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Zerlegen und berechnen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

$\;$
Das abgebildete Rechteck lässt sich mit der Formel: $A= a \cdot b$ berechnen. Überlege mit Hilfe der Zeichnungen wie sich der Flächeninhalt eines Dreiecks und einses Parallelogramms berechnen lässt.
Flächen: Zerlegen und berechnen
Abb. 1: Rechteck, Parallelogramm und Dreieck
Flächen: Zerlegen und berechnen
Abb. 1: Rechteck, Parallelogramm und Dreieck
#rechteck#parallelogramm#dreieck

Aufgabe 1

a)
Zeichne folgende Figuren in dein Heft und zerlege sie in Teilflächen, die du mit den bekannten Formeln berechnen kannst. Gibt es noch andere Möglichkeiten die Körper zu unterteilen?
b)
Berechne die Flächeninhalte der Figuren $A-D$.
#rechteck#dreieck

Aufgabe 2

a)
Trage in ein Koordinatensystem die Punkte $A(1\;|\;1)$, $B(1\;|\;5)$, $C(6\;|\;5)$, $D(10\;|\;8)$, $E(9\;|\;4)$ und $F(6\;|\;1)$ ein. Verbinde die Punkte und zerlege die Figur so, dass du sie auf bekannte Formen zurückführst. Berechne anschließend den Flächeninhalt.
b)
Trage in ein Koordinatensystem die Punkte $A(2\;|\;2)$, $B(1\;|\;4)$, $C(3\;|\;6)$, $D(5,5\;|\;6)$, $E(9\;|\;4)$ und $F(5,5\;|\;2)$ ein. Verbinde die Punkte und zerlege die Figur so, dass du sie auf bekannte Formen zurückführst. Berechne anschließend den Flächeninhalt.
#koordinaten

Aufgabe 3

$\;$
Du hast folgende Figuren gegeben. Berechne den Flächeninhalt mit den angegebenen Maßen.
#rechteck#dreieck

Aufgabe 4

$\;$
Trage folgende Punkte in ein passendes Koordinatesystem ein. Berechne den Flächeninhalt der entstehenden Figur.
a)b)c)
$A(1\;|\;2)$$A(1\;|\;2)$$A(1\;|\;1)$
$B(1\;|\;4)$$B(7,5\;|\;1)$$B(4,5\;|\;2)$
$C(1\;|\;7,5)$$C(3\;|\;10)$$C(2\;|\;6,5)$
$D(5\;|\;7,5)$$D(5\;|\;7,5)$$D(5\;|\;6,5)$
$E(9\;|\;4)$$E(7\;|\;4,5)$$E(5\;|\;4,5)$
$F(5\;|2\;)$$F(5\;|\;2)$$F(5\;|\;1)$
#koordinaten
Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

$\;$
Du sollst dir überelgen, wie der Flächeninhalt des Parallelogramms und des Dreiecks berechnet werden kann. Dazu ist dir als Hilfe die Formel
$A=a\cdot b$
$A=a\cdot b$
zur Berechnung eines Rechtecks gegeben. Wenn du das Parallelogramm betrachtest, kannst du erkennen, dass du die Figur zerlegen kannst. Auf der einen Seite kannst du ein Dreieck abtrennen und genau dieses Dreieck auf der anderen Seite wieder anfügen, sodass ein Rechteck entsteht. Die Seite $b$ des Rechtecks entspricht nun der Höhe $h$ des Parallelogramms. Du kannst den Flächeninhalt des Parallelogramms also berechnen mit:
$A=a\cdot h$
$A=a\cdot h$
Den Flächeninhalt eines Dreiecks kannst du berechnen, indem du das Parallelogrammes zerlegst. Wenn du eine Diagonale im Parallelogramm einzeichnest, erhältst du zwei gleich große Dreiecke. Die Fläche eines der Dreiecke ist also genau so groß wie die Hälfte des Parallelogramms. Die Formel für ein solches Dreieck lautet:
$A=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h$
$A=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h$
#dreieck#rechteck#parallelogramm

