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Lösen mit der Lösungsformel

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Quadratische Gleichungen kannst du in immer gleichen Schritten lösen. Überprüfe die Formel durch das Einsetzen von $p$ und $q$ vom Beispiel.
LösungsschritteLösung des BeispielsLösung der Normalform
Normalform$x^2 + 3x + 2 =0$$ x^2 + p \cdot x + q = 0$
Gleichungen
umformen
$x^2 + 3x = -2$ $x^2 + p \cdot x = -q$
Faktorisieren$ x^2 + 2 \cdot x \cdot 1,5 = -2$ $x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{p}{2} = -q$
Quadratisch
ergänzen
$x^2 + 2 \cdot x \cdot 1,5 + 1,5^2 = 1,5^2 -2$$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{p}{2} + \left(\frac{p}{2}\right)^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$
Binomischen Ausdruck
bilden; radizieren
$(x+ 1,5)^2 = 0,25 \; \mid \sqrt{\;}$ $\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q \; \mid \sqrt{\;}$
1. Lösung$x_1 + 1,5 = + 0,5$
$x_1 = -1$
$x_1 + \frac{p}{2} = \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$
$ x_1 = - \frac{p}{2} + \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$
2. Lösung $x_2 + 1,5 = - 0,5$
$x_2 = -2$
$x_1 + \frac{p}{2} = - \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$
$ x_1 = - \frac{p}{2} - \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$
#pq-formel

Aufgabe 1

Berechne die Gleichung mithilfe der Lösungsformel.
b)
$x^2 + 6x + 5 =0$
d)
$x^2 + 6x + 9 =0$
f)
$x^2 + 8x + 7 =0$
h)
$x^2 + 12x + 20 =0$
#pq-formel#quadratischegleichung

Aufgabe 2

$p$ und $q$ können auch negativ sein. Berechne die folgenden Aufgaben mithilfe der Lösungsformel. Achte besonders auf die Vorzeichen.
b)
$x^2 - 2x - 3 =0$
d)
$x^2 -3x + 22,75 =0$
f)
$x^2 -x -12 =0$
h)
$x^2 +4x - 12 =0$
#quadratischegleichung#pq-formel

Aufgabe 3

Bringe die Gleichung in die Normalform und berechne sie mit der Lösungsformel.
b)
$ 5x^2 - 16 = 3x^2 + 4x$
d)
$ 2x + 12 = 2x^2$
f)
$ 5x^2 + 35x + 61,2 = 0 $
h)
$ x^2 = -1,12 - 3,2x $
j)
$ 0,2x^2 - x - 60 =0 $
#pq-formel#quadratischegleichung

Aufgabe 4

Löse die Klammern auf und berechne mit der Lösungsformel.
b)
$(x-5) \cdot (x+7) = 0$
d)
$ (x-3)^2 + x^2 = (x+4)^2 - 4 \cdot (x-1) $
#quadratischegleichung#pq-formel

Aufgabe 5

Manche quadratische Gleichungen können durch Ausklammern schneller gelöst werden. Klammere dafür $x$ aus und löse die Gleichung. Beachte, dass eine Lösung immer $0$ ist!
b)
$x^2 + 8x =0$
d)
$ x^2 - 9x =0$
f)
$ x^2 + 8,5x =0$
h)
$ x^2 - 3,1x =0$
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$  Lösungsformel überprüfen
Zuerst musst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die Beispielgleichung mit der Normalform.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 + 3 \cdot x + 2 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p =3$ und $q=2$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen. Die Lösungsformel sieht folgendermaßen aus:
$ x_{1/2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$
$ x_{1/2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$
Setze jetzt die gegebenen Werte ein und berechne $x_{1/2}$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{3}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{3}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{2}} &\quad \\[5pt] &=& -1,5 \pm \sqrt{2,25 - 2} &\quad \\[5pt] &=& -1,5 \pm \sqrt{0,25} &\quad \\[5pt] &=& -1,5 \pm 0,5 &\quad \\[5pt] x_1 &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{(-1)}^2 + 3 \cdot \color{#87c800}{(-1)} + 2 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-2)}^2 + 3 \cdot \color{#87c800}{(-2)} + 2 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösungsformel ersetzt also die quadratische Ergänzung! Die Ergebnisse sind gleich.

