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Scheitelpunkte von Normalparabeln bestimmen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Mit dieser Rechnung werden die Scheitelpunkte von Normalparabeln ermittelt. Erkläre das Vorgehen und wie man aus der Scheitelpunktform den Scheitel ablesen kann.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2 + 6x + 10&\quad \scriptsize \mid\; \text{Funktionsgleichung in Normalform} \\[5pt] y&=& x^2+2 \cdot x \cdot 3 +10&\quad \scriptsize \mid\; \text{lineares Glied wird faktorisiert} \\[5pt] y&=& x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2 + 10 &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] y&=& (x+3)^2+1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Funktionsgleichung in Scheitelpunktform} \\[5pt] &&S \, (-3 \mid 1) &\quad \scriptsize \mid\; \text{Scheitelpunkt} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2 + 6x + 10&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& x^2+2 \cdot x \cdot 3 +10&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& (x+3)^2+1 &\quad \scriptsize \\[5pt] &&S \, (-3 \mid 1) &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
#scheitelpunktform#quadratischeergänzung#scheitelpunkt#parabel

Aufgabe 1

Vervollständige so, dass binomische Formeln entstehen.
b)
$x^2 + 6x + \;$ $= (x +$ $)^2$
d)
$x^2 - 12x + \;$ $= (x +$ $)^2$
f)
$x^2 + 16x + \;$ $= (x +$ $)^2$
h)
$x^2 -5x + \;$ $= (x +$ $)^2$
#binomischeformeln

Aufgabe 2

Wandle die Funktionsgleichung von der Normalform in die Scheitelpunktform um. Bestimme den Scheitelpunkt und zeichne anschließend den Graphen.
b)
$y = x^2+8x+13$
d)
$y = x^2-x-2,25$
f)
$y = x^2+4x-1$
h)
$y = x^2 + 10x +22$
j)
$y = x^2-0,4x-1,96$
l)
$y = x^2+x+1,75$
n)
$y = x^2+7x+12,75$
p)
$y = x^2-x-1,75$
#scheitelpunktform#scheitelpunkt#graph

Aufgabe 3

Ordne die Scheitelpunkte den Funktionsgleichungen zu. Forme dazu die Gleichungen in die Scheitelpunktform um. Zeichne anschließend die Parabeln.
$S_a \, (-1 \mid 3)$
$S_b \, (-3 \mid 3)$
$S_c \, (0,5 \mid -2)$
$S_d \, (3 \mid -3)$
#funktionsgleichung#scheitelpunkt#graph#parabel#scheitelpunktform

