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Anwendung

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Vor allem negative Vorzeichen sind Fehlerquellen beim Lösen von Gleichungen. Vervollständige die Rechnung und gib die Lösungsmenge an.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{3x+7}{5x} - \dfrac{x+3}{x+1}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (x+1) \\[5pt] \dfrac{(3x+7) \cdot (x+1)}{5x} - \dfrac{(x+3) \cdot (x+1)}{x+1} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{kürze} \\[5pt] \dfrac{(3x+7) \cdot (x+1)}{5x} - (x+3) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 5x \\[5pt] … &=& … &\quad \\[5pt] \end{array}$
b)
Der Kehrwert welcher Zahl ist genau um $2$ kleiner als der Quotient aus $3$ und dem Quadrat dieser Zahl? Stelle eine Gleichung auf und löse sie.
#bruchgleichung

Aufgabe 1

Berechne die Lösungsmenge. Runde, falls notwendig, auf die zweite Nachkommastelle.
b)
$\dfrac{4 +x}{x} + \dfrac{2x}{x-1} = 7$
d)
$\dfrac{x+5}{2} - \dfrac{6}{x-1} = 5$
f)
$\dfrac{4}{x+1} + \dfrac{x}{x+2} = 1,6$
#bruchgleichung

Aufgabe 2

a)
Lilly überlegt sich zwei positive Zahlen, von denen eine um $3$ größer als die andere ist. Die Summe der Quadrate der beiden Zahlen ist $117$. Wie lauten die Zahlen?
b)
Jonas merkt sich zwei positive Zahlen, von denen die zweite um $2$ größer ist als die erste. Wenn er beide Zahlen um $4$ vergrößert, dann ergibt das Produkt der entstehenden Zahlen $63$. Berechne die Zahlen.
c)
Philipp überlegt sich einen Bruch, bei dem der Nenner um $2$ größer ist als der Zähler. Wenn er den Bruch und den Kehrwert des Bruches addiert, so erhält er das Ergebnis $2,5$. Wie lautet der Bruch?

Aufgabe 3

Quadratische Funktionen und Gleichungen: Anwendung
Abb. 1: Die Skizze zum Quadrat.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Anwendung
Abb. 1: Die Skizze zum Quadrat.
#flächeninhalt#quadrat

Aufgabe 4

Ein rechteckiges Grundstück hat einen Flächeninhalt von $601,25 \; \text{m}^2$. Die Breite ist um $14 \; \text{m}$ größer als die Länge. Berechne die Seitenlängen des Grundstücks.
#rechteck#flächeninhalt

Aufgabe 5

Quadratische Funktionen und Gleichungen: Anwendung
Abb. 2: So soll der Pool später einmal aussehen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Anwendung
Abb. 2: So soll der Pool später einmal aussehen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Anwendung
Abb. 4: So kannst du berechnen, wie breit die Einfassung des Pools ist.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Anwendung
Abb. 4: So kannst du berechnen, wie breit die Einfassung des Pools ist.
#rechteck#flächeninhalt

Aufgabe 6

Wenn jede Kante eines Würfels um $12 \; \text{cm}$ verlängert wird, dann wird die neue Oberfläche des Würfels neunmal so groß. Wie lang war die Kante vorher? Stelle eine Gleichung auf und löse sie.
#würfel#flächeninhalt