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die gegebene Gleichung der Aufgabe mit der Normalform.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 + 10 \cdot x + 9 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p =10$ und $q=9$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen. Die Lösungsformel sieht folgendermaßen aus:
Setze jetzt die gegebenen Werte ein und berechne $x_{1/2}$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{10}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{10}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{9}} &\quad \\[5pt] &=& -5 \pm \sqrt{25 - 9} &\quad \\[5pt] &=& -5 \pm \sqrt{16} &\quad \\[5pt] &=& -5 \pm 4 &\quad \\[5pt] x_1 &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -9 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{(-1)}^2 + 10 \cdot \color{#87c800}{(-1)} + 9 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-9)}^2 + 10 \cdot \color{#87c800}{(-9)} + 9 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die gegebene Gleichung der Aufgabe mit der Normalform.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 + 6x + 5 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p =6$ und $q=5$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen. Die Lösungsformel sieht folgendermaßen aus:
Setze jetzt die gegebenen Werte ein und berechne $x_{1/2}$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{6}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{6}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{5}} &\quad \\[5pt] &=& -3 \pm \sqrt{9 - 5} &\quad \\[5pt] &=& -3 \pm \sqrt{4} &\quad \\[5pt] &=& -3 \pm 2 &\quad \\[5pt] x_1 &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -5 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{(-1)}^2 + 6 \cdot \color{#87c800}{(-1)} + 5 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-5)}^2 + 6 \cdot \color{#87c800}{(-5)} + 5 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die gegebene Gleichung der Aufgabe mit der Normalform.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 + 18x + 17 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p =18$ und $q=17$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen. Die Lösungsformel sieht folgendermaßen aus:
Setze jetzt die gegebenen Werte ein und berechne $x_{1/2}$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{18}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{18}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{17}} &\quad \\[5pt] &=& -9 \pm \sqrt{81 - 17} &\quad \\[5pt] &=& -9 \pm \sqrt{64} &\quad \\[5pt] &=& -9 \pm 8 &\quad \\[5pt] x_1 &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -17 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{(-1)}^2 + 18 \cdot \color{#87c800}{(-1)} + 17 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-17)}^2 + 18 \cdot \color{#87c800}{(-17)} + 17 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die gegebene Gleichung der Aufgabe mit der Normalform.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 + 6x + 9 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p =6$ und $q=9$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen. Die Lösungsformel sieht folgendermaßen aus:
Setze jetzt die gegebenen Werte ein und berechne $x_{1/2}$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{6}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{6}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{9}} &\quad \\[5pt] &=& -3 \pm \sqrt{9 - 9} &\quad \\[5pt] &=& -9 \pm \sqrt{0} &\quad \\[5pt] &=& -9 \pm 0 &\quad \\[5pt] x &=& -9 &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{(-9)}^2 + 6 \cdot \color{#87c800}{(-9)} + 9 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die gegebene Gleichung der Aufgabe mit der Normalform.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 + 4x + 3 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p =4$ und $q=3$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen. Die Lösungsformel sieht folgendermaßen aus:
Setze jetzt die gegebenen Werte ein und berechne $x_{1/2}$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{4}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{4}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{3}} &\quad \\[5pt] &=& -2 \pm \sqrt{4 - 3} &\quad \\[5pt] &=& -2 \pm \sqrt{1} &\quad \\[5pt] &=& -2 \pm 1 &\quad \\[5pt] x_1 &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{(-1)}^2 + 4 \cdot \color{#87c800}{(-1)} + 3 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-3)}^2 + 4 \cdot \color{#87c800}{(-3)} + 3 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die gegebene Gleichung der Aufgabe mit der Normalform.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 + 8x + 7 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p =8$ und $q=7$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen. Die Lösungsformel sieht folgendermaßen aus:
Setze jetzt die gegebenen Werte ein und berechne $x_{1/2}$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{8}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{8}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{7}} &\quad \\[5pt] &=& -4 \pm \sqrt{16 - 7} &\quad \\[5pt] &=& -4 \pm \sqrt{9} &\quad \\[5pt] &=& -4 \pm 3 &\quad \\[5pt] x_1 &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -7 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{(-1)}^2 + 8 \cdot \color{#87c800}{(-1)} + 7 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-7)}^2 + 8 \cdot \color{#87c800}{(-7)} + 7 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
