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Zeichnerisch Lösen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Forme die Funktionsgleichung $y=x^2+2x-3$ in die Scheitelpunktform um.
b)
Lies die Koordinaten des Scheitelpunktes aus der Scheitelpunktform ab.
c)
Die Schnittstellen der zugehörigen Parabel mit der $x$-Achse sind die Lösungen der Gleichung $y=x^2+2x-3=0$. Lies die Schnittstellen der Parabel mit der $x$-Achse im Schaubild ab.
d)
Zeichne die Normalparabel $p_1$ mit dem Scheitelpunkt $\,(1\mid 2)$.
Wie viele Schnittstellen mit der $x$-Achse besitzt sie?
e)
Zeichne die Normalparabel $p_2$ mit dem Scheitelpunkt $\,(1\mid 0)$.
Wie viele Schnittstellen mit der $x$-Achse besitzt sie?
f)
Zeichne die Normalparabel $p_1$ mit dem Scheitelpunkt $\,(-1\mid -2)$.
Wie viele Schnittstellen mit der $x$-Achse besitzt sie?
#scheitelpunktform#parabel#scheitelpunkt#nullstelle

Aufgabe 1

Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 1: Parabeln
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 1: Parabeln
a)
Lies die Schnittstellen der Parabeln mit der $x$-Achse ab.
b)
Die folgenden quadratischen Gleichungen werden jeweils durch zwei Zahlen gelöst. Da man die quadratischen Gleichungen als Parabel interpretieren kann, sind deren Schnittstellen mit der $x$-Achse die Lösungen.
Zu welchen Gleichungen sind die Schnittstellen der Parabeln mit der $x$-Achse die Lösung?
A: $\quad x^2-2x=0$
B: $\quad x^2-3x=0$
C: $\quad x^2+2x-3=0$
#parabel#nullstelle

Aufgabe 2

Erläutere, warum die Funktion keine, eine oder zwei Nullstellen hat!
b)
$y=x^2-1 \longrightarrow $ zwei Nullstellen
d)
$y=x^2 \longrightarrow $ eine Nullstelle
f)
$y=x^2-4 \longrightarrow $ zwei Nullstellen
h)
$y=-x^2+4 \longrightarrow $ zwei Nullstellen
#parabel#nullstelle

Aufgabe 3

Bringe die Funktionsterme in Scheitelpunktform und löse dann zeichnerisch.
b)
$x^2+8x+16=0$
d)
$x^2+5x+4=0$
f)
$x^2-8x+17=0$
#parabel#scheitelpunktform#nullstelle

Aufgabe 4

Lies die Schnittstellen der Parabeln mit der $x$-Achse ab.
a)
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 2: Quadratische Funktion
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 2: Quadratische Funktion
b)
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 3: Quadratische Funktion
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 3: Quadratische Funktion
c)
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 4: Quadratische Funktion
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 4: Quadratische Funktion
#nullstelle

Aufgabe 5

Bestimme die Lösung durch zeichnen der Normalparabel und ablesen der Schnittstellen mit der $x$-Achse.
b)
$(x-2)^2=0$
d)
$(x+0)^2-1=0$
#scheitelpunkt#scheitelpunktform#parabel#nullstelle

Aufgabe 6

Stelle eine Gleichung auf und Löse sie zeichnerisch.
a)
Addiert man zum Quadrat einer Zahl die Zahl selbst, so erhält man $0$.
b)
Subtrahiert man eine Zahl vom Quadrat der Zahl, so erhält man sechs.
c)
Multipliziert man das Quadrat einer Zahl mit $1$ und addiert man das dreifache der Zahl dazu, so erhält man $4$.
d)
Subtrahiert man das Siebenfache einer Zahl vom Quadrat dieser Zahl und addiert $6$, so erhält man Null.
#parabel#nullstelle

Aufgabe 7

Forme die Gleichung um und löse sie zeichnerisch.
b)
$x-x^2=x$
d)
$5x^2+7,5x=-10$
f)
$2x^2-4x+2=0$
#parabel

