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Punktprobe

Spickzettel
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Möchtest du testen, ob ein Punkt $P(p_1 \mid p_2 \mid p_3)$ auf einer gegebenen Geraden $g$ liegt, so kannst du eine Punktprobe durchführen. Dabei setzt du den Ortsvektor des Punktes $P$ mit der Geradengleichung zu $g$ gleich. Dadurch erhältst du ein lineares Gleichungssystem und kannst überprüfen, ob es einen möglichen Parameterwert für $t$ gibt, sodass alle Gleichungen erfüllt werden:
$\overrightarrow{OP}\, \stackrel{!}{=}\, \overrightarrow{u}+ t \cdot \overrightarrow{v}$
$\overrightarrow{OP}\, \stackrel{!}{=}\, \overrightarrow{u}+ t \cdot \overrightarrow{v}$

Beispiel

Überprüfe, ob der Punkt $P(1 \mid 1 \mid -4)$ auf der Geraden $g: \overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}3\\3\\-1\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}$ liegt:
$\begin{pmatrix}1\\1\\-4\end{pmatrix} \stackrel{!}{=} \begin{pmatrix}3\\3\\-1\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix} $
Daraus erhältst du drei Gleichungen, die du nach dem Parameter $t$ auflösen sollst:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&1&=&3+2t\quad &\Leftrightarrow \; t=-1\\ \text{II}\quad&1&=&3+2t\quad & \Leftrightarrow \; t=-1\\ \text{III}\quad&-4&=&-1+3t\quad&\Leftrightarrow \; t=-1\\ \end{array}$
$\text{I}\;1=3+2t\;…$
Für $t=-1$ sind alle drei Gleichungen erfüllt, das heißt, es existiert ein Parameterwert für $t$ und der Punkt $P$ liegt auf der Geraden $g$.
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Aufgaben
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1.
Überprüfe, ob der angegebene Punkt auf der jeweiligen Geraden liegt.
a)
$A\left(1\mid2\mid4\right)$, $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ { 3} \\ 1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 1} \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$
b)
$B(-1\mid4\mid1)$, $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { - 2} \\ -1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 1} \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$
c)
$C\left(\frac{1}{2}\mid-\frac{1}{2}\mid1\right)$, $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { - 1} \\ 2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 1} \\ 1 \\ -2 \\ \end{array}} \right)$
d)
$D(2\mid-1,25\mid0)$, $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { - 1} \\ 8 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 4} \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$
2.
Bestimme $\boldsymbol{t}$ so, dass der Punkt $\boldsymbol{P}$ auf der Geraden $\boldsymbol{g}$ liegt.
a)
$P\left(t\mid10\mid8\right)$,
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\ 2\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 2\\ 4\\ 3\\ \end{array}\right)$
b)
$P\left(6\mid-2\mid t\right)$,
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 3\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 2\\ -1\\ 4\\ \end{array}\right)$
c)
$P\left(2\mid t\mid-3\right)$,
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 0\\ -1\\ 4\\ \end{array}\right)$
d)
$P\left(t\mid2\mid5\right)$,
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} -1\\ 1\\ 3\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 3\\ 1\\ 2\\ \end{array}\right)$
3.
Zeige, dass die drei Punkte $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$ und $\boldsymbol{C}$ auf einer Geraden liegen und gib eine Gleichung dieser Geraden an.
a)
$A\left(2\mid1\mid3\right)$, $B\left(0\mid-2\mid6\right)$,
$C\left(-2\mid-5\mid9\right)$
b)
$A\left(1\mid4\mid3\right)$, $B\left(-2\mid1\mid0\right)$,
$C\left(4\mid7\mid6\right)$
c)
$A\left(-2\mid4\mid3\right)$, $B\left(0\mid2\mid3\right)$,
$C\left(-1\mid3\mid3\right)$
d)
$A\left(5\mid3\mid2\right)$, $B\left(-1\mid0\mid4\right)$,
$C\left(11\mid6\mid0\right)$
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Lösungen
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1.
Überprüfe, ob der angegebene Punkt auf der jeweiligen Geraden liegt.
a)
$A\left(1\mid2\mid4\right)$ und $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ { 3} \\ 1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 1} \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$
Gleichsetzen
$\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 4 \\ \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ { 3} \\ 1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 1} \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$
Daraus ergibt sich ein LGS
$\begin{array}{lrrl} Ⅰ&1&=&2&-&s&\Rightarrow{ }&s=&1\\[5pt] Ⅱ&2&=&3&+&2s&\Rightarrow{ }&s=&-\frac{1}{2}\\[5pt] Ⅲ&4&=&1&+&s&\Rightarrow{ }&s=&3\\ \end{array}$
Das LGS ist nicht lösbar. $\Rightarrow$ Der Punkt liegt nicht auf der Geraden.