Aufgabe 7

Der Radius eines Kreises wird um $8 \; \text{cm}$ vergrößert. Der neue Flächeninhalt beträgt dann $1.256 \; \text{m}^2$. Wie groß war der ursprüngliche Radius? Rechne mit $\pi = 3,14$.
#kreis#flächeninhalt
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2017 – SchulLV.
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Public Domain.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Rechnung vervollständigen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{3x+7}{5x} - \dfrac{x+3}{x+1}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (x+1) \\[5pt] \dfrac{(3x+7) \cdot (x+1)}{5x} - \dfrac{(x+3) \cdot (x+1)}{x+1} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{kürze} \\[5pt] \dfrac{(3x+7) \cdot (x+1)}{5x} - (x+3) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 5x \\[5pt] \dfrac{5x \cdot (3x+7) \cdot (x+1)}{5x} - 5x \cdot (x+3)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{vereinfache} \\[5pt] (3x+7) \cdot (x+1) - 5x^2 - 15x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne} \\[5pt] 3x^2 + 3x + 7x + 7 - 5x^2 - 15x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] -2x^2 - 5x + 7 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; : (-2) \\[5pt] x^2 + 2,5x - 3,5 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösungsformel anwenden} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Wende jetzt die Lösungsformel an. Sie lautet:
$x_{1,2}= -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
$x_{1,2}= -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
Setze für $p = 2,5$ und $q= 3,5$ ein und berechne $x$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& - \dfrac{\color{#87c800}{2,5}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{2,5}}{2}\right)^2- (\color{#87c800}{-3,5})} \\[5pt] x_{1,2}&=& - 1,25 \pm \sqrt{1,5625 + 3,5} \\[5pt] x_{1,2}&=& -1,25 \pm \sqrt{5,0625} \\[5pt] x_{1,2}&=& -1,25 \pm 2,25 \\[5pt] x_1 &=& 1 \\[5pt] x_2 &=& -3,5 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung aufstellen und lösen
Der Kehrwert welcher Zahl ist genau um $\color{#87c800}{2}$ kleiner als der Quotient aus $\color{#fa7d19}{3}$ und dem Quadrat dieser Zahl? Stelle eine Gleichung auf und löse sie.
$\begin{array}[t]{rll} \color{#db2416}{\dfrac{1}{x}} &=& \dfrac{\color{#fa7d19}{3}}{\color{#967117}{x^2}} \color{#87c800}{- 2} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x^2\\[5pt] \dfrac{1 \cdot x^2}{x} &=& \dfrac{3 \cdot x^2}{x^2} -2 \cdot x^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{kürze} \\[5pt] x &=& 3 - 2x^2 &\quad \scriptsize \mid\; -x \\[5pt] 0 &=& -2x^2 - x + 3 &\quad \scriptsize \mid\; : (-2) \\[5pt] 0 &=& x^2 + 0,5x - 1,5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösungsformel anwenden} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze für $p = 0,5$ und $q= -1,5$ ein und berechne $x$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& - \dfrac{\color{#87c800}{0,5}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{0,5}}{2}\right)^2- (\color{#87c800}{-1,5})} \\[5pt] x_{1,2}&=& - 0,25 \pm \sqrt{0,0625 + 1,5} \\[5pt] x_{1,2}&=& -0,25 \pm \sqrt{1,5625} \\[5pt] x_{1,2}&=& -0,25 \pm 1,25 \\[5pt] x_1 &=& 1 \\[5pt] x_2 &=& -1,5 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
#quadratischegleichung#pq-formel