Aufgabe 4

#funktionsgleichung#scheitelpunkt#graph
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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$  Vorgehen erklären
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2 + 6x + 10&\quad \scriptsize \mid\; \text{Funktionsgleichung in Normalform} \\[5pt] y&=& x^2+2 \cdot x \cdot 3 +10&\quad \scriptsize \mid\; \text{lineares Glied wird faktorisiert} \\[5pt] y&=& x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2 + 10 &\quad \scriptsize \mid\; \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] y&=& (x+3)^2+1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Funktionsgleichung in Scheitelpunktform} \\[5pt] &&S \, (-3 \mid 1) &\quad \scriptsize \mid\; \text{Scheitelpunkt} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2 + 6x + 10&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& x^2+2 \cdot x \cdot 3 +10&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& (x+3)^2+1 &\quad \scriptsize \\[5pt] &&S \, (-3 \mid 1) &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Ausgangslage ist die, dass die Funktionsgleichung in Normalform vorliegt. Dann geht das Umformen in die Scheitelpunktform los. Das Ziel ist also, die Gleichung so umzuformen, dass die erste oder zweite binomische Formel angewendet werden kann. Die binomischen Formeln lauten folgendermaßen:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Bei dieser Rechnung kennen wir $a$ bereits: es ist $x$.
1. Schritt: Lineares Glied faktorisieren
Zuerst wird das lineare Glied faktorisiert. Das lineare Glied ist der zweite Teil in der Normalform, er besteht aus einem Koeffizienten und der Variable $x$, in diesem Fall ist das $6x$.
An den binomischen Formeln kannst du sehen, dass dieser Teil immer aus $2 \cdot a \cdot b$ besteht. Aus diesem Grund musst du ihn faktorisieren, der $1.$ Faktor dabei ist $2$, denn dann gibt dir der zweite Faktor bereits den Wert von $b$ an.
Deshalb wird in der Rechnung aus $6x$ dann $2 \cdot x \cdot 3$.
2. Schritt: Quadratische Ergänzung
Nun musst du die quadratische Ergänzung durchführen. Dafür musst den zweiten Faktor des linearen Glieds quadrieren und dann einmal addieren und dann wieder subtrahieren, damit der Wert der Gleichung gleich bleibt.
So ergibt sich aus $2 \cdot x \cdot 3$ dann $2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2$.
3. Schritt: Funktionsgleichung in Scheitelpunktform
Deine komplette Gleichung sieht mittlerweile so aus: $y = \color{#87c800}{x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2} - 3^2 + 10$. Auf den ersten Teil kannst du die erste binomische Formel anwenden. Den restlichen Teil kannst du miteinander verrechnen, er wird dann angehängt.
So ergibt sich $y = (x+3)^2 +1$.
4. Schritt: Scheitelpunkt
Du hast die Funktionsgleichung so umgeformt, dass sie jetzt in der Scheitelpunktform vorliegt. Der Scheitelpunkt einer Funktionsgleichung der Form $y = (x-p)^2+q$ hat immer die Koordinaten $S \, (p \mid q)$. So kannst du also ablesen, dass der Scheitelpunkt dieser Funktion die Koordinaten $S \, (-3 \mid 1)$ hat.
#binomischeformeln

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$  Zu binomischen Formeln vervollständigen
b)
$x^2 + 6x + \;$ $9$$= (x +$$3$ $)^2$
d)
$x^2 - 12x + \;$ $36$$= (x -$$6$ $)^2$
f)
$x^2 + 16x + \;$ $64$$= (x +$$8$ $)^2$
h)
$x^2 -5x + \;$ $6,25$$= (x -$$2,5$ $)^2$

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung in Scheitelpunktform umwandeln, Scheitelpunkt bestimmen und Graphen zeichnen
b)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2+8x+13 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&x^2+2 \cdot x \cdot 4+13&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 - 4^2 + 13&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&(x+4)^2-3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2+8x+13 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&x^2+2 \cdot x \cdot 4+13&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&(x+4)^2-3 \end{array}$
$S \, (-4 \mid -3)$
d)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2-x-2,25 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&x^2-2 \cdot x \cdot 0,5 -2,25&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&x^2 - 2 \cdot x \cdot 0,5 + 0,5^2 - 0,5^2 -2,25&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&(x-0,5)^2-2,5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2-x-2,25 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&x^2-2 \cdot x \cdot 0,5 -2,25&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&(x-0,5)^2-2,5 \end{array}$
$S \, (0,5 \mid -2,5)$
f)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2+4x-1 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&x^2+2 \cdot x \cdot 2 -1&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 - 2^2 -1&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&(x+2)^2-5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2+4x-1 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&x^2+2 \cdot x \cdot 2 -1&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&(x+2)^2-5 \end{array}$
$S \, (-2 \mid -5)$
h)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2 + 10x +22 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&x^2+2 \cdot x \cdot 5 + 22&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 - 5^2 + 22&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&(x+5)^2-3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2 + 10x +22 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&x^2+2 \cdot x \cdot 5 + 22&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&(x+5)^2-3 \end{array}$
$S \, (-5 \mid -3)$
j)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2-0,4x-1,96 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&x^2-2 \cdot x \cdot 0,2 - 1,96&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&x^2 - 2 \cdot x \cdot 0,2 + 0,2^2 - 0,2^2 -1,96&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&(x-0,2)^2-2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2-0,4x-1,96 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&x^2-2 \cdot x \cdot 0,2 - 1,96&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&(x-0,2)^2-2 \end{array}$
$S \, (0,2 \mid -2)$
l)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2+x+1,75&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&x^2+2 \cdot x \cdot 0,5 + 1,75&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&x^2 + 2 \cdot x \cdot 0,5 + 0,5^2 - 0,5^2 + 1,75&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&(x+0,5)^2+1,5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2+x+1,75&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&x^2+2 \cdot x \cdot 0,5 + 1,75&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&(x+0,5)^2+1,5 \end{array}$
$S \, (-0,5 \mid 1,5)$
n)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2+7x+12,75 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&x^2+2 \cdot x \cdot 3,5 + 12,75&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&x^2 + 2 \cdot x \cdot 3,5 + 3,5^2 - 3,5^2 + 12,75&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&(x+3,5)^2+ 0,5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2+7x+12,75 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&x^2+2 \cdot x \cdot 3,5 + 12,75&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&(x+3,5)^2+ 0,5 \end{array}$
$S \, (-3,5 \mid 0,5)$
p)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2-x-1,75 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&x^2-2 \cdot x \cdot 0,5 -1,75&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&x^2 - 2 \cdot x \cdot 0,5 + 0,5^2 - 0,5^2 -1,75&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&(x-0,5)^2-2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2-x-1,75 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&x^2-2 \cdot x \cdot 0,5 -1,75&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&(x-0,5)^2-2 \end{array}$
$S \, (0,5\mid -2)$
#binomischeformeln#quadratischeergänzung

