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Schnittpunkte von Funktionen berechnen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 1: Parabel und Gerade
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 1: Parabel und Gerade
a)
Lies die Koordinaten der Schnittpunkte aus dem Koordinatensystem ab.
Tipp
Schnittpunkte haben beim gleichen $x$-Wert den gleichen $y$-Wert.
Tipp
Schnittpunkte haben beim gleichen $x-Wert$ den gleichen $y-Wert$.
b)
Setze die beiden Funktionsterme gleich und bestimme die beiden Schnittpunkte rechnerisch.
#schnittpunkt#geradengleichung#parabel

Aufgabe 1

Bestimme die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden rechnerisch und überprüfe dein Ergebnis zeichnerisch.
b)
$y=x^2+2x-4$ und $y=-4$
d)
$y=x^2-6x+4$ und $y=-x$
f)
$y=x^2+8x+15$ und $y=3$
#parabel#quadratischefunktion#schnittpunkt

Aufgabe 2

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Parabeln rechnerisch und überprüfe dein Ergebnis zeichnerisch.
b)
$y=x^2-4x+5$ und $y=x^2-8x+17$
d)
$y=x^2-6x+10$ und $y=x^2-4x+6$
f)
$y=x^2$ und $y=-x^2$
#schnittpunkt#quadratischefunktion#parabel

Aufgabe 3

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Funktionen rechnerisch und überprüfe dein Ergebnis zeichnerisch.
b)
$y=x^2+2x-3$ und $y=-(x-1)^2+6$
d)
$y=x^2+2x+4$ und $y=-x^2-2x+10$
f)
$y=x^2+1$ und $y=-x^2$
#quadratischefunktion#schnittpunkt#parabel

Aufgabe 4

Die Punkte $A(0\mid 2,25)$ und $B(4\mid -1,75)$ liegen auf einer Normalparabel $p_1$, die nach oben geöffnet ist. Eine zweite Parabel $p_2$ hat den Scheitelpunkt $S(2\mid -5,5)$, sie ist ebenfalls nach oben geöffnet.
a)
Gib die Funktionsgleichung von Parabel $p_2$ in Normalform an
b)
Bestimme die Funktionsgleichung von Parabel $p_1$ rechnerisch.
c)
Bestimme den Scheitelpunkt $S_1$ von $p_1$.
d)
Bestimme rechnerisch den Schnittpunkt der beiden Parabeln.
e)
Zeichne die beiden Parabeln in ein Koordinatensystem und markiere den Schnittpunkt.
#parabel#scheitelpunkt#scheitelpunktform
Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte ablesen
Die Parabel und die Gerade schneiden sich am Punkt $T_1(1\mid 1)$ und am Punkt $T_2(-2\mid 4)$. An diesen Punkten haben die beiden Graphen beim gleichen $x$-Wert den gleichen $y$-Wert.
b)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte berechnen
Wenn du die beiden Funktionsterme gleichsetzt erhältst du eine quadratische Gleichung. Diese kannst du mit der pq-Formel lösen.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 &=& 2-x &\quad \scriptsize \mid\; -2\;\mid +x \\[5pt] x^2+x-2 &=& 0& \\[5pt] x_{1,2} &=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] x_{1,2} &=& -\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+2} \\[5pt] x_{1,2} &=& -\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{1}{4}+2} \\[5pt] x_{1,2} &=& -\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{2,25} \\[5pt] x_{1,2} &=& -0,5 \pm 1,5 \\[5pt] x_{1} &=& 1 \\[5pt] x_{2} &=& -2 \\[5pt] \end{array}$
$x_1=1 \quad x_2=-2 $
Die beiden Schnittpunkte haben die $x$-Koordinaten $x_1=1$ und $x_2=-2$.
Schnittpunkt $T_1$ bestimmen:
Jetzt kannst du die $x$-Werte der Schnittpunkte in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um den $y$-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2 & \quad \scriptsize \mid\; x=1 \\[5pt] y&=& 1^2 & \\[5pt] y&=& 1 & \\[5pt] \end{array}$
Der Schnittpunkt $T_1$ hat somit die Koordinaten $T_1(1\mid 1)$.
Schnittpunkt $T_2$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2 & \quad \scriptsize \mid\; x=-2 \\[5pt] y&=& (-2)^2 & \\[5pt] y&=& 4 & \\[5pt] \end{array}$
Der Schnittpunkt $T_2$ hat somit die Koordinaten $T_2(-2\mid 4)$.
#parabel#schnittpunkt

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Setze zuerst die beiden Funktionsterme gleich und bestimme die $x$-Koordinaten der Schnnittpunkte. Dann setzt du die $x$-Koordinaten in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und bestimmst den zugehörigen $y$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} x^2+2x-3 &=& -x-3 &\quad \scriptsize \mid\; +x \; +3 \\[5pt] x^2+3x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\text{ausklammern} \\[5pt] x(x+3) &=& 0 & \\[5pt] \end{array}$
$ x(x+3) = 0 $
Der Term $x(x+3)$ wird Null, wenn entweder die Klammer Null wird oder der Faktor $x$ davor. Somit wird der Term für $x=0$ oder für $x=-3$ Null.
Die beiden Graphen schneiden sich bei $x_1=0$ und bei $x_2=-3$.
Jetzt kannst du die beiden $x$-Werte in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um den zugehörenden $y$-Wert zu berechnen.
Schnittpunkt $T_1$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x-3 &\quad \scriptsize \mid \; x=0 \\[5pt] y&=& -0-3 & \\[5pt] y&=& -3 & \\[5pt] \end{array}$
Der Schnittpunkt $T_1$ hat somit die Koordinaten $T_1(0\mid -3)$.
Schnittpunkt $T_2$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x-3 &\quad \scriptsize \mid \; x=-3 \\[5pt] y&=& -(-3)-3 & \\[5pt] y&=& 3-3 & \\[5pt] y&=& 0 & \\[5pt] \end{array}$
$ y=0 $
Der Schnittpunkt $T_2$ hat somit die Koordinaten $T_2(-3\mid 0)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch überprüfen
1. Schritt: Scheitelpunktform aufstellen
Um die Parabel zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+2x-3 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 1-3 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 1+ 1^2-1^2 -3 & \\[5pt] y&=& (x^2+2\cdot x \cdot 1+ 1^2)-4 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x+1)^2-4 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x+1)^2-4 $
2. Schritt: Scheitelpunkt bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=-1$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=-4$.
Der Scheitelpunkt hat somit die Koordinaten $S(-1\mid -4)$.
3. Schritt: Schnittpunkte zeichnerisch bestimmen
Jetzt kannst du die Parabel mithilfe des Scheitelpunktes und die Gerade mithilfe der Steigung und dem Achsenabschnitt zeichnen. Dann kannst du die Koordinaten der Schnittpunkte ablesen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 1: Parabel und Gerade
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 1: Parabel und Gerade
Die Gerade und die Parabel schneiden sich an den Punkten $T_1$ und $T_2$. Diese haben die Koordinaten $T_1(0\mid -3)$ und $T_2(-3\mid 0)$. Die berechneten und die zeichnerisch bestimmten Koordinaten stimmen überein.
b)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Setze zuerst die beiden Funktionsterme gleich und bestimme die $x$-Koordinaten der Schnnittpunkte. Dann setzt du die $x$-Koordinaten in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und bestimmst den zugehörigen $y$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} x^2+2x-4 &=& -4&\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] x^2+2x &=& 0 & \quad \scriptsize \mid\;\text{ausklammern}\\[5pt] x(x+2) &=& 0 & \\[5pt] \end{array}$
$ x(x+2) = 0 $
Der Term $x(x+2)$ wird Null, wenn entweder die Klammer zu Null wird oder der Faktor $x$ davor. Somit wird der Term für $x=0$ oder für $x=-2$ zu Null.
Die beiden Graphen schneiden sich bei $x_1=0$ und bei $x_2=-2$.
Jetzt kannst du die beiden $x$-Werte in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um den zugehörenden $y$-Wert zu berechnen.
Schnittpunkt $T_1$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -4 & \\[5pt] \end{array}$
Der Schnittpunkt $T_1$ hat somit die Koordinaten $T_1(0\mid -4)$.