Aufgabe 8

a)
Löse die Gleichung $x^2+x-2=0$ zeichnerisch, indem du die Schnittstellen der Parabel mit der $x$-Achse abliest.
b)
Löse die Gleichung auf dem angegebenen Weg.
$x^2+x-2=0\quad$ Forme die Gleichung um
$x^2=-x+2\quad$ Fasse jede Seite der Gleichung als Funktion auf
Zeichne die Normalparabel $x^2$ und die Gerade $-x+2$ und bestimme die Schnittpunkte.
$x^2+x-2=0\quad$ Forme die Gleichung um
$x^2=-x+2\quad$ Fasse jede Seite der Gleichung als Funktion auf
Zeichne die Normalparabel $x^2$ und die Gerade $-x+2$ und bestimme die Schnittpunkte.
c)
Was haben die beiden Lösungsverfahren gemeinsam, was unterscheidet sie?
#geradengleichung#parabel#quadratischefunktion
Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform aufstellen
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+2x-3 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\; \\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 1-3 &\quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\; \\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 1+ 1^2-1^2 -3 & \\[5pt] y&=& (x^2+2\cdot x \cdot 1+ 1^2)-4 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x+1)^2-4 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x+1)^2-4 $
Die Scheitelpunktform lautet: $y=(x+1)^2-4$.
b)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkt ablesen
Aus der Scheitelpunktform kannst du jetzt die Koordinaten des Scheitelpunkts ablesen. Die Scheitelpunktform lautet nach Aufgabenteil a): $y=(x+1)^2-4$
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=-1$
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=-4$
Die Koordinaten des Scheitelpunkts sind: $S(-1\mid -4)$.
c)
$\blacktriangleright$  Parabel zeichnen
Um die Parabel zu zeichnen suchst du den Scheitelpunkt der Parabel im Koordinatensystem. An diesen legst du deine Parabelschablone an und zeichnest die Parabel.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 1: Parabel
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 1: Parabel
$\blacktriangleright$  Nullstellen ablesen
Die Nullstellen der Funktion sind die Stellen, an denen die Parabel die $x$-Achse schneidet.
$x_1=1$
$x_2=-3$
Die Lösungen der quadratischen Gleichung lauten damit: $x=1$ und $x=-3$.
d)
$\blacktriangleright$  Parabel zeichnen
Zeichne den Scheitelpunkt $S\,(1 \mid 2)$ in das Koordinatensystem ein. Lege deine Parabelschablone an diesen an und zeichne die Parabel ein.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 2: parabel $p_1$
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 2: parabel $p_1$
Die Parabel schneidet die $x$-Achse an keinem Punkt. Deshalb hat diese Parabel keine Schnittstellen mit der $x$-Achse.
e)
$\blacktriangleright$  Parabel zeichnen
Zeichne den Scheitelpunkt $S\,(1 \mid 0)$ in das Koordinatensystem ein. Lege deine Parabelschablone an diesen an und zeichne die Parabel ein.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 3: Parabel $p_2$
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 3: Parabel $p_2$
Die Parabel mit dem Scheitelpunkt $S\,(1\mid 0)$ schneidet die $x$-Achse in einem Punkt. Die Parabel hat einen Schnittpunkt mit der $x$-Achse.
f)
$\blacktriangleright$  Parabel zeichnen
Zeichne den Scheitelpunkt $S\,(-1 \mid -2)$ in das Koordinatensystem ein. Lege deine Parabelschablone an diesen an und zeichne die Parabel ein.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 4: Parabel $p_3$
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 4: Parabel $p_3$
Die Parabel mit dem Scheitelpunkt $S\,(-1\mid -2)$ schneidet die $x$-Achse in zwei Punkten.
#nullstelle#scheitelpunktform#scheitelpunkt#parabel

