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Kreisumfang

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Ein Kreis ist eine runde Fläche, bei der alle Randpunkte den gleichen Abstand zur Mitte haben.
a)
Zeichne einen Kreis und markiere den Mittelpunkt des Kreises.
b)
Zeichne eine Gerade vom Mittelpunkt zum Rand des Kreises.
c)
Zeichne eine gerade Linie vom Rand des Kreises durch den Mittelpunkt zur gegenüberliegenden Randseite.
d)
Zeichne den Umfang des Kreises.
#kreis

Aufgabe 1

In der Ebene: Kreisumfang
Abb. 2: Eine Zwei-Euro Münze.
In der Ebene: Kreisumfang
Abb. 2: Eine Zwei-Euro Münze.
In der Ebene: Kreisumfang
Abb. 3: Eine Tasse heiße Schokolade.
In der Ebene: Kreisumfang
Abb. 3: Eine Tasse heiße Schokolade.
Zuhause lassen sich viele kreisförmige Gegenstände finden. Wie zum Beispiel ein Basketball, eine Münze oder die Tasse aus der du im Winter immer heiße Schokolade trinkst. Alle haben einen unterschiedlichen Umfang, den wir rot für dich markiert haben.
a)
Versuche den Umfang der Gegenstände zu schätzen und ordne sie ihrer wirklichen Größe nach.
b)
Von welcher Größe hängt wohl der Umfang ab?
#umfang#kreis

Aufgabe 2

GegenstandDurchmesser dUmfang UU : d
Tasse6 cm18,6 cm3,1
Dose8,8 cm27,7 cm
#durchmesser#tabelle#umfang

Aufgabe 3

Die Kreiszahl $\pi$, oder gesprochen Pi, ist eine unendliche Dezimalzahl, die du zum Berechnen des Kreisumfangs brauchst. Für das Rechnen benötigst du jedoch nur den Näherungswert 3,14.
Wie viele Nachkommastellen von $\pi$ gibt dein Taschenrechner an? Drücke die $\pi$-Taste und vergleiche.
#kreiszahl

Aufgabe 4

In der Einführungsaufgabe hast du schon verschiedene Möglichkeiten zur Berechnung des Kreisumfangs kennen gelernt. Berechne jeweils den Umfang mit $\pi$ = 3,14 und mit Hilfe der verschiedenen Rechenwege.
b)
d = $ 13\,\text{cm} $
d)
r = $ 5,9\,\text{m} $
f)
d = $ 84\,\text{cm} $
h)
d = $ 4,9\,\text{dm} $
j)
r = $ 2,5\,\text{dm} $
l)
d = $ 9\,\text{cm} $
#kreis#umfang#durchmesser

Aufgabe 5

In der Ebene: Kreisumfang
Abb. 4: Mars
In der Ebene: Kreisumfang
Abb. 4: Mars
#umfang#radius

Aufgabe 6

Ergänze die Tabelle.
a)b)c)d)e)f)g)
Radius r$ 21\,\text{cm} $$ 140,5\,\text{mm} $
Durchmesser d$ 14\,\text{cm} $$ 320\,\text{mm} $$ 2,75\,\text{m} $
Umfang U$ 36,1\text{cm} $$ 105,48\,\text{m} $
#tabelle#durchmesser#umfang#radius

Aufgabe 7

Ein Din-A3-Blatt hat die Maße a = $ 297\,\text{mm} $ und b = $ 420\,\text{mm} $. Du kannst das Blatt auf zwei verschiedene Arten zu einer Röhre falten, indem du jeweils die gegenüberliegenden Kanten aneinander stoßend mit einem Klebeband zusammenklebst.
Berechne für beide Röhren den Durchmesser.
#durchmesser

Aufgabe 8

a)
Der Balkon A soll an der runden Seite mit einer Brüstung abgesichert werden. Wie lang ist der einzufassende Rand?
b)
Berechne bei den Figuren B und C zuerst jeweils den Umfang des äußeren Kreises, dann die Umfänge der inneren Kreise.
In der Ebene: Kreisumfang
Abb. 5: Balkon A
In der Ebene: Kreisumfang
Abb. 5: Balkon A
In der Ebene: Kreisumfang
Abb. 6: Figur B
In der Ebene: Kreisumfang
Abb. 6: Figur B
In der Ebene: Kreisumfang
Abb. 7: Figur C
In der Ebene: Kreisumfang
Abb. 7: Figur C
#kreis#umfang
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