Schnittpunkt $T_2$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -4 & \\[5pt] \end{array}$
Der Schnittpunkt $T_2$ hat somit die Koordinaten $T_2(-2\mid -4)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch überprüfen
1. Schritt: Scheitelpunktform aufstellen
Um die Parabel zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+2x-4 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 1-4 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 1+ 1^2-1^2 -4 & \\[5pt] y&=& (x^2+2\cdot x \cdot 1+ 1^2)-5 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x+1)^2-5 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x+1)^2-5 $
2. Schritt: Scheitelpunkt bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=-1$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=-5$.
Der Scheitelpunkt hat somit die Koordinaten $S(-1\mid -5)$.
3. Schritt: Schnittpunkte zeichnerisch bestimmen
Jetzt kannst du die Parabel mithilfe des Scheitelpunktes und die Gerade mithilfe der Steigung und dem Achsenabschnitt zeichnen. Dann kannst du die Koordinaten der Schnittpunkte ablesen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 2: Parabel und Gerade
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 2: Parabel und Gerade
Die Gerade und die Parabel schneiden sich an den Punkten $T_1$ und $T_2$. Diese haben die Koordinaten $T_1(0\mid -4)$ und $T_2(-2\mid -4)$. Die berechneten und die zeichnerisch bestimmten Koordinaten stimmen überein.
c)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Setze zuerst die beiden Funktionsterme gleich und bestimme die $x$-Koordinaten der Schnnittpunkte. Dann setzt du die $x$-Koordinaten in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und bestimmst den zugehörigen $y$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} x^2-6x+5 &=& x-5&\quad \scriptsize \mid\; +5 \; -x \\[5pt] x^2-7x+10 &=& 0 & \quad \scriptsize \mid\;\text{pq-Formel}\\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{-7}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-7}{2}\right)^2-10} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{7}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{49}{4}\right)-10} \\[5pt] x_{1,2}&=& 3,5\pm \sqrt{2,25} \\[5pt] x_{1,2}&=& 3,5\pm 1,5 \\[5pt] x_{1}&=& 5 \\[5pt] x_{2}&=& 2 \\[5pt] \end{array}$
$ x_1=5\quad x_2=2 $
Die beiden Schnittpunkte haben die $x$-Koordinaten $x_1=5$ und $x_2=2$.
Jetzt kannst du die beiden $x$-Werte in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um den zugehörenden $y$-Wert zu berechnen.
Schnittpunkt $T_1$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x-5 & \quad \scriptsize \mid\; x=5 \\[5pt] y&=& 5-5 & \\[5pt] y&=& 0 & \\[5pt] \end{array}$
Der Schnittpunkt $T_1$ hat somit die Koordinaten $T_1(5\mid 0)$.
Schnittpunkt $T_2$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x-5 & \quad \scriptsize \mid\; x=2 \\[5pt] y&=& 2-5 & \\[5pt] y&=& -3 & \\[5pt] \end{array}$
Der Schnittpunkt $T_2$ hat somit die Koordinaten $T_2(2\mid -3)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch überprüfen
1. Schritt: Scheitelpunktform aufstellen
Um die Parabel zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-6x+5 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 3+5 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 3+ 3^2-3^2 +5 & \\[5pt] y&=& (x^2-2\cdot x \cdot 3+ 3^2)-9+5 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x-3)^2-4 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x-3)^2-4 $
2. Schritt: Scheitelpunkt bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=3$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=-4$.
Der Scheitelpunkt hat somit die Koordinaten $S(3\mid -4)$.
3. Schritt: Schnittpunkte zeichnerisch bestimmen
Jetzt kannst du die Parabel mithilfe des Scheitelpunktes $S(3\mid -4)$ und die Gerade mithilfe der Steigung $m=1$ und dem $y$-Achsenabschnitt $b=-5$ zeichnen. Dann kannst du die Koordinaten der Schnittpunkte ablesen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 3: Parabel und Gerade
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 3: Parabel und Gerade
Die Gerade und die Parabel schneiden sich an den Punkten $T_1$ und $T_2$. Diese haben die Koordinaten $T_1(5\mid 0)$ und $T_2(2\mid -3)$. Die berechneten und die zeichnerisch bestimmten Koordinaten stimmen überein.
d)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Setze zuerst die beiden Funktionsterme gleich und bestimme die $x$-Koordinaten der Schnnittpunkte. Dann setzt du die $x$-Koordinaten in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und bestimmst den zugehörigen $y$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} x^2-6x+4 &=& -x&\quad \scriptsize \mid \; +x \\[5pt] x^2-5x+4 &=& 0 & \quad \scriptsize \mid\;\text{pq-Formel}\\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{-5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-5}{2}\right)^2-4} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{25}{4}\right)-4} \\[5pt] x_{1,2}&=& 2,5\pm \sqrt{2,25} \\[5pt] x_{1,2}&=& 2,5\pm 1,5 \\[5pt] x_{1}&=& 1 \\[5pt] x_{2}&=& 4 \\[5pt] \end{array}$
$ x_1=1 \quad x_2=4 $
Die beiden Schnittpunkte haben die $x$-Koordinaten $x_1=1$ und $x_2=4$.
Jetzt kannst du die beiden $x$-Werte in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um den zugehörenden $y$-Wert zu berechnen.
Schnittpunkt $T_1$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x & \quad \scriptsize \mid\; x=1 \\[5pt] y&=& -1 & \\[5pt] \end{array}$
Der Schnittpunkt $T_1$ hat somit die Koordinaten $T_1(1\mid -1)$.
Schnittpunkt $T_2$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x & \quad \scriptsize \mid\; x=4 \\[5pt] y&=& -4 & \\[5pt] \end{array}$
Der Schnittpunkt $T_2$ hat somit die Koordinaten $T_2(4\mid -4)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch überprüfen
1. Schritt: Scheitelpunktform aufstellen
Um die Parabel zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-6x+4 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 3+4 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 3+ 3^2-3^2 +4 & \\[5pt] y&=& (x^2-2\cdot x \cdot 3+ 3^2)-9+4 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x-3)^2-5 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x-3)^2-5 $
2. Schritt: Scheitelpunkt bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=3$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=-5$.
Der Scheitelpunkt hat somit die Koordinaten $S(3\mid -5)$.
3. Schritt: Schnittpunkte zeichnerisch bestimmen
Jetzt kannst du die Parabel mithilfe des Scheitelpunktes $S(3\mid -5)$ und die Gerade mithilfe der Steigung $m=-1$ und dem $y$-Achsenabschnitt $b=0$ zeichnen. Dann kannst du die Koordinaten der Schnittpunkte ablesen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 4: Parabel und Gerade
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 4: Parabel und Gerade
Die Gerade und die Parabel schneiden sich an den Punkten $T_1$ und $T_2$. Diese haben die Koordinaten $T_1(1\mid -1)$ und $T_2(4\mid -4)$. Die berechneten und die zeichnerisch bestimmten Koordinaten stimmen überein.
e)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Setze zuerst die beiden Funktionsterme gleich und bestimme die $x$-Koordinaten der Schnnittpunkte. Dann setzt du die $x$-Koordinaten in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und bestimmst den zugehörigen $y$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} x^2-6x+10 &=& 4-x&\quad \scriptsize \mid \; +x \; -4 \\[5pt] x^2-5x+6 &=& 0 & \quad \scriptsize \mid\;\text{pq-Formel}\\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{-5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-5}{2}\right)^2-6} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{25}{4}\right)-6} \\[5pt] x_{1,2}&=& 2,5\pm \sqrt{0,25} \\[5pt] x_{1,2}&=& 2,5\pm 0,5 \\[5pt] x_{1}&=& 2 \\[5pt] x_{2}&=& 3 \\[5pt] \end{array}$
$ x_1=2 \quad x_2=3 $
Die beiden Schnittpunkte haben die $x$-Koordinaten $x_1=2$ und $x_2=3$.
Jetzt kannst du die beiden $x$-Werte in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um den zugehörenden $y$-Wert zu berechnen.
Schnittpunkt $T_1$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 4-x & \quad \scriptsize \mid\; x=2 \\[5pt] y&=& 4-2 & \\[5pt] y&=& 2 & \\[5pt] \end{array}$
Der Schnittpunkt $T_1$ hat somit die Koordinaten $T_1(2\mid 2)$.