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Nullstellen ablesen
Die Parabel $a$ schneidet die $x$-Achse an den Stellen $x_1=1$ und $x_2=-3$
Die Parabel $b$ schneidet die $x$-Achse an den Stellen $x_1=2$ und $x_2=0$
Die Parabel $c$ schneidet die $x$-Achse an den Stellen $x_1=3$ und $x_2=0$
b)
$\blacktriangleright$  Parabeln zuordnen
Um die Parabeln zuordnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen. Dann kannst du den Scheitelpunkt bestimmen und ihn einer Parabel aus dem Schaubild zuordnen.
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform A aufstellen
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-2x &\quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\; \\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 1 &\quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\; \\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 1+ 1^2-1^2 & \\[5pt] y&=& (x^2-2\cdot x \cdot 1+ 1^2)-1 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x-1)^2-1 &\\[5pt] \end{array}$
$ y= (x-1)^2-1 $
Die Scheitelpunktform lautet: $y=(x-1)^2-1$.
Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(1\mid -1)$.
$\blacktriangleright$  Parabel zu A zuordnen
Die Parabel $b$ aus dem Schaubild hat den Scheitelpunkt $S(1\mid -1)$. Damit lösen die Nullstellen der Parabel $b$ die Gleichung $x^2-2x=0$.
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform B aufstellen
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-3x & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 1,5 &\quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\; \\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 1,5+ (1,5)^2-(1,5)^2 & \\[5pt] y&=& (x^2-2\cdot x \cdot 1,5+ 1,5^2)-2,25 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x-1,5)^2-2,25 &\\[5pt] \end{array}$
$ y= (x-1,5)^2-2,25 $
Die Scheitelpunktform lautet: $y=(x-1,5)^2-2,25$.
Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(1,5\mid -2,25)$.
$\blacktriangleright$  Parabel zu B zuordnen
Die Parabel $c$ aus dem Schaubild hat den Scheitelpunkt $S(1,5\mid -2,25)$. Damit lösen die Nullstellen der Parabel $c$ die Gleichung $x^2-2x=0$.
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform C aufstellen
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+2x-3 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 1-3 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 1+ 1^2-1^2 -3& \\[5pt] y&=& (x^2+2\cdot x \cdot 1+ 1^2)-4 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x+1)^2-4 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x+1)^2-4 $
Die Scheitelpunktform lautet: $y=(x+1)^2-4$.
Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(-1\mid -4)$.
$\blacktriangleright$  Parabel zu C zuordnen
Die Parabel $a$ aus dem Schaubild hat den Scheitelpunkt $S(-1\mid -4)$. Damit lösen die Nullstellen der Parabel $a$ die Gleichung $x^2-2x=0$.
#scheitelpunkt#scheitelpunktform#quadratischeergänzung

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Nullstellenanzahl begründen
Bei der Funktionsgleichung $y=x^2+1$ handelt es sich um die Funktionsgleichung einer normalparabel, deren Scheitel um $1\,\text{LE}$ nach oben verschoben ist. Deshalb kann sie keinen Schnittpunkt mit der $x$-Achse haben.
b)
$\blacktriangleright$  Nullstellenanzahl begründen
Bei der Funktion $y=x^2-1$ handelt es sich um die Funktionsgleichung einer Normalparabel, deren Scheitel um $1\,\text{LE}$ nach unten verschoben ist. Deshalb schneidet sie die $x$-Achse an zwei Stellen.
c)
$\blacktriangleright$  Nullstellenanzahl begründen
Die Parabelgleichung liegt bereits in Scheitelpunktform vor. Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(3\mid 0)$. Da der Scheitelpunkt auf der $x$-Achse liegt berührt die Parabel die $x$-Achse nur an dieser Stelle und sonst nirgends. Die Funktion hat eine Nullstelle bei $x=3$.
d)
$\blacktriangleright$  Nullstellenanzahl begründen
Bei der Funktion $y=x^2$ handelt es sich um die Funktionsgleichung einer Normalparabel, deren Scheitelpunkt $S(0\mid 0)$ ist. Damit hat die Parabel genau eine Nullstelle.
e)
$\blacktriangleright$  Nullstellenanzahl begründen
Die Parabelgleichung liegt bereits in Scheitelpunktform vor. Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(-1,5\mid 0)$. Da der Scheitelpunkt auf der $x$-Achse liegt berührt die Parabel die $x$-Achse nur an dieser Stelle und sonst nirgends. Die Parabel hat eine Nullstelle bei $x=-1,5$.
f)
$\blacktriangleright$  Nullstellenanzahl begründen
Bei der Funktion $y=x^2-4$ handelt es sich um die Funktionsgleichung einer Normalparabel, deren Scheitel um $4\,\text{LE}$ nach unten verschoben ist. Deshalb schneidet sie die $x$-Achse an zwei Stellen.
g)
$\blacktriangleright$  Nullstellenanzahl begründen
Die Parabelgleichung liegt bereits in Scheitelpunktform vor. Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(0\mid 2)$. Da der Scheitelpunkt über der $x$-Achse liegt hat die Funktion keine Nullstelle.
h)
$\blacktriangleright$  Nullstellenanzahl begründen
Die Parabel ist nach unten geöffnet und um $4\,\text{LE}$ nach oben verschoben. Sie hat damit zwei Nullstellen.
#nullstelle#quadratischefunktion