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{x+3} &=& x + \dfrac{1}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (x+3) \\[5pt] \dfrac{1 \cdot (x+3)}{x+3} &=& x \cdot (x+3) + \dfrac{1 \cdot (x+3)}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \text{kürze} \\[5pt] 1 &=& x^2 + 3x + \dfrac{x+3}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 3 \\[5pt] 3 &=& 3x^2 + 9x + x + 3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{vereinfache} \\[5pt] 3 &=& 3x^2 + 10x + 3 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] 1 &=& x^2 + \dfrac{10}{3}x + 1 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] 0 &=& x^2 + \dfrac{10}{3}x + 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösungsformel} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze für $p = \dfrac{10}{3}$ und $q= 0$ ein und berechne $x$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& - \dfrac{\color{#87c800}{\frac{10}{3}}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{\frac{10}{3}}}{2}\right)^2- (\color{#87c800}{0})} \\[5pt] x_{1,2}&=& - \dfrac{5}{3} \pm \sqrt{\dfrac{25}{9} - 0} \\[5pt] x_{1,2}&=& - \dfrac{5}{3} \pm \dfrac{5}{3}\\[5pt] x_1 &=& 0 \\[5pt] x_2 &=& -\dfrac{10}{3} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4 +x}{x} + \dfrac{2x}{x-1} &=& 7 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (x-1) \\[5pt] \dfrac{(4 +x) \cdot (x-1)}{x} + \dfrac{2x \cdot (x-1)}{x-1} &=& 7 \cdot (x-1) &\quad \scriptsize \mid\; \text{vereinfache} \\[5pt] \dfrac{4x - 4 + x^2 - x }{x} + 2x &=& 7x - 7 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x \\[5pt] \dfrac{(4x - 4 + x^2 - x) \cdot x}{x} + 2x^2 &=& 7x^2 - 7x &\quad \scriptsize \mid\; \text{kürze und vereinfache} \\[5pt] 3x - 4 + x^2 + 2x^2 &=& 7x^2 - 7x &\quad \scriptsize \mid\; -7x^2 \\[5pt] 3x - 4 - 4x^2 &=& -7x &\quad \scriptsize \mid\; +7x \\[5pt] 10x - 4 - 4x^2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; : (-4) \\[5pt] x^2 - 2,5x + 1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösungsformel} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze für $p = -2,5$ und $q= 1$ ein und berechne $x$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& - \dfrac{\color{#87c800}{(-2,5)}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{(-2,5)}}{2}\right)^2- \color{#87c800}{1}} \\[5pt] x_{1,2}&=& 1,25 \pm \sqrt{1,5625 - 1} \\[5pt] x_{1,2}&=& 1,25 \pm \sqrt{0,5625} \\[5pt] x_{1,2}&=& 1,25 \pm 0,75 \\[5pt] x_1 &=& 2 \\[5pt] x_2 &=& 0,5 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2x + 1}{3x - 4} &=& \dfrac{x+6}{4x+1} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (3x-4) \\[5pt] \dfrac{(2x + 1) \cdot (3x-4)}{3x - 4} &=& \dfrac{(x+6) \cdot (3x-4)}{4x+1} &\quad \scriptsize \mid\; \text{kürze und vereinfache} \\[5pt] 2x + 1 &=& \dfrac{3x^2 - 4x + 18x - 24}{4x+1} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (4x +1) \\[5pt] 8x^2 + 2x + 4x + 1 &=& \dfrac{(3x^2 - 4x + 18x - 24) \cdot (4x+1)}{4x+1} &\quad \scriptsize \mid\; \text{kürze und vereinfache} \\[5pt] 8x^2 + 6x + 1 &=& 3x^2 + 14x - 24 &\quad \scriptsize \mid\; -3x^2 \\[5pt] 5x^2 + 6x + 1 &=& 14x - 24 &\quad \scriptsize \mid\; -14x \\[5pt] 5x^2 - 8x + 1 &=& -24 &\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] 5x^2 - 8x + 25 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; : 5 \\[5pt] x^2 - 1,6x + 5 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösungsformel} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze für $p = -1,6$ und $q= 5$ ein und berechne $x$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& - \dfrac{\color{#87c800}{(-1,6)}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{(-1,6)}}{2}\right)^2- (\color{#87c800}{5})} \\[5pt] x_{1,2}&=& 0,8 \pm \sqrt{0,64 - 5} \\[5pt] x_{1,2}&=& 1,25 \pm \sqrt{-4,36} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Für diese Gleichung gibt es keine Lösung, da du von einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kannst!
d)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x+5}{2} - \dfrac{6}{x-1} &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (x-1) \\[5pt] \dfrac{(x+5) \cdot (x-1) }{2} - \dfrac{6 \cdot (x-1)}{x-1} &=& 5x - 5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{kürze und vereinfache} \\[5pt] \dfrac{x^2 - x + 5x - 5}{2} - 6 &=& 5x - 5 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] \dfrac{(x^2 - x + 5x - 5) \cdot 2 }{2} - 12 &=& 10x - 10 &\quad \scriptsize \mid\; \text{vereinfache und kürze} \\[5pt] x^2 - x + 5x - 5 - 12 &=& 10x - 10 &\quad \scriptsize \mid\; -10x \\[5pt] x^2 - 6x - 17 &=& -10 &\quad \scriptsize \mid\; +10 \\[5pt] x^2 - 6x - 7 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösungsformel} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze für $p = -6 $ und $q= -7 $ ein und berechne $x$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& - \dfrac{\color{#87c800}{(-6)}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{(-6)}}{2}\right)^2- (\color{#87c800}{-7})} \\[5pt] x_{1,2}&=& 3 \pm \sqrt{9 +7} \\[5pt] x_{1,2}&=& 3 \pm \sqrt{16} \\[5pt] x_{1,2}&=& 3 \pm 4\\[5pt] x_1 &=& 7 \\[5pt] x_2 &=& -1 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2x - 1}{x + 1} - \dfrac{x +1}{3-x} &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (3-x) \\[5pt] \dfrac{(2x - 1) \cdot (3-x)}{x + 1} - \dfrac{(x +1) \cdot (3-x)}{3-x} &=& -6 + 2x &\quad \scriptsize \mid\; \text{kürze und vereinfache} \\[5pt] \dfrac{6x - 2x^2 - 3 + x}{x+1} - (x +1) &=& -6 + 2x &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (x + 1) \\[5pt] \dfrac{(6x - 2x^2 - 3 + x) \cdot (x+1)}{x+1} - (x +1) \cdot (x+1) &=& -6x - 6 + 2x^2 + 2x &\quad \scriptsize \mid\; \text{vereinfache und kürze} \\[5pt] 7x - 2x^2 - 3 - x^2 - 2x - 1 &=& -4x - 6 + 2x^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 5x - 3x^2 - 4 &=& -4x - 6 + 2x^2 &\quad \scriptsize \mid\; - 2x^2 \\[5pt] - 5x^2 + 5x - 4 &=& -4x - 6 &\quad \scriptsize \mid\; +4x \\[5pt] - 5x^2 + 9x - 4 &=& -6 &\quad \scriptsize \mid\; +6 \\[5pt] -5x^2 + 9x +2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; : (-5) \\[5pt] x^2 - 1,8x - 0,4 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösungsformel} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze für $p = - 1,8 $ und $q= - 0,4 $ ein und berechne $x$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& - \dfrac{\color{#87c800}{(-1,8)}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{(-1,8)}}{2}\right)^2- (\color{#87c800}{- 0,4})} \\[5pt] x_{1,2}&=& 0,9 \pm \sqrt{0,81 + 0,4} \\[5pt] x_{1,2}&=& 0,9 \pm \sqrt{1,21} \\[5pt] x_{1,2}&=& 0,9 \pm 1,1\\[5pt] x_1 &=& 2 \\[5pt] x_2 &=& -0,2 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4}{x+1} + \dfrac{x}{x+2} &=& 1,6 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (x+2) \\[5pt] \dfrac{4 \cdot (x+2)}{x + 1} + \dfrac{x \cdot (x+2)}{x+2} &=& 1,6x + 3,2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{kürze und vereinfache} \\[5pt] \dfrac{4x+8}{x + 1} + x &=& 1,6x + 3,2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (x+1) \\[5pt] \dfrac{(4x+8) \cdot (x+1)}{x + 1} + x \cdot (x+1) &=& (1,6x + 3,2) \cdot (x+1) &\quad \scriptsize \mid\; \text{kürze und vereinfache} \\[5pt] 4x + 8 + x^2 + x &=& 1,6x^2 + 1,6x + 3,2x + 3,2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] x^2 + 5x + 8 &=& 1,6x^2 + 4,8x + 3,2 &\quad \scriptsize \mid\; -1,6x^2 \\[5pt] -0,6x^2 + 5x + 8 &=& 4,8x + 3,2 &\quad \scriptsize \mid\; -4,8x \\[5pt] -0,6x^2 + 0,2x + 8 &=& 3,2 &\quad \scriptsize \mid\; -3,2 \\[5pt] -0,6x^2 + 0,2x + 4,8 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; : (-0,6) \\[5pt] x^2 - \dfrac{1}{3}x - 8 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösungsformel} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze für $p = - \dfrac{1}{3} $ und $q= - 8 $ ein und berechne $x$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& - \dfrac{\color{#87c800}{\left(- \frac{1}{3}\right)}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{\left(- \frac{1}{3}\right)}}{2}\right)^2- (\color{#87c800}{- 8})} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{1}{6} \pm \sqrt{\dfrac{1}{36} + 8} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{1}{6} \pm \sqrt{\dfrac{289}{36}} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{1}{6} \pm \dfrac{17}{6}\\[5pt] x_1 &=& 3 \\[5pt] x_2 &=& -\dfrac{8}{3} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Gleichung aufstellen und lösen
Lilly überlegt sich zwei positive Zahlen, von denen eine um $\color{#787828}{3}$ größer als die andere ist. Die Summe der Quadrate der beiden Zahlen ist $\color{#287882}{117}$.
$\begin{array}[t]{rll} x\color{#87c800}{^2} \color{#fa7d19}{+} (\color{#787828}{x+3})\color{#87c800}{^2} &=& \color{#287882}{117} &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne} \\[5pt] x^2 + x^2 + 6x + 9 &=& 117 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 2x^2 + 6x + 9 &=& 117 &\quad \scriptsize \mid\; -117 \\[5pt] 2x^2 + 6x -108 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] x^2 + 3x -54 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösungsformel anwenden} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze für $p = 3$ und $q= -54$ ein und berechne $x$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& - \dfrac{\color{#87c800}{3}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{3}}{2}\right)^2- (\color{#87c800}{-54})} \\[5pt] x_{1,2}&=& - 1,5 \pm \sqrt{2,25 + 54} \\[5pt] x_{1,2}&=& -1,5 \pm \sqrt{56,25} \\[5pt] x_{1,2}&=& -1,5 \pm 7,5 \\[5pt] x_1 &=& 6 \\[5pt] x_2 &=& -9 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
Jonas merkt sich zwei positive Zahlen, von denen die zweite um $\color{#2D6EC8}{2}$ größer ist als die erste. Wenn er beide Zahlen um $\color{#db2416}{4}$ vergrößert, dann ergibt das Produkt der entstehenden Zahlen $\color{#967117}{63}$.
$\begin{array}[t]{rll} (x\color{#db2416}{+4}) \color{#87c800}{\cdot} (\color{#2D6EC8}{x + 2} \color{#db2416}{+ 4}) &=& \color{#967117}{63} &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne} \\[5pt] x^2 + 6x + 4x + 24 &=& 63 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] x^2 + 10x + 24 &=& 63 &\quad \scriptsize \mid\; -63 \\[5pt] x^2 + 10x - 39 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösungsformel anwenden} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze für $p = 10$ und $q= -39$ ein und berechne $x$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& - \dfrac{\color{#87c800}{10}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{10}}{2}\right)^2- (\color{#87c800}{-39})} \\[5pt] x_{1,2}&=& - 5 \pm \sqrt{25 + 39} \\[5pt] x_{1,2}&=& -5 \pm \sqrt{64} \\[5pt] x_{1,2}&=& -5 \pm 8\\[5pt] x_1 &=& 3 \\[5pt] x_2 &=& -13 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
Philipp überlegt sich einen Bruch, bei dem der Nenner um $\color{#db2416}{2}$ größer ist als der Zähler. Wenn er den Bruch und den Kehrwert des Bruches addiert, so erhält er das Ergebnis $\color{#967117}{2,5}$.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\color{#0096c8}{x}}{\color{#db2416}{x+2}} \color{#87c800}{+} \dfrac{\color{#db2416}{x+2}}{\color{#0096c8}{x}} &=& \color{#967117}{2,5} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (x+2) \\[5pt] \dfrac{x \cdot (x+2)}{x+2} + \dfrac{(x+2) \cdot (x+2)}{x} &=& 2,5x + 5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{vereinfache und kürze} \\[5pt] x + \dfrac{(x^2 + 4x + 4)}{x} &=& 2,5x + 5 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x \\[5pt] x^2 + \dfrac{(x^2 + 4x + 4) \cdot x}{x} &=& 2,5x^2 + 5x &\quad \scriptsize \mid\; \text{vereinfache und kürze} \\[5pt] 2x^2 + 4x + 4 &=& 2,5x^2 + 5x &\quad \scriptsize \mid\; -2,5x^2 \\[5pt] -0,5x^2 + 4x + 4 &=& 5x &\quad \scriptsize \mid\; -5x \\[5pt] -0,5x^2 - x + 4 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; : (-0,5) \\[5pt] x^2 + 2x - 8 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösungsformel anwenden} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze für $p = 2$ und $q= -8$ ein und berechne $x$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& - \dfrac{\color{#87c800}{2}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{2}}{2}\right)^2- (\color{#87c800}{-8})} \\[5pt] x_{1,2}&=& - 1 \pm \sqrt{1 + 8} \\[5pt] x_{1,2}&=& -1 \pm \sqrt{9} \\[5pt] x_{1,2}&=& -1 \pm 3\\[5pt] x_1 &=& 2 \\[5pt] x_2 &=& -4 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
#quadratischegleichung#bruchgleichung#pq-formel

