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Kreisbögen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Flächen: Kreisbögen
Abb. 1: Skizze Kreis
Flächen: Kreisbögen
Abb. 1: Skizze Kreis
b)
Berechne den Kreisumfang für $r=4\,\text{cm}$.
c)
Berechne für $\alpha=90^{\circ}$ und $r=4\,\text{cm}$ die Länge des Kreisbogens.
#kreisbogen#kreis

Aufgabe 1

Gegeben ist ein Kreis mit einem Durchmesser von $6\,\text{cm}$. Berechne für verschiedene Mittelpunktswinkel $\alpha$ die Länge des jeweiligen Kreisbogens.
b)
$\alpha = 180^{\circ}$
d)
$\alpha = 15^{\circ}$
#kreisbogen

Aufgabe 2

Betrachte die Formel zur Berechnung der Kreisbogenlänge genauer und erläutere sie.
#kreisbogen

Aufgabe 3

Lese anhand der Formel ab, wie groß der Mittelpunktswinkel $\alpha$ des Kreisbogens ist.
b)
$b= d \cdot \pi \cdot \frac{50^{\circ}}{360^{\circ}}$
d)
$b= d \cdot \pi \cdot \frac{1}{9}$
#kreis

Aufgabe 4

Wie verändert sich die Länge des Kreisbogens?
a)
Der Mittelpunktswinkel $\alpha$ wird größer.
b)
Der Mittelpunktswinkel $\alpha$ halbiert sich.
c)
Der Mittelpunktswinkel $\alpha$ verdreifacht sich.
d)
Der Radius wird kleiner.
e)
Der Radius verdoppelt sich.
#kreisbogen
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$ Skizze beschriften
Hier siehst du die vollständig beschriftete Skizze.
Flächen: Kreisbögen
Abb. 1: Skizze Kreis
Flächen: Kreisbögen
Abb. Zahl: Text
b)
$\blacktriangleright$ Kreisumfang berechnen
Die Formel für den Kreisumfang lautet:
$\begin{array}[t]{rll} U &=& 2 \cdot r \cdot \pi \\[5pt] &=& d \cdot \pi \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} U &=& 2 \cdot r \cdot \pi \\[5pt] &=& d \cdot \pi \end{array}$
Hier setzt du nun die Werte aus der Aufgabe ein.
$\begin{array}[t]{rll} U&=& 2 \cdot r \cdot \pi \\[5pt] &=& 2 \cdot 4\,\text{cm} \cdot \pi \\[5pt] &\approx& 25,13\,\text{cm} \end{array}$
Somit beträgt der Umfang des Kreises $U=25,13\,\text{cm}$.
c)
$\blacktriangleright$ Länge des Kreisbogens berechnen
Für die Berechnung des Kreisbogens benutzt du die folgende Formel:
$\begin{array}[t]{rll} b&=& 2 \cdot r \cdot \pi \cdot \frac{\alpha}{360^{\circ}} \\[5pt] &=& d \cdot \pi \cdot \frac{\alpha}{360^{\circ}} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} b&=& 2 \cdot r \cdot \pi \cdot \frac{\alpha}{360^{\circ}} \\[5pt] &=& d \cdot \pi \cdot \frac{\alpha}{360^{\circ}} \end{array}$
Nun setzt du die Werte aus der Aufgabe ein.
$\begin{array}[t]{rll} b &=& 2 \cdot r \cdot \pi \cdot \frac{\alpha}{360^{\circ}} \\[5pt] &=& 2 \cdot 4\,\text{cm} \cdot \pi \cdot \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \\[5pt] &=& 2 \cdot 4\,\text{cm} \cdot \pi \cdot \frac{1}{4} \\[5pt] &\approx& 6,28\,\text{cm} \end{array}$
Die Länge des Kreisbogens beträgt $b=6,28\,\text{cm}$.
#kreisbogen#kreis

Aufgabe 1

Benutze die Formel, welche du in der Einführungsaufgabe kennengelernt hast, um die Kreisbogenlänge zu berechnen.
b)
$\begin{array}[t]{rll} b&=& d \cdot \pi \cdot \frac{\alpha}{360^{\circ}}\\[5pt] &=& 6\,\text{cm} \cdot \pi \cdot \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}}\\[5pt] &=& 6\,\text{cm} \cdot \pi \frac{1}{2} \\[5pt] &\approx& 9,42\,\text{cm} \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} b&=& d \cdot \pi \cdot \frac{\alpha}{360^{\circ}}\\[5pt] &=& 6\,\text{cm} \cdot \pi \cdot \frac{15^{\circ}}{360^{\circ}}\\[5pt] &=& 6\,\text{cm} \cdot \pi \frac{1}{24} \\[5pt] &\approx& 0,79\,\text{cm} \end{array}$
#kreisbogen

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Formel erläutern
Wenn du die Formel genauer betrachtest, fällt dir auf, dass man sie in zwei Bestandteile aufteilen kann.
$b=\left(2\cdot r \cdot \pi \right) \cdot \frac{\alpha}{360^{\circ}}$
$b=\left(2\cdot \pi \cdot r \right) \cdot \frac{\alpha}{360^{\circ}}$
Der erste Bestandteil ist $2\cdot r \cdot \pi$, damit berechnest du den gesamten Kreisumfang. Der zweite Teil bildet das Verhältnis zwischen dem Winkel des Kreisbogens und dem gesamten Kreis. Damit wird berechnet, wie groß der Anteil des Kreisbogens am gesamten Kreis ist. Dies bedeutet, dass die Formel zuerst den Umfang des gesamten Kreises berechnet und diesen anschließend mit dem Anteil multipliziert.
#kreisbogen