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform aufstellen
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-6x+5 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 3+5 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 3+ 3^2-3^2 +5 & \\[5pt] y&=& (x^2-2\cdot x \cdot 3+ 3^2)-4 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x-3)^2-4 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x-3)^2-4 $
Die Scheitelpunktform lautet: $y=(x-3)^2-4$.
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=3$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=-4$.
Der Scheitelpunkt hat damit die Koordinaten $S(3\mid -4)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch Lösen
Zeichne eine Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(3\mid -4)$.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 5: Parabel a)
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 5: Parabel a)
Die Nullstellen der Parabel und damit die Lösungen der Gleichung lauten $x_1=1$ und $x_2=5$.
b)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform aufstellen
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+8x+16 &\quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\; \\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 4+16 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\; \\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 4+ 4^2-4^2 +16 & \\[5pt] y&=& (x^2+2\cdot x \cdot 4+ 4^2) & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\;\\[5pt] y&=& (x+4)^2 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x+4)^2 $
Die Scheitelpunktform lautet: $y=(x+4)^2$.
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=-4$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=0$.
Der Scheitelpunkt hat damit die Koordinaten $S(-4\mid 0)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch Lösen
Zeichne eine Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(-4\mid 0)$.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 6: Parabel b)
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 6: Parabel b)
Die Nullstelle der Parabel und damit die Lösung der Gleichung lautet $x=-4$.
c)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform aufstellen
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-6x+10 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\; \\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 3+10 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\; \\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 3+ 3^2-3^2 +10 & \\[5pt] y&=& (x^2-2\cdot x \cdot 3+ 3^2)+1 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x-3)^2+1 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x-3)^2+1 $
Die Scheitelpunktform lautet: $y=(x-3)^2+1$.
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=3$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=1$.
Der Scheitelpunkt hat damit die Koordinaten $S(3\mid 1)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch Lösen
Zeichne eine Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(3\mid 1)$.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 7: Parabel c)
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 7: Parabel c)
Die Parabel hat keine Nullstellen. Die Gleichung hat somit keine Lösung.
d)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform aufstellen
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+5x+4 &\quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\; \\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 2,5+4 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\; \\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 2,5+ (2,5)^2-(2,5)^2 +4 & \\[5pt] y&=& (x^2+2\cdot x \cdot 2,5+ 2,5^2)-6,25+4 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x+2,5)^2-2,25 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x+2,5)^2-2,25 $
Die Scheitelpunktform lautet: $y=(x+2,5)^2-2,25$.
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=-2,5$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=-2,25$.
Der Scheitelpunkt hat damit die Koordinaten $S(-2,5\mid -2,25)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch Lösen
Zeichne eine Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(-2,5\mid -2,25)$.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 8: Parabel d)
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 8: Parabel d)
Die Nullstellen der Parabel und damit die Lösungen der Gleichung lautet $x=-4$ und $x=-1$.
e)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform aufstellen
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-3x & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\; \\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 1,5 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\; \\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 1,5+ 1,5^2-1,5^2 & \\[5pt] y&=& (x^2-2\cdot x \cdot 1,5+ 1,5^2)-2,25 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x-1,5)^2-2,25 &\\[5pt] \end{array}$
$ y= (x-1,5)^2-2,25 $
Die Scheitelpunktform lautet: $y=(x-1,5)^2-2,25$.
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=1,5$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=-2,25$.
Der Scheitelpunkt hat damit die Koordinaten $S(1,5\mid -2,25)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch Lösen
Zeichne eine Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(1,5\mid -2,25)$.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 9: Parabel e)
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 9: Parabel e)
Die Nullstellen der Parabel und damit die Lösungen der Gleichung lautet $x_1=0$ und $x_2=3$.
f)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform aufstellen
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-8x+17 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\; \\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 4+17 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\; \\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 4+ 4^2-4^2+17 &\\[5pt] y&=& (x^2-2\cdot x \cdot 4+ 4^2)+1 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x-4)^2+1 & \\[5pt] \end{array}$
$y= (x-4)^2+1 $
Die Scheitelpunktform lautet: $y=(x-4)^2+1$.
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=4$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=1$.
Der Scheitelpunkt hat damit die Koordinaten $S(4\mid 1)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch Lösen
Zeichne eine Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(4\mid 1)$.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 10: Parabel f)
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 10: Parabel f)
Die Parabel hat keine Nullstelle, damit hat die Gleichung keine Lösung.
#quadratischeergänzung#scheitelpunktform#scheitelpunkt#nullstelle

