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Scheitelpunkte bei Normalparabeln

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Was haben die drei Funktionen in Abbildung $1$ gemeinsam, was unterscheidet sie?
Was haben die drei Funktionen in Abbildung $2$ gemeinsam, was unterscheidet sie?
Was haben die Funktionen in Abbildung $1$ mit denen in Abbildung $2$ gemeinsam, was unterscheidet sie?
b)
Ordne die Funktionsgleichungen den Parabeln $g$, $h$ und $k$ aus Abbildung $1$ zu. Betrachte hierfür die Koordinaten der Scheitelpunkte. Wie hängen die Funktionsgleichungen mit den Scheitelpunkten zusammen?
$y = x^2$
$y = x^2 + 2$
$y = x^2 - 1,5$
c)
Ordne die Funktionsgleichungen den Parabeln $l$, $m$ und $n$ aus Abbildung $2$ zu. Betrachte hierfür die Koordinaten der Scheitelpunkte. Wie hängen die Funktionsgleichungen mit den Scheitelpunkten zusammen?
$y = (x - 0,5)^2$
$y = (x + 2)^2$
$y = (x-4)^2$
d)
e)
Die Gleichung $y = x^2 + 4x + 4$ ist die Normalform einer quadratischen Funktion. An ihr kannst du den Scheitelpunkt nicht direkt ablesen. Kannst du die Gleichung in die Scheitelpunktform umformen?
#parabel#quadratischefunktion#scheitelpunkt#funktionsgleichung#scheitelpunktform

Aufgabe 1

Erstelle Wertetabellen für jede der Funktionen $g$, $h$, $k$ und $l$ von Abbildung $4$. Du musst nur die Werte abdecken, die du auf der Abbildung sehen kannst. Die Schrittweite der Wertetabellen beträgt $0,5$.
#tabelle#parabel

Aufgabe 2

Gib die Scheitelpunkte der Funktionen an und zeichne die Funktionsgraphen.
b)
$y = x^2 -1$
d)
$y = x^2 +2 $
f)
$y = (x - 1)^2$
h)
$y = (x - 2,5)^2$
#graph#scheitelpunkt

Aufgabe 3

Gib die Scheitelpunkte der Funktionen an.
b)
$y = x^2+4,5$
d)
$y = (x-1)^2$
f)
$y = x^2-10,1$
h)
$y =(x+7,7)^2$
j)
$y = x^2$
l)
$y = (x-3,7)^2$
n)
$y = x^2 +1$
p)
$y = x^2 +34,2$
#scheitelpunkt

Aufgabe 4

Gib die Funktionsgleichungen an, die Normalparabeln mit diesen Scheitelpunkten haben.
b)
$S \, (5,5 \mid 0)$
d)
$S \, (0 \mid-0,53)$
f)
$S \, (-2 \mid 0)$
h)
$S \, (0 \mid 6)$
j)
$S \, (0 \mid 13,3)$
l)
$S \, (3 \mid 0)$
n)
$S \, (0 \mid 122)$
p)
$S \, (-2 \mid 0)$
#scheitelpunkt#funktionsgleichung#parabel

Aufgabe 5

Erstelle Wertetabellen für die Funktionen $g$, $h$ und $k$. Du musst nur die Werte abdecken, die du auf der Abbildung sehen kannst. Die Schrittweite der Wertetabellen beträgt $0,5$.
#tabelle#parabel

Aufgabe 6

Gib die Scheitelpunkte der Funktionen an und zeichne den Funktionsgraphen.
b)
$y = (x+2)^2-3$
d)
$y = (x+0,5)^2+0,5$
f)
$y = (x - 2)^2+1$
h)
$y = (x - 1,5)^2 -2$
#graph#scheitelpunkt

Aufgabe 7

Gib die Scheitelpunkte der Funktionen an.
b)
$y = (x-0,5)^2+1,5$
d)
$y = (x+3,5)^2+2$
f)
$y = (x-7)^2+7$
h)
$y =(x-1,5)^2-1,5$
j)
$y = (x-2)^2+10$
l)
$y = (x+4)^2+4$
n)
$y = (x-1)^2+6$
p)
$y = (x+1)^2+2$
#scheitelpunkt

Aufgabe 8

Gib die Funktionsgleichungen an, die Normalparabeln mit diesen Scheitelpunkten haben.
b)
$S \, (-2 \mid 7)$
d)
$S \, (1,3 \mid -0,4)$
f)
$S \, (-0,5 \mid 2)$
h)
$S \, (5 \mid -10)$
j)
$S \, (2 \mid 3)$
l)
$S \, (-1,5 \mid 5,2)$
n)
$S \, (-4 \mid 0,5)$
p)
$S \, (-6 \mid 3)$
#scheitelpunkt#funktionsgleichung#parabel

