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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Erläutere das folgende Beispiel.
$\begin{array}[t]{rll} 2x^2 + 4 &=& 12 &\quad \scriptsize \mid\; ?\\[5pt] 2x^2 &=& 8 &\quad \scriptsize \mid\; ?\\[5pt] x^2 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; ?\\[5pt] x_1&=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; ?\\[5pt] x_2&=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; ?\\[5pt] 2 \cdot \color{#87c800}{2}^2 + 4 &=& 12 \\[5pt] 2 \cdot \color{#87c800}{-2}^2 + 4 &=& 12 \\[5pt] \end{array}$
b)
Viele quadratische Gleichungen können mithilfe binomischer Formeln gelöst werden. Erkläre den Rechenweg.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 14x + 49 &=& 81 &\quad \scriptsize \mid\; ? \\[5pt] \sqrt{x^2} + 14x + \sqrt{49} &=& 81 &\quad \scriptsize \mid\; ? \\[5pt] (x + 7)^2 &=& 81 &\quad \scriptsize \mid\; ? \\[5pt] x_1 + 7 &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; ? \\[5pt] x_2 + 7 &=& -9 &\quad \scriptsize \mid\; ? \\[5pt] x_1 &=& 2 &\quad \\[5pt] x_2 &=& -2 &\quad \\[5pt] \end{array}$
c)
Löse die folgende Gleichung nach den vorgegebenen Lösungsschritten:
  1. Isoliere die Potenz.
  2. Fasse gegebenenfalls zusammen.
  3. Ziehe die Wurzel.
  4. Berechne die Variable.
$ 3 \cdot ( x+4)^2 = 108$
#binomischeformeln#gleichung

Aufgabe 1

Löse die Gleichungen.
b)
$x^2 - 3 = 13$
d)
$4x^2 + 12 = 16$
f)
$1,5x^2 + 2,5 = 8,5$
h)
$ 1,5c^2 + 5,5 = 41,5 - 2,5x^2$
j)
$ 2x^2 + 1 = 0,5 \cdot (x^2 + 0,5)$
l)
$ -0,5x^2+ 0,75 = 1,5$
n)
$ -0,7x^2 -1,8 = -2,2x^2 - 0,3 $
#gleichung

Aufgabe 2

Löse die folgenden Gleichungen. Multipliziere dafür zuerst die Klammern aus.
b)
$(c - 0,2) \cdot (c+ 0,2) = 15,96$
d)
$(z + 4,8) \cdot (z-4,8) = -14,04$
f)
$(j + 2,2) \cdot (j -2,2) = 4,16$
#gleichung

Aufgabe 3

Berechne die Gleichungen. Orientiere dich dafür an Aufgabenteil c) der Einführungsaufgabe.
b)
$ 3 \cdot (a+3)^2 + 2 = 5$
d)
$ 14 \cdot (l - 2)^2 = 224$
f)
$ (1+n)^2 + 6 = 10 $
h)
$ -4 \cdot (r+ 2)^2 = -36 $
j)
$ 4 \cdot (5 +b)^2 + 6 = 42$
#gleichung

Aufgabe 4

Löse die quadratischen Gleichungen mithilfe der binomischen Formeln. Orientiere dich dabei an Aufgabenteil b) der Einführungsaufgabe.
b)
$ x^2 + 2x + 1 = 16$
d)
$ x^2 - 16x + 64 = 4$
f)
$ x^2 - 8x + 16 = 0$
h)
$ x^2 - 12x + 36 = 20,25$
#gleichung#binomischeformeln

Aufgabe 5

Löse die Gleichungen. Stelle sie dafür um und berechne mithilfe der binomischen Formeln.
b)
$ 2,25x^2 + 4 = 6x + 1$
d)
$ 9x^2 - 36x + 36 = 225$
#binomischeformeln#gleichung
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Rechenweg erklären
Zuerst wird die Variable $x$ isoliert. Du subtrahierst also $4$ und dividierst anschließend durch $2$. Jetzt ziehst du die Wurzel aus dem Ergebnis der rechten Seite $4$. Dadurch erhältst du zwei Lösungen. Einmal $-2$ und einmal $+2$, denn wenn du beides mit sich selbst multiplizierst erhältst das gleiche Ergebnis. Anschließend wurde noch die Probe durchgeführt, du setzt also $x_1$ und $x_2$ in die Ausgangsgleichung ein und überprüfst dein Ergebnis.