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Nullstellen ablesen
Die Nullstellen sind die Stellen, an denen der Funktionsgraph die $x$-Achse schneidet. Der Graph $a$ schneidet die $x$-Achse an der Stelle $x=0$ und $x=2$. Die $y$-Koordinate brauchst du nicht angeben, da der $y$-Wert immer Null ist.
b)
$\blacktriangleright$  Nullstellen ablesen
Die Nullstellen sind die Stellen, an denen der Funktionsgraph die $x$-Achse schneidet. Der Graph $b$ schneidet die $x$-Achse an der Stelle $x=1$. Die $y$-Koordinate brauchst du nicht angeben, da der $y$-Wert immer Null ist.
c)
$\blacktriangleright$  Nullstellen ablesen
Die Nullstellen sind die Stellen, an denen der Funktionsgraph die $x$-Achse schneidet. Der Graph $c$ schneidet die $x$-Achse an der Stelle $x=-2$ und $x=1$. Die $y$-Koordinate brauchst du nicht angeben, da der $y$-Wert immer Null ist.
#nullstelle

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Parabel zeichnen
Die Funktionsgleichung liegt bereits in Scheitelpunktform vor. Du kannst den Scheitelpunkt ablesen, er lautet: $S(2\mid 2)$. Jetzt kannst du die Parabel zeichnen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 11: Parabel a
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 11: Parabel a
$\blacktriangleright$  Nullstellen ablesen
Die Parabel hat keine Nullstellen. Die Gleichung hat somit keine Lösung.
b)
$\blacktriangleright$  Parabel zeichnen
Die Funktionsgleichung liegt bereits in Scheitelpunktform vor. Du kannst den Scheitelpunkt ablesen, er lautet: $S(2\mid 0)$. Jetzt kannst du die Parabel zeichnen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 12: Parabel b
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 12: Parabel b
$\blacktriangleright$  Nullstellen ablesen
Die Parabel hat eine Nullstelle. Die Gleichung hat somit die Lösung $x=2$.
c)
$\blacktriangleright$  Parabel zeichnen
Die Funktionsgleichung liegt bereits in Scheitelpunktform vor. Du kannst den Scheitelpunkt ablesen, er lautet: $S(-3\mid -4)$. Jetzt kannst du die Parabel zeichnen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 13: Parabel c
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 13: Parabel c
$\blacktriangleright$  Nullstellen ablesen
Die Parabel hat zwei Nullstellen. Die Gleichung hat somit die Lösungen $x=-5$ und $x=-1$.
d)
$\blacktriangleright$  Parabel zeichnen
Die Funktionsgleichung liegt bereits in Scheitelpunktform vor. Du kannst den Scheitelpunkt ablesen, er lautet: $S(0\mid -1)$. Jetzt kannst du die Parabel zeichnen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 14: Parabel d
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 14: Parabel d
$\blacktriangleright$  Nullstellen ablesen
Die Parabel hat zwei Nullstellen. Die Gleichung hat somit die Lösungen $x=1$ und $x=-1$.
#scheitelpunktform#nullstelle#parabel

