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Quadratische Funktionen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Die Parabel $p_1$ hat die Funktionsgleichung $y=-x^2+4x-5$. Sie hat den Scheitelpunkt $S_1$. Der Scheitelpunkt von Parabel $p_2$ ist $S_2$.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Quadratische Funktionen
Abb. 1: Parabeln
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Quadratische Funktionen
Abb. 1: Parabeln
a)
Berechne die Koordinaten des Scheitelpunktes $S_1$ von Parabel $p_1$.
b)
Lies die Koordinaten von $S_2$ aus dem Koordinatensystem ab.
c)
Stelle die Funktionsgleichung von Parabel $p_2$ in Scheitelpunktform auf.
d)
Forme die Funktionsgleichung von Parabel $p_2$ in die Normalform um.
e)
Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte $T_1$ und $T_2$ der beiden Parabeln.
#scheitelpunkt#parabel#scheitelpunktform

Aufgabe 1

Quadratische Funktionen und Gleichungen: Quadratische Funktionen
Abb. 2: Parabel $p$ und Gerade $g$
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Quadratische Funktionen
Abb. 2: Parabel $p$ und Gerade $g$
Die Normalparabel $p$ schneidet die Gerade $g$ in den beiden Punkten $U$ und $V$. Die Funktionsgleichung von Gerade $g$ lautet: $y=x-1$.
a)
Lies die Koordinaten der beiden Punkte $U$ und $V$ im Koordinatensystem ab.
b)
Berechne die Funktionsgleichung der Parabel $p$ in Normalform mithilfe der beiden Punkte $U$ und $V$.
c)
Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel rechnerisch aus der Normalform.
Überprüfe dein Ergebnis zeichnerisch im Koordinatensystem.
d)
Überprüfe die Koordinaten der beiden Schnittpunkte $U$ und $V$ rechnerisch, mithilfe der beiden Funktionsgleichungen von $g$ und $p$.
e)
Bestimme den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der $x$-Achse rechnerisch.
Überprüfe zeichnerisch.
#schnittpunkt#scheitelpunktform#scheitelpunkt#parabel

Aufgabe 2

Quadratische Funktionen und Gleichungen: Quadratische Funktionen
Abb. 3: Parabeln $p_1$ und $p_2$
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Quadratische Funktionen
Abb. 3: Parabeln $p_1$ und $p_2$
Die beiden Parabeln $p_1$ und $p_2$ schneiden sich in den beiden Punkten $A$ und $B$.
a)
Lies die Koordinaten der beiden Punkte $A$ und $B$ aus dem Koordinatensystem ab.
b)
Lies den Scheitelpunkt von Parabel $p_1$ aus dem Koordinatensystem ab und stelle die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform auf.
c)
Lies den Scheitelpunkt von Parabel $p_2$ aus dem Koordinatensystem ab und stelle die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform auf.
d)
Die Gerade $g$ mit der Funktionsgleichung $y=-3x+3$ schneidet die Parabel $p_2$ in den Punkten $T_1$ und $T_2$. Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte.
e)
Zeichne die Gerade $g$ in das Koordinatensystem ein und überprüfe die Koordinaten der Schnittpunkte $T_1$ und $T_2$ mit der Parabel $p_2$.