Aufgabe 9

Die Funktionsgleichungen liegen in Normalform vor. Forme sie in die Scheitelpunktform um und gib den Scheitelpunkt an. Zeichne die Funktionsgraphen anschließend.
b)
$y = x^2 - 6x + 9$
d)
$y = x^2 + 5x + 6,25$
f)
$y = x^2 + 3x + 2,25$
#funktionsgleichung#scheitelpunktform#graph#scheitelpunkt
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Funktionen vergleichen
Die Funktionen in Abbildung $1$ haben alle dieselbe Form. Der Scheitelpunkt aller Funktionen in dieser Abbildung hat den $x-$Wert $x = 0$. Auf der $y-$Achse sind die Scheitelpunkte allerdings nach oben oder unten verschoben. Die Scheitelpunkte haben also unterschiedliche $y-$Werte.
Die Funktionen in Abbildung $2$ haben alle dieselbe Form. Der Scheitelpunkt aller Funktionen in dieser Abbildung hat den $y-$Wert $y = 0$. Auf der $x-$Achse sind die Scheitelpunkte allerdings nach links oder rechts verschoben. Die Scheitelpunkte haben also unterschiedliche $x-$Werte.
Die Funktionen in Abbildung $1$ und $2$ haben alle dieselbe Form, es unterscheidet sie allerdings, dass die Funktionen aus Abbildung $1$ auf der $y-$Achse verschoben sind und die Funktionen aus Abbildung $2$ auf der $x-$Achse verschoben sind.
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichungen zuordnen
Der Scheitelpunkt von Gerade $g$ hat die Koordinaten $S \, (0 \mid 2)$. Zu ihr gehört die Funktionsgleichung $y = x^2 + 2$.
Der Scheitelpunkt von Gerade $h$ hat die Koordinaten $S \, (0 \mid 0)$. Zu ihr gehört die Funktionsgleichung $y = x^2 $.
Der Scheitelpunkt von Gerade $k$ hat die Koordinaten $S \, (0 \mid -1,5)$. Zu ihr gehört die Funktionsgleichung $y = x^2 -1,5$.
In den Funktionsgleichungen wird die Verschiebung der Parabeln auf der $y-$Achse angegeben, indem nach dem $y=x^2$ die Verschiebung nach oben mit positivem Vorzeichen und die Verschiebung nach unten mit negativem Vorzeichen angegeben wird.
Eine Normalparabel, die nach oben oder unten verschoben ist und den Scheitelpunkt $S \, (0 \mid q)$ besitzt, hat die Funktionsgleichung $y = x^2 +q$.
Eine Normalparabel, die nach oben oder unten verschoben ist und den Scheitelpunkt $S \, (0 \mid q)$ besitzt, hat die Funktionsgleichung $y = x^2 +q$.
c)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichungen zuordnen
Der Scheitelpunkt von Gerade $l$ hat die Koordinaten $S \, (-2 \mid 0)$. Zu ihr gehört die Funktionsgleichung $y = (x+2)^2$.
Der Scheitelpunkt von Gerade $m$ hat die Koordinaten $S \, (1,5 \mid 0)$. Zu ihr gehört die Funktionsgleichung $y = (x-1,5)^2$.
Der Scheitelpunkt von Gerade $n$ hat die Koordinaten $S \, (4 \mid 0)$. Zu ihr gehört die Funktionsgleichung $y = (x-4)^2$.
Eine Normalparabel, die nach links oder rechts verschoben ist und den Scheitelpunkt $S \, (p \mid 0)$ besitzt, hat die Funktionsgleichung $y = (x-p)^2$.
Eine Normalparabel, die nach links oder rechts verschoben ist und den Scheitelpunkt $S \, (p \mid 0)$ besitzt, hat die Funktionsgleichung $y = (x-p)^2$.
d)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichungen zuordnen
Wenn die Funktionsgleichung der Normalparabel in der Form $y = (x-x_s)^2+y_s$ gegeben ist, dann kannst du den Scheitelpunkt direkt ablesen. Der Wert $x_s$ ist der $x-$Wert des Scheitelpunkts, $y_s$ ist der $y-$Wert des Scheitelpunkts. Diese Form nennt man Scheitelpunktform der Normalparabel.
Wenn die Funktionsgleichung der Normalparabel in der Form $y = (x-x_s)^2+y_s$ gegeben ist, dann kannst du den Scheitelpunkt direkt ablesen. Der Wert $x_s$ ist der $x-$Wert des Scheitelpunkts, $y_s$ ist der $y-$Wert des Scheitelpunkts. Diese Form nennt man Scheitelpunktform der Normalparabel.
e)
$\blacktriangleright$  Gleichung umformen
Du kannst die Funktionsgleichungen von quadratischen Funktionen, die in der Normalform vorliegen, mithilfe der binomischen Formel in die Scheitelform umwandeln. Die binomischen Formeln lauten folgendermaßen:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a+b) \cdot (a-b) = a^2-b^2$
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a+b) \cdot (a-b) = a^2-b^2$
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2 + 4x + 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&(x + 2)^2 \end{array}$
An der Scheitelform kannst du den Scheitelpunkt direkt ablesen. Der Scheitelpunkt dieser Funktion hat die Koordinaten $S \, (-2 \mid 0)$.
#binomischeformeln