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$  Seitenlänge berechnen
Du sollst die ursprüngliche Seitenlänge $x$ des Quadrates berechnen. Du weißt, dass eine Seite des Quadrates um $3 \; \text{cm}$ verkürzt wurde, also gilt $x-3$. Die neu entstandene Figur ist ein Rechteck und hat den Flächeninhalt $88 \; \text{cm}^2$. Um zu berechnen, wie lang die ursprüngliche Seitenlänge des Quadrates war, brauchst du die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Rechtecks. Sie lautet:
$A_{Rechteck} = a \cdot b$
$A_{Rechteck} = a \cdot b$
Eine Seite des Rechtecks ist $x \; \text{cm}$. Die andere Seite ist $x-3 \; \text{cm}$ lang. Setze diese Werte und den Flächeninhalt in die Formel ein und berechne $x$.
$\begin{array}[t]{rll} 88 &=& x \cdot (x-3) &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf} \\[5pt] 88 &=& x^2 - 3x &\quad \scriptsize \mid\; -88\\[5pt] 0&=& x^2 - 3x - 88 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösungsformel anwenden} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt $p = -3$ und $q= -88$ in die Lösungsformel ein und berechne $x$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{(\color{#87c800}{-3})}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(\color{#87c800}{-3})}{2}\right)^2-(\color{#87c800}{-88})} \\[5pt] x_{1,2}&=& 1,5 \pm \sqrt{2,25 + 88}&\quad \\[5pt] x_{1,2}&=& 1,5 \pm \sqrt{90,25}&\quad \\[5pt] x_{1,2}&=& 1,5 \pm 9,5 &\quad \\[5pt] x_1 &=& 11 &\quad \\[5pt] x_2 &=& - 8 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Für $x$ gibt es eine positive und eine negative Lösung. Allerdings ist nur die positive Lösung, also $11$ gültig, weil es keine negative Seitenlänge geben kann. Die ursprüngliche Seitenlänge des Quadrates betrug also $11 \; \text{cm}$.
#quadratischegleichung#pq-formel