g)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die gegebene Gleichung der Aufgabe mit der Normalform.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 + 10x +4,75 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p =10$ und $q=4,75$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen. Die Lösungsformel sieht folgendermaßen aus:
Setze jetzt die gegebenen Werte ein und berechne $x_{1/2}$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{10}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{10}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{4,75}} &\quad \\[5pt] &=& -5 \pm \sqrt{25 - 4,75} &\quad \\[5pt] &=& -5 \pm \sqrt{20,25} &\quad \\[5pt] &=& -5 \pm 4,5 &\quad \\[5pt] x_1 &=& -0,5 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -9,5 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{(-0,5)}^2 + 10 \cdot \color{#87c800}{(-0,5)} + 4,75 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-9,5)}^2 + 8 \cdot \color{#87c800}{(-9,5)} + 4,75 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
h)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die gegebene Gleichung der Aufgabe mit der Normalform.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 + 12x + 20 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p =12$ und $q=20$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen. Die Lösungsformel sieht folgendermaßen aus:
Setze jetzt die gegebenen Werte ein und berechne $x_{1/2}$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{12}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{12}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{20}} &\quad \\[5pt] &=& -6 \pm \sqrt{36 - 20} &\quad \\[5pt] &=& -6 \pm \sqrt{16} &\quad \\[5pt] &=& -6 \pm 4 &\quad \\[5pt] x_1 &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -10 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{(-2)}^2 + 12 \cdot \color{#87c800}{(-2)} + 20 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-10)}^2 + 12\cdot \color{#87c800}{(-10)} + 20 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die gegebene Gleichung der Aufgabe mit der Normalform.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 + 3x - 1,75 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p =3$ und $q=-1,75$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen. Die Lösungsformel sieht folgendermaßen aus:
Setze jetzt die gegebenen Werte ein und berechne $x_{1/2}$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{3}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{3}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{(-1,75)}} &\quad \\[5pt] &=& -1,5 \pm \sqrt{2,25 +1,75} &\quad \\[5pt] &=& -1,5 \pm \sqrt{4} &\quad \\[5pt] &=& -1,5 \pm 2 &\quad \\[5pt] x_1 &=& 0,5 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -3,5 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{(0,5)}^2 + 3 \cdot \color{#87c800}{(0,5)} -1,75 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-3,5)}^2 + 3 \cdot \color{#87c800}{(-3,5)} -1,75 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die gegebene Gleichung der Aufgabe mit der Normalform.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 - 2x - 3 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p =-2$ und $q=-3$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen. Die Lösungsformel sieht folgendermaßen aus:
Setze jetzt die gegebenen Werte ein und berechne $x_{1/2}$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{(-2)}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{(-2)}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{(-3)}} &\quad \\[5pt] &=& 1 \pm \sqrt{1 + 3} &\quad \\[5pt] &=& 1 \pm \sqrt{4} &\quad \\[5pt] &=& 1 \pm 2 &\quad \\[5pt] x_1 &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{3}^2 - 2 \cdot \color{#87c800}{3} -3 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-1)}^2 -2 \cdot \color{#87c800}{(-1)} -3 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die gegebene Gleichung der Aufgabe mit der Normalform.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 -8x - 9 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p =-8$ und $q=-9$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen. Die Lösungsformel sieht folgendermaßen aus:
Setze jetzt die gegebenen Werte ein und berechne $x_{1/2}$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{(-8)}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{(-8)}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{(-9)}} &\quad \\[5pt] &=& 4 \pm \sqrt{16 + 9} &\quad \\[5pt] &=& 4 \pm \sqrt{25} &\quad \\[5pt] &=& 4 \pm 5 &\quad \\[5pt] x_1 &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{9}^2 - 8 \cdot \color{#87c800}{9} -9 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-1)}^2 -8 \cdot \color{#87c800}{(-1)} -9 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die gegebene Gleichung der Aufgabe mit der Normalform.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 -3x - 22,75 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p =-3$ und $q=22,75$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen. Die Lösungsformel sieht folgendermaßen aus:
Setze jetzt die gegebenen Werte ein und berechne $x_{1/2}$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{(-3)}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{(-3)}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{(-22,75)}} &\quad \\[5pt] &=& 1,5 \pm \sqrt{2,25 + 22,75} &\quad \\[5pt] &=& 1,5 \pm \sqrt{25} &\quad \\[5pt] &=& 1,5 \pm 5 &\quad \\[5pt] x_1 &=& 6,5 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -3,5 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{6,5}^2 - 3 \cdot \color{#87c800}{6,5} -22,75 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-3,5)}^2 -3 \cdot \color{#87c800}{(-3,5)} -22,75 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die gegebene Gleichung der Aufgabe mit der Normalform.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 +7x - 8 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p =7$ und $q=-8$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen. Die Lösungsformel sieht folgendermaßen aus:
Setze jetzt die gegebenen Werte ein und berechne $x_{1/2}$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{7}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{7}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{(-8)}} &\quad \\[5pt] &=& - 3,5 \pm \sqrt{12,25 + 8} &\quad \\[5pt] &=& -3,5 \pm \sqrt{20,25} &\quad \\[5pt] &=& -3,5 \pm 4,5 &\quad \\[5pt] x_1 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -8 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{1}^2 - 7 \cdot \color{#87c800}{1} -8 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-8)}^2 -7 \cdot \color{#87c800}{(-8)} -8 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die gegebene Gleichung der Aufgabe mit der Normalform.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 -x -12 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p =-1$ und $q=-12$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen. Die Lösungsformel sieht folgendermaßen aus:
Setze jetzt die gegebenen Werte ein und berechne $x_{1/2}$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{(-1)}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{(-1)}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{(-12)}} &\quad \\[5pt] &=& 0,5 \pm \sqrt{0,25 + 12} &\quad \\[5pt] &=& 0,5 \pm \sqrt{3,5} &\quad \\[5pt] &=& 0,5 \pm 3,5 &\quad \\[5pt] x_1 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{4}^2 - \color{#87c800}{4} -12 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-3)}^2 -\color{#87c800}{(-3)} -12 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
g)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die gegebene Gleichung der Aufgabe mit der Normalform.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 + 1,3x - 2,64 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p =1,3$ und $q=-2,64$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen. Die Lösungsformel sieht folgendermaßen aus:
Setze jetzt die gegebenen Werte ein und berechne $x_{1/2}$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{1,3}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{1,3}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{(-2,64)}} &\quad \\[5pt] &=& - 0,65 \pm \sqrt{0,4225 + 2,64} &\quad \\[5pt] &=& -0,65 \pm \sqrt{3,0625} &\quad \\[5pt] &=& -0,65 \pm 1,75 &\quad \\[5pt] x_1 &=& 1,1 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -2,4 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{1,1}^2 + 1,3 \cdot \color{#87c800}{1,1} -2,64 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-2,4)}^2 + 1,3 \cdot \color{#87c800}{(-2,4)} -2,64 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
h)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die gegebene Gleichung der Aufgabe mit der Normalform.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 + 4x - 12 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p =1,3$ und $q=-2,64$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen. Die Lösungsformel sieht folgendermaßen aus:
Setze jetzt die gegebenen Werte ein und berechne $x_{1/2}$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{4}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{4}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{(-12)}} &\quad \\[5pt] &=& - 2 \pm \sqrt{4 + 12} &\quad \\[5pt] &=& -2 \pm \sqrt{16} &\quad \\[5pt] &=& -2 \pm 4 &\quad \\[5pt] x_1 &=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -6 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{2}^2 + 4 \cdot \color{#87c800}{2} - 12 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-6)}^2 + 4 \cdot \color{#87c800}{(-6)} - 12 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du die Gleichung in die Normalform bringen.
$\begin{array}[t]{rll} 13x^2 - 5x &=& 6 + 12x^2 &\quad \scriptsize \mid\; -12x^2\\[5pt] x^2 - 5x &=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; -6 \\[5pt] x^2 - 5x - 6 &=& 0 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Jetzt sollst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die umgeformte Gleichung der Aufgabe mit der Normalform. $\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 - 5x - 6 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p =-5$ und $q=-6$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{(-5)}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{(-5)}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{(-6)}} &\quad \\[5pt] &=& 2,5 \pm \sqrt{6,25 + 6} &\quad \\[5pt] &=& 2,5 \pm \sqrt{12,25} &\quad \\[5pt] &=& 2,5 \pm 3,5 &\quad \\[5pt] x_1 &=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{6}^2 - 5 \cdot \color{#87c800}{6} - 6 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-1)}^2 - 5 \cdot \color{#87c800}{(-1)} - 6 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du die Gleichung in die Normalform bringen.