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$  Wertetabellen erstellen
Um die Aufgabe zu lösen, kannst du die Werte einfach ablesen, aber du kannst auch durch logisches Denken darauf kommen. Du kennst die Wertetabelle einer Normalparabel mit Scheitelpunkt im Ursprung, der Parabel mit der Funktionsgleichung $y = x^2$. Die dazugehörige Wertetabelle sieht folgendermaßen aus:
$x$$-4 $$ -3,5$$ -3$$-2,5 $$ -2$$ -1,5$$ -1$$ -0,5$$ 0$$ 0,5$$ 1$$ 1,5$$ 2$$ 2,5$$ 3$$ 3,5$$ 4$
$y$$16 $$12,25 $$9 $$6,25 $$ 4$$ 2,25$$1 $$0,25 $$0 $$0,25 $$1 $$2,25 $$ 4$$6,25 $$9 $$12,25 $$16 $
$x$$y$
$ -4$$16 $
$ -3,5$$12,25 $
$-3 $$9 $
$-2,5 $$6,25 $
$-2 $$ 4$
$-1,5 $$2,25 $
$-1 $$1 $
$-0,5 $$0,25 $
$0 $$0 $
$0,5 $$ 0,25$
$1 $$1 $
$1,5 $$2,25 $
$2 $$4 $
$2,5 $$6,25 $
$3 $$9 $
$3,5 $$12,25 $
$4 $$16 $
Überlege dir, ob die Normalparabel auf der $x-$Achse oder auf der $y-$Achse verschoben wurde, und wie das die $y-$Werte beeinflusst. Ist die Parabel auf der $x-$Achse verschoben, hat sie dieselben $y-$Werte wie $y=x^2$, die aber anderen $x-$Werten zugeordnet werden. Ist die Parabel auf der $y-$Achse verschoben hat sie dieselben $x-$ Werte wie $y=x^2$, die aber anderen $y-$Werten zugeordnet werden.
Wertetabelle für $g$
$x$$-3,5 $$-3 $$-2,5 $$-2 $$ -1,5$$ -1$$ -0,5$$ 0$
$y$$ 2,25$$1 $$0,25 $$0 $$ 0,25$$1 $$2,25 $$ 4$
$x$$y$
$-3,5$$2,25 $
$-3 $$1 $
$-2,5 $$0,25 $
$-2 $$ 0$
$-1,5 $$0,25 $
$-1 $$1 $
$-0,5 $$2,25 $
$0 $$4 $
Wertetabelle für $h$
$x$$-2 $$ -1,5$$ -1$$-0,5 $$0 $$0,5 $$1 $$1,5 $$2 $
$y$$5 $$3,25 $$2 $$ 1,25$$1 $$1,25 $$2 $$3,25 $$ 5$
$x$$y$
$-2 $$5 $
$-1,5 $$3,25 $
$-1 $$2 $
$-0,5 $$1,25 $
$0 $$1 $
$0,5 $$1,25 $
$1 $$2 $
$1,5 $$3,25 $
$2 $$5 $
Wertetabelle für $l$
$x$$-2,5 $$ -2$$ -1,5$$-1 $$-0,5 $$0 $$0,5$$1 $$1,5 $$2 $$2,5 $
$y$$ 4,25$$2 $$0,25 $$-1 $$-1,75 $$-2 $$ -1,75$$-1 $$0,25 $$ 2$$4,25 $
$x$$y$
$-2,5 $$4,25 $
$-2 $$2 $
$-1,5 $$0,25 $
$ -1$$-1 $
$-0,5 $$ -1,75$
$0 $$-2 $
$0,5 $$-1,75 $
$1 $$-1 $
$1,5 $$0,25 $
$2 $$2 $
$2,5 $$ 4,25$
Wertetabelle für $k$
$x$$1 $$1,5 $$2 $$2,5 $$3 $$3,5 $$4 $
$y$$4 $$ 2,25$$1 $$0,25 $$ 0$$0,25 $$ 1$
$x$$y$
$1 $$4 $
$1,5 $$2,25$
$2 $$1 $
$2,5 $$0,25 $
$3 $$ 0$
$3,5 $$ 0,25$
$4 $$1 $