$\begin{array}[t]{rll} 2x^2 + 4 &=& 12 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] 2x^2 &=& \color{#87c800}{8} &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] x^2 &=& \color{#87c800}{4} &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_1&=& \color{#87c800}{2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung} 1\\[5pt] x_2&=& \color{#87c800}{-2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung} 2\\[5pt] 2 \cdot \color{#87c800}{2}^2 + 4 &=& 12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1\\[5pt] 12 &=& 12 &\quad \\[5pt] 2 \cdot \color{#87c800}{-2}^2 + 4 &=& 12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2\\[5pt] 12 &=& 12 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Rechenweg erklären
Zuerst musst du die Gleichung in die Form einer binomischen Formel bringen. Hierfür ziehst du die Wurzel aus dem letzen Teil der binomischen Formel. Jetzt weißt du, welche Terme in der Klammer für die binomische Formel stehen sollen. Ziehe jetzt die Wurzel aus beiden Seiten der Gleichung. Beachte, dass du zwei verschiedene Ergebnisse hast ($9$ und $-9$)! Danach kannst du nach $x$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 14x + 49 &=& 81 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{49} \; \sqrt{x^2} \\[5pt] \color{#87c800}{x} + 14x + \color{#87c800}{7} &=& 81 &\quad \scriptsize \mid\; \text{binomische Formel anwenden} \\[5pt] (x + 7)^2 &=& 81 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x_1 + 7 &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; -7 \\[5pt] x_2 + 7 &=& -9 &\quad \scriptsize \mid\; -7 \\[5pt] x_1 &=& 2 &\quad \\[5pt] x_2 &=& -16 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Du sollst die Gleichung nach den vorgegebenen vier Schritten lösen. Zuerst musst du die Potenz isolieren (Schritt 1). In diesem Fall dividierst du also durch $3$. Schritt 2 kannst du hier überspringen, da du nichts zusammenfassen kannst. Jetzt ziehst du die Wurzel (Schritt 3). Anschließend berechnest du die Variable, indem du $4$ subtrahierst (Schritt 4).
  1. Isoliere die Potenz.
  2. Fasse gegebenenfalls zusammen.
  3. Ziehe die Wurzel.
  4. Berechne die Variable.
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot (x+4)^2 &=& 108 &\quad \scriptsize \mid\; : 3\\[5pt] (x+4)^2 &=& 36 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] (x+4) &=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt] (x+4) &=& -6 &\quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt] x_1 &=& 2 &\quad \\[5pt] x_2 &=& -10 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 - 5 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; +5\\[5pt] x^2 &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_1&=& +3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für } x_1 \\[5pt] x_2&=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für } x_2\\[5pt] \color{#87c800}{(+3)}^2 - 5 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 4 &=& 4 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-3)}^2 - 5 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 4 &=& 4 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 - 3 &=& 13 &\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt] x^2 &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_1&=& +4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für } x_1 \\[5pt] x_2&=& -4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für } x_2\\[5pt] \color{#87c800}{(+4)}^2 - 3&=& 13 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 13 &=& 13 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-4)}^2 - 3 &=& 13 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 13 &=& 13 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 2x^2 -4 &=& 46 &\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] 2x^2 &=& 50 &\quad \scriptsize \mid\; : 2 \\[5pt] x^2 &=& 25 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_1&=& +5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für } x_1 \\[5pt] x_2&=& -5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für } x_2\\[5pt] 2 \cdot \color{#87c800}{(+5)}^2 - 4&=& 46 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 46 &=& 46 &\quad \\[5pt] 2 \cdot \color{#87c800}{(-5)}^2 - 4 &=& 46 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 46 &=& 46 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 4x^2 + 12 &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; -12 \\[5pt] 4x^2 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; : 4 \\[5pt] x^2 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_1&=& +1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für } x_1 \\[5pt] x_2&=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für } x_2\\[5pt] 4 \cdot \color{#87c800}{(+1)}^2 + 12 &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 16 &=& 16 &\quad \\[5pt] 4 \cdot \color{#87c800}{(-1)}^2 +12 &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 16 &=& 16 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 5x^2 +36 &=& 56 &\quad \scriptsize \mid\; -36 \\[5pt] 5x^2 &=& 20 &\quad \scriptsize \mid\; : 5 \\[5pt] x^2 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_1&=& +2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für } x_1 \\[5pt] x_2&=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für } x_2\\[5pt] 5 \cdot \color{#87c800}{(+2)}^2 + 36 &=& 56 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 56 &=& 56 &\quad \\[5pt] 5 \cdot \color{#87c800}{(-2)}^2 + 36 &=& 56 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 56 &=& 56 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 1,5x^2 + 2,5 &=& 8,5 &\quad \scriptsize \mid\; -2,5 \\[5pt] 1,5x^2 &=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; : 1,5 \\[5pt] x^2 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_1&=& +2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für } x_1 \\[5pt] x_2&=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für } x_2\\[5pt] 1,5 \cdot \color{#87c800}{(+2)}^2 + 2,5 &=& 8,5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 8,5 &=& 8,5 &\quad \\[5pt] 1,5 \cdot \color{#87c800}{(-2)}^2 + 2,5 &=& 8,5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 8,5 &=& 8,5 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