$\begin{array}[t]{rll} 5x^2 - 16 &=& 3x^2 + 4x &\quad \scriptsize \mid\; -3x^2\\[5pt] 2x^2 -16 &=& 4x &\quad \scriptsize \mid\; -4x \\[5pt] 2x^2 -4x - 16 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] x^2 -2x - 8 &=& 0 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Jetzt sollst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die umgeformte Gleichung der Aufgabe mit der Normalform. $\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 -2x - 8 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p =-2$ und $q=-8$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{(-2)}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{(-2)}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{(-8)}} &\quad \\[5pt] &=& 1 \pm \sqrt{1 + 8} &\quad \\[5pt] &=& 1 \pm \sqrt{9} &\quad \\[5pt] &=& 1 \pm 3 &\quad \\[5pt] x_1 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{4}^2 - 2 \cdot \color{#87c800}{4} - 8 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-2)}^2 - 2 \cdot \color{#87c800}{(-2)} - 8 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du die Gleichung in die Normalform bringen.
$\begin{array}[t]{rll} 9x^2 - 67,5 &=& 4,5x &\quad \scriptsize \mid\; -4,5x\\[5pt] 9x^2 - 4,5x - 67,5 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :9 \\[5pt] x^2 - 0,5x - 7,5 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Jetzt sollst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die umgeformte Gleichung der Aufgabe mit der Normalform. $\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 - 0,5x - 7,5 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p =-0,5$ und $q=-7,5$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{(-0,5)}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{(-0,5)}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{(-7,5)}} &\quad \\[5pt] &=& 0,25 \pm \sqrt{0,0625 + 7,5} &\quad \\[5pt] &=& 0,25 \pm \sqrt{7,5625} &\quad \\[5pt] &=& 0,25 \pm 2,75 &\quad \\[5pt] x_1 &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -2,5 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{3}^2 - 0,5 \cdot \color{#87c800}{3} - 7,5 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-2,5)}^2 - 0,5 \cdot \color{#87c800}{(-2,5)} - 7,5 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du die Gleichung in die Normalform bringen.
$\begin{array}[t]{rll} 2x + 12 &=& 2x^2 &\quad \scriptsize \mid\; -2x^2 \\[5pt] -2x^2 + 2x + 12 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :(-2) \\[5pt] x^2 - x - 6 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Jetzt sollst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die umgeformte Gleichung der Aufgabe mit der Normalform. $\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 - x - 6 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p =-1$ und $q=-6$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{(-1)}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{(-1)}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{(-6)}} &\quad \\[5pt] &=& 0,5 \pm \sqrt{0,25 + 6} &\quad \\[5pt] &=& 0,5 \pm \sqrt{6,25} &\quad \\[5pt] &=& 0,5 \pm 2,5 &\quad \\[5pt] x_1 &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{3}^2 - \color{#87c800}{3} - 6 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-2)}^2 - \color{#87c800}{(-2)} - 6 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du die Gleichung in die Normalform bringen.
$\begin{array}[t]{rll} 1,5x^2 + 2,4 \cdot (3,5x + 4,5) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf} \\[5pt] 1,5x^2 + 8,4x + 10,8 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :1,5 \\[5pt] x^2 + 5,6x + 7,2 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Jetzt sollst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die umgeformte Gleichung der Aufgabe mit der Normalform. $\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 + 5,6x + 7,2 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p =5,6$ und $q=7,2$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{5,6}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{5,6}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{7,2}} &\quad \\[5pt] &=& - 2,8 \pm \sqrt{7,84 - 7,2} &\quad \\[5pt] &=& -2,8 \pm \sqrt{0,64} &\quad \\[5pt] &=& -2,8 \pm 0,8 &\quad \\[5pt] x_1 &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -3,6 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{(-2)}^2 + 5,6 \cdot \color{#87c800}{(-2)} +7,2 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-3,6)}^2 + 5,6 \cdot \color{#87c800}{(-3,6)} +7,2 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du die Gleichung in die Normalform bringen.