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$  Gleichung aufstellen
Du sollst den Satz "Addiert man zum Quadrat einer Zahl die Zahl selbst, so erhält man $0$." in eine Gleichung umwandeln. Die "Zahl", von der im Satz die Rede ist, kannst du als $x$ bezeichnen.
"Addiert man zu $x^2$ die Zahl $x$, so erhält man $0$".
Die Gleichung lautet dann:
$\begin{array}[t]{rll} x^2+x&=& 0 & \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform aufstellen
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+x &\quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\; \\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 0,5 &\quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\; \\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 0,5+ 0,5^2-0,5^2 & \\[5pt] y&=& (x^2+2\cdot x \cdot 0,5+ 0,5^2)-0,25 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x+0,5)^2-0,25 &\\[5pt] \end{array}$
$ y= (x+0,5)^2-0,25 $
Die Scheitelpunktform lautet: $y=(x+0,5)^2-0,25$.
Der Scheitelpunkt hat damit die Koordinaten $S(-0,5\mid -0,25)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch Lösen
Zeichne eine Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(-0,5\mid -0,25)$.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 15: Parabel
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 15: Parabel
Die Nullstellen der Parabel und damit die Lösungen der Gleichung lauten $x_1=-1$ und $x_2=0$.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung aufstellen
Du sollst den Satz "Subtrahiert man eine Zahl vom Quadrat der Zahl, so erhält man sechs." in eine Gleichung umwandeln. Die "Zahl", von der im Satz die Rede ist, kannst du als $x$ bezeichnen.
"Subrahiert man $x$ von $x^2$, so erhält man $6$".
Die Gleichung lautet dann:
$\begin{array}[t]{rll} x^2-x&=& 6 & \quad \scriptsize \mid -6\;\\[5pt] x^2-x-6&=& 0 & \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform aufstellen
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-x-6 &\quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\; \\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 0,5 -6&\quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\; \\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 0,5+ 0,5^2-0,5^2-6 & \\[5pt] y&=& (x^2-2\cdot x \cdot 0,5+ 0,5^2)-6,25 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x-0,5)^2-6,25 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x-0,5)^2-6,25 $
Die Scheitelpunktform lautet: $y=(x-0,5)^2-6,25$.
Der Scheitelpunkt hat damit die Koordinaten $S(0,5\mid -6,25)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch Lösen
Zeichne eine Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(0,5\mid -6,25)$.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 16: Parabel
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 16: Parabel
Die Nullstellen der Parabel und damit die Lösungen der Gleichung lauten $x_1=3$ und $x_2=-2$.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung aufstellen
Du sollst den Satz "Multipliziert man das Quadrat einer Zahl mit $1$ und addiert man das dreifache der Zahl dazu, so erhält man $4$" in eine Gleichung umwandeln. Die "Zahl", von der im Satz die Rede ist, kannst du als $x$ bezeichnen.
"$1 \cdot x^2 $ addiert zu $3\cdot x$ ergibt $4$".
Die Gleichung lautet dann:
$\begin{array}[t]{rll} 1x^2+3x&=& 4 & \quad \scriptsize \mid -4\;\\[5pt] x^2+3x-4&=& 0 & \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform aufstellen
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+3x-4 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 1,5 -4& \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 1,5+ 1,5^2-1,5^2-4 & \\[5pt] y&=& (x^2+2\cdot x \cdot 1,5+ 1,5^2)-6,25 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x+1,5)^2-6,25 & \\[5pt] \end{array}$
$y= (x+1,5)^2-6,25$
Die Scheitelpunktform lautet: $y=(x+1,5)^2-6,25$.
Der Scheitelpunkt hat damit die Koordinaten $S(-1,5\mid -6,25)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch Lösen
Zeichne eine Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(-1,5\mid -6,25)$.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 17: Parabel
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 17: Parabel
Die Nullstellen der Parabel und damit die Lösungen der Gleichung lauten $x_1=1$ und $x_2=-4$.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung aufstellen
Du sollst den Satz "Subtrahiert man das Siebenfache einer Zahl vom Quadrat dieser Zahl und addiert $6$, so erhält man Null." in eine Gleichung umwandeln. Die "Zahl", von der im Satz die Rede ist, kannst du als $x$ bezeichnen.
"Subrahiert man $7\cdot x$ von $x^2$ und addiert $6$, so erhält man Null".
Die Gleichung lautet dann:
$\begin{array}[t]{rll} x^2-7x+6&=& 0 & \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform aufstellen
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-7x+6 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 3,5 +6& \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 3,5+ 3,5^2-3,5^2+6 & \\[5pt] y&=& (x^2-2\cdot x \cdot 3,5+ 3,5^2)-6,25 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x-3,5)^2-6,25 & \\[5pt] \end{array}$
$y= (x-3,5)^2-6,25 $
Die Scheitelpunktform lautet: $y=(x-3,5)^2-6,25$.
Der Scheitelpunkt hat damit die Koordinaten $S(3,5\mid -6,25)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch Lösen
Zeichne eine Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(3,5\mid -6,25)$.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 18: Parabel
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 18: Parabel
Die Nullstellen der Parabel und damit die Lösungen der Gleichung lauten $x_1=1$ und $x_2=6$.
#nullstelle#parabel#scheitelpunkt#scheitelpunktform