In der Ebene: Kreisumfang
Abb. 1: Kreis mit Mittelpunkt, Radius, Durchmesser und Umfang.
In der Ebene: Kreisumfang
Abb. 1: Kreis mit Mittelpunkt, Radius, Durchmesser und Umfang.
a)
$\blacktriangleright$ Kreis zeichnen und Mittelpunkt markieren
Der rote Punkt in der Mitte des Kreises, von dem alle Randpunkte den selben Abstand haben, nennt man auch Mittelpunkt oder „ M “.
b)
$\blacktriangleright$ Gerade Mittelpunkt - Rand zeichnen
Den Abstand von den Randpunkten zum Mittelpunkt nennt man Radius oder „ r “. In unserem Kreis stellt der Radius die grüne Linie dar.
c)
$\blacktriangleright$ Gerade Rand - Rand zeichnen
Der Durchmesser des Kreises ist die Fortführung des Radius durch den Mittelpunkt bis zur anderen Seite. Das entspricht genau zweimal dem Radius. Der Durchmesser ist die längste Linie, die durch einen Kreis gezogen werden kann und die den Kreis in zwei gleiche Hälften aufteilt, wie du an der blauen Linie in unserem Bild erkennen kannst. Der Durchmesser wird mit einem kleinen „ d “ bezeichnet. Den Durchmesser berechnest du, indem du deinen Radius r mal zwei nimmst:
$d = 2 \cdot r$
$d = 2 \cdot r$
d)
$\blacktriangleright$ Umfang zeichnen
Der Umfang ist die rote Umrandung „ U “ des Kreises. Für jeden Kreis gilt, dass sein Umfang 3,14 - mal so groß ist wie sein Durchmesser. Die Zahl 3,14 heißt Kreiszahl, geschrieben $\pi$ , gesprochen pi. Den Kreisumfang kannst du also wie folgt berechnen:
$\text{Kreisumfang} = \text{Durchmesser} \cdot 3,14$
$U = d \cdot $ $\pi$
$U = (2 \cdot r) \cdot 3,14$
$\text{Kreisumfang} = \text{Durchmesser} \cdot 3,14$
$U = d \cdot $ $\pi$
$U = (2 \cdot r) \cdot 3,14$
#kreis#durchmesser#umfang#radius

Aufgabe 1

In der Ebene: Kreisumfang
Abb. 3: Eine Zwei-Euro Münze.
In der Ebene: Kreisumfang
Abb. 3: Eine Zwei-Euro Münze.
In der Ebene: Kreisumfang
Abb. 4: Eine Tasse heiße Schokolade.
In der Ebene: Kreisumfang
Abb. 4: Eine Tasse heiße Schokolade.
a)
$\blacktriangleright$ Umfang abschätzen und der wirklichen Größe nach ordnen
Umfang Basketball: $ 724\,\text{mm} $
Umfang Tasse: $ 160\,\text{mm} $
Umfang Zwei-Euro-Stück: $ 81\,\text {mm} $
b)
$\blacktriangleright$ Von welcher Größe hängt wohl der Umfang ab?
Der Umfang hängt vom Radius ab.
#umfang#radius

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Umfang und Durchmesser anderer kreisförmiger Gegenstände messen und Tabelle damit ergänzen
b)
$\blacktriangleright$ Bei allen berechnen, wie oft Durchmesser im Umfang enthalten ist
GegenstandDurchmesser dUmfang UU : d
Tasse6 cm18,6 cm3,1
Dose8,8 cm27,7 cm3,1
#umfang#tabelle#durchmesser

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ $\pi$-Taste von Taschenrechner drücken und Nachkommastellen vergleichen
$\pi$= 3,14159265358
#kreiszahl#kreis