b)
$B\left(-1\mid4\mid1\right)$ und $g$: $\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { -2} \\ -1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 1} \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$
Gleichsetzen
$\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 4 \\ 1 \\ \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { -2} \\ -1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 1} \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$
Daraus ergibt sich ein LGS
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&-1&=&1&-&s&\Rightarrow{ }&s=&2\\[5pt] Ⅱ&4&=&-2&+&3s&\Rightarrow{ }&s=&2\\[5pt] Ⅲ&1&=&-1&+&s&\Rightarrow{ }&s=&2\\[5pt] \end{array}$
Das LGS hat eine eindeutige Lösung. $\Rightarrow$ Der Punkt liegt auf der Geraden.
c)
$C\left(\frac{1}{2}\mid-\frac{1}{2}\mid1\right)$ und $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { -1} \\ 2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 1} \\ 1 \\ -2 \\ \end{array}} \right)$
Gleichsetzen
$\left( {\begin{array}{*{20}r} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \\ \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { -1} \\ 2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} - 1\\ 1\\ -2\\ \end{array}} \right)$
Daraus ergibt sich ein LGS
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&\frac{1}{2}&=&1&-&s&\Rightarrow{ }&s=&\frac{1}{2}\\[5pt] Ⅱ&-\frac{1}{2}&=&-1&+&s&\Rightarrow{ }&s=&\frac{1}{2}\\[5pt] Ⅲ&1&=&2&-&2s&\Rightarrow{ }&s=&\frac{1}{2}\\[5pt] \end{array}$
Das LGS hat eine eindeutige Lösung. $\Rightarrow$ Der Punkt liegt auf der Geraden.
d)
$D\left(2\mid-1,25\mid0\right)$ und $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { -1} \\ 8 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 4} \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$
Gleichsetzen
$\begin{array}{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -1,25 \\ 0 \\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { -1} \\ 8 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { -4} \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)\\[5pt] \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -0,25 \\ -8 \\ \end{array}} \right)=& s\left( {\begin{array}{*{20}r} { -4} \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right) \end{array}$
Daraus ergibt sich ein LGS
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&1&=&&&-4s&\Rightarrow{ }&s=&-\frac{1}{4}\\[5pt] Ⅱ&-\frac{1}{4}&=&&&s&\Rightarrow{ }&s=&-\frac{1}{4}\\[5pt] Ⅲ&-8&=&&&2s&\Rightarrow{ }&s=&-4\\[5pt] \end{array}$
Das LGS hat keine eindeutige Lösung. $\Rightarrow$ Der Punkt liegt nicht auf der Geraden.
2.
Bestimme $\boldsymbol{t}$ so, dass der Punkt $\boldsymbol{P}$ auf der Geraden $\boldsymbol{g}$ liegt.
a)
$P\left(t\mid10\mid8\right)$ und $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { 2} \\ 2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { 2} \\ 4 \\ 3 \\ \end{array}} \right)$
Gleichsetzen
$\begin{array}{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} t \\ 10 \\ 8 \\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { 2} \\ 2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { 2} \\ 4 \\ 3 \\ \end{array}} \right)\\[5pt] \left( {\begin{array}{*{20}r} t-1 \\ 8 \\ 6 \\ \end{array}} \right)=& s\left( {\begin{array}{*{20}r} { 2} \\ 4 \\ 3 \\ \end{array}} \right) \end{array}$
Daraus ergibt sich ein LGS
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&t-1&=&&&2s&\Rightarrow{ }&s=&\dfrac{t-1}{2}\\[5pt] Ⅱ&8&=&&&4s&\Rightarrow{ }&s=&2\\[5pt] Ⅲ&6&=&&&3s&\Rightarrow{ }&s=&2\\[5pt] \end{array}$
Damit das LGS eine Lösung hat, muss auch in der ersten Zeile $s=2$ stehen. Es muss daher gelten:
$\dfrac{t-1}{2}=2 \qquad\scriptsize\mid \;\cdot2$
Diese Gleichung wird nach $t$ aufgelöst:
$\begin{array}{rll} t-1=&4&\quad\\[5pt] t=&5\\ \end{array}$
Für $t=5$ liegt der Punkt $P$ auf der Geraden.