g)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 20x^2 + 2,4 &=& 3,4 - 5x^2 &\quad \scriptsize \mid\; -2,4 \\[5pt] 20x^2 &=& 1 - 5x^2 &\quad \scriptsize \mid\; +5x^2 \\[5pt] 25x^2 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :25 \\[5pt] x^2 &=& 0,04 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_1&=& +0,2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für } x_1 \\[5pt] x_2&=& -0,2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für } x_2\\[5pt] 20 \cdot \color{#87c800}{(+0,2)}^2 + 2,4 &=& 3,4 - 5 \cdot \color{#87c800}{(0,2)}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 3,2 &=& 3,2 &\quad \\[5pt] 20 \cdot \color{#87c800}{(-0,2)}^2 + 2,4 &=& 3,4 - 5 \cdot \color{#87c800}{(-0,2)}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 3,2 &=& 3,2 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
h)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 20x^2 + 2,4 &=& 3,4 - 5x^2 &\quad \scriptsize \mid\; -2,4 \\[5pt] 20x^2 &=& 1 - 5x^2 &\quad \scriptsize \mid\; +5x^2 \\[5pt] 25x^2 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :25 \\[5pt] x^2 &=& 0,04 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_1&=& +0,2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für } x_1 \\[5pt] x_2&=& -0,2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für } x_2\\[5pt] 20 \cdot \color{#87c800}{(+0,2)}^2 + 2,4 &=& 3,4 - 5 \cdot \color{#87c800}{(0,2)}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 3,2 &=& 3,2 &\quad \\[5pt] 20 \cdot \color{#87c800}{(-0,2)}^2 + 2,4 &=& 3,4 - 5 \cdot \color{#87c800}{(-0,2)}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 3,2 &=& 3,2 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
i)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 4x^2 - 8 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; +8 \\[5pt] 4x^2 &=& 9&\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] x^2 &=& 2,25 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x_1&=& +1,5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für } x_1 \\[5pt] x_2&=& -1,5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für } x_2\\[5pt] 4 \cdot (\color{#87c800}{+1,5})^2 - 8 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 1 &=& 1 &\quad \\[5pt] 4 \cdot (\color{#87c800}{-1,5})^2 - 8 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 1 &=& 1 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
j)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 2x^2 + 1 &=& 0,5 \cdot (x^2 + 0,5) &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf} \\[5pt] 2x^2 + 1 &=& 0,5x^2 + 0,25 &\quad \scriptsize \mid\; -0,5x^2\\[5pt] 1,5x^2 + 1 &=& 0,25 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] 1,5x^2 &=& -0,75 &\quad \scriptsize \mid\; :1,5 \\[5pt] x^2 &=& -0,5 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x^2 &<& 0 \Rightarrow \text{keine Lösung} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
k)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 32,5x^2 + 3,6 &=& 4 \cdot (x^2 + 0,9) &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf} \\[5pt] 32,5x^2 + 3,6 &=& 4x^2 + 3,6 &\quad \scriptsize \mid\; -4x^2 \\[5pt] 28,5x^2 + 3,6 &=& 3,6 &\quad \scriptsize \mid\; -3,6 \\[5pt] 28,5x^2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :28,5 \\[5pt] x^2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x &=& 0 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
l)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} -0,5x^2+ 0,75 &=& 1,5 &\quad \scriptsize \mid\; -0,75 \\[5pt] -0,5x^2 &=& 0,75 &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,5) \\[5pt] x^2 &=& -1,5 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x^2 &<& 0 \Rightarrow \text{keine Lösung} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
m)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} (3 +x^2) \cdot 4 &=& 2,5 \cdot (x^2 + 7,2) &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf} \\[5pt] 12 + 4x^2 &=& 2,5x^2 + 18 &\quad \scriptsize \mid\; -2,5x^2 \\[5pt] 12 + 1,5x^2 &=& 18 &\quad \scriptsize \mid\; -12 \\[5pt] 1,5x^2 &=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; :1,5 \\[5pt] x^2 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x_1&=& +2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für } x_1 \\[5pt] x_2&=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für } x_2 \\[5pt] (3 +\color{#87c800}{+2}^2) \cdot 4 &=& 2,5 \cdot (\color{#87c800}{+2}^2 + 7,2) &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 28 &=& 28 &\quad \\[5pt] (3 +\color{#87c800}{-2}^2) \cdot 4 &=& 2,5 \cdot (\color{#87c800}{-2}^2 + 7,2) &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 28 &=& 28 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