Schnittpunkt $T_2$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 4-x & \quad \scriptsize \mid\; x=3 \\[5pt] y&=& 4-3 & \\[5pt] y&=& 1 & \\[5pt] \end{array}$
Der Schnittpunkt $T_2$ hat somit die Koordinaten $T_2(3\mid 1)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch überprüfen
1. Schritt: Scheitelpunktform aufstellen
Um die Parabel zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-6x+10 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 3+10 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 3+ 3^2-3^2 +10 & \\[5pt] y&=& (x^2-2\cdot x \cdot 3+ 3^2)-9+10 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x-3)^2+1 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x-3)^2+1 $
2. Schritt: Scheitelpunkt bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=3$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=1$.
Der Scheitelpunkt hat somit die Koordinaten $S(3\mid 1)$.
3. Schritt: Schnittpunkte zeichnerisch bestimmen
Jetzt kannst du die Parabel mithilfe des Scheitelpunktes $S(3\mid 1)$ und die Gerade mithilfe der Steigung $m=-1$ und dem $y$-Achsenabschnitt $b=4$ zeichnen. Dann kannst du die Koordinaten der Schnittpunkte ablesen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 5: Parabel und Gerade
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 5: Parabel und Gerade
Die Gerade und die Parabel schneiden sich an den Punkten $T_1$ und $T_2$. Diese haben die Koordinaten $T_1(2\mid 2)$ und $T_2(3\mid 1)$. Die berechneten und die zeichnerisch bestimmten Koordinaten stimmen überein.
f)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Setze zuerst die beiden Funktionsterme gleich und bestimme die $x$-Koordinaten der Schnnittpunkte. Dann setzt du die $x$-Koordinaten in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und bestimmst den zugehörigen $y$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} x^2+8x+15 &=& 3 &\quad \scriptsize \mid \; -3 \\[5pt] x^2+8x+12 &=& 0 & \quad \scriptsize \mid\;\text{pq-Formel}\\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{8}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{8}{2}\right)^2-12} \\[5pt] x_{1,2}&=& -4 \pm \sqrt{16-12} \\[5pt] x_{1,2}&=& -4\pm \sqrt{4} \\[5pt] x_{1,2}&=& -4\pm 2\\[5pt] x_{1}&=& -6 \\[5pt] x_{2}&=& -2 \\[5pt] \end{array}$
$ x_1=-6 \quad x_2=-2 $
Die beiden Schnittpunkte haben die $x$-Koordinaten $x_1=-6$ und $x_2=-2$.
Jetzt kannst du die beiden $x$-Werte in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um den zugehörenden $y$-Wert zu berechnen.
Schnittpunkt $T_1$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 3& \quad \scriptsize \mid\; x=-6 \\[5pt] y&=& 3 & \\[5pt] \end{array}$
Der Schnittpunkt $T_1$ hat somit die Koordinaten $T_1(-6\mid 3)$.
Schnittpunkt $ T_2$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 3 & \quad \scriptsize \mid\; x=-2 \\[5pt] y&=& 3 & \\[5pt] \end{array}$
Der Schnittpunkt $T_2$ hat somit die Koordinaten $T_2(-2\mid 3)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch überprüfen
1. Schritt: Scheitelpunktform aufstellen
Um die Parabel zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+8x+15 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 4+15 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 4+ 4^2-4^2 +15 & \\[5pt] y&=& (x^2+2\cdot x \cdot 4+ 4^2)-16+15 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x+4)^2-1 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x+4)^2-1 $
2. Schritt: Scheitelpunkt bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=-4$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=-1$.
Der Scheitelpunkt hat somit die Koordinaten $S(-4\mid -1)$.
3. Schritt: Schnittpunkte zeichnerisch bestimmen
Jetzt kannst du die Parabel mithilfe des Scheitelpunktes $S(-4\mid -1)$ und die Gerade mithilfe der Steigung $m=0$ und dem $y$-Achsenabschnitt $b=3$ zeichnen. Dann kannst du die Koordinaten der Schnittpunkte ablesen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 6: Parabel und Gerade
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 6: Parabel und Gerade
Die Gerade und die Parabel schneiden sich an den Punkten $T_1$ und $T_2$. Diese haben die Koordinaten $T_1(-6\mid 3)$ und $T_2(-2\mid 3)$. Die berechneten und die zeichnerisch bestimmten Koordinaten stimmen überein.
#schnittpunkt#parabel#quadratischeergänzung#binomischeformeln

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Setze zuerst die beiden Funktionsterme gleich und bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte. Dann setzt du die $x$-Koordinaten in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und bestimmst den zugehörigen $y$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} x^2+8x+17,5 &=& x^2+6x+10 &\quad \scriptsize \mid \; -x^2 \; -6x \; -10 \\[5pt] 2x+7,5 &=& 0 & \\[5pt] 2x &=& -7,5 & \\[5pt] x &=& -3,75 & \\[5pt] \end{array}$
$ x=-3,75$
Die beiden Parabeln schneiden sich in einem Punkt. Dieser hat die $x$-Koordinate $x=-3,75$.
Jetzt kannst du den $x$-Wert in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um den zugehörenden $y$-Wert zu berechnen.
Schnittpunkt $T$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+6x+10 & \quad \scriptsize \mid\; x=-3,75 \\[5pt] y&=& (-3,75)^2+6\cdot (-3,75) +10 & \\[5pt] y&=& 14,0625 -22,5+10 & \\[5pt] y&=& 1,5625 & \\[5pt] \end{array}$
$ y=1,5625 $
Der Schnittpunkt $T$ hat somit die Koordinaten $T(-3,75\mid 1,5625)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch überprüfen
1. Schritt: Scheitelpunktform $p_1$ aufstellen
Um die Parabel $p_1$ zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+8x+17,5 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 4+17,5 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 4+ 4^2-4^2 +17,5 & \\[5pt] y&=& (x^2+2\cdot x \cdot 4+ 4^2)-16+17,5 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x+4)^2+1,5 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x+4)^2+1,5 $
2. Schritt: Scheitelpunkt $S_1$ bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=-4$
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=1,5$
Der Scheitelpunkt $S_1$ hat somit die Koordinaten $S_1(-4\mid 1,5)$.
3. Schritt: Scheitelpunktform $p_2$ aufstellen
Um die Parabel $p_2$ zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+6x+10 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 3+10 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 3+ 3^2-3^2 +10 & \\[5pt] y&=& (x^2+2\cdot x \cdot 3+ 3^2)-9+10& \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x+3)^2+1 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x+3)^2+1 $
4. Schritt: Scheitelpunkt $S_2$ bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=-3$
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=1$
Der Scheitelpunkt $S_2$ hat somit die Koordinaten $S_2(-3\mid 1)$.
5. Schritt: Schnittpunkte zeichnerisch bestimmen
Jetzt kannst du die Parabeln mithilfe der Scheitelpunkte $S_1(-4 \mid 1,5)$ und $S_2(-3\mid 1)$ zeichnen. Dann kannst du die Koordinaten des Schnittpunktes ablesen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 7: Parabeln und Schnittpunkt
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 7: Parabeln und Schnittpunkt
Die Parabeln schneiden sich am Punkt $T$. Dieser haben die Koordinaten $T\approx (-3,7\mid 1,5)$. Der berechnete und der zeichnerisch bestimmte Schnittpunkt stimmen überein.
b)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Setze zuerst die beiden Funktionsterme gleich und bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte. Dann setzt du die $x$-Koordinaten in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und bestimmst den zugehörigen $y$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} x^2-4x+5 &=& x^2-8x+17 &\quad \scriptsize \mid \; -x^2 \; +8x \; -17 \\[5pt] 4x-12 &=& 0 & \\[5pt] 4x &=& 12 & \\[5pt] x &=& 3 & \\[5pt] \end{array}$
$ x=3 $
Die beiden Parabeln schneiden sich in einem Punkt. Dieser hat die $x$-Koordinate $x=3$.
Jetzt kannst du den $x$-Wert in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um den zugehörenden $y$-Wert zu berechnen.