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$  Scheitelpunkte angeben und Funktionsgraphen zeichnen
b)
$y = x^2 -1$
Die Funktion hat den Scheitelpunkt $S \, (0 \mid -1)$.
d)
$y = x^2 +2 $
Die Funktion hat den Scheitelpunkt $S \, (0 \mid 2)$.
f)
$y = (x - 1)^2$
Die Funktion hat den Scheitelpunkt $S \, (1 \mid 0)$.
h)
$y = (x - 2,5)^2$
Die Funktion hat den Scheitelpunkt $S \, (2,5 \mid 0)$.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$  Scheitelpunkte angeben
b)
$y = x^2+4,5$
$S \, (0 \mid 4,5)$
d)
$y = (x-1)^2$
$S \, (1 \mid 0)$
f)
$y = x^2-10,1$
$S \, (0 \mid -10,1)$
h)
$y =(x+7,7)^2$
$S \, (-7,7 \mid 0)$
j)
$y = x^2$
$S \, (0 \mid 0)$
l)
$y = (x-3,7)^2$
$S \, (3,7 \mid 0)$
n)
$y = x^2 +1$
$S \, (0 \mid 1)$
p)
$y = x^2 +34,2$
$S \, (0 \mid 34,2)$

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$  Funktionsgleichungen angeben
b)
$S \, (5,5 \mid 0)$
$y = (x-5,5)^2 $
d)
$S \, (0 \mid-0,53)$
$y = x^2-0,53$
f)
$S \, (-2 \mid 0)$
$y = (x+2)^2 $
h)
$S \, (0 \mid 6)$
$y = x^2+6$
j)
$S \, (0 \mid 13,3)$
$y = x^2+13,3$
l)
$S \, (3 \mid 0)$
$y = (x-3)^2 $
n)
$S \, (0 \mid 122)$
$y = x^2+122$
p)
$S \, (-2 \mid 0)$
$y = (x+2)^2 $

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$  Wertetabellen erstellen
Um die Aufgabe zu lösen, kannst du die Werte einfach ablesen, aber du kannst auch durch logisches Denken darauf kommen. Du kennst die Wertetabelle einer Normalparabel mit Scheitelpunkt im Ursprung, der Parabel mit der Funktionsgleichung $y = x^2$. Die dazugehörige Wertetabelle sieht folgendermaßen aus:
$x$$-4 $$ -3,5$$ -3$$-2,5 $$ -2$$ -1,5$$ -1$$ -0,5$$ 0$$ 0,5$$ 1$$ 1,5$$ 2$$ 2,5$$ 3$$ 3,5$$ 4$
$y$$16 $$12,25 $$9 $$6,25 $$ 4$$ 2,25$$1 $$0,25 $$0 $$0,25 $$1 $$2,25 $$ 4$$6,25 $$9 $$12,25 $$16 $
$x$$y$
$ -4$$16 $
$ -3,5$$12,25 $
$-3 $$9 $
$-2,5 $$6,25 $
$-2 $$ 4$
$-1,5 $$2,25 $
$-1 $$1 $
$-0,5 $$0,25 $
$0 $$0 $
$0,5 $$ 0,25$
$1 $$1 $
$1,5 $$2,25 $
$2 $$4 $
$2,5 $$6,25 $
$3 $$9 $
$3,5 $$12,25 $
$4 $$16 $
Überlege dir, wie die Normalparabel auf der $x-$Achse und auf der $y-$Achse verschoben wurde und wie sich die $x-$ und $y-$Werte dementsprechend ändern.
Wertetabelle für $g$
$x$$-4 $$-3,5 $$ -3$$-2,5 $$ -2$$ -1,5$$ -1$$ -0,5$$ 0$
$y$$5 $$3,25 $$2 $$1,25 $$1 $$1,25 $$2 $$3,25 $$5 $
$x$$y$
$-4 $$5 $
$-3,5 $$3,25 $
$ -3$$2 $
$-2,5 $$1,25 $
$-2 $$1 $
$-1,5 $$1,25 $
$ -1$$2 $
$-0,5 $$3,25 $
$0$$5 $
Wertetabelle für $h$
$x$$-3,5 $$-3 $$-2,5 $$-2 $$ -1,5$$-1 $$-0,5 $$0$$ 0,5$$1$$ 1,5$
$y$$4,25 $$2 $$0,25 $$-1 $$-1,75 $$ -2$$-1,75 $$-1 $$0,25 $$2 $$4,25 $
$x$$y$
$-3,5 $$ 4,25$
$-3 $$2 $
$-2,5 $$0,25 $
$-2 $$-1 $
$-1,5 $$-1,75 $
$-1 $$-2 $
$-0,5 $$ -1,75$
$0 $$-1 $
$ 0,5$$0,25 $
$ 1$$2 $
$1,5 $$4,25 $
Wertetabelle für $k$
$x$$0,5 $$ 1$$ 1,5$$2 $$ 2,5$$3 $$ 3,5$$ 4$$4,5 $
$y$$5,25 $$3 $$1,25 $$ 0$$ -0,75$$ -1$$-0,75 $$ 0$$ 1,25$
$x$$y$
$0,5 $$ $
$1 $$ $
$1,5 $$ $
$2 $$ $
$ 2,5$$ $
$3 $$ $
$3,5 $$ $
$4 $$ $
$4,5 $$ $