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung in Scheitelpunktform umwandeln, Scheitelpunkt zuordnen und Graphen zeichnen
$\begin{array}[t]{rll} y_1&=& x^2+6x+12&\quad \scriptsize \\[5pt] y_1&=&x^2+2 \cdot x \cdot 3 + 12 &\quad \scriptsize \\[5pt] y_1&=& x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2-3^2 + 12&\quad \scriptsize \\[5pt] y_1&=&(x+3)^2+3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_1&=& x^2+6x+12&\quad \scriptsize \\[5pt] y_1&=&x^2+2 \cdot x \cdot 3 + 12 &\quad \scriptsize \\[5pt] y_1&=&(x+3)^2+3 \end{array}$
Zu $y_1$ gehört der Scheitelpunkt $S_b \, (-3 \mid 3)$.
$\begin{array}[t]{rll} y_2&=& x^2-6x+6&\quad \scriptsize \\[5pt] y_2&=&x^2-2 \cdot x \cdot 3 + 6 &\quad \scriptsize \\[5pt] y_2&=& x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2-3^2 + 6&\quad \scriptsize \\[5pt] y_2&=&(x-3)^2-3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_2&=& x^2-6x+6&\quad \scriptsize \\[5pt] y_2&=&x^2-2 \cdot x \cdot 3 + 6 &\quad \scriptsize \\[5pt] y_2&=&(x-3)^2-3 \end{array}$
Zu $y_2$ gehört der Scheitelpunkt $S_d \, (3 \mid -3)$.
$\begin{array}[t]{rll} y_3&=& x^2+2x+4&\quad \scriptsize \\[5pt] y_3&=&x^2+2 \cdot x \cdot 1 + 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] y_3&=& x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2-1^2 + 4&\quad \scriptsize \\[5pt] y_3&=&(x+1)^2+3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_3&=& x^2+2x+4&\quad \scriptsize \\[5pt] y_3&=&x^2+2 \cdot x \cdot 1 + 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] y_3&=&(x+1)^2+3 \end{array}$
Zu $y_3$ gehört der Scheitelpunkt $S_a \, (-1 \mid 3)$.
$\begin{array}[t]{rll} y_4&=& x^2-x-1,75&\quad \scriptsize \\[5pt] y_4&=&x^2-2 \cdot x \cdot 0,5 -1,75&\quad \scriptsize \\[5pt] y_4&=& x^2 - 2 \cdot x \cdot 0,5 + 0,5^2-0,5^2 -1,75&\quad \scriptsize \\[5pt] y_4&=&(x-0,5)^2-2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_4&=& x^2-x-1,75&\quad \scriptsize \\[5pt] y_4&=&x^2-2 \cdot x \cdot 0,5 -1,75&\quad \scriptsize \\[5pt] y_4&=&(x-0,5)^2-2 \end{array}$
Zu $y_4$ gehört der Scheitelpunkt $S_c \, (0,5 \mid -2)$.
#quadratischeergänzung#binomischeformeln