Schnittpunkt $T$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-4x+5 & \quad \scriptsize \mid\; x=3 \\[5pt] y&=& (3)^2-4\cdot (3) +5 & \\[5pt] y&=& 9-12+5 & \\[5pt] y&=& 2 & \\[5pt] \end{array}$
$ y=2 $
Der Schnittpunkt $T$ hat somit die Koordinaten $T(3\mid 2)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch überprüfen
1. Schritt: Scheitelpunktform $p_1$ aufstellen
Um die Parabel $p_1$ zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-4x+5 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 2+5 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 2+ 2^2-2^2 +5 & \\[5pt] y&=& (x^2-2\cdot x \cdot 2+ 2^2)-4+5 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x-2)^2+1 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x-2)^2+1 $
2. Schritt: Scheitelpunkt $S_1$ bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=2$
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=1$
Der Scheitelpunkt $S_1$ hat somit die Koordinaten $S_1(2\mid 1)$.
3. Schritt: Scheitelpunktform $p_2$ aufstellen
Um die Parabel $p_2$ zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-8x+17 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 4+17 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 4+ 4^2-4^2 +17 & \\[5pt] y&=& (x^2-2\cdot x \cdot 4+ 4^2)-16+17 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x-4)^2+1 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x-4)^2+1 $
4. Schritt: Scheitelpunkt $S_2$ bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes $x_s$ lautet: $x_s=4$
Die $y$-Koordinate des Scheitelpunktes $y_s$ lautet: $y_s=1$
Der Scheitelpunkt $S_2$ hat somit die Koordinaten $S_2(4\mid 1)$.
5. Schritt: Schnittpunkte zeichnerisch bestimmen
Jetzt kannst du die Parabeln mithilfe der Scheitelpunkte $S_1(2 \mid 1)$ und $S_2(4\mid 1)$ zeichnen. Dann kannst du die Koordinaten des Schnittpunktes ablesen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 8: Parabeln mit Schnittpunkt
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 8: Parabeln mit Schnittpunkt
Die Parabeln schneiden sich am Punkt $T$. Dieser haben die Koordinaten $T (3\mid 2)$. Der berechnete und der zeichnerisch bestimmte Schnittpunkt stimmen überein.
c)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Setze zuerst die beiden Funktionsterme gleich und bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte. Dann setzt du die $x$-Koordinaten in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und bestimmst den zugehörigen $y$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} x^2+6x+10 &=& x^2-4x &\quad \scriptsize \mid \; -x^2 \; +4x \\[5pt] 10x+10 &=& 0 & \\[5pt] 10x &=& -10 & \\[5pt] x &=& -1 & \\[5pt] \end{array}$
$ x=-1 $
Die beiden Parabeln schneiden sich in einem Punkt. Dieser hat die $x$-Koordinate $x=-1$.
Jetzt kannst du den $x$-Wert in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um den zugehörenden $y$-Wert zu berechnen.
Schnittpunkt $T$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-4x & \quad \scriptsize \mid\; x=-1 \\[5pt] y&=& (-1)^2-4\cdot (-1) & \\[5pt] y&=& 1+4 & \\[5pt] y&=& 5 & \\[5pt] \end{array}$
$ y=5 $
Der Schnittpunkt $T$ hat somit die Koordinaten $T(-1\mid 5)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch überprüfen
1. Schritt: Scheitelpunktform $p_1$ aufstellen
Um die Parabel $p_1$ zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+6x+10 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 3+10 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 3+ 3^2-3^2 +10 & \\[5pt] y&=& (x^2+2\cdot x \cdot 3+ 3^2)-9+10 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x+3)^2+1 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x+3)^2+1 $
2. Schritt: Scheitelpunkt $S_1$ bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=-3$
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=+1$
Der Scheitelpunkt $S_1$ hat somit die Koordinaten $S_1(-3\mid 1)$.
3. Schritt: Scheitelpunktform $p_2$ aufstellen
Um die Parabel $p_2$ zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-4x & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 2 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 2+ 2^2-2^2 & \\[5pt] y&=& (x^2-2\cdot x \cdot 2+ 2^2)-4 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x-2)^2-4 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x-2)^2-4 $
4. Schritt: Scheitelpunkt $S_2$ bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes $x_s$ lautet: $x_s=2$
Die $y$-Koordinate des Scheitelpunktes $y_s$ lautet: $y_s=-4$
Der Scheitelpunkt $S_2$ hat somit die Koordinaten $S_2(2\mid -4)$.
5. Schritt: Schnittpunkte zeichnerisch bestimmen
Jetzt kannst du die Parabeln mithilfe der Scheitelpunkte $S_1(-3 \mid 1)$ und $S_2(2\mid -4)$ zeichnen. Dann kannst du die Koordinaten des Schnittpunktes ablesen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 9: Parabeln und Schnittpunkt
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 9: Parabeln und Schnittpunkt
Die Parabeln schneiden sich am Punkt $T$. Dieser haben die Koordinaten $T (-1\mid 5)$. Der berechnete und der zeichnerisch bestimmte Schnittpunkt stimmen überein.
d)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Setze zuerst die beiden Funktionsterme gleich und bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte. Dann setzt du die $x$-Koordinaten in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und bestimmst den zugehörigen $y$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} x^2-6x+10 &=& x^2-4x+6 &\quad \scriptsize \mid \; -x^2 \; +4x \; -6 \\[5pt] -2x+4 &=& 0 & \\[5pt] 2x &=& 4 & \\[5pt] x &=& 2 & \\[5pt] \end{array}$
$ x=2 $
Die beiden Parabeln schneiden sich in einem Punkt. Dieser hat die $x$-Koordinate $x=2$.
Jetzt kannst du den $x$-Wert in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um den zugehörenden $y$-Wert zu berechnen.
Schnittpunkt $T$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-4x+6 & \quad \scriptsize \mid\; x=2 \\[5pt] y&=& (2)^2-4\cdot (2) +6 & \\[5pt] y&=& 4-8+6 & \\[5pt] y&=& 2 & \\[5pt] \end{array}$
$ y=2 $
Der Schnittpunkt $T$ hat somit die Koordinaten $T(2\mid 2)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch überprüfen
1. Schritt: Scheitelpunktform $p_1$ aufstellen
Um die Parabel $p_1$ zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-4x+6 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 2+6 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 2+ 2^2-2^2 +6 & \\[5pt] y&=& (x^2-2\cdot x \cdot 2+ 2^2)-4+6 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x-2)^2+2 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x-2)^2+2 $
2. Schritt: Scheitelpunkt $S_1$ bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=2$
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=2$
Der Scheitelpunkt $S_1$ hat somit die Koordinaten $S_1(2\mid 2)$.
3. Schritt: Scheitelpunktform $p_2$ aufstellen
Um die Parabel $p_2$ zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-6x+10 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 3+10 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 3+3^2-3^2 +10 & \\[5pt] y&=& (x^2-2\cdot x \cdot 3+ 3^2)-9+10 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x-3)^2+1 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x-3)^2+1 $
4. Schritt: Scheitelpunkt $S_2$ bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes $x_s$ lautet: $x_s=3$
Die $y$-Koordinate des Scheitelpunktes $y_s$ lautet: $y_s=1$
Der Scheitelpunkt $S_2$ hat somit die Koordinaten $S_2(3\mid 1)$.
5. Schritt: Schnittpunkte zeichnerisch bestimmen
Jetzt kannst du die Parabeln mithilfe der Scheitelpunkte $S_1(2 \mid 2)$ und $S_2(3\mid 1)$ zeichnen. Dann kannst du die Koordinaten des Schnittpunktes ablesen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 10: Parabeln und Schnittpunkt
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 10: Parabeln und Schnittpunkt
Die Parabeln schneiden sich am Punkt $T$. Dieser haben die Koordinaten $T (2\mid 2)$. Der berechnete und der zeichnerisch bestimmte Schnittpunkt stimmen überein.
e)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Setze zuerst die beiden Funktionsterme gleich und bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte. Dann setzt du die $x$-Koordinaten in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und bestimmst den zugehörigen $y$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} x^2-2x-3 &=& -x^2-2x-1 &\quad \scriptsize \mid \; +x^2 \; +2x \; +1 \\[5pt] 2x^2-2 &=& 0 & \\[5pt] 2x^2 &=& 2 & \\[5pt] x^2 &=& 1 & \\[5pt] x_1 &=& 1 & \\[5pt] x_2 &=& -1 & \\[5pt] \end{array}$
$ x_1=1\;\mid\; x_2=-1 $
Die beiden Parabeln schneiden sich in zwei Punkten. Diese haben die $x$-Koordinaten $x_1=-1$ und $x_2=1$.