n)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} -0,7x^2 - 1,8 &=& -2,2x^2 - 0,3 &\quad \scriptsize \mid\; +2,2x^2 \\[5pt] 1,5x^2 - 1,8 &=& -0,3 &\quad \scriptsize \mid\; +1,8 \\[5pt] 1,5x^2 &=& 1,5 &\quad \scriptsize \mid\; :1,5 \\[5pt] x^2 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x_1&=& +1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für } x_1 \\[5pt] x_2&=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für } x_2 \\[5pt] -0,7 \cdot (\color{#87c800}{+1})^2 - 1,8 &=& -2,2 \cdot (\color{#87c800}{+1})^2 - 0,3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] -2,5 &=& -2,5 &\quad \\[5pt] -0,7 \cdot (\color{#87c800}{-1})^2 - 1,8 &=& -2,2 \cdot (\color{#87c800}{-1})^2 - 0,3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] -2,5 &=& -2,5 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} (x+2) \cdot (x-2) &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne}\\[5pt] x^2 - 4 &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; +4\\[5pt] x^2 &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] x_1 &=& +3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1 \\[5pt] x_2 &=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2\\[5pt] (\color{#87c800}{3}+2) \cdot (\color{#87c800}{3}-2) &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] 5&=& 5 &\quad\\[5pt] (\color{#87c800}{-3}+2) \cdot (\color{#87c800}{-3}-2) &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2 \\[5pt] 5&=& 5 &\quad\\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} (c - 0,2) \cdot (c+ 0,2) &=& 15,96 &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne}\\[5pt] c^2 - 0,04 &=& 15,96 &\quad \scriptsize \mid\; +0,04 \\[5pt] c^2 &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] c_1 &=& +4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1 \\[5pt] c_2 &=& -4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2\\[5pt] (\color{#87c800}{4}-0,2) \cdot (\color{#87c800}{4}+0,2) &=& 15,96 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] 15,96 &=& 15,96 &\quad\\[5pt] (\color{#87c800}{-4}-0,2) \cdot (\color{#87c800}{-4}+ 0,2) &=& 15,96 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2 \\[5pt] 5&=& 5 &\quad\\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} (1,5+y) \cdot (1,5 - y) &=& -10 &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne}\\[5pt] 2,25 - y^2 &=& -10 &\quad \scriptsize \mid\; -2,25 \\[5pt] -y^2 &=& -12,25 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] y^2 &=& 12,25 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] y_1 &=& +3,5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1 \\[5pt] y_2 &=& -3,5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2\\[5pt] (1,5+\color{#87c800}{3,5}) \cdot (1,5 - \color{#87c800}{3,5}) &=& -10 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] -10 &=& -10 &\quad\\[5pt] (1,5+\color{#87c800}{(-3,5)}) \cdot (1,5 - \color{#87c800}{(-3,5)}) &=& -10 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2 \\[5pt] -10 &=& -10 &\quad\\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} (z + 4,8) \cdot (z-4,8) &=& -14,04 &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne}\\[5pt] z^2 - 23,04 &=& -14,04 &\quad \scriptsize \mid\; +23,04 \\[5pt] z^2 &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] z_1 &=& +3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1 \\[5pt] z_2 &=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2\\[5pt] (\color{#87c800}{3} + 4,8) \cdot (\color{#87c800}{3}-4,8) &=& -14,04 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] -14,04 &=& -14,04 &\quad\\[5pt] (\color{#87c800}{-3} + 4,8) \cdot (\color{#87c800}{-3}-4,8) &=& -14,04 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2 \\[5pt] -14,04 &=& -14,04 &\quad\\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} (6,7 - m) \cdot (6,7 + m) &=& 34,65 &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne}\\[5pt] 44,89 - m^2 &=& 34,65 &\quad \scriptsize \mid\; - 44,89 \\[5pt] -m^2 &=& -10,24 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] m^2 &=& 10,24 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] m_1 &=& +3,2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1 \\[5pt] m_2 &=& -3,2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2\\[5pt] (6,7 - \color{#87c800}{3,2}) \cdot (6,7 + \color{#87c800}{3,2}) &=& 34,65 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] 34,65 &=& 34,65 &\quad\\[5pt] (6,7 - \color{#87c800}{-3,2}) \cdot (6,7 + \color{#87c800}{-3,2}) &=& 34,65 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] 34,65 &=& 34,65 &\quad\\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} (j + 2,2) \cdot (j -2,2) &=& 4,16 &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne}\\[5pt] j^2 - 4,84 &=& 4,16 &\quad \scriptsize \mid\; + 4,84 \\[5pt] j^2 &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] j_1 &=& +3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1 \\[5pt] j_2 &=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2\\[5pt] (\color{#87c800}{3} + 2,2) \cdot (\color{#87c800}{3} -2,2) &=& 4,16 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] 4,16 &=& 4,16 &\quad\\[5pt] (\color{#87c800}{-3} + 2,2) \cdot (\color{#87c800}{-3} -2,2) &=& 4,16 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1 \\[5pt] 4,16 &=& 4,16 &\quad\\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 0,2 \cdot (x + 4)^2 &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; :0,2 \\[5pt] (x + 4)^2 &=& 25 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] x_1+4 &=& +5 