Aufgabe 3

Die nach oben geöffnete Normalparabel $p_1$ hat den Scheitelpunkt $S_1\;(-1\mid -4)$. Die nach unten geöffnete Normalparabel $p_2$ hat den Scheitelpunkt $S_2\;(1\mid 6)$. Berechne die Koordinaten der beiden Schnittpunkte von $p_1$ und $p_2$.
Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkt bestimmen
1. Schritt: Scheitelpunktform aufstellen
Um die Scheitelpunktform zu berechnen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x^2+4x-5 & \quad \scriptsize \mid \text{Ausklammern}\;\\[5pt] y&=& -(x^2-4x)-5 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& -(x^2-2\cdot x \cdot 2)-5 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& -(x^2-2\cdot x \cdot 2 +2^2-2^2) -5 & \\[5pt] y&=& -(x^2-2\cdot x \cdot 2+ 2^2)+4-5 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& -(x-2)^2-1 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= -(x-2)^2-1 $
2. Schritt: Scheitelpunkt bestimmen
Mit der Formel : $y=-(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=2$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=-1$.
Der Scheitelpunkt hat somit die Koordinaten $S_1(2\mid -1)$.
b)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkt $\boldsymbol{S_2}$ bestimmen
Der Scheitelpunkt $S_2$ hat die Koordinaten $S_2\;(1\mid -6)$.
c)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform von $\boldsymbol{p_2}$ bestimmen
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=1$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=-6$.
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt die Scheitelpunktform bestimmen:
Die Scheitelpunktform lautet damit: $y=(x-1)^2-6 $.
d)
$\blacktriangleright$  Normalform von $\boldsymbol{p_2}$ aufstellen
Um die Normalform aufzustellen, kannst du die Scheitelpunktform ausmultiplizieren.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& (x-1)^2-6 &\\[5pt] y&=& x^2-2x+1-6 &\\[5pt] y&=& x^2-2x-5 &\\[5pt] \end{array}$
Die Normalform der Funktionsgleichung von Parabel $p_2$ lautet: $y= x^2-2x-5$.
e)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte berechnen
Setze zuerst die beiden Funktionsterme gleich und bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte. Dann setzt du die $x$-Koordinaten in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und bestimmst den zugehörigen $y$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} x^2-2x-5 &=& -x^2+4x-5 &\quad \scriptsize \mid \; +x^2 \; -4x \; +5 \\[5pt] 2x^2-6x &=& 0 & \\[5pt] 2x^2 &=& 6x & \\[5pt] x^2 &=& 3x & \\[5pt] x_1 &=& 0 & \\[5pt] x_2 &=& 3 & \\[5pt] \end{array}$
$x_1=0\quad \mid \quad x_2=3$
Die beiden Parabeln schneiden sich in zwei Punkten. Diese haben die $x$-Koordinaten $x_1=0$ und $x_2=3$.
Jetzt kannst du die $x$-Werte in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um den zugehörenden $y$-Wert zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-2x-5 & \quad \scriptsize \mid\; x=0 \\[5pt] y&=& (0)^2-2\cdot 0 -5 & \\[5pt] y&=& -5 & \\[5pt] \end{array}$
$ y=-5 $
Der Schnittpunkt $T_1$ hat somit die Koordinaten $T(0\mid -5)$.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-2x-5 & \quad \scriptsize \mid\; x=3 \\[5pt] y&=& (3)^2-2\cdot 3-5 & \\[5pt] y&=& 9-6-5 & \\[5pt] y&=& -2 & \\[5pt] \end{array}$
$ y=-2 $
Der Schnittpunkt $T_2$ hat somit die Koordinaten $T(3\mid -2)$.
#scheitelpunktform#schnittpunkt#scheitelpunkt#parabel