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$  Seitenlängen berechnen
Du sollst die Seitenlängen $a$ und $b$ eines rechteckigen Grundstückes berechnen. Du weißt, dass der Flächeninhalt $601,25 \; \text{m}^2$ beträgt. Eine Seite $a$ des Grundstückes ist $a \; \text{m}$ lang. Seite $b$ ist $a + 14 \; \text{m}$ breit. Jetzt kannst du die Werte in die Formel, die du schon aus Aufgabe 3 kennst, einsetzen und nach $a$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} A_{Rechteck} &=& a \cdot b &\quad \\[5pt] 601,25 &=& a \cdot (a+14) &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf} \\[5pt] 601,25 &=& a^2 + 14a &\quad \scriptsize \mid\; - 601,25 \\[5pt] 0 &=& a^2 + 14a - 601,25 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösungsformel anwenden} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Jetzt kannst du $p = 14$ und $q = -601,25$ in die Lösungsformel einsetzen und nach $a$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} a_{1,2} &=& -\dfrac{\color{#87c800}{14}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{14}}{2}\right)^2- (\color{#87c800}{-601,25})} \\[5pt] a_{1,2} &=& - 7 \pm \sqrt{49 + 601,25} &\quad \\[5pt] a_{1,2} &=& - 7 \pm \sqrt{650,25} &\quad \\[5pt] a_{1,2} &=& - 7 \pm 25,5 &\quad \\[5pt] a_{1} &=& 18,5 &\quad \\[5pt] a_{2} &=& -32,5 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Für $a$ gibt es eine positive und eine negative Lösung. Es gilt allerdings nur die positive Lösung, da es keine negative Seitenlänge gibt. Die Seite $a$ des Grundstückes ist also $18,5 \; \text{m}$ lang. Die Seite $b$ ist $14 \; \text{m}$ größer als die Seite $a$, also addierst du die Seite $a$ mit $14$. Seite $b$ ist also $32,5 \; \text{m}$.
#pq-formel#quadratischegleichung

