18 \cdot \color{#87c800}{(-9)} + 81 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 - 3x + 12 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] (x^2 - 2 \cdot x \cdot 1,5 \color{#87c800}{+ 1,5^2}) \color{#87c800}{-1,5^2} + 12 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{in binomische Formel bringen} \\[5pt] (x + 1,5)^2 + 9,75&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -9,75\\[5pt] (x + 1,5)^2 &=& -9,75 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Diese Gleichung ist nicht lösbar.
g)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 18x + 72 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] (x^2 + 2 \cdot x \cdot 9 \color{#87c800}{+ 9^2}) \color{#87c800}{-9^2} + 72 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{in binomische Formel bringen} \\[5pt] (x + 9)^2 -9&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +9 \\[5pt] (x + 9)^2 &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x_1 + 9 &=& + 3&\quad \scriptsize \mid\; -9 \\[5pt] x_2 + 9 &=& - 3&\quad \scriptsize \mid\; -9 \\[5pt] x_1 &=& -6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1 \\[5pt] x_2 &=& -12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2 \\[5pt] \color{#87c800}{(-6)}^2 + 18 \cdot \color{#87c800}{(-6)} + 72 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-12)}^2 + 18 \cdot \color{#87c800}{(-12)} + 72 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2 \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
h)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 - 25x &=& -136 &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] (x^2 - 2 \cdot x \cdot 12,5 \color{#87c800}{+ 12,5^2}) &=& -136 + \color{#87c800}{12,5^2 } &\quad \scriptsize \mid\; \text{in binomische Formel bringen} \\[5pt] (x + 12,5)^2 &=& 20,25 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x_1 + 12,5 &=& + 4,5 &\quad \scriptsize \mid\; -12,5 \\[5pt] x_2 + 12,5 &=& - 4,5 &\quad \scriptsize \mid\; -12,5 \\[5pt] x_1 &=& -8 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1 \\[5pt] x_2 &=& -17 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2 \\[5pt] \color{#87c800}{(-8)}^2 - 25 \cdot \color{#87c800}{(-8)} &=& -136 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] -136 &=& -136 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-17)}^2 - 25 \cdot \color{#87c800}{(-17)} &=& -136 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2 \\[5pt] -136 &=& -136 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
i)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 28x &=& -192 &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] (x^2 + 2 \cdot x \cdot 14 \color{#87c800}{+ 14^2}) &=& -192 + \color{#87c800}{14^2 } &\quad \scriptsize \mid\; \text{in binomische Formel bringen} \\[5pt] (x + 14)^2 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x_1 + 14 &=& + 2 &\quad \scriptsize \mid\; -14 \\[5pt] x_2 + 14 &=& - 2 &\quad \scriptsize \mid\; -14 \\[5pt] x_1 &=& -12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1 \\[5pt] x_2 &=& -16 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2 \\[5pt] \color{#87c800}{(-12)}^2 + 28 \cdot \color{#87c800}{(-12)} &=& -192 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] -192 &=& -192 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-16)}^2 + 28 \cdot \color{#87c800}{(-16)} &=& -192 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2 \\[5pt] -192 &=& -192 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
j)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 14x +33 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] (x^2 + 2 \cdot x \cdot 7 \color{#87c800}{+ 7^2}) \color{#87c800}{-7^2} + 33 &=& 0&\quad \scriptsize \mid\; \text{in binomische Formel bringen} \\[5pt] (x + 7)^2 -16 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; + 16 \\[5pt] (x + 7)^2 &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x_1 + 7 &=& + 4 &\quad \scriptsize \mid\; -7 \\[5pt] x_2 + 7 &=& - 4 &\quad \scriptsize \mid\; -7 \\[5pt] x_1 &=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1 \\[5pt] x_2 &=& -11 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2 \\[5pt] \color{#87c800}{(-3)}^2 + 14 \cdot \color{#87c800}{(-3)} +33 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-11)}^2 + 14 \cdot \color{#87c800}{(-11)} +33 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2 \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