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Punkte $\boldsymbol{U}$ und $\boldsymbol{V}$ ablesen
Der Punkt $U$ hat die Koordinaten $U\;(1\mid 0)$. Der Punkt $V$ hat die Koordinaten $V\;(4\mid 3)$.
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von Parabel $\boldsymbol{p}$ bestimmen
Setze die $x$- und die $y$-Koordinaten der Punkte $U$ und $V$ in die allgemeine Parabelform ein. Dadurch erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit den beiden Variablen $p$ und $q$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&y&=& x^2 +px+q &\quad \scriptsize\mid\;U\,(1 \mid 0) \\ \text{II}\quad&y&=& x^2+px+q &\quad \scriptsize\mid\;V\,(4 \mid 3)\\ \hline \text{I}\quad&0&=& 1^2 +1p+q & \\ \text{II}\quad&3&=& 4^2+4p+q &\\ \hline \text{I}\quad&0&=& 1 +p+q & \\ \text{II}\quad&3&=& 16+4p+q &\\ \hline \text{I}\quad&-1&=& p+q & \\ \text{II}\quad&-13&=& 4p+q &\\ \end{array}$
Forme Gleichung $\text{I}$ nach $q$ um.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& -1&=& p+q &\quad \scriptsize\mid\;-p \\ \quad&-p-1&=& q & \\ \quad&q&=& -1-p & \\ \end{array}$
$ q=-1-p $
Setze $q$ von Gleichung $\text{I}$ in Gleichung $\text{II}$ ein und bestimme $p$.
$\begin{array}{lrll} \text{II}\quad&-13 &=& 4p+q &\quad \scriptsize\mid\; q=-1-p\\ \quad&-13 &=& 4p+(-1-p) &\quad \\ \quad&-13 &=& 4p-1-p &\quad \scriptsize\mid\; +1 \\ \quad&-12 &=& 4p-p &\quad \\ \quad&-12 &=& 3p &\quad \scriptsize\mid\; :3\\ \quad&-4 &=& p &\quad \\ \quad& p &=& -4 &\quad \\ \end{array}$
$ p=-4 $
Setze $p$ wieder in Gleichung $\text{I}$ ein und berechne $q$.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&q &=& -1-p &\quad \scriptsize\mid\; p=-4\\ \quad&q &=& -1-(-4) &\\ \quad&q &=& -1+4 &\\ \quad&q &=& 3 &\\ \end{array}$
$ q=3 $
Setze $p=-4$ und $q=3$ in die allgemeine Funktionsgleichung einer Normalparabel ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+px+q& \\[5pt] y&=& x^2-4x+3& \\[5pt] \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkt bestimmen
Um den Scheitelpunkt bestimmen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen. Aus ihr kannst du den Scheitelpunkt dann direkt ablesen.
1. Schritt: Scheitelpunktform aufstellen
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-4x+3 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 2+3 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 2+ 2^2-2^2 +3 & \\[5pt] y&=& (x^2-2\cdot x \cdot 2+ 2^2)-4+3 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x-2)^2-1 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x-2)^2-1 $
2. Schritt: Scheitelpunkt bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=2$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=-1$.
Der Scheitelpunkt hat somit die Koordinaten $S(2\mid -1)$.
Zeichne die Parabel zur Überprüfung in ein Koordinatensystem. Lege dazu deine Parabelschablone an den Scheitelpunkt $S\,(2\mid -1)$.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Quadratische Funktionen
Abb. 1: Parabel im Koordinatensystem
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Quadratische Funktionen
Abb. 1: Parabel im Koordinatensystem
Die beiden Punkte $U$ und $V$ liegen auf der Parabel. Damit ist der berechnete Scheitelpunkt richtig.
d)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte berechnen
Setze zuerst die beiden Funktionsterme gleich und bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte. Dann setzt du die $x$-Koordinaten in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und bestimmst den zugehörigen $y$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} x^2-4x+3 &=& x-1 &\quad \scriptsize \mid\; -x \; +1 \\[5pt] x^2-5x+4 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\text{pq-Formel} \\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{-5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-5}{2}\right)^2-4} \\[5pt] x_{1,2}&=& 2,5 \pm \sqrt{6,25-4} \\[5pt] x_{1,2}&=& 2,5 \pm \sqrt{2,25} \\[5pt] x_{1,2}&=& 2,5 \pm 1,5 \\[5pt] x_1&=& 1 \\[5pt] x_2&=& 4 \\[5pt] \end{array}$
$ x_1=1 \quad \mid \quad x_2=4 $
Die beiden Graphen schneiden sich bei $x_1=1$ und bei $x_2=4$.
Jetzt kannst du die beiden $x$-Werte in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um den zugehörenden $y$-Wert zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -1+x &\quad \scriptsize \mid \; x=1 \\[5pt] y&=& -1+1 & \\[5pt] y&=& 0 & \\[5pt] \end{array}$
$ y=0 $
Der Schnittpunkt $U$ hat somit die Koordinaten $U(1\mid 0)$.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -1+x &\quad \scriptsize \mid \; x=4 \\[5pt] y&=& -1+4 & \\[5pt] y&=& 3 & \\[5pt] \end{array}$
$ y=3 $
Der Schnittpunkt $V$ hat somit die Koordinaten $V(4\mid 3)$.
e)
$\blacktriangleright$  Nullstelle von Funktion $\boldsymbol{g}$ berechnen, Schnittpunkt mit $x-$Achse angeben
Den Schnittpunkt mit der $x-$Achse der Geraden $g$ bestimmst du, indem du den Funktionsterm gleich Null setzt.
$\begin{array}[t]{rll} x-1&=& 0 & \\[5pt] x&=& 1 & \\[5pt] \end{array}$
Die Gerade $g$ schneidet die $x$-Achse an der Stelle $x=1$. Der Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der $x-$Achse hat also die Koordinaten $S \, (1 \mid 0)$.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Quadratische Funktionen
Abb. 2: Gerade mit Nullstelle
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Quadratische Funktionen
Abb. 2: Gerade mit Nullstelle
Im Koordinatensystem aus der Aufgabenstellung kannst du erkennen, dass die Gerade $g$ die $x$-Achse im Punkt $S \, (1 \mid 0)$ schneidet.
#parabel#scheitelpunktform#schnittpunkt#scheitelpunkt