Aufgabe 7

a)
$\blacktriangleright$  Gleichung umstellen
$\begin{array}[t]{rll} x^2+2 &=& 3x &\quad \scriptsize \mid\; -3x \\[5pt] x^2-3x+2 &=& 0 &\ \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform aufstellen
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-3x+2 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 1,5+2 &\quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\; \\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 1,5+ 1,5^-1,5^2 +2 & \\[5pt] y&=& (x^2-2\cdot x \cdot 1,5+ 1,5^2)-2,25+2 &\quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x-1,5)^2-0,25 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x-1,5)^2-0,25 $
Die Scheitelpunktform lautet: $y=(x-1,5)^2-0,25$.
Der Scheitelpunkt hat damit die Koordinaten $S(1,5\mid -0,25)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch Lösen
Zeichne eine Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(1,5\mid -0,25)$.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 16: Parabel
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 16: Parabel
Die Nullstellen der Parabel und damit die Lösungen der Gleichung lauten $x_1=1$ und $x_2=2$.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung umstellen
$\begin{array}[t]{rll} x-x^2 &=& x &\quad \scriptsize \mid\; -x \\[5pt] x^2 &=& 0 &\ \\[5pt] \end{array}$
hier handelt es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel. Sie hat den Scheitelpunkt $S(0\mid 0)$.
Damit ist der einzige Schnittpunkt mit der $x$-Achse der Ursprung des Koordinatensystems. Du musst die Funktion nicht mehr zeichnen.
Die Nullstelle der Parabel und damit die Lösung der Gleichung lautet $x=0$.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung umstellen
$\begin{array}[t]{rll} x^2+x &=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] x^2+x-2 &=& 0 &\ \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform aufstellen
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+x-2 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 0,5-2 &\quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\; \\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 0,5+ 0,5^-0,5^2 -2 & \\[5pt] y&=& (x^2+2\cdot x \cdot 0,5+ 0,5^2)-2,25 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x+0,5)^2-2,25 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x+0,5)^2-2,25 $
Die Scheitelpunktform lautet: $y=(x+0,5)^2-2,25$.
Der Scheitelpunkt hat damit die Koordinaten $S(-0,5\mid -2,25)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch Lösen
Zeichne eine Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(-0,5\mid -2,25)$.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 17: Parabel
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 17: Parabel
Die Nullstellen der Parabel und damit die Lösungen der Gleichung lauten $x_1=1$ und $x_2=-2$.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung umstellen
$\begin{array}[t]{rll} 5x^2+7,5x&=& -10 &\quad \scriptsize \mid\; +10 \\[5pt] 5x^2+7,5x+10 &=& 0 &\ \\[5pt] \end{array}$
$ 5x^2+7,5x+10 = 0 $
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform aufstellen
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 5x^2+7,5x+10 & \quad \scriptsize \mid \text{Vorfaktor ausklammern}\;\\[5pt] y&=& 5(x^2+1,5x)+10 &\quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\; \\[5pt] y&=& 5(x^2+2\cdot x \cdot 0,75)+10 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& 5(x^2+2\cdot x \cdot 0,75+ 0,75^2-0,75^2) +10 & \\[5pt] y&=& 5(x^2+2\cdot x \cdot 0,75+ 0,75^2)-5\cdot 0,75^2+10 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& 5(x+0,75)^2-5\cdot 0,5625+10 & \\[5pt] y&=& 5(x+0,75)^2-2,8125+10 & \\[5pt] y&=& 5(x+0,75)^2+7,1875 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= 5(x+0,75)^2+7,1875 $
Die Scheitelpunktform lautet: $y= 5(x+0,75)^2+7,1875$.
Der Scheitelpunkt hat damit die Koordinaten $S(-0,75\mid +7,1875)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch Lösen
Die Parabel ist nach oben geöffnet und hat ihren Scheitelpunkt oberhalb der $x$-Achse. Sie schneidet die $x$-Achse somit an keiner Stelle. Damit hat die Gleichung keine Lösung.
e)
$\blacktriangleright$  Gleichung umstellen
$\begin{array}[t]{rll} 5x^2+10+15x &=& -5-2x &\quad \scriptsize \mid\; +5\; \mid\; +2x \\[5pt] 5x^2+15+17x &=& 0 &\ \\[5pt] \end{array}$
$ 5x^2+15+17x = 0 $
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform aufstellen
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 5x^2+17x+15 &\quad \scriptsize \mid \text{Vorfaktor ausklammern}\; \\[5pt] y&=& 5(x^2+3,4x)+15 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& 5(x^2+2\cdot x \cdot 1,7)+15 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& 5(x^2+2\cdot x \cdot 1,7+ 1,7^2-1,7^2) +15 & \\[5pt] y&=& 5(x^2+2\cdot x \cdot 1,7+ 1,7^2)-5\cdot 1,7^2+15 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& 5(x+1,7)^2+0,55 &\\[5pt] \end{array}$
$ y= 5(x+1,7)^2+0,55 $
Die Scheitelpunktform lautet: $y=5(x+1,7)^2+0,55$.
Der Scheitelpunkt hat damit die Koordinaten $S(-1,7\mid 0,55)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch Lösen
Diese Parabel ist nach oben geöffnet und hat den Scheitelpunkt oberhalb der $x$-Achse bei $x=0,55$. Sie schneidet die $x$-Achse somit an keiner Stelle.
Da die Parabel keine Nullstellen hat, besitzt die Gleichung keine Lösung.
f)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform aufstellen
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 2x^2-4x+2 & \quad \scriptsize \mid \text{Vorfaktor ausklammern}\;\\[5pt] y&=& 2(x^2-2x)+2 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& 2(x^2-2\cdot x \cdot 1)+2 &\quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\; \\[5pt] y&=& 2(x^2-2\cdot x \cdot 1+ 1^2-1^2) +2 & \\[5pt] y&=& 2(x^2-2\cdot x \cdot 1+ 1^2)-2\cdot 1+2 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& 2(x-1)^2 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= 2(x-1)^2 $
Die Scheitelpunktform lautet: $y=2(x-1)^2$.
Der Scheitelpunkt hat damit die Koordinaten $S(1\mid 0)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch Lösen
Die Parabel hat ihren Scheitelpunkt auf der $x$-Achse und schneidet sie damit nur an dieser Stelle.
Die Nullstelle der Parabel und damit die Lösung der Gleichung lautet $x=1$.
#nullstelle#scheitelpunktform#scheitelpunkt#quadratischeergänzung