Aufgabe 1

a)
b)
Flächeninhalt von $A$ berechnen:
Du kannst die Fläche $A$ in die drei Teilflächen $1$, $2$ und $3$ wie in der Abbildung $1$ unterteilen. Die Teilflächen $1-3$ sind Rechtecke. Somit kannst du für jede Teilfläche die Formel $A=a\cdot b$ verwenden und die Flächeninhalte der Teilflächen addieren.
  • Teilfläche $1$ berechnen
  • $A_1=5 \cdot 11 =55\; \text{LE}^2$
  • Teilfläche $2$ berechnen
  • $A_2=3 \cdot 8 =24\;\text{LE}^2$
  • Teilfläche $3$ berechnen
  • $A_3=4 \cdot 5 =20\;\text{LE}^2$
    Du kannst nun die Gesamtfläche berechnen, indem du die einzelnen Flächen addierst. Es ergibt sich ein Gesamtflächeninhalt von:
    $A_{ges}=A_1+A_2+A_3=94\;\text{LE}^2$
Flächeninhalt von $B$ berechnen:
  • Teilfläche $1$ berechnen
  • $A_1=4 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 16\;\text{LE}^2$
  • Teilfläche $2$ berechnen
  • $A_2=5\cdot 14 =70\;\text{LE}^2$
    Du kannst nun die Gesamtfläche berechnen, indem du die einzelnen Flächen addierst. Es ergibt sich ein Gesamtflächeninhalt von:
    $A_{ges}=A_1+A_2=86\;\text{LE}^2$
Flächeninhalt von $C$ berechnen:
  • Teilfläche $1$ berechnen
  • $A_1=10 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}=10\;\text{LE}^2$
  • Teilfläche $2$ berechnen
  • $A_2=6 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}=9\;\text{LE}^2$
  • Teilfläche $3$ berechnen
  • $A_3=A_1$
  • Teilfläche $4$ berechnen
  • $A_4=6\cdot 2\cdot \frac{1}{2}$
  • Teilfläche $5$ berechnen
  • $A_5=10 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}=60\;\text{LE}^2$
    Du kannst nun die Gesamtfläche berechnen, indem du die einzelnen Flächen addierst. Es ergibt sich ein Gesamtflächeninhalt von:
    $A_{ges}=A_1+A_2+A_3+A_4=95\;\text{LE}^2$
    $ 95\;\text{LE}^2 $
Flächeninhalt von $D$ berechnen:
  • Teilfläche $1$ berechnen
  • $A_1=6,5\cdot 4= 26\;\text{LE}^2$
  • Teilfläche $2$ berechnen
  • $A_2=2,5 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}=3,75\;\text{LE}$
    Du kannst nun die Gesamtfläche berechnen, indem du die einzelnen Flächen addierst. Es ergibt sich ein Gesamtflächeninhalt von:
    $A_{ges}=A_1+A_2=29,75\;\text{LE}^2$
#dreieck#rechteck

Aufgabe 2

a)
Flächeninhalt $1$ berechnen
$A_1=4 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}= 6\;\text{LE}^2$
Flächeninhalt $2$ berechnen
$A_2=9 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}= 18\;\text{LE}^2$
Du kannst den gesamten Flächeninhalt nun berechnen, indem du die einzelnen Flächeninhalte addierst:
$A_{ges}=A_1+A_2=6\;\text{LE}^2+18\;\text{LE}^2=24\;\text{LE}^2$
$ 24\;\text{LE}^2 $
Der Flächeninhalt der Figur ist also $24\;\text{LE}^2$ groß.
b)
Flächeninhalt $1$ berechnen
$A_1=4 \cdot 1,5 \cdot \frac{1}{2}=3\;\text{LE}^2$
Flächeninhalt $2$ berechnen
$A_2=3 \cdot 4=12\;\text{LE}^2$
Flächeninhalt $3$ berechnen
$A_3=4 \cdot 3,5 \cdot \frac{1}{2}=7\;\text{LE}^2$
Du kannst den gesamten Flächeninhalt nun berechnen, indem du die einzelnen Flächeninhalte addierst:
$A_{ges}=A_1+A_2+A_3=3\;\text{LE}^2+7\;\text{LE}^2+12\;\text{LE}^2=24\;\text{LE}^2$
$ 24\;\text{LE}^2 $
Der Flächeninhalt der Figur ist also $24\;\text{LE}^2$ groß.
#dreieck#rechteck

Aufgabe 3

a)
Flächeninhalt Teil $1$ berechnen
Die Figur $1$ ist $3\;\text{cm}$ lang und $2\;\text{cm}$ breit. Somit ergibt sich ein Flächeninhalt von:
$A_1=a \cdot b$
$A_1=3\;\text{cm} \cdot 2\;\text{cm}=6\;\text{cm}^2$
Flächeninhalt Teil $2$ berechnen
Die Figur $2$ ist $2\;\text{cm}$ hoch und $1\;\text{cm}$ breit. Es handelt sich um ein Dreieck, somit ergibt sich ein Flächeninhalt von:
$A_2=a \cdot b \cdot \frac {1}{2}$
$A_2=2\;\text{cm} \cdot 1\;\text{cm} \cdot \frac {1}{2}=1\;\text{cm}^2$
Addiere nun die Inhalte der Flächen, um den gesamten Flächeninhalt zu erhalten. $A_{ges}=A_1+A_2=6\;\text{cm}^2+1\;\text{cm}^2=7\;\text{cm}^2$
Der Flächeninhalt des Körpers ist $7\;\text{cm}$ groß.
b)
Flächeninhalt Teil $1$ berechnen
Die Figur $1$ ist $7\;\text{cm}$ lang und $2\;\text{cm}$ breit. Somit ergibt sich ein Flächeninhalt von:
$A_1=a \cdot b$
$A_1=7\;\text{cm} \cdot 2\;\text{cm}=14\;\text{cm}^2$
Flächeninhalt Teil $2$ berechnen
Die Figur $2$ ist $3\;\text{cm}$ hoch und $7\;\text{cm}$ breit. Es handelt sich um ein Dreieck, somit ergibt sich ein Flächeninhalt von:
$A_2=a \cdot b \cdot \frac {1}{2}$
$A_2=3\;\text{cm} \cdot 7\;\text{cm} \cdot \frac {1}{2}=10,5\;\text{cm}^2$
Addiere nun die Inhalte der Flächen, um den gesamten Flächeninhalt zu erhalten.
$A_{ges}=A_1+A_2=10,5\;\text{cm}^2+14\;\text{cm}^2=24,5\;\text{cm}^2$
$ 24,5\;\text{cm}^2 $
Der Flächeninhalt des Körpers ist $24,5\;\text{cm}$ groß.
#dreieck#rechteck

Aufgabe 4

a)
b)
c)
#rechteck#dreieck
Bildnachweise [nach oben]
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