Jetzt kannst du die $x$-Werte in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um den zugehörenden $y$-Wert zu berechnen.
Schnittpunkt $T_1$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-2x-3 & \quad \scriptsize \mid\; x=-1 \\[5pt] y&=& (-1)^2-2 \cdot (-1)-3 & \\[5pt] y&=& 1+2-3 & \\[5pt] y&=& 0 & \\[5pt] \end{array}$
$ y=0 $
Der Schnittpunkt $T_1$ hat somit die Koordinaten $T(-1\mid 0)$.
Schnittpunkt $T_2$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-2x-3 & \quad \scriptsize \mid\; x=1 \\[5pt] y&=& (1)^2-2 \cdot (1)-3 & \\[5pt] y&=& 1-2-3 & \\[5pt] y&=& -4 & \\[5pt] \end{array}$
$ y=-4 $
Der Schnittpunkt $T_2$ hat somit die Koordinaten $T(1\mid -4)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch überprüfen
1. Schritt: Scheitelpunktform $p_1$ aufstellen
Um die Parabel $p_1$ zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x^2-2x-1 & \quad \scriptsize \mid \text{Ausklammern}\;\\[5pt] y&=& -(x^2+2x)-1 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& -(x^2+2\cdot x \cdot 1)-1 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& -(x^2+2\cdot x \cdot 1+ 1^2-1^2) -1 & \\[5pt] y&=& -(x^2+2\cdot x \cdot 1+ 1^2)+1-1 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& -(x+1)^2 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= -(x+1)^2 $
2. Schritt: Scheitelpunkt $S_1$ bestimmen
Mit der Formel : $y=\pm (x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=-1$
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=0$
Der Scheitelpunkt $S_1$ hat somit die Koordinaten $S_1(-1\mid 0)$.
3. Schritt: Scheitelpunktform $p_2$ aufstellen
Um die Parabel $p_2$ zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-2x-3 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 1-3 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 1+1^2-1^2 -3 & \\[5pt] y&=& (x^2-2\cdot x \cdot 1+ 1^2)-1-3 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x-1)^2-4 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x-1)^2-4 $
4. Schritt: Scheitelpunkt $S_2$ bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes $x_s$ lautet: $x_s=1$
Die $y$-Koordinate des Scheitelpunktes $y_s$ lautet: $y_s=-4$
Der Scheitelpunkt $S_2$ hat somit die Koordinaten $S_2(1\mid -4)$.
5. Schritt: Schnittpunkte zeichnerisch bestimmen
Jetzt kannst du die Parabeln mithilfe der Scheitelpunkte $S_1(-1 \mid 0)$ und $S_2(1\mid -4)$ zeichnen. Dann kannst du die Koordinaten des Schnittpunktes ablesen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 11: Parabeln mit Schnittpunkten
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 11: Parabeln mit Schnittpunkten
Die Parabeln schneiden sich an den Punkten $T_1$ und $T_2$. Diese haben die Koordinaten $T_1 (-1\mid 0)$ und $T_2(1 \mid -4)$. Die berechneten und die zeichnerisch bestimmten Schnittpunkte stimmen überein.
f)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Setze zuerst die beiden Funktionsterme gleich und bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte. Dann setzt du die $x$-Koordinaten in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und bestimmst den zugehörigen $y$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} x^2 &=& -x^2 &\quad \scriptsize \mid \; +x^2 \\[5pt] 2x^2 &=& 0 & \\[5pt] x^2 &=& 0 & \\[5pt] x &=& 0 & \\[5pt] \end{array}$
Die beiden Parabeln schneiden sich in einem Punkt. Dieser hat die $x$-Koordinate $x=0$.
Jetzt kannst du die $x$-Werte in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um den zugehörenden $y$-Wert zu berechnen.
Schnittpunkt $T$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2 & \quad \scriptsize \mid\; x=0 \\[5pt] y&=& (0)^2 & \\[5pt] y&=& 0 & \\[5pt] \end{array}$
Der Schnittpunkt $T$ hat somit die Koordinaten $T(0\mid 0)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch überprüfen
1. Schritt: Scheitelpunkt $S_1$ bestimmen
Um die Parabel $p_1$ zeichnen zu können, musst du den Scheitelpunkt bestimmen..
Da es sich um eine Normalparabel handelt, kannst du direkt ablesen, dass der Scheitelpunkt im Ursprung des Koodinatensystems liegt.
Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S_1\,(0 \mid 0)$.
2. Schritt: Scheitelpunkt $S_2$ bestimmen
Um die Parabel $p_2$ zeichnen zu können, musst du den Scheitelpunkt bestimmen.
Da es sich allerdings um eine nach unten geöffnete Normalparabel handelt, kannst du direkt ablesen, dass der Scheitelpunkt im Ursprung des Koodinatensystems liegt.
Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S_2\,(0 \mid 0)$.
3. Schritt: Schnittpunkte zeichnerisch bestimmen
Jetzt kannst du die Parabeln mithilfe der Scheitelpunkte $S_1(0 \mid 0)$ und $S_2(0\mid 0)$ zeichnen. Beachte, dass die Parabel $p_2$ nach unten geöffnet ist. Dann kannst du die Koordinaten des Schnittpunktes ablesen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 12: Parabeln mit Schnittpunkt
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 12: Parabeln mit Schnittpunkt
Die Parabeln schneiden sich am Punkt $T$. Dieser hat die Koordinaten $T (0\mid 0)$. Der berechnete und die zeichnerisch bestimmte Schnittpunkt stimmen überein.
#quadratischeergänzung#schnittpunkt#parabel#quadratischefunktion

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Setze zuerst die beiden Funktionsterme gleich und bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte. Dann setzt du die $x$-Koordinaten in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und bestimmst den zugehörigen $y$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} x^2-8x+17 &=& -(x-4)^2+3 &\quad \scriptsize \mid \text{ausmultiplizieren} \\[5pt] x^2-8x+17 &=& -(x^2-8x+16)+3 & \\[5pt] x^2-8x+17 &=& -x^2+8x-16+3 &\quad \scriptsize \mid \; +x^2 \; -8x \; +13 \\[5pt] 2x^2-16x+30 &=& 0 & \\[5pt] x^2-8x+15 &=& 0 & \\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{-8}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-8}{2}\right)^2-15} \\[5pt] x_{1,2}&=& 4 \pm \sqrt{16-15} \\[5pt] x_{1,2}&=& 4 \pm 1 \\[5pt] x_{1}&=& 3 \\[5pt] x_{2}&=& 5 \\[5pt] \end{array}$
$ x_1=3\;\mid \; x_2=5 $
Die beiden Parabeln schneiden sich in zwei Punkten. Diese haben die $x$-Koordinaten $x_1=3$ und $x_2=5$.
Jetzt kannst du die $x$-Werte in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um den zugehörenden $y$-Wert zu berechnen.
Schnittpunkt $T_1$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -(x-4)^2+3 & \quad \scriptsize \mid\; x=3 \\[5pt] y&=& -(3-4)^2+3& \\[5pt] y&=& -(-1)^2+3 & \\[5pt] y&=& -1+3 & \\[5pt] y&=& 2 & \\[5pt] \end{array}$
$ y=2 $
Der Schnittpunkt $T_1$ hat somit die Koordinaten $T_1(3\mid 2)$.
Schnittpunkt $T_2$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -(x-4)^2+3 & \quad \scriptsize \mid\; x=5 \\[5pt] y&=& -(5-4)^2+3& \\[5pt] y&=& -(1)^2+3 & \\[5pt] y&=& -1+3 & \\[5pt] y&=& 2 & \\[5pt] \end{array}$
$ y=2 $
Der Schnittpunkt $T_2$ hat somit die Koordinaten $T_2(5\mid 2)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch überprüfen
1. Schritt: Scheitelpunktform $p_1$ aufstellen
Um die Parabel $p_1$ zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-8x+17 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 4+17 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 4+ 4^2-4^2 +17 & \\[5pt] y&=& (x^2-2\cdot x \cdot 4+ 4^2)-16+17 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x-4)^2+1 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x-4)^2+1 $
2. Schritt: Scheitelpunkt $S_1$ bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=4$
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=1$
Der Scheitelpunkt $S_1$ hat somit die Koordinaten $S_1(4\mid 1)$.