b)
$P\left(6\mid-2\mid t\right)$ und $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -1\\ 4 \\ \end{array}} \right)$
Gleichsetzen
$\begin{array}{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 6 \\ -2 \\ t \\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -1\\ 4 \\ \end{array}} \right)\\[5pt] \left( {\begin{array}{*{20}r} 6 \\ -3 \\ t-3 \\ \end{array}} \right)=& s\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -1\\ 4 \\ \end{array}} \right) \end{array}$
Daraus ergibt sich ein LGS
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&6&=&&&2s&\Rightarrow{ }&s=&3\\[5pt] Ⅱ&-3&=&&&-s&\Rightarrow{ }&s=&3\\[5pt] Ⅲ&t-3&=&&&4s&\Rightarrow{ }&s=&\dfrac{t-3}{4}\\[5pt] \end{array}$
Damit das LGS eine Lösung hat, muss auch in der letzten Zeile $s=3$ stehen. Es muss daher gelten:
$\dfrac{t-3}{4}=3 \qquad\scriptsize\mid\; \cdot4$
Diese Gleichung wird nach $t$ aufgelöst:
$\begin{array}[t]{rll} t-3=&12&\quad\\[5pt] t=&15\\ \end{array}$
Für $t=15$ liegt der Punkt $P$ auf der Geraden.
c)
$P\left(2\mid t\mid-3\right)$ und $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ -1\\ 4 \\ \end{array}} \right)$
Gleichsetzen
$\begin{array}{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ t \\ -3 \\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ -1\\ 4 \\ \end{array}} \right)\\[5pt] \left( {\begin{array}{*{20}r} 2-2 \\ t-2 \\ -3-1 \\ \end{array}} \right)=& s\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ -1\\ 4 \\ \end{array}} \right) \end{array}$
Daraus ergibt sich ein LGS
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&0&=&&&0\\[5pt] Ⅱ&t-2&=&&&-s&\Rightarrow{ }&s=&-(t-2)\\[5pt] Ⅲ&-4&=&&&4s&\Rightarrow{ }&s=&-1\\[5pt] \end{array}$
Damit das LGS eine Lösung hat, muss auch in der mittleren Zeile $s=-1$ stehen. Es muss daher gelten:
$-(t-2)=-1 \qquad\scriptsize\mid\; \cdot(-1)$
Diese Gleichung wird nach $t$ aufgelöst:
$\begin{array}[t]{rll} t-2=&1&\quad\\[5pt] t=&3\\ \end{array}$
Für $t=3$ liegt der Punkt $P$ auf der Geraden.
d)
$P\left(t\mid2\mid5\right)$ und $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 1\\ 2 \\ \end{array}} \right)$
Gleichsetzen
$\begin{array}{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} t \\ 2 \\ 5 \\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 1\\ 2 \\ \end{array}} \right)\\[5pt] \left( {\begin{array}{*{20}r} t-(-1) \\ 2-1 \\ 5-3 \\ \end{array}} \right)=& s\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 1\\ 2 \\ \end{array}} \right) \end{array}$
Daraus ergibt sich ein LGS
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&t+1&=&&&3s&\Rightarrow{ }&s=&\dfrac{t+1}{3}\\[5pt] Ⅱ&1&=&&&s&\Rightarrow{ }&s=&1\\[5pt] Ⅲ&2&=&&&2s&\Rightarrow{ }&s=&1\\[5pt] \end{array}$
Damit das LGS eine Lösung hat, muss auch in der oberen Zeile $s=1$ stehen. Es muss daher gelten:
$\dfrac{t+1}{3}=1 \qquad\scriptsize\mid\; \cdot3$
Diese Gleichung wird nach $t$ aufgelöst:
$\begin{array}[t]{rll} t+1=&3&\quad\\[5pt] t=&2\\ \end{array}$
Für $t=2$ liegt der Punkt $P$ auf der Geraden.
3.
Zeige, dass die drei Punkte $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$ und $\boldsymbol{C}$ auf einer Geraden liegen und gib eine Gleichung dieser Geraden an.
a)
1.Schritt: Gerade durch $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ aufstellen
$\begin{array}{rll} g:\overrightarrow{x}=&\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}\\[5pt] =&\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 3\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 0-2\\ -2-1\\ 6-3\\ \end{pmatrix}\\[5pt] g:\overrightarrow{x}=&\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 3\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -2\\ -3\\ 3\\ \end{pmatrix} \end{array}$
2.Schritt: Punktprobe, ob $\boldsymbol{C}$ auf $\boldsymbol{g}$ liegt.
$\begin{array}{rll} \begin{pmatrix} -2\\ -5\\ 9\\ \end{pmatrix}=&\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 3\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -2\\ -3\\ 3\\ \end{pmatrix}&\quad\scriptsize \mid\; -\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 3\\ \end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix} -4\\ -6\\ 6\\ \end{pmatrix}=&r\cdot\begin{pmatrix} -2\\ -3\\ 3\\ \end{pmatrix} \end{array}$
Daraus ergibt sich ein LGS
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&-4&=&-2r&\Rightarrow{ }&r=&2\\[5pt] Ⅱ&-6&=&-3r&\Rightarrow{ }&r=&2\\[5pt] Ⅲ&6&=&3r&\Rightarrow{ }&r=&2\\[5pt] \end{array}$
Das LGS hat eine eindeutige Lösung. $\Rightarrow$ Alle drei Punkte liegen auf einer Geraden.
b)
1.Schritt: Gerade durch $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ aufstellen
$\begin{array}{rll} g:\overrightarrow{x}=&\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}\\[5pt] =&\begin{pmatrix} 1\\ 4\\ 3\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -2-1\\ 1-4\\ 0-3\\ \end{pmatrix}\\[5pt] g:\overrightarrow{x}=&\begin{pmatrix} 1\\ 4\\ 3\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -3\\ -3\\ -3\\ \end{pmatrix} \end{array}$
2.Schritt: Punktprobe, ob $\boldsymbol{C}$ auf $\boldsymbol{g}$ liegt.