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Punkte $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ ablesen
Bestimme die Koordinaten der Punkte $A$ und $B$, indem du sie aus dem Koordinatensystem abliest.
Der Punkt $A$ hat die Koordinaten $A\;(-2\mid 3)$. Der Punkt $B$ hat die Koordinaten $B\;(2\mid 3)$.
b)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkt $\boldsymbol{S_1}$ ablesen
Der Scheitelpunkt $S_1$ von Parabel $p_1$ hat die Koordinaten $S_1\;(0\mid 7)$.
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform $\boldsymbol{p_1}$ bestimmen
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=0$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=7$.
Achte darauf, dass die Parabel nach unten geöffnet ist.
Mit der Formel : $y=-(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt die Scheitelpunktform bestimmen:
Die Scheitelpunktform lautet damit: $y=-(x-0)^2+7$. Diese kannst du kürzen:
$y=-x^2+7$
c)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkt $\boldsymbol{S_2}$ ablesen
Der Scheitelpunkt $S_2$ von Parabel $p_2$ hat die Koordinaten $S_2\;(0\mid -1)$.
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform $\boldsymbol{p_2}$ bestimmen
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=0$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=-1$.
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt die Scheitelpunktform bestimmen:
Die Scheitelpunktform lautet damit: $y=(x-0)^2-1$. Diese kannst du kürzen:
$y=x^2-1$
d)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte berechnen
Setze zuerst die beiden Funktionsgleichungen von Parabel $p_2$ und Gerade $g$ gleich und bestimme die $x$-Koordinaten der Schnnittpunkte. Dann setzt du die $x$-Koordinaten in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und bestimmst den zugehörigen $y$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} x^2-1 &=& -3x+3 &\quad \scriptsize \mid\; +3x \; -3 \\[5pt] x^2+3x-4 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\text{pq-Formel} \\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] x_{1,2}&=& -1,5 \pm \sqrt{2,25+4} \\[5pt] x_{1,2}&=& -1,5 \pm \sqrt{6,25} \\[5pt] x_{1,2}&=& -1,5 \pm 2,5 \\[5pt] x_1&=& -4 \\[5pt] x_2&=& 1 \\[5pt] \end{array}$
$ x_1=-4 \quad \mid \quad x_2=1 $
Die beiden Graphen schneiden sich bei $x_1=-4$ und bei $x_2=1$.
Jetzt kannst du die beiden $x$-Werte in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um den zugehörenden $y$-Wert zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -3x+3 &\quad \scriptsize \mid \; x=-4 \\[5pt] y&=& -3\cdot (-4)+3 & \\[5pt] y&=& 12+3 & \\[5pt] y&=& 15 & \\[5pt] \end{array}$
$ y=15 $
Der Schnittpunkt $T_1$ hat somit die Koordinaten $T_1(-4\mid 15)$.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -3x+3 &\quad \scriptsize \mid \; x=1 \\[5pt] y&=& -3\cdot 1+3 & \\[5pt] y&=& 0 & \\[5pt] \end{array}$
Der Schnittpunkt $T_2$ hat somit die Koordinaten $T_2(1\mid 0)$.
e)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte zeichnerisch überprüfen
Zeichne die Gerade $g$ mit dem $y$-Achsenabschnitt $t=3$ und der Steigung $m=-3$ in das Koordinatensystem, indem $p_2$ ebenfalls eingezeichnet ist, ein.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Quadratische Funktionen
Abb. 3: Parabel und Gerade
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Quadratische Funktionen
Abb. 3: Parabel und Gerade
Der Schnittpunkt $T_1$ hat die Koordinaten $T_1\;(-4\mid 15)$. Der Schnittpunkt $T_2$ hat die Koordinaten $T_2\;(1\mid 0)$. Die berechneten und die zeichnerisch bestimmten Koordinaten stimmen überein.
#scheitelpunkt#scheitelpunktform#schnittpunkt#parabel