k)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 6,5x &=& 12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3,25 \color{#87c800}{+ 3,25^2}) &=& 12 + \color{#87c800}{+ 3,25^2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{in binomische Formel bringen} \\[5pt] (x + 3,25)^2 &=& 22,5625 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x_1 + 3,25 &=& + 4,75 &\quad \scriptsize \mid\; -3,25 \\[5pt] x_2 + 3,25 &=& - 4,75 &\quad \scriptsize \mid\; -3,25 \\[5pt] x_1 &=& 1,5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1 \\[5pt] x_2 &=& -8 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2 \\[5pt] \color{#87c800}{1,5}^2 + 6,5 \cdot \color{#87c800}{1,5} &=& 12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] 12 &=& 12 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-8)}^2 + 6,5 \cdot \color{#87c800}{(-8)} &=& 12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2 \\[5pt] 12 &=& 12 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
l)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 19x + 88 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] (x^2 + 2 \cdot x \cdot 9,5 \color{#87c800}{+ 9,5^2}) \color{#87c800}{-9,5^2} + 88 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{in binomische Formel bringen} \\[5pt] (x + 9,5)^2 -2,25 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +2,25 \\[5pt] (x + 9,5)^2 &=& 2,25 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x_1 + 9,5 &=& + 1,5 &\quad \scriptsize \mid\; -9,5 \\[5pt] x_2 + 9,5 &=& - 1,5 &\quad \scriptsize \mid\; -9,5 \\[5pt] x_1 &=& -8 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1 \\[5pt] x_2 &=& -11 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2 \\[5pt] \color{#87c800}{(-8)}^2 + 19 \cdot \color{#87c800}{(-8)} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-11)}^2 + 19 \cdot \color{#87c800}{(-11)} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2 \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 3

Löse die Gleichungen rechnerisch. Nutze hierfür die quadratische Ergänzung.
a)
$\blacktriangleright$ Lösungsmenge rechnerisch bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 3x^2-6&=& 8x+2x^2 &\quad \scriptsize \mid\; -2x^2\\[5pt] x^2-6&=& 8x &\quad \scriptsize \mid\; -8x\\[5pt] x^2-8x-6 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung}\\[5pt] (x^2-2 \cdot x \cdot 4 \color{#87c800}{+4^2}) \color{#87c800}{- 4^2} -6 &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2-8x+16-16-6&=& 0 \\[5pt] x^2-8x+16-22&=& 0 \\[5pt] \left(x-4\right)^2 -22&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +22\\[5pt] \left(x-4\right)^2 &=& 22 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x-4 &=&\pm \sqrt{22} &\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] x &=& 4 \pm \sqrt{22} \\[10pt] x_1 &=& 4 - \sqrt{22} &\quad \\[5pt] x_1&\approx& -0,69 \\[5pt] x_2 &=& 4 + \sqrt{22} &\quad \\[5pt] x_2 &\approx& 8,69 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 3x^2-6&=& 8x+2x^2 \\[5pt] x &=& 4 \pm \sqrt{22} \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$ Lösungsmenge rechnerisch bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 22 &=& 11x^2-66x-22 &\quad \scriptsize \mid\; :11\\[5pt] 2 &=& x^2-6x &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung}\\[5pt] 2 &=& (x^2- 2 \cdot x \cdot 3 \color{#87c800}{+3^2}) \color{#87c800}{-3^2} \\[5pt] 2 &=& x^2-6x+9-9 &\quad \scriptsize \mid\; +9\\[5pt] 11 &=& x^2-6x+9 \\[5pt] 11 &=& \left(x-3\right)^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] \pm \sqrt{11} &=& x-3 &\quad \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt] 3 \pm \sqrt{11} &=& x_{1/2} \\[10pt] x_1 &=& 3-\sqrt{11} &\quad \\[5pt] x_1 &\approx& -0,32 \\[5pt] x_2 &=& 3+\sqrt{11} &\quad \\[5pt] x_2 &\approx& 6,32 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 22 &=& 11x^2-66x-22 \\[5pt] x_{1/2} &=& 3 \pm \sqrt{11} \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$ Lösungsmenge rechnerisch bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 2x^2+16x &=& 96 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x^2+8x &=& 48 &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung}\\[5pt] (x^2+ 2 \cdot x \cdot 4 \color{#87c800}{+4^2}) \color{#87c800}{-4^2} &=& 48 \\[5pt] x^2+8x+16-16 &=& 48 &\quad \scriptsize \mid\; +16\\[5pt] x^2+8x+16 &=& 64 \\[5pt] \left(x+4\right) &=& 64 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x+4 &=& \pm 8 &\quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt] x_{1/2} &=& \pm 8 - 4 \\[10pt] x_1 &=& -8-4 &\quad \\[5pt] x_1 &=& -12 \\[5pt] x_2 &=& 8-4 &\quad \\[5pt] x_2 &=& 4 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 2x^2+16x &=& 96 \\[5pt] x_{1/2} &=& \pm 8 - 4 \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$ Lösungsmenge rechnerisch bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 0,3x^2 - 0,12x - 0,42 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :0,3 \\[5pt] x^2 - 0,4x - 1,4 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +1,4 \\[5pt] x^2 - 0,4x &=& 1,4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] (x^2 - 2 \cdot x \cdot 0,2 \color{#87c800}{- 0,2^2}) &=& 1,4 \color{#87c800}{+ 0,2^2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{in binomische Form bringen} \\[5pt] (x - 0,2)^2 &=& 1,44 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x - 0,2 &=& 1,2 &\quad \scriptsize \mid\; +0,2 \\[5pt] x_1/2 - 0,2 &=& \pm 1,2 &\quad \scriptsize \mid\; +0,2 \\[5pt] x_1 &=& 1,4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1 \\[5pt] x_2 &=& -1,2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$ Lösungsmenge rechnerisch bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 8x &=& \left(x+3\right) \cdot \left(x-3\right) \\[5pt] 8x &=& x^2-3^2 \\[5pt] 8x &=& x^2-9 &\quad \scriptsize \mid\; -8x\\[5pt] 0 &=& x^2-8x-9 &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung}\\[5pt] 0 &=& (x^2- 2 \cdot x \cdot 4 \color{#87c800}{+4^2})\color{#87c800}{-4^2}-9 \\[5pt] 0 &=& x^2-8x+16-25 &\quad \scriptsize \mid\; +25\\[5pt] 25 &=& x^2-8x+16 \\[5pt] 25 &=& \left(x-4\right)^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] \pm 5 &=& x-4 &\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] 4 \pm 5 &=& x_{1/2} \\[10pt] x_1 &=& 4-5 &\quad \\[5pt] x_1 &=& -1 \\[5pt] x_2 &=& 4+5 &\quad \\[5pt] x_2 &=& 9 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 8x &=& \left(x+3\right) \cdot \left(x-3\right) \\[5pt] 4 \pm 5 &=& x_{1/2} \end{array}$
f)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge rechnerisch bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 10x^2 - 6x + 0,8 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -0,8 \\[5pt] 10x^2 -6x &=& -0,8 &\quad \scriptsize \mid\; :10 \\[5pt] x^2 - 0,6x &=& -0,08 &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] x^2 - 2 \cdot x \cdot 0,3 - 0,3^2 &=& -0,08 + 0,3^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{in binomische Form bringen}\\[5pt] (x - 0,3)^2 &=& 0,01 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x - 0,3 &=& \pm 0,1 &\quad \scriptsize \mid\; +0,3 \\[5pt] x_1 &=& 0,4 &\quad \\[5pt] x_2 &=& 0,2 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
#quadratischeergänzung

Aufgabe 4

Versuche die Ausdrücke mithilfe einer Gleichung zu formulieren. Ermittle anschließend die gesuchte Zahl.
a)
$\blacktriangleright$Gleichung formulieren
$\begin{array}[t]{rll} x^2+\frac{9}{4} &=& 3x \end{array}$
$\blacktriangleright$Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2+\frac{9}{4} &=& 3x &\quad \scriptsize \mid\;-3x \\[5pt] x^2-3x+\frac{9}{4} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] x^2-3x+1,5^2-1,5^2+\frac{9}{4} &=& 0 \\[5pt] x^2-3x+2,25-2,25+2,25 &=& 0 \\[5pt] x^2-3x+2,25 &=& 0 \\[5pt] \left(x-1,5\right)^2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x-1,5 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+1,5 \\[5pt] x &=& 1,5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x^2+\frac{9}{4} &=& 3x \\[5pt] x &=& 1,5 \end{array}$
Die gesuchte Zahl ist $1,5$.
b)
$\blacktriangleright$Gleichung formulieren
$\begin{array}[t]{rll} x^2-2x &=& 3 \end{array}$
$\blacktriangleright$Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2-2x &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] x^2-2x+1^2-1^2 &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] x^2-2x+1 &=& 4 \\[5pt] \left(x-1\right)^2 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x-1 &=& \pm 2 &\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] x_{1/2} &=& 1 \pm 2 \\[10pt] x_1 &=& 1-2 \quad = -1 \\[5pt] x_2 &=& 1+2 \quad = 3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x^2-2x &=& 3 \\[5pt] x_{1/2} &=& 1 \pm 2 \end{array}$
Da es sich bei der gesuchten Zahl um eine natürliche Zahl handelt, ist diese $3$.
#quadratischeergänzung
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