$\begin{array}[t]{rll} 5x^2 + 35x + 61,2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] x^2 + 7x + 12,24 &=& 0 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Jetzt sollst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die umgeformte Gleichung der Aufgabe mit der Normalform. $\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 + 7x + 12,24 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p =7$ und $q=12,24$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{7}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{7}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{12,24}} &\quad \\[5pt] &=& - 3,5 \pm \sqrt{12,25 - 12,24} &\quad \\[5pt] &=& -3,5 \pm \sqrt{0,01} &\quad \\[5pt] &=& -3,5 \pm 0,1 &\quad \\[5pt] x_1 &=& -3,4 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -3,6 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{(-3,4)}^2 + 7 \cdot \color{#87c800}{(-3,4)} + 12,24 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-3,6)}^2 + 7 \cdot \color{#87c800}{(-3,6)} + 12,24 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
g)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du die Gleichung in die Normalform bringen.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 2 \cdot (9 + 4,5x) &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf} \\[5pt] x^2 + 9x + 18 &=& 0 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Jetzt sollst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die umgeformte Gleichung der Aufgabe mit der Normalform. $\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 + 9x + 18 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p =9$ und $q=18$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{9}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{9}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{18}} &\quad \\[5pt] &=& - 4,5 \pm \sqrt{20,25 - 18} &\quad \\[5pt] &=& -4,5\pm \sqrt{2,25} &\quad \\[5pt] &=& -4,5 \pm 1,5 &\quad \\[5pt] x_1 &=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -6 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{(-3)}^2 + 9 \cdot \color{#87c800}{(-3)} + 18 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-6)}^2 + 9 \cdot \color{#87c800}{(-6)} + 18 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
h)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du die Gleichung in die Normalform bringen.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 &=& -1,12 - 3,2x &\quad \scriptsize \mid\; +1,12 \\[5pt] x^2 + 1,12 &=& - 3,2x &\quad \scriptsize \mid\; +3,2 \\[5pt] x^2 + 3,2x + 1,12 &=& 0 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Jetzt sollst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die umgeformte Gleichung der Aufgabe mit der Normalform. $\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 + 3,2x + 1,12 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p = 3,2$ und $q= 1,12$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{3,2}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{3,2}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{1,12}} &\quad \\[5pt] &=& - 1,6 \pm \sqrt{2,56 - 1,12} &\quad \\[5pt] &=& - 1,6 \pm \sqrt{1,44} &\quad \\[5pt] &=& - 1,6 \pm 1,2 &\quad \\[5pt] x_1 &=& -0,4 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& - 2,8 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{(-0,4)}^2 + 3,2 \cdot \color{#87c800}{(-0,4)} + 1,12 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-2,8)}^2 + 3,2 \cdot \color{#87c800}{(-2,8)} + 1,12 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
i)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du die Gleichung in die Normalform bringen.
$\begin{array}[t]{rll} -x^2 + 0,6x + 19,27 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] x^2 -0,6x - 19,27 &=& 0 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Jetzt sollst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die umgeformte Gleichung der Aufgabe mit der Normalform. $\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 -0,6x - 19,27 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p = -0,6$ und $q= -19,27$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{-0,6}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{-0,6}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{-19,27}} &\quad \\[5pt] &=& 0,3 \pm \sqrt{0,09 + 19,27} &\quad \\[5pt] &=& 0,3 \pm \sqrt{19,36} &\quad \\[5pt] &=& 0,3 \pm 4,4 &\quad \\[5pt] x_1 &=& 4,7 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& - 4,1 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{4,7}^2 - 0,6 \cdot \color{#87c800}{4,7} - 19,27 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-4,1)}^2 - 0,6 \cdot \color{#87c800}{(-4,1)} - 19,27 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
j)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du die Gleichung in die Normalform bringen.