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$Mittelpunktswinkel bestimmen
Um den Mittelpunktswinkel bestimmen zu können, musst du dir den hinteren Teil der Formel anschauen. Dieser berechnet den Anteil des Kreisbogens am gesamten Kreis. Bei dieser Aufgabe kannst du den Mittelpunktswinkel direkt ablesen, er entspricht dem Zähler des Bruchs. Der Mittelpunktswinkel beträgt also $\alpha=7^{\circ}$.
b)
$\blacktriangleright$Mittelpunktswinkel bestimmen
Wenn du einen genaueren Blick auf die Formel wirfst, erkennst du, dass du den Winkel wieder ablesen kannst. Der Mittelpunktswinkel beträgt also $\alpha=50^{\circ}$.
c)
$\blacktriangleright$Mittelpunktswinkel bestimmen
Betrachtest du die Formel, stellst du fest, dass bei dem Bruch am Ende der Nenner nicht mehr $360^{\circ}$ ist. Somit kannst du den Mittelpunktswinkel nicht wie zuvor ablesen. Du kannst ihn aber berechnen, indem du den Bruch am Ende der Formel mit $360^{\circ}$ multiplizierst. Daraus ergibt sich: $\alpha=\frac{1}{4}\cdot 360^{\circ} = 90^{\circ}$.
d)
$\blacktriangleright$Mittelpunktswinkel bestimmen
Hier berechnest du den Mittelpunktswinkel wie in der Teilaufgabe zuvor. Es ergibt sich: $\alpha=\frac{1}{9}\cdot 360^{\circ}=40^{\circ}$.
#kreis

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$Veränderung Kreisbogenlänge bestimmen
Du sollst nun eine Aussage darüber treffen, wie sich die Kreisbogenlänge verändert, wenn $\alpha$ größer wird. Da $\alpha$ im Zähler des Bruchs steht, wird der Bruch mit größer werdendem $\alpha$ auch größer und somit auch die Kreisbogenlänge.
b)
$\blacktriangleright$Veränderung Kreisbogenlänge bestimmen
Du sollst du die Veränderung des Mittelpunktswinkels bei Halbierung von $\alpha$ bestimmen. Hierfür setzt du in die Formel nun $\frac{1}{2}\alpha$ ein. Danach formst du solange um, bis du die ursprüngliche Formel multpliziert mit einem Multiplikator dastehen hast.
$\begin{array}[t]{rll} b_{neu}&=& 2 \cdot r \cdot \pi \cdot \dfrac{\frac{1}{2}a}{360^{\circ}} \\[5pt] &=& 2 \cdot r \cdot \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \dfrac{a}{360^{\circ}} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot r \cdot \pi \cdot \dfrac{a}{360^{\circ}} \right)\\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot b_{alt} \end{array}$
Du siehst, dass wenn sich $\alpha$ halbiert, dass sich dann auch die Kreisbogenlänge halbiert.
c)
$\blacktriangleright$Veränderung Kreisbogenlänge bestimmen
Du sollst du die Veränderung des Mittelpunktswinkels bei dreifachem $\alpha$ bestimmen. Hierfür setzt du in die Formel nun $3\alpha$ ein. Danach formst du wieder um.
$\begin{array}[t]{rll} b_{neu}&=& 2 \cdot r \cdot \pi \cdot \frac{3a}{360^{\circ}} \\[5pt] &=& 2 \cdot r \cdot \pi \cdot 3 \cdot \frac{a}{360^{\circ}} \\[5pt] &=& 3 \cdot \left(2 \cdot r \cdot \pi \cdot \dfrac{a}{360^{\circ}} \right)\\[5pt] &=& 3 \cdot b_{alt} \end{array}$
Du siehst, dass wenn sich $\alpha$ verdreifacht, dass sich dann auch die Kreisbogenlänge verdreifacht.
d)
$\blacktriangleright$Veränderung Kreisbogenlänge bestimmen
Du sollst nun die Veränderung des Mittelpunktswinkels bestimmen, wenn sich der Radius verkleinert. Da der Radius ein Multiplikator der Formel ist, wird bei kleinerem Radius auch die Kreisbogenlänge kleiner.
e)
$\blacktriangleright$Veränderung Kreisbogenlänge bestimmen
Du sollst die Veränderung des Mittelpunktswinkels bei doppeltem Radius bestimmen. Hierfür setzt du in die Formel nun $2r$ ein. Danach formst du wieder um.
$\begin{array}[t]{rll} b_{neu}&=& 2 \cdot 2r \cdot \pi \cdot \frac{a}{360^{\circ}} \\[5pt] &=& 2 \cdot 2 \cdot r \cdot \pi \cdot \frac{a}{360^{\circ}} \\[5pt] &=& 2 \cdot \left(2 \cdot r \cdot \pi \cdot \dfrac{a}{360^{\circ}} \right)\\[5pt] &=& 2 \cdot b_{alt} \end{array}$
Du siehst, dass wenn sich der Radius verdoppelt, dass sich dann auch die Kreisbogenlänge verdoppelt.
#kreisbogen
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