$\begin{array}{rll} \begin{pmatrix} 4\\ 7\\ 6\\ \end{pmatrix}=&\begin{pmatrix} 1\\ 4\\ 3\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -3\\ -3\\ -3\\ \end{pmatrix}&\quad\scriptsize \mid\; -\begin{pmatrix} 1\\ 4\\ 3\\ \end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 3\\ \end{pmatrix}=&r\cdot\begin{pmatrix} -3\\ -3\\ -3\\ \end{pmatrix} \end{array}$
Daraus ergibt sich ein LGS
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&3&=&-3r&\Rightarrow{ }&r=&-1\\[5pt] Ⅱ&3&=&-3r&\Rightarrow{ }&r=&-1\\[5pt] Ⅲ&3&=&-3r&\Rightarrow{ }&r=&-1\\[5pt] \end{array}$
Das LGS hat eine eindeutige Lösung. $\Rightarrow$ Alle drei Punkte liegen auf einer Geraden.
c)
1.Schritt: Gerade durch $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ aufstellen
$\begin{array}{rll} g:\overrightarrow{x}=&\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}\\[5pt] =&\begin{pmatrix} -2\\ 4\\ 3\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 0-(-2)\\ 2-4\\ 3-3\\ \end{pmatrix}\\[5pt] g:\overrightarrow{x}=&\begin{pmatrix} -2\\ 4\\ 3\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 2\\ -2\\ 0\\ \end{pmatrix} \end{array}$
2.Schritt: Punktprobe, ob $\boldsymbol{C}$ auf $\boldsymbol{g}$ liegt.
$\begin{array}{rll} \begin{pmatrix} -1\\ 3\\ 3\\ \end{pmatrix}=&\begin{pmatrix} -2\\ 4\\ 3\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 2\\ -2\\ 0\\ \end{pmatrix}&\quad\scriptsize \mid\; -\begin{pmatrix} -2\\ 4\\ 3\\ \end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0\\ \end{pmatrix}=&r\cdot\begin{pmatrix} 2\\ -2\\ 0\\ \end{pmatrix} \end{array}$
Daraus ergibt sich ein LGS
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&1&=&2r&\Rightarrow{ }&r=&0,5\\[5pt] Ⅱ&-1&=&-2r&\Rightarrow{ }&r=&0,5\\[5pt] Ⅲ&0&=&0\\[5pt] \end{array}$
Das LGS hat eine eindeutige Lösung. $\Rightarrow$ Alle drei Punkte liegen auf einer Geraden.
d)
1.Schritt: Gerade durch $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ aufstellen
$\begin{array}{rll} g:\overrightarrow{x}=&\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}\\[5pt] =&\begin{pmatrix} 5\\ 3\\ 2\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -1-5\\ 0-3\\ 4-2\\ \end{pmatrix}\\[5pt] g:\overrightarrow{x}=&\begin{pmatrix} 5\\ 3\\ 2\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -6\\ -3\\ 2\\ \end{pmatrix} \end{array}$
2.Schritt: Punktprobe, ob $\boldsymbol{C}$ auf $\boldsymbol{g}$ liegt.
$\begin{array}{rll} \begin{pmatrix} 11\\ 6\\ 0\\ \end{pmatrix}=&\begin{pmatrix} 5\\ 3\\ 2\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -6\\ -3\\ 2\\ \end{pmatrix}&\quad\scriptsize \mid\; -\begin{pmatrix} 5\\ 3\\ 2\\ \end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix} 6\\ 3\\ -2\\ \end{pmatrix}=&r\cdot\begin{pmatrix} -6\\ -3\\ 2\\ \end{pmatrix} \end{array}$
Daraus ergibt sich ein LGS
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&6&=&-6r&\Rightarrow{ }&r=&-1\\[5pt] Ⅱ&3&=&-3r&\Rightarrow{ }&r=&-1\\[5pt] Ⅲ&-2&=&2r&\Rightarrow{ }&r=&-1\\ \end{array}$
Das LGS hat eine eindeutige Lösung. $\Rightarrow$ Alle drei Punkte liegen auf einer Geraden.
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