$\begin{array}[t]{rll} 0,2x^2 - x - 60 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; : 0,2 \\[5pt] x^2 - 5x - 300 &=& 0 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Jetzt sollst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die umgeformte Gleichung der Aufgabe mit der Normalform. $\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 - 5x - 300 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p = -5$ und $q= -300$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{-5}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{-5}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{-300}} &\quad \\[5pt] &=& 2,5 \pm \sqrt{6,25 + 300} &\quad \\[5pt] &=& 2,5 \pm \sqrt{306,25} &\quad \\[5pt] &=& 2,5 \pm 17,5 &\quad \\[5pt] x_1 &=& 20 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& - 15 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{20}^2 - 5 \cdot \color{#87c800}{20} - 300 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-15)}^2 - 5 \cdot \color{#87c800}{(-15)} - 300 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du die Gleichung in die Normalform bringen. Löse dafür die Klammer auf.
$\begin{array}[t]{rll} x \cdot (x-7) &=& 8 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf} \\[5pt] x^2 - 7x &=& 8 &\quad \scriptsize \mid\; -8 \\[5pt] x^2 - 7x - 8 &=& 0 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Jetzt sollst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die umgeformte Gleichung der Aufgabe mit der Normalform.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 - 7x - 8 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p=-7$ und $q=-8$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen. Die Lösungsformel sieht folgendermaßen aus:
Setze jetzt die gegebenen Werte ein und berechne $x_{1/2}$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{(-7)}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{(-7)}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{(-8)}} &\quad \\[5pt] &=& 3,5 \pm \sqrt{12,25 + 8} &\quad \\[5pt] &=& 3,5 \pm \sqrt{20,25} &\quad \\[5pt] &=& 3,5 \pm 4,5 &\quad \\[5pt] x_1 &=& 8 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{8}^2 - 7 \cdot \color{#87c800}{8} - 8 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-1)}^2 - 7 \cdot \color{#87c800}{(-1)} - 8 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du die Gleichung in die Normalform bringen. Löse dafür die Klammer auf.
$\begin{array}[t]{rll} (x-5) \cdot (x+7) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf} \\[5pt] x^2 + 2x -35 &=& 0 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Jetzt sollst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die umgeformte Gleichung der Aufgabe mit der Normalform.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 + 2x -35 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p=2$ und $q=-35$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen. Die Lösungsformel sieht folgendermaßen aus:
Setze jetzt die gegebenen Werte ein und berechne $x_{1/2}$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{2}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{2}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{(-35)}} &\quad \\[5pt] &=& -1 \pm \sqrt{1 + 35} &\quad \\[5pt] &=& -1 \pm \sqrt{36} &\quad \\[5pt] &=& -1 \pm 6 &\quad \\[5pt] x_1 &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -7 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{5}^2 + 2 \cdot \color{#87c800}{5} - 35 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-7)}^2 + 2 \cdot \color{#87c800}{(-7)} - 35 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du die Gleichung in die Normalform bringen. Löse dafür die Klammer auf.
$\begin{array}[t]{rll} (x+6)^2 &=& 2x + 27 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf} \\[5pt] x^2 + 12x + 36 &=& 2x + 27 &\quad \scriptsize \mid\; -2x \\[5pt] x^2 + 10x + 36 &=& 27 &\quad \scriptsize \mid\; -27 \\[5pt] x^2 + 10x + 9 &=& 0 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Jetzt sollst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die umgeformte Gleichung der Aufgabe mit der Normalform.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 + 10x + 9 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p=10$ und $q=9$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen. Die Lösungsformel sieht folgendermaßen aus:
Setze jetzt die gegebenen Werte ein und berechne $x_{1/2}$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{10}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{10}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{9}} &\quad \\[5pt] &=& -5 \pm \sqrt{25 - 9} &\quad \\[5pt] &=& -5 \pm \sqrt{16} &\quad \\[5pt] &=& -5 \pm 4 &\quad \\[5pt] x_1 &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -9 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{(-1)}^2 + 10 \cdot \color{#87c800}{(-1)} + 9 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-9)}^2 + 10 \cdot \color{#87c800}{(-9)} + 9 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Zuerst musst du die Gleichung in die Normalform bringen. Löse dafür die Klammer auf.