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$  Breite der Einfassung des Pools berechnen
Du sollst die Breite der Einfassung des Pools berechnen. Dafür hast du folgenden Ansatz und Skizze gegeben:
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Anwendung
Abb. 1: So kannst du berechnen, wie breit die Einfassung des Pools ist.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Anwendung
Abb. 1: So kannst du berechnen, wie breit die Einfassung des Pools ist.
$\begin{array}[t]{rll} 4x^2 + 2 \cdot (\color{#87c800}{14x} + \color{#87c800}{10,5x}) &=& 25,5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf} \\[5pt] 4x^2 + 28x + 21x &=& 25,5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 4x^2 + 49x &=& 25,5 &\quad \scriptsize \mid\; -25,5 \\[5pt] 4x^2 + 49x - 25,5 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; : 4\\[5pt] x^2 + 12,25x - 6,375 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösungsformel anwenden} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt $p=12,25$ und $q=-6,375$ in die Lösungsformel ein und berechne $x$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2} &=& -\dfrac{\color{#87c800}{12,25}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{12,25}}{2}\right)^2- (\color{#87c800}{-6,375})} \\[5pt] x_{1,2} &=& - 6,125 \pm \sqrt{37,515625 + 6,375} &\quad \\[5pt] x_{1,2} &=& - 6,125 \pm \sqrt{43,890625} &\quad \\[5pt] x_{1,2} &=& - 6,125 \pm 6,625 &\quad \\[5pt] x_1 &=& 0,5 &\quad \\[5pt] x_2 &=& -12,75 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Für $x$ gibt es ein positives und ein negatives Ergebnis. Da eine Seitenlänge allerdings nicht negativ sein kann, gilt $x = 0,5$. Die Einfassung ist also $0,5 \; \text{m}$ breit.
#quadratischegleichung#pq-formel