3. Schritt: Scheitelpunkt $S_2$ bestimmen
Die Parabel $p_2$ liegt bereits in Scheitelpunktform vor.
$y=-(x-4)^2+3$
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=4$
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=3$
Der Scheitelpunkt $S_2$ hat somit die Koordinaten $S_2(4\mid 3)$.
4. Schritt: Schnittpunkte zeichnerisch bestimmen
Jetzt kannst du die Parabeln mithilfe der Scheitelpunkte $S_1(4 \mid 1)$ und $S_2(4\mid 3)$ zeichnen. Beachte, dass die Parabel $p_2$ wegen dem $-$ vor der Klammer nach unten geöffnet ist. Dann kannst du die Koordinaten der Schnittpunkte ablesen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 13: Parabeln mit Schnittpunkten
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 13: Parabeln mit Schnittpunkten
Die Parabeln schneiden sich in den Punkten $T_1$ und $T_2$. Diese haben die Koordinaten $T_1(3\mid 2)$ und $T_2(5 \mid 2)$. Die berechneten und die zeichnerisch bestimmten Schnittpunkte stimmen überein.
b)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Setze zuerst die beiden Funktionsterme gleich und bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte. Dann setzt du die $x$-Koordinaten in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und bestimmst den zugehörigen $y$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} x^2+2x-3 &=& -(x-1)^2+6 &\quad \scriptsize \mid \text{ausmultiplizieren} \\[5pt] x^2+2x-3 &=& -(x^2-2x+1)+6 & \\[5pt] x^2+2x-3 &=& -x^2+2x-1+6 &\quad \scriptsize \mid \; +x^2 \; -2x \; -5 \\[5pt] 2x^2-8 &=& 0 & \\[5pt] 2x^2 &=& 8& \\[5pt] x^2 &=& 4& \\[5pt] x_{1}&=& 2 \\[5pt] x_{2}&=& -2 \\[5pt] \end{array}$
$ x_1=2 \;\mid\; x_2=-2 $
Die beiden Parabeln schneiden sich in zwei Punkten. Diese haben die $x$-Koordinaten $x_1=2$ und $x_2=-2$.
Jetzt kannst du die $x$-Werte in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um den zugehörenden $y$-Wert zu berechnen.
Schnittpunkt $T_1$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -(x-1)^2+6 & \quad \scriptsize \mid\; x=2 \\[5pt] y&=& -(2-1)^2+6& \\[5pt] y&=& -(1)^2+6 & \\[5pt] y&=& -1+6 & \\[5pt] y&=& 5 & \\[5pt] \end{array}$
$ y=5 $
Der Schnittpunkt $T_1$ hat somit die Koordinaten $T_1(2\mid 5)$.
Schnittpunkt $T_2$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -(x-1)^2+6 & \quad \scriptsize \mid\; x=-2 \\[5pt] y&=& -(-2-1)^2+6& \\[5pt] y&=& -(-3)^2+6 & \\[5pt] y&=& -9+6 & \\[5pt] y&=& -3 & \\[5pt] \end{array}$
$ y=-3 $
Der Schnittpunkt $T_2$ hat somit die Koordinaten $T_2(-2\mid -3)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch überprüfen
1. Schritt: Scheitelpunktform $p_1$ aufstellen
Um die Parabel $p_1$ zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+2x-3 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 1-3 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 1+ 1^2-1^2 -3 & \\[5pt] y&=& (x^2+2\cdot x \cdot 1+ 1^2)-1-3 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x+1)^2-4 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x+1)^2-4 $
2. Schritt: Scheitelpunkt $S_1$ bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=-1$
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=-4$
Der Scheitelpunkt $S_1$ hat somit die Koordinaten $S_1(-1\mid -4)$.
3. Schritt: Scheitelpunkt $S_2$ bestimmen
Die Parabel $p_2$ liegt bereits in Scheitelpunktform vor.
$y=-(x-1)^2+6$
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=1$
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=6$
Der Scheitelpunkt $S_2$ hat somit die Koordinaten $S_2(1\mid 6)$.
4. Schritt: Schnittpunkte zeichnerisch bestimmen
Jetzt kannst du die Parabeln mithilfe der Scheitelpunkte $S_1(-1 \mid -4)$ und $S_2(1\mid 6)$ zeichnen. Beachte, dass die Parabel $p_2$ wegen dem $-$ vor der Klammer nach unten geöffnet ist. Dann kannst du die Koordinaten der Schnittpunkte ablesen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 14: Parabeln mit Schnittpunkten
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 14: Parabeln mit Schnittpunkten
Die Parabeln schneiden sich in den Punkten $T_1$ und $T_2$. Diese haben die Koordinaten $T_1(2\mid 5)$ und $T_2(-1 \mid -4)$. Die berechneten und die zeichnerisch bestimmten Schnittpunkte stimmen überein.
c)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Setze zuerst die beiden Funktionsterme gleich und bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte. Dann setzt du die $x$-Koordinaten in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und bestimmst den zugehörigen $y$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} -x^2+6x-7 &=& x^2-4x+5 &\quad \scriptsize \mid \; -x^2 \; +4x \; -5 \\[5pt] -2x^2+10x-12 &=& 0 & \quad \scriptsize \mid \; :(-2)\\[5pt] x^2-5x+6 &=& 0& \\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{-5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-5}{2}\right)^2-6} \\[5pt] x_{1,2}&=& 2,5 \pm \sqrt{6,25-6} \\[5pt] x_{1,2}&=& 2,5 \pm \sqrt{0,25} \\[5pt] x_{1,2}&=& 2,5 \pm 0,5 \\[5pt] x_{1}&=& 2 \\[5pt] x_{2}&=& 3 \\[5pt] \end{array}$
$ x_1=2\;\mid\; x_2=3 $
Die beiden Parabeln schneiden sich in zwei Punkten. Diese haben die $x$-Koordinaten $x_1=2$ und $x_2=3$.
Jetzt kannst du die $x$-Werte in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um den zugehörenden $y$-Wert zu berechnen.
Schnittpunkt $T_1$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-4x+5 & \quad \scriptsize \mid\; x=2 \\[5pt] y&=& 2^2-4\cdot 2+5 & \\[5pt] y&=& 4-8+5 & \\[5pt] y&=& 1 & \\[5pt] \end{array}$
$ y=1 $
Der Schnittpunkt $T_1$ hat somit die Koordinaten $T_1(2\mid 1)$.
Schnittpunkt $T_2$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-4x+5 & \quad \scriptsize \mid\; x=3 \\[5pt] y&=& 3^2-4\cdot 3+5& \\[5pt] y&=& 9-12+5 & \\[5pt] y&=& 2 & \\[5pt] \end{array}$
$ y=2 $
Der Schnittpunkt $T_2$ hat somit die Koordinaten $T_2(3\mid 2)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch überprüfen
1. Schritt: Scheitelpunktform $p_1$ aufstellen
Um die Parabel $p_1$ zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x^2+6x-7 & \quad \scriptsize \mid \text{Ausklammern}\;\\[5pt] y&=& -(x^2-6x)-7 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& -(x^2-2\cdot x \cdot 3)-7 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& -(x^2-2\cdot x \cdot 3+ 3^2-3^2 -7 & \\[5pt] y&=& -(x^2-2\cdot x \cdot 3+ 3^2)+9-7 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& -(x-3)^2+2 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= -(x-3)^2+2 $
2. Schritt: Scheitelpunkt $S_1$ bestimmen
Mit der Formel : $y=\pm (x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=3$
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=2$
Der Scheitelpunkt $S_1$ hat somit die Koordinaten $S_1(3\mid 2)$.
3. Schritt: Scheitelpunktform $p_2$ aufstellen
Um die Parabel $p_1$ zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-4x+5 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 2+5 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 2+ 2^2-2^2 +5 & \\[5pt] y&=& (x^2-2\cdot x \cdot 2+ 2^2)-4+5 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x-2)^2+1 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x-2)^2+1 $
4. Schritt: Scheitelpunkt $S_2$ bestimmen
Mit der Formel : $y=\pm (x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=2$
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=1$
Der Scheitelpunkt $S_2$ hat somit die Koordinaten $S_2(2\mid 1)$.