$\begin{array}[t]{rll} (x-3)^2 + x^2 &=& (x+4)^2 - 4 \cdot (x-1) &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf} \\[5pt] x^2 - 6x + 9 + x^2 &=& x^2 + 8x + 16 - 4x + 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 2x^2 - 6x + 9 &=& x^2 + 4x + 20 &\quad \scriptsize \mid\; -x^2 \\[5pt] x^2 - 6x + 9 &=& 4x + 20 &\quad \scriptsize \mid\; -4x \\[5pt] x^2 - 10x + 9 &=& 20 &\quad \scriptsize \mid\; -20 \\[5pt] x^2 - 10x - 11 &=& 0 &\quad \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Jetzt sollst du $p$ und $q$ bestimmen. Vergleiche die umgeformte Gleichung der Aufgabe mit der Normalform.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + p \cdot x + q &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 - 10x - 11 &=& 0 \end{array}$
In diesem Fall ist $p=-10$ und $q=-11$. Jetzt kannst du die Werte in die Lösungsformel einsetzen und die Gleichung auflösen. Die Lösungsformel sieht folgendermaßen aus:
Setze jetzt die gegebenen Werte ein und berechne $x_{1/2}$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{\color{#87c800}{(-10)}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{(-10)}}{2}\right)^2 - \color{#87c800}{(-11)}} &\quad \\[5pt] &=& 5 \pm \sqrt{25 + 11} &\quad \\[5pt] &=& 5 \pm \sqrt{36} &\quad \\[5pt] &=& 5 \pm 6 &\quad \\[5pt] x_1 &=& 11 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{11}^2 - 10 \cdot \color{#87c800}{11} - 11 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-1)}^2 - 10 \cdot \color{#87c800}{(-1)} - 11 &=& 0 &\quad \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 2x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x \text{ ausklammern} \\[5pt] x \cdot (x + 2) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; : x \\[5pt] x_1 + 2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] x_1 &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{(-2)}^2 + 2 \cdot \color{#87c800}{(-2)} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{0}^2 + 2 \cdot \color{#87c800}{0} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2 \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 8x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x \text{ ausklammern} \\[5pt] x \cdot (x + 8) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; : x \\[5pt] x_1 + 8 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -8 \\[5pt] x_1 &=& -8 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{(-8)}^2 + 8 \cdot \color{#87c800}{(-8)} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{0}^2 + 8 \cdot \color{#87c800}{0} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2 \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 -3x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x \text{ ausklammern} \\[5pt] x \cdot (x - 3) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; : x \\[5pt] x_1 - 3 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt] x_1 &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{3}^2 - 3 \cdot \color{#87c800}{3} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{0}^2 - 3 \cdot \color{#87c800}{0} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2 \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 - 9x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x \text{ ausklammern} \\[5pt] x \cdot (x - 9) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; : x \\[5pt] x_1 - 9 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +9 \\[5pt] x_1 &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{9}^2 - 9 \cdot \color{#87c800}{9} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{0}^2 - 3 \cdot \color{#87c800}{0} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2 \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x \text{ ausklammern} \\[5pt] x \cdot (x + 1) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; : x \\[5pt] x_1 + 1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] x_1 &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{(-1)}^2 + \color{#87c800}{(-1)} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{0}^2 \color{#87c800}{0} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2 \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 8,5x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x \text{ ausklammern} \\[5pt] x \cdot (x + 8,5) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; : x \\[5pt] x_1 + 8,5 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -8,5 \\[5pt] x_1 &=& -8,5 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{(-8,5)}^2 + 8,5 \cdot \color{#87c800}{(-8,5)} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{0}^2 + 8,5 \cdot \color{#87c800}{0} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2 \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
g)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 - 0,2x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x \text{ ausklammern} \\[5pt] x \cdot (x - 0,2) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; : x \\[5pt] x_1 - 0,2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; + 0,2 \\[5pt] x_1 &=& 0,2 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{0,2}^2 -0,2 \cdot \color{#87c800}{0,2} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{0}^2 + 0,2 \cdot \color{#87c800}{0} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2 \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
h)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 - 3,1x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x \text{ ausklammern} \\[5pt] x \cdot (x + 3,1) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; : x \\[5pt] x_1 + 3,1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; - 3,1 \\[5pt] x_1 &=& -3,1 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] x_2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x_2 \rightarrow \text{Ausgangsgleichung} \\[5pt] \color{#87c800}{(-3,1)}^2 -0,2 \cdot \color{#87c800}{(-3,1)} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{0}^2 + 0,2 \cdot \color{#87c800}{0} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2 \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
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