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] x_2+4 &=& -5 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] x_1 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für Lösung } 1 \\[5pt] x_2 &=& -9 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für Lösung } 2 \\[5pt] 0,2 \cdot (\color{#87c800}{1} + 4)^2 &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 5 &=& 5 &\quad \\[5pt] 0,2 \cdot (\color{#87c800}{-9} + 4)^2 &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 5 &=& 5 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot (a+3)^2 + 2 &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] 3 \cdot (a+3)^2 &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] (a+3)^2 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] a_1+3 &=& + 1 &\quad \scriptsize \mid\; -3 \\[5pt] a_2+3 &=& - 1 &\quad \scriptsize \mid\; -3 \\[5pt] a_1 &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für Lösung } 1 \\[5pt] a_2 &=& -4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für Lösung } 2 \\[5pt] 3 \cdot (\color{#87c800}{-2}+3)^2 + 2 &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 5 &=& 5 &\quad \\[5pt] 3 \cdot (\color{#87c800}{-4}+3)^2 + 2 &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 5 &=& 5 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} (t + 0,1)^2 + 4 &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] (t + 0,1)^2 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] t_1 + 0,1 &=& + 1 &\quad \scriptsize \mid\; -0,1 \\[5pt] t_2 + 0,1 &=& - 1 &\quad \scriptsize \mid\; -0,1 \\[5pt] t_1 &=& 0,9 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für Lösung } 1 \\[5pt] t_2 &=& -1,1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für Lösung } 2 \\[5pt] (\color{#87c800}{0,9} + 0,1)^2 + 4 &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 5 &=& 5 &\quad \\[5pt] (\color{#87c800}{-1,1} + 0,1)^2 + 4 &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 5 &=& 5 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 14 \cdot (l - 2)^2 &=& 224 &\quad \scriptsize \mid\; :14 \\[5pt] (l - 2)^2 &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] l_1 - 2 &=& + 4 &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] l_2 - 2 &=& - 4 &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] l_1 &=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für Lösung } 1 \\[5pt] l_2 &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für Lösung } 2 \\[5pt] 14 \cdot (\color{#87c800}{6} - 2)^2 &=& 224 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 224 &=& 224 &\quad \\[5pt] 14 \cdot (\color{#87c800}{-2} - 2)^2 &=& 224 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 224 &=& 224 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} (2,4 - 2p)^2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] 2,4 - 2p &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -2,4 \\[5pt] -2p &=& -2,4 &\quad \scriptsize \mid\; :(-2) \\[5pt] p &=& 1,2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen} \\[5pt] (2,4 - 2 \cdot \color{#87c800}{1,2})^2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 0 &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} (1+n)^2 + 6 &=& 10 &\quad \scriptsize \mid\; -6 \\[5pt] (1+n)^2 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] 1+n_1 &=& + 2 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] 1+n_2 &=& - 2 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] n_1 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für Lösung } 1 \\[5pt] n_2 &=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für Lösung } 2 \\[5pt] (1+\color{#87c800}{1})^2 + 6 &=& 10 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 10 &=& 10 &\quad \\[5pt] (1+\color{#87c800}{(-1)})^2 + 6 &=& 10 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 10 &=& 10 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
g)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 0,3 \cdot (24 - q)^2 &=& 120 &\quad \scriptsize \mid\; :0,3 \\[5pt] (24 - q)^2 &=& 400 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] 24 - q_1 &=& +20 &\quad \scriptsize \mid\; -24 \\[5pt] - q_1 &=& - 4 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] q_1 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für Lösung } 1 \\[5pt] 24 - q_2 &=& - 20 &\quad \scriptsize \mid\; -24 \\[5pt] - q_2 &=& - 44 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] q_2 &=& 44 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für Lösung } 2 \\[5pt] 0,3 \cdot (24 - \color{#87c800}{4})^2 &=& 120 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 120 &=& 120 &\quad \\[5pt] 0,3 \cdot (24 - \color{#87c800}{(-44)})^2 &=& 120 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 120 &=& 120 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
h)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} -4 \cdot (r+ 2)^2 &=& -36 &\quad \scriptsize \mid\; : (-4)\\[5pt] (r+ 2)^2 &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] r_1 + 2 &=& +3 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] r_2 + 2 &=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] r_1 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für Lösung } 1 \\[5pt] r_2 &=& -5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für Lösung } 2 \\[5pt] -4 \cdot (\color{#87c800}{1}+ 2)^2 &=& -36 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] -36 &=& -36&\quad \\[5pt] -4 \cdot (\color{#87c800}{1}+ 2)^2 &=& -36 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] -36 &=& -36&\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