Aufgabe 4

In der Einführungsaufgabe hast du schon verschiedene Möglichkeiten zur Berechnung des Kreisumfangs kennen gelernt.
$\text{Kreisumfang} = \text{Durchmesser} \cdot 3,14$
$U = d \cdot $ $\pi$
$U = (2 \cdot r) \cdot 3,14$
$\text{Kreisumfang} = \text{Durchmesser} \cdot 3,14$
$U = d \cdot $ $\pi$
$U = (2 \cdot r) \cdot 3,14$
$\blacktriangleright$ Umfang berechnen
Berechne jeweils den Umfang mit $\pi$ = 3,14 und mit Hilfe der verschiedenen Rechenwege.
a)
$\begin{array}[t]{rll} U&=&d\cdot \pi \\[5pt] &=& 22\,\text{cm}\cdot \pi \\[5pt] &\approx& 69\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang beträgt ungefähr $ 69\,\text{cm} $.
b)
$\begin{array}[t]{rll} U&=&d\cdot \pi \\[5pt] &=& 13\,\text{cm}\cdot \pi \\[5pt] &\approx& 41\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang beträgt ungefähr $ 41\,\text{cm} $.
c)
$\begin{array}[t]{rll} U&=&d\cdot \pi \\[5pt] &=& 160\,\text{mm}\cdot \pi \\[5pt] &\approx& 502\,\text{mm} \end{array}$
Der Umfang beträgt ungefähr $ 502\,\text{mm} $.
d)
$\begin{array}[t]{rll} U&=&(2 \cdot r) \cdot \pi \\[5pt] &=& 11,8\,\text{m}\cdot \pi \\[5pt] &\approx& 37\,\text{m} \end{array}$
Der Umfang beträgt ungefähr $ 37\,\text{m} $.
e)
$\begin{array}[t]{rll} U&=&(2 \cdot r) \cdot \pi \\[5pt] &=& 64\,\text{cm}\cdot \pi \\[5pt] &\approx& 201\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang beträgt ungefähr $ 201\,\text{cm} $.
f)
$\begin{array}[t]{rll} U&=&d\cdot \pi \\[5pt] &=& 84\,\text{cm}\cdot \pi \\[5pt] &\approx& 264\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang beträgt ungefähr $ 264\,\text{cm} $.
g)
$\begin{array}[t]{rll} U&=&(2 \cdot r) \cdot \pi \\[5pt] &=& 7,2\,\text{m}\cdot \pi \\[5pt] &\approx& 23\,\text{m} \end{array}$
Der Umfang beträgt ungefähr $ 23\,\text{m} $.
h)
$\begin{array}[t]{rll} U&=&d\cdot \pi \\[5pt] &=& 4,9\,\text{dm}\cdot \pi \\[5pt] &\approx& 15\,\text{dm} \end{array}$
Der Umfang beträgt ungefähr $ 15\,\text{dm} $.
i)
$\begin{array}[t]{rll} U&=&d\cdot \pi \\[5pt] &=& 12\,\text{m}\cdot \pi \\[5pt] &\approx& 38\,\text{m} \end{array}$
Der Umfang beträgt ungefähr $ 38\,\text{m} $.
j)
$\begin{array}[t]{rll} U&=&(2 \cdot r) \cdot \pi \\[5pt] &=& 5\,\text{dm}\cdot \pi \\[5pt] &\approx& 16\,\text{dm} \end{array}$
Der Umfang beträgt ungefähr $ 16\,\text{dm} $.
k)
$\begin{array}[t]{rll} U&=&(2 \cdot r) \cdot \pi \\[5pt] &=& 640\,\text{mm}\cdot \pi \\[5pt] &\approx& 2010\,\text{mm} \end{array}$
Der Umfang beträgt ungefähr $ 2010\,\text{mm} $.
l)
$\begin{array}[t]{rll} U&=&d\cdot \pi \\[5pt] &=& 9\,\text{cm}\cdot \pi \\[5pt] &\approx& 28\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang beträgt ungefähr $ 28\,\text{cm} $.
#kreis#umfang

