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Lage von Geraden

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Eine Gerade im dreidimensionalen Raum hat 3 Komponenten für je eine Richtung im Raum (z.B.: $x_1,\;x_2$ und $x_3$-Richtung). Ist eine Komponente des Stütz- und/oder Richtungsvektors einer Geraden ungleich Null, so durchläuft diese Gerade diese Richtung im Raum. Eine solche Gerade kann auf eine Ebene projiziert werden, wie im Schaubild dargestellt wurde.
Geraden: Lage von Geraden
Wird eine Projektionsebene angegeben, so erhältst du die projizierte Gerade, indem du die Komponenten des Stütz- und Richtungsvektors gleich Null setzt, die nicht von der Projektionsebene erfasst werden.

Beispiel

Projiziere die Gerade
$g:\;\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}$
auf die $x_1x_3$-Ebene.
In der $x_1x_3$-Ebene sind alle $x_2$-Koordinaten gleich Null, setze also in der Geradengleichung zu $g$ die $x_2$-Komponenten gleich Null:
$g_{x_1x_3}:\;\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}4\\0\\4\end{pmatrix}$
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1.
Projiziere die Gerade auf die entsprechende Koordinatenebene und gib die Gleichung der Projektionsebene an.
a)
$g\; :\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ { 1} \\ 4 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { 2} \\ 0 \\ -1 \\ \end{array}} \right)$; Projektionsebene: $x_2,x_3$-Ebene
b)
$h\; :\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 5 \\ { 0} \\ 2 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} { 3} \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$; Projektionsebene: $x_1,x_2$-Ebene
c)
$i\; :\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ {2} \\ 6 \\ \end{array}} \right) + u\left( {\begin{array}{*{20}r} { 3} \\ 2 \\ 5 \\ \end{array}} \right)$; Projektionsebene: $x_1,x_3$-Ebene
d)
Gerade durch $A(1\mid2\mid4)$ und $B(-2\mid1\mid6)$; Projektionsebene: $x_1,x_2$-Ebene
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1.
a) $E$: $x_1=0$ ist die Gleichung der Projektionsebene. Daher müssen die $x_1$-Komponenten der Gleichung gleich Null gesetzt werden.
Es ergibt sich die Projektionsgerade $g'\; :\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ { 1} \\ 4 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { 0} \\ 0 \\ -1 \\ \end{array}} \right)$
b) $E$: $x_3=0$ ist die Gleichung der Projektionsebene. Daher müssen die $x_3$-Komponenten der Gleichung gleich Null gesetzt werden.
Es ergibt sich die Projektionsgerade $h'\; :\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 5 \\ { 0} \\ 0 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} { 3} \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$
c) $E$: $x_2=0$ ist die Gleichung der Projektionsebene. Daher müssen die $x_2$-Komponenten der Gleichung gleich Null gesetzt werden.
Es ergibt sich die Projektionsgerade $i'\; :\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ {0} \\ 6 \\ \end{array}} \right) + u\left( {\begin{array}{*{20}r} { 3} \\ 0 \\ 5 \\ \end{array}} \right)$
d) Gerade aufstellen:
$g:\; \overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ {2} \\ 4 \\ \end{array}} \right) + u\left( {\begin{array}{*{20}r} {-2-1} \\ 1-2 \\ 6-4 \\ \end{array}} \right)$
$g:\; \overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ {2} \\ 4 \\ \end{array}} \right) + u\left( {\begin{array}{*{20}r} { -3} \\ -1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$
$E:\;x_3=0$ ist die Gleichung der Projektionsebene. Daher müssen die $x_3$-Komponenten der Gleichung gleich Null gesetzt werden.
Es ergibt sich die Projektionsgerade $g':\; \overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ {2} \\ 0 \\ \end{array}} \right) + u\left( {\begin{array}{*{20}r} { -3} \\ -1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$
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