Aufgabe 3

Du sollst die Schnittpunkte der beiden Parabeln $p_1$ und $p_2$ bestimmen. Stelle dazu zuerst die Scheitelpunktform beider Parabeln auf und forme sie in die Normalform um. Dann kannst du die Funktionsgleichungen gleichsetzen.
1. Schritt: Scheitelpunktform $\boldsymbol{p_1}$ bestimmen
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=-1$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=-4$.
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt die Scheitelpunktform bestimmen:
Die Scheitelpunktform lautet damit: $y=(x+1)^2-4$.
2. Schritt: Normalform von $\boldsymbol{p_1}$ aufstellen
Um die Normalform aufzustellen, kannst du die Scheitelpunktform ausmultiplizieren.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& (x+1)^2-4 &\\[5pt] y&=& x^2+2x+1-4 &\\[5pt] y&=& x^2+2x-3 &\\[5pt] \end{array}$
Die Normalform der Funktionsgleichung von Parabel $p_1$ lautet: $y= x^2+2x-3$.
3. Schritt: Scheitelpunktform $\boldsymbol{p_2}$ bestimmen
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=1$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=6$.
Mit der Formel : $y=-(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt die Scheitelpunktform bestimmen:
Die Scheitelpunktform lautet damit: $y=-(x-1)^2+6$.
4. Schritt: Normalform von $\boldsymbol{p_2}$ aufstellen
Um die Normalform aufzustellen, kannst du die Scheitelpunktform ausmultiplizieren.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -(x-1)^2+6 &\\[5pt] y&=& -(x^2-2x+1)+6 &\\[5pt] y&=& -x^2+2x-1+6 &\\[5pt] y&=& -x^2+2x+5 &\\[5pt] \end{array}$
Die Normalform der Funktionsgleichung von Parabel $p_2$ lautet: $y= -x^2+2x+5$.
5. Schritt: Schnittpunkte berechnen
Setze zuerst die beiden Funktionsgleichungen $p_1$ und $p_2$ gleich und bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte. Dann setzt du die $x$-Koordinaten in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und bestimmst den zugehörigen $y$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} x^2+2x-3 &=& -x^2+2x+5 &\quad \scriptsize \mid \; +x^2 \; -2x \; -5 \\[5pt] 2x^2-8 &=& 0 & \\[5pt] 2x^2 &=& 8 & \\[5pt] x^2 &=& 4 & \\[5pt] x &=& \sqrt{4} & \\[5pt] x_1 &=& 2 & \\[5pt] x_2 &=& -2 & \\[5pt] \end{array}$
$x_1=2 \quad \mid \quad x_2=-2 $
Die beiden Parabeln schneiden sich in zwei Punkten. Diese haben die $x$-Koordinaten $x_1=-2$ und $x_2=2$.
Jetzt kannst du die $x$-Werte in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um den zugehörenden $y$-Wert zu berechnen.
6. Schritt: Koordinaten des Schnittpunkts $\boldsymbol{T_1}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+2x-3 & \quad \scriptsize \mid\; x=-2 \\[5pt] y&=& (-2)^2+2 \cdot (-2)-3 & \\[5pt] y&=& 4-4-3 & \\[5pt] y&=& -3 & \\[5pt] \end{array}$
$ y=-3 $
Der Schnittpunkt $T_1$ hat somit die Koordinaten $T(-2\mid -3)$.
7. Schritt: Koordinaten des Schnittpunkts $\boldsymbol{T_2}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+2x-3 & \quad \scriptsize \mid\; x=2 \\[5pt] y&=& (2)^2+2 \cdot (2)-3 & \\[5pt] y&=& 4+4-3 & \\[5pt] y&=& 5 & \\[5pt] \end{array}$
$ y=5 $
Der Schnittpunkt $T_2$ hat somit die Koordinaten $T(2\mid 5)$.
#parabel#scheitelpunkt#schnittpunkt#scheitelpunktform
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