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$ Umfang berechnen
Berechne anhand des gegebenen Durchmessers von $ 6.800\,\text{km} $ den Umfang des Planeten Mars.
$\begin{array}[t]{rll} U&=& d \cdot \pi \\[5pt] &=& 6.800\,\text{km} \cdot \pi \\[5pt] &=& 21.352\,\text{km} \end{array}$
Der Umfang beträgt $21.352\,\text{km}$.
b)
$\blacktriangleright$ Strecke zum Mittelpunkt berechnen.
Berechne anhand des gegebenen Durchmessers von $ 6.800\,\text{km} $ den Radius des Planeten Mars.
$\begin{array}[t]{rll} r&=& d : 2 \\[5pt] &=& 6.800\,\text{km} : 2 \\[5pt] &=& 3.400\,\text{km} \end{array}$
Die Strecke zum Mittelpunkt (Radius) beträgt $3.400\,\text{km}$.
#radius#umfang

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$ Tabelle ergänzen
Um die Tabelle zu ergänzen, kannst du wieder die Rechenwege aus der Einführungsaufgabe zu Hilfe nehmen.
$\text{Kreisumfang} = \text{Durchmesser} \cdot 3,14$
$U = d \cdot $ $\pi$
$U = (2 \cdot r) \cdot 3,14$
$d = 2 \cdot r$
$r= d : 2$
$\text{Kreisumfang} = \text{Durchmesser} \cdot 3,14$
$U = d \cdot $ $\pi$
$U = (2 \cdot r) \cdot 3,14$
$d = 2 \cdot r$
$r= d : 2$
a)b)c)d)e)f)g)
Radius r$ 7\,\text{cm} $$ 5,745\,\text{cm} $$ 21\,\text{cm} $$ 160\,\text{mm} $$ 16,795\,\text{m} $$ 140,5\,\text{mm} $$ 1,375\,\text{m} $
Durchmesser d$ 14\,\text{cm} $$ 11,49\,\text{cm} $$ 42\,\text{cm} $$ 320\,\text{mm} $$ 33,59\,\text{m} $$ 281\,\text{mm} $$ 2,75\,\text{m} $
Umfang U$ 43,96\,\text{cm} $$ 36,1\text{cm} $$ 131,88\,\text{cm} $$ 1004,8\,\text{mm} $$ 105,48\,\text{m} $$ 882,34\,\text{mm} $$ 8,635\,\text{m} $
#tabelle#umfang#durchmesser#radius

Aufgabe 7

$\blacktriangleright$ Durchmesser berechnen
Ein Din-A3-Blatt hat die Maße a = $ 297\,\text{mm} $ und b = $ 420\,\text{mm} $. Du kannst das Blatt auf zwei verschiedene Arten zu einer Röhre falten, indem du jeweils die gegenüberliegenden Kanten aneinander stoßend mit einem Klebeband zusammenklebst.
Dabei ergibt das jeweilige Maß der Kante den Umfang der Röhre.
a)
a = $ 297\,\text{mm} $
$\begin{array}[t]{rll} U&=& d \cdot \pi &\quad \scriptsize \mid\; :\pi \\[5pt] U : \pi&=& d \\[5pt] 297\,\text{mm} : \pi &=& d \\[5pt] 94,6\,\text{mm}&\approx&d \end{array}$
Der Durchmesser der ersten Röhre beträgt ungefähr $94,6\,\text{mm}$.
b)
b = $ 420\,\text{mm} $
$\begin{array}[t]{rll} U&=& d \cdot \pi &\quad \scriptsize \mid\; :\pi \\[5pt] U : \pi&=& d \\[5pt] 420\,\text{mm} : \pi &=& d \\[5pt] 133,8\,\text{mm}&\approx&d \end{array}$
Der Durchmesser der zweiten Röhre beträgt ungefähr $133,8\,\text{mm}$.
#durchmesser