Aufgabe 4

b)
$\blacktriangleright$  Graphen den Funktionsgleichungen zuordnen
Die Funktionsgleichungen liegen in der Normalform vor. Wenn du sie also anhand der Scheitelpunkte den Parabeln zuordnen möchtest, musst du die Gleichungen zuerst in die Scheitelpunktform umwandeln.
Es gibt allerdings noch eine andere Möglichkeit, wie du sie zuordnen kannst: In der Normalform $y = ax^2 + bx + c$ gibt dir $c$ immer den Punkt an, an dem der Graph die $y-$Achse schneidet. Lese in der Zeichnung den $y-$Achsen-Schnittpunkt ab und ordne so die Parabeln den Funktionsgleichungen zu.
Zuordnung über Schnittpunkt mit der $y-$Achse
$y_1 = x^2 - 4x + 4$
Diese Funktion schneidet die $y-$Achse bei $y = 4$. Die Gleichung gehört also zu Parabel $i$.
$y_2 = x^2+2x+2$
Diese Funktion schneidet die $y-$Achse bei $y = 2$. Die Gleichung gehört also zu Parabel $g$.
$y_3 = x^2-12x+33$
Diese Funktion schneidet die $y-$Achse bei $y = 33$. Die Gleichung gehört also zu Parabel $j$.
$y_4 = x^2+6x+8$
Diese Funktion schneidet die $y-$Achse bei $y = 8$. Die Gleichung gehört also zu Parabel $h$.
Zuordnung über Umformen in die Scheitelpunktform
$\begin{array}[t]{rll} y_1&=&x^2 - 4x + 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] y_1&=&x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 4 &\quad \scriptsize\\[5pt] y_1&=&x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 - 2^2 +4 &\quad \scriptsize \\[5pt] y_1&=&(x-2)^2 \end{array}$
Der Scheitelpunkt der Funktion hat die Koordinaten $S \, (2 \mid 0)$. Du kannst die Funktionsgleichung der Parabel $i$ zuordnen.
$\begin{array}[t]{rll} y_2&=&x^2+2x+2 &\quad \scriptsize \\[5pt] y_2&=&x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 2 &\quad \scriptsize\\[5pt] y_2&=&x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 - 1^2 +2 &\quad \scriptsize \\[5pt] y_2&=&(x+1)^2 +1 \end{array}$
Der Scheitelpunkt der Funktion hat die Koordinaten $S \, (-1 \mid 1)$. Du kannst die Funktionsgleichung der Parabel $g$ zuordnen.
$\begin{array}[t]{rll} y_3&=&x^2-12x+33 &\quad \scriptsize \\[5pt] y_3&=&x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 33 &\quad \scriptsize\\[5pt] y_3&=&x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 - 6^2 +33&\quad \scriptsize \\[5pt] y_3&=&(x-6)^2 -3 \end{array}$
Der Scheitelpunkt der Funktion hat die Koordinaten $S \, (6 \mid -3)$. Du kannst die Funktionsgleichung der Parabel $j$ zuordnen.
$\begin{array}[t]{rll} y_4&=&x^2+6x+8&\quad \scriptsize \\[5pt] y_4&=&x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 8&\quad \scriptsize\\[5pt] y_4&=&x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2 +8 &\quad \scriptsize \\[5pt] y_4&=&(x+3)^2 -1 \end{array}$
Der Scheitelpunkt der Funktion hat die Koordinaten $S \, (-3 \mid -1)$. Du kannst die Funktionsgleichung der Parabel $h$ zuordnen.
#binomischeformeln#scheitelpunktform#quadratischeergänzung
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