i)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 7 + 3 \cdot (f+2)^2 &=& 115 &\quad \scriptsize \mid\; -7 \\[5pt] 3 \cdot (f+2)^2 &=& 108 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] (f+2)^2 &=& 36 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] f_1+2 &=& +6 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] f_2+2 &=& -6 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] f_1 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für Lösung } 1 \\[5pt] f_2 &=& -8 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für Lösung } 2 \\[5pt] 7 + 3 \cdot (\color{#87c800}{4}+2)^2 &=& 115 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 115 &=& 115&\quad \\[5pt] 7 + 3 \cdot (\color{#87c800}{-8}+2)^2 &=& 115 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 115 &=& 115&\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
j)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 4 \cdot (5 +b)^2 + 6 &=& 42 &\quad \scriptsize \mid\; -14 \\[5pt] 4 \cdot (5 +b)^2 &=& 36 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] (5 +b)^2 &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] 5 +b_1 &=& +3 &\quad \scriptsize \mid\; -5 \\[5pt] 5 +b_2 &=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; -5 \\[5pt] b_1 &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für Lösung } 1 \\[5pt] b_2 &=& -8 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe durchführen für Lösung } 2 \\[5pt] 4 \cdot (5 + (\color{#87c800}{-2}))^2 + 6 &=& 42 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 42 &=& 42 &\quad \\[5pt] 4 \cdot (5 + (\color{#87c800}{-8}))^2 + 6 &=& 42 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] 42 &=& 42 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Du weißt, dass die folgende Gleichung eine binomische Formel enthält. Es ist die erste binomische Formel, da du zwei Pluszeichen auf der linken Seite der Gleichung vorfindest.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 4x + 4 &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{x^2} \; \sqrt{4} \\[5pt] \color{#87c800}{x} + 4x + \color{#87c800}{2} &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \text{binomische Formel anwenden} \\[5pt] (x + 2)^2 &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x_1 + 2 &=& + 4 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] x_2 + 2 &=& - 4 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] x_1 &=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung} 1\\[5pt] x_2 &=& - 6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung} 2 \\[5pt] \color{#87c800}{2}^2 + 4 \cdot \color{#87c800}{2} + 4 &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung} 1 \\[5pt] 16 &=& 16 \\[5pt] \color{#87c800}{(-6)}^2 + 4 \cdot \color{#87c800}{(-6)} + 4 &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung} 2 \\[5pt] 16 &=& 16 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Du weißt, dass die folgende Gleichung eine binomische Formel enthält. Es ist die erste binomische Formel, da du zwei Pluszeichen auf der linken Seite der Gleichung vorfindest.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 2x + 1 &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{x^2} \; \sqrt{1} \\[5pt] \color{#87c800}{x} + 2x + \color{#87c800}{1} &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \text{binomische Formel anwenden} \\[5pt] (x + 1)^2 &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x_1 + 1 &=& + 4 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] x_2 + 1 &=& - 4 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] x_1 &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung} 1\\[5pt] x_2 &=& - 5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung} 2 \\[5pt] \color{#87c800}{3}^2 + 2 \cdot \color{#87c800}{3} + 1 &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung} 1 \\[5pt] 16 &=& 16 \\[5pt] \color{#87c800}{(-5)}^2 + 2 \cdot \color{#87c800}{(-5)} + 1 &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung} 2 \\[5pt] 16 &=& 16 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Du weißt, dass die folgende Gleichung eine binomische Formel enthält. Es ist die zweite binomische Formel, da du ein Pluszeichen und ein Minuszeichen auf der linken Seite der Gleichung vorfindest.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 - 6x + 9 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{x^2} \; \sqrt{9} \\[5pt] \color{#87c800}{x} -6x + \color{#87c800}{3} &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \text{binomische Formel anwenden} \\[5pt] (x - 3)^2 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x_1 -3 &=& + 1 &\quad \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt] x_2 -3 &=& - 1 &\quad \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt] x_1 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung} 1\\[5pt] x_2 &=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung} 2 \\[5pt] \color{#87c800}{4}^2 - 6 \cdot \color{#87c800}{4} + 9 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung} 1 \\[5pt] 1 &=& 1 \\[5pt] \color{#87c800}{2}^2 - 6 \cdot \color{#87c800}{2} + 9 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung} 2 \\[5pt] 1 &=& 1 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Du weißt, dass die folgende Gleichung eine binomische Formel enthält. Es ist die zweite binomische Formel, da du ein Pluszeichen und ein Minuszeichen auf der linken Seite der Gleichung vorfindest.