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$  Scheitelpunkte angeben und Funktionsgraphen zeichnen
b)
$y = (x+2)^2-3$
Die Funktion hat den Scheitelpunkt $S \, (-2 \mid -3).$
d)
$y = (x+0,5)^2+0,5$
Die Funktion hat den Scheitelpunkt $S \, (-0,5 \mid 0,5)$.
f)
$y = (x - 2)^2+1$
Die Funktion hat den Scheitelpunkt $S \, (2 \mid 1)$.
h)
$y = (x - 1,5)^2 -2$
Die Funktion hat den Scheitelpunkt $S \, (1,5 \mid -2)$.

Aufgabe 7

$\blacktriangleright$  Scheitelpunkte angeben
b)
$y = (x-0,5)^2+1,5$
$S \, (0,5 \mid 1,5)$
d)
$y = (x+3,5)^2+2$
$S \, (-3,5 \mid 2)$
f)
$y = (x-7)^2+7$
$S \, (7 \mid 7)$
h)
$y =(x-1,5)^2-1,5$
$S \, (1,5 \mid -1,5)$
j)
$y = (x-2)^2+10$
$S \, (2 \mid 10)$
l)
$y = (x+4)^2+4$
$S \, (-4 \mid 4)$
n)
$y = (x-1)^2+6$
$S \, (1 \mid 6)$
p)
$y = (x+1)^2+2$
$S \, (-1 \mid 2)$

Aufgabe 8

$\blacktriangleright$  Funktionsgleichungen angeben
b)
$S \, (-2 \mid 7)$
$y = (x+2)^2+7$
d)
$S \, (1,3 \mid -0,4)$
$y = (x-1,3)^2-0,4$
f)
$S \, (-0,5 \mid 2)$
$y = (x+0,5)^2+2$
h)
$S \, (5 \mid -10)$
$y = (x-5)^2-10$
j)
$S \, (2 \mid 3)$
$y = (x-2)^2+3$
l)
$S \, (-1,5 \mid 5,2)$
$y = (x+1,5)^2+5,2$
n)
$S \, (-4 \mid 0,5)$
$y = (x+4)^2+0,5$
p)
$S \, (-6 \mid 3)$
$y = (x+6)^2+3$

Aufgabe 9

$\blacktriangleright$  Funktionsgleichungen umformen, Scheitelpunkt angeben und Funktionsgraphen zeichnen
Wende zum Umformen der Gleichungen von der Normalenform in die Scheitelpunktform die binomischen Formeln an.
b)
$y = x^2 - 6x + 9$
$y = (x-3)^2$
$S \, (3\mid 0)$
d)
$y = x^2 + 5x + 6,25$
$y = (x+2,5)^2$
$S \, (-2,5\mid 0)$
f)
$y = x^2 + 3x + 2,25$
$y = (x+1,5)^2$
$S \, (-1,5\mid 0)$
#binomischeformeln
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