Aufgabe 8

a)
$\blacktriangleright$ Einzufassenden Rand berechnen
Bei dieser Aufgabe solltest du zunächst den Durchmesser berechnen, da du die Länge des Radius schon gegeben hast. Anschließend kannst du den Umfang des Kreises berechnen. Da die Brüstung jedoch nur ein Halbkreis ist dividierst du den Umfang des berechneten Kreises durch Zwei, um die Länge des einzufassenden Randes zu erhalten.
In der Ebene: Kreisumfang
Abb. 5: Balkon A
In der Ebene: Kreisumfang
Abb. 5: Balkon A
$\begin{array}[t]{rll} d&=&r \cdot 2 \\[5pt] &=& 3\,\text{m} \cdot 2 \\[5pt] &=& 6\,\text{m} \end{array}$
Der Durchmesser beträgt $6\,\text{m}$.
$\begin{array}[t]{rll} U&=&d \cdot \pi \\[5pt] &=& 6\,\text{m} \cdot \pi \\[5pt] &=& 18,84\,\text{m} \end{array}$
Der Umfang beträgt $18,84\,\text{m}$.
Länge des einzufassenden Randes L:
$\begin{array}[t]{rll} U : 2&=& L \\[5pt] 18,84\,\text{m} : 2&=& L \\[5pt] 9,42\,\text{m} &=& L \end{array}$
Die Länge des einzufassenden Randes beträgt $9,42\,\text{m}$.
b)
$\blacktriangleright$ Umfang des äußeren Kreises berechnen, dann Umfänge der inneren Kreise
In der Ebene: Kreisumfang
Abb. 6: Figur B
In der Ebene: Kreisumfang
Abb. 6: Figur B
Bei Figur B hast du den Durchmesser des äußeren Kreises schon gegeben. Anhand dessen berechnest du nun zuerst den Umfang des äußeren Kreises. Anschließend kannst du die Umfänge der inneren Kreise berechnen, indem du den Durchmesser des äußeren Kreises durch 3 teilst, da die 3 inneren Kreise gleich groß sind und somit den gleichen Durchmesser besitzen. Sobald du die Länge der Durchmesser weißt, kannst du auch die Umfänge der kleineren Kreise bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} U&=&d \cdot \pi \\[5pt] &=& 6\,\text{cm} \cdot \pi \\[5pt] &=& 18,84\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang des äußeren Kreises beträgt $18,84\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} d &=& 6\,\text{cm} : 3 \\[5pt] &=& 2\,\text{cm} \end{array}$
Der Durchmesser der inneren Kreise beträgt $2\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} U&=&d \cdot \pi \\[5pt] &=& 2\,\text{cm} \cdot \pi \\[5pt] &=& 6,28\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang der inneren Kreise beträgt $6,28\,\text{cm}$.
In der Ebene: Kreisumfang
Abb. 7: Figur C
In der Ebene: Kreisumfang
Abb. 7: Figur C
Bei Figur C hast du ebenfalls den Durchmesser des äußeren Kreises schon gegeben. Anhand dessen berechnest du nun zuerst den Umfang des äußeren Kreises. Anschließend kannst du die Umfänge der inneren Kreise berechnen, indem du zuerst den gegebenen Durchmesser des rechten Kreises nutzt um dessen Umfang zu berechnen. Den Durchmesser des kleineren Kreises berechnest du, indem du von dem Durchmesser des äußeren Kreises den Durchmesser des größeren inneren Kreises subtrahierst. Mit diesem Ergebnis kannst du dann auch den Umfang des kleineren inneren Kreises berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} U&=&d \cdot \pi \\[5pt] &=& 24\,\text{cm} \cdot \pi \\[5pt] &=& 75,36\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang des äußeren Kreises beträgt $75,36\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} U&=&d \cdot \pi \\[5pt] &=& 18\,\text{cm} \cdot \pi \\[5pt] &=& 56,52\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang des großen inneren Kreises beträgt $56,52\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} d &=& 24\,\text{cm} - 18 \\[5pt] &=& 6\,\text{cm} \end{array}$
Der Durchmesser des kleinen inneren Kreises beträgt $6\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} U&=&d \cdot \pi \\[5pt] &=& 6\,\text{cm} \cdot \pi \\[5pt] &=& 18,84\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang des kleinen inneren Kreises beträgt $18,84\,\text{cm}$.
#umfang#kreis
Bildnachweise [nach oben]
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