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 - 16x + 64 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{x^2} \; \sqrt{64} \\[5pt] \color{#87c800}{x} -16x + \color{#87c800}{8} &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{binomische Formel anwenden} \\[5pt] (x - 8)^2 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x_1 -8 &=& + 2 &\quad \scriptsize \mid\; +8 \\[5pt] x_2 -8 &=& - 2 &\quad \scriptsize \mid\; +8 \\[5pt] x_1 &=& 10 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung} 1\\[5pt] x_2 &=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung} 2 \\[5pt] \color{#87c800}{10}^2 - 16 \cdot \color{#87c800}{10} + 64 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung} 1 \\[5pt] 4 &=& 4 \\[5pt] \color{#87c800}{6}^2 - 16 \cdot \color{#87c800}{6} + 64 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung} 2 \\[5pt] 4 &=& 4 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Du weißt, dass die folgende Gleichung eine binomische Formel enthält. Es ist die erste binomische Formel, da du zwei Pluszeichen auf der linken Seite der Gleichung vorfindest.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + x + 0,25 &=& 2,25 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{x^2} \; \sqrt{0,25} \\[5pt] \color{#87c800}{x} +x + \color{#87c800}{0,5} &=& 2,25 &\quad \scriptsize \mid\; \text{binomische Formel anwenden} \\[5pt] (x + 0,5)^2 &=& 2,25 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x_1 +0,5 &=& + 1,5 &\quad \scriptsize \mid\; -0,5 \\[5pt] x_2 +0,5 &=& - 1,5 &\quad \scriptsize \mid\; -0,5 \\[5pt] x_1 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung} 1\\[5pt] x_2 &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung} 2 \\[5pt] \color{#87c800}{1}^2 + \cdot \color{#87c800}{1} + 0,25 &=& 2,25 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung} 1 \\[5pt] 2,25 &=& 2,25 \\[5pt] \color{#87c800}{(-2)}^2 + \color{#87c800}{(-2)} + 0,25 &=& 2,25 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung} 2 \\[5pt] 2,25 &=& 2,25 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Du weißt, dass die folgende Gleichung eine binomische Formel enthält. Es ist die zweite binomische Formel, da du ein Pluszeichen und ein Minuszeichen auf der linken Seite der Gleichung vorfindest.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 - 8x + 16 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{x^2} \; \sqrt{16} \\[5pt] \color{#87c800}{x} - 8x + \color{#87c800}{4} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{binomische Formel anwenden} \\[5pt] (x - 4)^2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x - 4 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; + 4 \\[5pt] x &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung} \\[5pt] \color{#87c800}{4}^2 - 8 \cdot \color{#87c800}{4} + 16 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung} \\[5pt] 0 &=& 0 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
g)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Du weißt, dass die folgende Gleichung eine binomische Formel enthält. Es ist die zweite binomische Formel, da du ein Pluszeichen und ein Minuszeichen auf der linken Seite der Gleichung vorfindest.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 - 14x + 49 &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{x^2} \; \sqrt{49} \\[5pt] \color{#87c800}{x} - 14x + \color{#87c800}{7} &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; \text{binomische Formel anwenden} \\[5pt] (x - 7)^2 &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x_1 - 7 &=& + 3 &\quad \scriptsize \mid\; + 7 \\[5pt] x_2 - 7 &=& - 3 &\quad \scriptsize \mid\; + 7 \\[5pt] x_1 &=& 10 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1 \\[5pt] x_2 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2 \\[5pt] \color{#87c800}{10}^2 - 14 \cdot \color{#87c800}{10} + 49 &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung} 1 \\[5pt] 9 &=& 9 \\[5pt] \color{#87c800}{4}^2 - 14 \cdot \color{#87c800}{4} + 49 &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung} 2 \\[5pt] 9 &=& 9 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
h)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Du weißt, dass die folgende Gleichung eine binomische Formel enthält. Es ist die zweite binomische Formel, da du ein Pluszeichen und ein Minuszeichen auf der linken Seite der Gleichung vorfindest.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 - 12x + 36 &=& 20,25 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{x^2} \; \sqrt{36} \\[5pt] \color{#87c800}{x} - 12x + \color{#87c800}{6} &=& 20,25 &\quad \scriptsize \mid\; \text{binomische Formel anwenden} \\[5pt] (x - 6)^2 &=& 20,25 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x_1 - 6 &=& + 4,5 &\quad \scriptsize \mid\; + 6 \\[5pt] x_2 - 6 &=& - 4,5 &\quad \scriptsize \mid\; + 6 \\[5pt] x_1 &=& 10,5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1 \\[5pt] x_2 &=& 1,5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2 \\[5pt] \color{#87c800}{10,5}^2 - 12 \cdot \color{#87c800}{10,5} + 36 &=& 20,25 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung} 1 \\[5pt] 20,25 &=& 20,25 \\[5pt] \color{#87c800}{1,5}^2 - 12 \cdot \color{#87c800}{1,5} + 36 &=& 20,25 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung} 2 \\[5pt] 20,25 &=& 20,25 \end{array}$
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 5

Bei den folgenden Aufgaben musst du zuerst die Gleichungen umstellen, so dass du die binomischen Formeln anwenden kannst.