5. Schritt: Schnittpunkte zeichnerisch bestimmen
Jetzt kannst du die Parabeln mithilfe der Scheitelpunkte $S_1(3 \mid 2)$ und $S_2(2\mid 1)$ zeichnen. Beachte, dass die Parabel $p_1$ wegen dem $-$ vor dem $x^2$ nach unten geöffnet ist. Dann kannst du die Koordinaten der Schnittpunkte ablesen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 15: Parabeln mit Schnittpunkten
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 15: Parabeln mit Schnittpunkten
Die Parabeln schneiden sich in den Punkten $T_1$ und $T_2$. Diese haben die Koordinaten $T_1(2\mid 1)$ und $T_2(3 \mid 2)$. Die berechneten und die zeichnerisch bestimmten Schnittpunkte stimmen überein.
d)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Setze zuerst die beiden Funktionsterme gleich und bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte. Dann setzt du die $x$-Koordinaten in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und bestimmst den zugehörigen $y$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} x^2+2x+4 &=& -x^2-2x+10 &\quad \scriptsize \mid \; +x^2 \; +2x \; -10 \\[5pt] 2x^2+4x-6 &=& 0 & \quad \scriptsize \mid \; :(2)\\[5pt] x^2+2x-3 &=& 0& \\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2+3} \\[5pt] x_{1,2}&=& -1\pm \sqrt{1+3} \\[5pt] x_{1,2}&=& -1\pm \sqrt{4} \\[5pt] x_{1,2}&=& -1\pm 2 \\[5pt] x_{1}&=& -3 \\[5pt] x_{2}&=& 1 \\[5pt] \end{array}$
$ x_1=-3 \;\mid\; x_2=1 $
Die beiden Parabeln schneiden sich in zwei Punkten. Diese haben die $x$-Koordinaten $x_1=-3$ und $x_2=1$.
Jetzt kannst du die $x$-Werte in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um den zugehörenden $y$-Wert zu berechnen.
Schnittpunkt $T_1$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+2x+4 & \quad \scriptsize \mid\; x=-3 \\[5pt] y&=& (-3)^2+2\cdot -3+4& \\[5pt] y&=& 9-6+4 & \\[5pt] y&=& 7 & \\[5pt] \end{array}$
$ y=7 $
Der Schnittpunkt $T_1$ hat somit die Koordinaten $T_1(-3\mid 7)$.
Schnittpunkt $T_2$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+2x+4 & \quad \scriptsize \mid\; x=1 \\[5pt] y&=& 1^2+2\cdot 1+4& \\[5pt] y&=& 1+2+4 & \\[5pt] y&=& 7 & \\[5pt] \end{array}$
$ y=7 $
Der Schnittpunkt $T_2$ hat somit die Koordinaten $T_2(1\mid 7)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch überprüfen
1.Schritt: Scheitelpunktform $p_1$ aufstellen
Um die Parabel $p_1$ zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+2x+4 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 1+4 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 1+ 1^2-1^2 +4 & \\[5pt] y&=& (x^2+2\cdot x \cdot 1+ 1^2)-1+4 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x+1)^2+3 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x+1)^2+3 $
2. Schritt: Scheitelpunkt $S_1$ bestimmen
Mit der Formel : $y=\pm (x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=-1$
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=3$
Der Scheitelpunkt $S_1$ hat somit die Koordinaten $S_1(-1\mid 3)$.
3.Schritt: Scheitelpunktform $p_2$ aufstellen
Um die Parabel $p_1$ zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x^2-2x+10 & \quad \scriptsize \mid \text{Ausklammern}\;\\[5pt] y&=& -(x^2+2x)+10 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& -(x^2+2\cdot x \cdot 1)+10 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& -(x^2+2\cdot x \cdot 1+ 1^2-1^2 +10 & \\[5pt] y&=& -(x^2+2\cdot x \cdot 1+ 1^2)+1+10 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& -(x+1)^2+11 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= -(x+1)^2+11 $
  4. Schritt: Scheitelpunkt $S_2$ bestimmen
Mit der Formel : $y=\pm (x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=-1$
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=11$
Der Scheitelpunkt $S_2$ hat somit die Koordinaten $S_2(-1\mid 11)$.
5. Schritt: Schnittpunkte zeichnerisch bestimmen
Jetzt kannst du die Parabeln mithilfe der Scheitelpunkte $S_1(-1 \mid 3)$ und $S_2(-1\mid 11)$ zeichnen. Beachte, dass die Parabel $p_2$ wegen dem $-$ vor dem $x^2$ nach unten geöffnet ist. Dann kannst du die Koordinaten der Schnittpunkte ablesen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 16: Parabeln mit Schnittpunkten
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 16: Parabeln mit Schnittpunkten
Die Parabeln schneiden sich in den Punkten $T_1$ und $T_2$. Diese haben die Koordinaten $T_1(-3\mid 7)$ und $T_2(1 \mid 7)$. Die berechneten und die zeichnerisch bestimmten Schnittpunkte stimmen überein.
e)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Setze zuerst die beiden Funktionsterme gleich und bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte. Dann setzt du die $x$-Koordinaten in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und bestimmst den zugehörigen $y$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} x^2+2x+4 &=& -x^2-2x+4 &\quad \scriptsize \mid \; +x^2 \; +2x \; -4 \\[5pt] 2x^2+4x &=& 0 & \quad \scriptsize \mid \; :(2)\\[5pt] x^2+2x &=& 0& \quad \scriptsize \mid \; \text{Ausklammern}\\[5pt] x(x+2) &=& 0& \\[5pt] x_{1}&=& -2 \\[5pt] x_{2}&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ x_1=-2 \;\mid\; x_2=0 $
Die beiden Parabeln schneiden sich in zwei Punkten. Diese haben die $x$-Koordinaten $x_1=-2$ und $x_2=0$.
Jetzt kannst du die $x$-Werte in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um den zugehörenden $y$-Wert zu berechnen.
Schnittpunkt $T_1$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+2x+4 & \quad \scriptsize \mid\; x=-2 \\[5pt] y&=& (-2)^2+2\cdot -2+4& \\[5pt] y&=& 4-4+4 & \\[5pt] y&=& 4 & \\[5pt] \end{array}$
$ y=4 $
Der Schnittpunkt $T_1$ hat somit die Koordinaten $T_1(-2\mid 4)$.
Schnittpunkt $T_2$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+2x+4 & \quad \scriptsize \mid\; x=0 \\[5pt] y&=& 0^2+2\cdot 0+4& \\[5pt] y&=& 4 & \\[5pt] \end{array}$
$ y=4 $
Der Schnittpunkt $T_2$ hat somit die Koordinaten $T_2(0\mid 4)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch überprüfen
1. Schritt: Scheitelpunktform $p_1$ aufstellen:
Um die Parabel $p_1$ zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+2x+4 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 1+4 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2+2\cdot x \cdot 1+ 1^2-1^2 +4 & \\[5pt] y&=& (x^2+2\cdot x \cdot 1+ 1^2)-1+4 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x+1)^2+3 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= (x+1)^2+3 $
2. Schritt: Scheitelpunkt $S_1$ bestimmen
Mit der Formel : $y=\pm (x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=-1$
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=3$
Der Scheitelpunkt $S_1$ hat somit die Koordinaten $S_1(-1\mid 3)$.
3.Schritt: Scheitelpunktform $p_2$ aufstellen
Um die Parabel $p_1$ zeichnen zu können, musst du die Scheitelpunktform aufstellen.
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x^2-2x+4 & \quad \scriptsize \mid \text{Ausklammern}\;\\[5pt] y&=& -(x^2+2x)+4 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& -(x^2+2\cdot x \cdot 1)+4 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& -(x^2+2\cdot x \cdot 1+ 1^2-1^2 +4 & \\[5pt] y&=& -(x^2+2\cdot x \cdot 1+ 1^2)+1+4 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& -(x+1)^2+5 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= -(x+1)^2+5 $
4. Schritt: Scheitelpunkt $S_2$ bestimmen
Mit der Formel : $y=\pm (x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=-1$
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=5$
Der Scheitelpunkt $S_2$ hat somit die Koordinaten $S_2(-1\mid 5)$.