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$  Kantenlänge berechnen
Du sollst die ursprüngliche Kantenlänge eines Würfels berechnen. Du weißt, dass jede Kantenlänge $a$ um $12 \; \text{cm}$ verlängert wird. Dadurch wird die Oberfläche des Würfels verneunfacht. Dafür brauchst du die Formel für die Berechnung des Oberflächeninhalts eines Würfels. Sie lautet:
$O_{Würfel} = 6a^2$
$O_{Würfel} = 6a^2$
Du weißt, dass der Oberflächeninhalt des neuen Würfels verneunfacht wird. Außerdem weißt du, dass die Kantenlänge $a$ um $12 \; \text{cm}$ verlängert wird. Deswegen gilt:
$ 9 \cdot (6a^2) = 6 \cdot (a + 12)^2$
Jetzt kannst du die Gleichung nach $a$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} 9 \cdot (6a^2) &=& 6 \cdot (a + 12)^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf} \\[5pt] 54a^2 &=& 6 \cdot (a^2 + 24a + 144) &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf} \\[5pt] 54a^2 &=& 6a^2 + 144a + 864 &\quad \scriptsize \mid\; - 54a^2 \\[5pt] 0 &=& - 48a^2 + 144a + 864 &\quad \scriptsize \mid\; : (-48) \\[5pt] 0 &=& a^2 - 3a - 18 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösungsformel anwenden} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Jetzt setzt du $p= -3$ und $q= -18$ in die Lösungsformel ein und berechnest $a$.
$\begin{array}[t]{rll} a_{1,2} &=& -\dfrac{(\color{#87c800}{-3})}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(\color{#87c800}{-3})}{2}\right)^2- (\color{#87c800}{-18})} \\[5pt] a_{1,2} &=& 1,5 \pm \sqrt{2,25 +18} \\[5pt] a_{1,2} &=& 1,5 \pm \sqrt{20,25} \\[5pt] a_{1,2} &=& 1,5 \pm 4,5 \\[5pt] a_1 &=& 6 \\[5pt] a_2 &=& -3 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Für $a$ gibt es ein positives und ein negatives Ergebnis. Da eine Seitenlänge aber nicht negativ sein, gilt $a = 6$. Die ursprüngliche Seitenlänge des Würfels betrug also $6 \; \text{cm}$.
#pq-formel#quadratischegleichung