a)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 4x^2 + 12x &=& - 9 +25 &\quad \scriptsize \mid\; +9\\[5pt] 4x^2 + 12x + 9 &=& 25 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{4x^2} \; \sqrt{9}\\[5pt] (2x + 3)^2 &=& 25 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] 2x_1+3 &=& + 5 &\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] 2x_2+3 &=& - 5 &\quad \scriptsize \mid\; -3 \\[5pt] 2x_1 &=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] 2x_2 &=& -8 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] 2x_1 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1\\[5pt] 2x_2 &=& -4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2\\[5pt] 4 \cdot \color{#87c800}{1}^2 + 12 \cdot \color{#87c800}{1} &=& - 9 +25 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1\\[5pt] 16 &=& 16 &\quad \\[5pt] 4 \cdot \color{#87c800}{(-4)}^2 + 12 \cdot \color{#87c800}{(-4)} &=& - 9 +25 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2\\[5pt] 16 &=& 16 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 2,25x^2 + 4 &=& 6x + 1 &\quad \scriptsize \mid\; -6x \\[5pt] 2,25x^2 - 6x + 4 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{2,25x^2} \; \sqrt{4}\\[5pt] (1,5x - 2)^2 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] 1,5x_1-2 &=& + 1 &\quad \scriptsize \mid\; +2\\[5pt] 1,5x_2-2 &=& - 1 &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] 1,5x_1 &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; :1,5 \\[5pt] 1,5x_2 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :1,5 \\[5pt] x_1 &=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1\\[5pt] x_2 &=& \dfrac{2}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2\\[5pt] 2,25 \cdot \color{#87c800}{2}^2 + 4 &=& 6 \cdot \color{#87c800}{2} + 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1\\[5pt] 5 &=& 5 &\quad \\[5pt] 2,25 \cdot \color{#87c800}{\left(\dfrac{2}{3}\right)}^2 + 4 &=& 6 \cdot \color{#87c800}{\dfrac{2}{3}} + 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2\\[5pt] 5 &=& 5 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} x^2 - 9 -4x &=& -4 &\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] x^2 - 9 - 4x + 4 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +9 \\[5pt] x^2 - 4x + 4 &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{x^2} \; \sqrt{4}\\[5pt] (x - 2)^2 &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_1-2 &=& + 3 &\quad \scriptsize \mid\; +2\\[5pt] x_2-2 &=& - 3 &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] x_1 &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1\\[5pt] x_2 &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2 \\[5pt] \color{#87c800}{5}^2 - 9 - 4 \cdot \color{#87c800}{5} &=& -4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1\\[5pt] -4 &=& -4 &\quad \\[5pt] \color{#87c800}{(-1)}^2 - 9 - 4 \cdot \color{#87c800}{(-1)} &=& -4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2\\[5pt] -4 &=& -4 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} -225 - 36x + 36 &=& -9x^2 &\quad \scriptsize \mid\; +225 \\[5pt] - 36x + 36 &=& -9x^2 + 225 &\quad \scriptsize \mid\; +9x^2 \\[5pt] 9x^2 - 36x + 36&=& 225 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{9x^2} \; \sqrt{36}\\[5pt] (3x - 6)^2 &=& 225 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] 3x_1-6 &=& + 15 &\quad \scriptsize \mid\; +6\\[5pt] 3x_2-6 &=& - 15 &\quad \scriptsize \mid\; +6 \\[5pt] 3x_1-6 &=& 21 &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] 3x_2-6 &=& - 9 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] x_1 &=& 7 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 1\\[5pt] x_2 &=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Lösung } 2 \\[5pt] -225 - 36 \cdot \color{#87c800}{7} + 36 &=& -9 \cdot \color{#87c800}{7}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 1\\[5pt] -441 &=& -441 &\quad \\[5pt] -225 - 36 \cdot \color{#87c800}{(-3)} + 36 &=& -9 \cdot \color{#87c800}{(-3)}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Probe für Lösung } 2\\[5pt] -441 &=& -441 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
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