5. Schritt: Schnittpunkte zeichnerisch bestimmen
Jetzt kannst du die Parabeln mithilfe der Scheitelpunkte $S_1(-1 \mid 3)$ und $S_2(-1\mid 5)$ zeichnen. Beachte, dass die Parabel $p_2$ wegen dem $-$ vor dem $x^2$ nach unten geöffnet ist. Dann kannst du die Koordinaten der Schnittpunkte ablesen.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 17: Parabeln mit Schnittpunkten
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 17: Parabeln mit Schnittpunkten
Die Parabeln schneiden sich in den Punkten $T_1$ und $T_2$. Diese haben die Koordinaten $T_1(-2\mid 4)$ und $T_2(0 \mid 4)$. Die berechneten und die zeichnerisch bestimmten Schnittpunkte stimmen überein.
f)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Setze zuerst die beiden Funktionsterme gleich und bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte. Dann setzt du die $x$-Koordinaten in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und bestimmst den zugehörigen $y$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} x^2+1 &=& -x^2 &\quad \scriptsize \mid \; +x^2 \\[5pt] 2x^2+1 &=& 0 &\\[5pt] 2x^2 &=& -1& \\[5pt] x^2 &=& -0,5& \\[5pt] x &=& \sqrt{-0,5}& \\[5pt] \end{array}$
$ keine Lösung $
Diese Gleichung hat keine Lösung, da du keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen kannst. Die beiden Parabeln schneiden sich somit nicht.
$\blacktriangleright$  Zeichnerisch überprüfen
1. Schritt: Scheitelpunkt $S_1$ bestimmen
Da es sich um eine Normalparabel handelt, die um eins nach oben verschoben ist, kannst du den Scheitelpunkt sofort erkennen.
Der Scheitelpunkt $S_1$ hat die Koordinaten $S_1(0\mid 1)$.
2. Schritt: Scheitelpunkt $S_2$ bestimmen
Es handelt sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel, deren Scheitelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt. Der Scheitelpunkt $S_2$ hat somit die Koordinaten $S_2(0\mid 0)$.
3. Schritt: Schnittpunkte zeichnerisch bestimmen
Jetzt kannst du die Parabeln mithilfe der Scheitelpunkte $S_1(0 \mid 1)$ und $S_2(0\mid 0)$ zeichnen. Beachte, dass die Parabel $p_2$ wegen dem $-$ vor dem $x^2$ nach unten geöffnet ist.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 18: Parabeln
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 18: Parabeln
Die Parabeln schneiden sich in keinem Punkt.
#schnittpunkt#quadratischefunktion#parabel#quadratischegleichung

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Normalform bestimmen
Zuerst kannst du anhand der Koordinaten des Scheitelpunkts die Scheitelpunktform aufstellen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=2$
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=-5,5$
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt die Scheitelpunktform bestimmen:
Der Scheitelpunktform lautet: $y=(x-2)^2-5,5$.
Um die Normalform aus der Scheitelpunktform zu bestimmen, musst du die Scheitelpunktform ausmultiplizieren.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& (x-2)^2-5,5 & \\[5pt] y&=& x^2-4x+4-5,5 & \\[5pt] y&=& x^2-4x-1,5 & \\[5pt] \end{array}$
Die Normalform der Parabelgleichung $p_2$ lautet $y=x^2-4x-1,5$.
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $\boldsymbol{p_1}$ aufstellen
Tipp
Die allgemeine Parabelform hat die Funktionsgleichung $y= x^2+px+q$.
Tipp
Die allgemeine Parabelform hat die Funktionsgleichung $y= x^2+px+q$.
Um die Funktionsgleichung von Parabel $p_1$ aufzustellen, setzt du die beiden Punkte $A$ und $B$ in die allgemeine Parabelform ein. Dann kannst du die beiden Koeffizienten $p$ und $q$ bestimmen.
1. Schritt: Punkt $A$ einsetzen
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+px+q &\quad \scriptsize \mid\; A\,(0\mid 2,25) \\[5pt] 2,25&=& 0^2+p\cdot 0+q &\\[5pt] 2,25&=& q &\\[5pt] \end{array}$
$ q=2,25 $
Der Wert von $q$ ist $q=2,25$.
2. Schritt: Punkt $B$ einsetzen
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+px+q &\quad \scriptsize \mid\; B\,(4\mid -1,75)\;\mid \; q=2,25 \\[5pt] -1,75&=& 4^2+p\cdot 4+2,25 &\\[5pt] -1,75&=& 16+p\cdot 4+2,25 &\\[5pt] -1,75&=& 16+4p+2,25 &\\[5pt] -20&=& 4p &\\[5pt] p&=& -5 &\\[5pt] \end{array}$
$ p=-5 $
Der Wert von $p$ ist $p=-5$.
3. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen
Jetzt kannst du $p$ und $q$ in die allgemeine Parabelform einsetzen um die Funktionsgleichung von $p_1$ zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+px+q &\quad \scriptsize \mid\; p=-5 \mid\; q=2,25 \\[5pt] y&=& x^2-5x+2,25 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= x^2-5x+2,25 $
Die Funktionsgleichung von $p_1$ lautet $y=x^2-5x+2,25$.
c)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkt bestimmen
1. Schritt: Scheitelpunktform aufstellen
Um die Scheitelpunktform aufzustellen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-5x+2,25 & \quad \scriptsize \mid \text{Faktorisieren}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 2,5+2,25 & \quad \scriptsize \mid \text{quadratische Ergänzung}\;\\[5pt] y&=& x^2-2\cdot x \cdot 2,5+ 2,5^2-2,5^2 +2,25 & \\[5pt] y&=& (x^2-2\cdot x \cdot 2,5+ 2,5^2)-6,25+2,25 & \quad \scriptsize \mid \text{Binom aufstellen}\; \\[5pt] y&=& (x-2,5)^2-4 & \\[5pt] \end{array}$
$y= (x-2,5)^2-4 $
2. Schritt: Scheitelpunkt $S$ bestimmen
Mit der Formel : $y=(x-x_s)^2+y_s$ kannst du jetzt den Scheitelpunkt bestimmen:
Die $x$-Koordinate $x_s$ des Scheitelpunktes lautet: $x_s=2,5$.
Die $y$-Koordinate $y_s$ des Scheitelpunktes lautet: $y_s=-4$.
Der Scheitelpunkt hat somit die Koordinaten $S(2,5\mid -4)$.
d)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt berechnen
Setze zuerst die beiden Funktionsgleichungen gleich und bestimme die $x$-Koordinaten des Schnittpunktes. Dann setzt du die $x$-Koordinate in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und bestimmst den zugehörigen $y$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} x^2-4x-1,5 &=& x^2-5x+2,25 &\quad \scriptsize \mid \; -x^2 \; +5x \; -2,25 \\[5pt] x-3,75 &=& 0 & \\[5pt] x &=& 3,75 & \\[5pt] \end{array}$
$ x=3,75 $
Die beiden Parabeln schneiden sich in einem Punkt. Dieser hat die $x$-Koordinate $x=3,75$.
Jetzt kannst du den $x$-Wert in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um den zugehörenden $y$-Wert zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-4x-1,5 & \quad \scriptsize \mid\; x=3,75 \\[5pt] y&=& (3,75)^2-4\cdot (3,75) -1,5& \\[5pt] y&=& 14,0625 -15-1,5 & \\[5pt] y&=& -2,4375 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= -2,4375 $
Der Schnittpunkt $T$ hat somit die Koordinaten $T(3,75\mid -2,4375)$.
e)
$\blacktriangleright$  Parabeln zeichnen
Um die beiden Parabeln zu zeichnen legst du deine Parabelschablone an den Scheitelpunkt. Dann zeichnest du eine nach oben geöffnete Parabel.
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 19: Parabeln mit Schnittpunkt
Quadratische Funktionen und Gleichungen: Schnittpunkte von Funktionen berechnen
Abb. 19: Parabeln mit Schnittpunkt
Die beiden Parabeln schneiden sich im Punkt $T\approx \,(3,8 \mid -2,5)$.
#schnittpunkt#scheitelpunktform#scheitelpunkt#parabel
Bildnachweise [nach oben]
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