Aufgabe 7

$\blacktriangleright$  Radius berechnen
Du sollst den ursprünglichen Radius eines Kreises berechnen. Der neue Kreis hat einen Radius von $r+8$, da der ursprüngliche Radius um $8 \; \text{cm}$ vergrößert wurde. Der Flächeninhalt des neuen Kreises beträgt $1.256 \; \text{m}^2$. Für die Berechnung des ursprünglichen Radius benötigst du die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises. Diese lautet:
$A_{Kreis} = \pi \cdot r^2$
$A_{Kreis} = \pi \cdot r^2$
Jetzt kannst du den Wert für den Flächeninhalt in die Formel einsetzen. Zudem weißt du, dass der Radius $r+8 \; \text{cm}$ groß ist. Setze auch diesen Wert in die Formel ein und berechne $r$.
$\begin{array}[t]{rll} 1.256 &=& 3,14 \cdot (r+8)^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf}\\[5pt] 1.256 &=& 3,14 \cdot (r^2 + 16r + 64) &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf}\\[5pt] 1.256 &=& 3,14r^2 + 50,24r + 200,96 &\quad \scriptsize \mid\; -1.256 \\[5pt] 0 &=& 3,14r^2 + 50,24r - 1.055,04 &\quad \scriptsize \mid\; :3,14 \\[5pt] 0 &=& r^2 + 16r - 336 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösungsformel anwenden} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Jetzt kannst du $p= 16$ und $q=-336$ in die Lösungsformel einsetzen und nach $r$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} r_{1,2} &=& -\dfrac{\color{#87c800}{16}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#87c800}{16}}{2}\right)^2- (\color{#87c800}{-336})} \\[5pt] r_{1,2} &=& - 8 \pm \sqrt{64 + 336 }&\quad \\[5pt] r_{1,2} &=& - 8 \pm \sqrt{400 }&\quad \\[5pt] r_{1,2} &=& - 8 \pm 20 &\quad \\[5pt] r_1&=& 12 &\quad \\[5pt] r_2&=& -28 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Für $r$ gibt es eine negative und eine positive Lösung. Da der Radius keine negative Länge haben kann, gilt $ r= 12$. Der ursprüngliche Radius betrug also $12 \; \text{cm}$.
#pq-formel#quadratischegleichung
Bildnachweise [nach oben]
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