Aufgabe 8

a)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunktform aufstellen
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+x-2 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 0,5-2 &\quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\; \\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 0,5+ 0,5^-0,5^2 -2 & \\[5pt] y&=& (x^2+2\cdot x \cdot 0,5+ 0,5^2)-2,25 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x+0,5)^2-2,25 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x+0,5)^2-2,25 $
Die Scheitelpunktform lautet: $y=(x+0,5)^2-2,25$.
Der Scheitelpunkt hat damit die Koordinaten $S(-0,5\mid -2,25)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch Lösen
Zeichne eine Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(-0,5\mid -2,25)$.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 18: Parabel
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 18: Parabel
Die Nullstellen der Parabel und damit die Lösungen der Gleichung lauten $x_1=1$ und $x_2=-2$.
b)
$\blacktriangleright$  Gerade und Parabel zeichnen
Zeichne eine Normalparabel und die Gerade in ein gemeinsames Koordinatensystem.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 19: Parabel und Gerade
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Zeichnerisch Lösen
Abb. 19: Parabel und Gerade
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Die Schnittpunkte der Parabel und der Geraden haben die $x$-Koordinaten $x_1=-2$ und $x_2=1$. Du erhältst also das gleiche Ergebnis wie mit der Methode aus Aufgabenteil a).
c)
$\blacktriangleright$  Methoden vergleichen
Bei beiden Verfahren suchst du nach dem Schnittpunkt der Parabel mit einer Geraden, wobei die Gerade im ersten Fall die $x$-Achse ist.
Nachteil der ersten Methode ist, dass du immer die Scheitelpunktform aufstellen musst, was manchmal nicht leicht ist. Vorteil ist jedoch das du keine Gerade zeichnen musst.
#schnittpunkt#geradengleichung#scheitelpunkt
Bildnachweis [nach oben]
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