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Anwendung - Satz des Pythagoras

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

#würfel#diagonale#satzdespythagoras

Aufgabe 1

#diagonale#quader

Aufgabe 2

Berechne die verschiedenen Diagonalen aus Aufgabe 1.
Alle Angaben im Bild sind in $cm$.
#diagonale#satzdespythagoras#quader

Aufgabe 3

#kegel#satzdespythagoras

Aufgabe 4

Gegeben sei eine Pyramide $ABCDS$ mit rechteckiger Grundfläche. Der Punkt $E$ liegt in der Mitte der Seitenkante $\overline{ES}$.
Es gilt:
$\overline{AB} = 6\,\text{cm}$ ; $\overline{BC} = 4\,\text{cm}$ ; $\overline{MS} = 6\,\text{cm}$.
Berechne die Strecke $\overline{DE}$.
#satzdespythagoras#pyramide

Aufgabe 5

#satzdespythagoras#diagonale

Aufgabe 6

Ben und Mila haben sich im Eiscafé nach der Schule verabredet. Beide bestellen sich bei dem heißen Wetter eine leckere Eisschokolade. Die Eisschokolade wird in zylinderförmigen Gläsern serviert.
Die Gläser sind $16\,\text{cm}$ hoch und haben einen Durchmesser von $6\,\text{cm}$. Der Strohhalm besitzt eine Gesamtlänge von $20\,\text{cm}$.
Wie viele Zentimeter ragt der Strohhalm, aus welchem beide die Eisschokolade trinken, noch aus dem Glas, wenn er im Glas lehnt?
#zylinder#satzdespythagoras#durchmesser#diagonale
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$  Raumdiagonale berechnen
Du hast einen Würfel mit der Kantenlänge $ a = 5\,\text{cm}$ gegeben.
Gefragt ist nach der Länge der Raumdiagonalen $\overline{BH}$.
Um die Länge der Raumdiagonalen bestimmen zu können benötigst du zunächst die Länge der Flächendiagonalen $d_{F}$.
Bei zwei gegebenen Kantenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck kannst du die fehlende Seite über den Satz des Pythagoras berechnen:
Satz des Pythagoras:
$a^2 + b^2 = c^2$
$a^2 + b^2 = c^2$
mit:
  • $a$ und $b$ als Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks
  • $d$ als Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks
Die Länge der Flächendiagonale $d_{F}$ berechnest du wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} d_{F}&=& \sqrt{a^2 + a^2} \\[5pt] &=& \sqrt{ (5\,\text{cm})^2 + (5\,\text{cm})^2} \\[5pt] &=& \sqrt{ 25\,\text{cm}^2 + 25\,\text{cm}^2 } \\[5pt] &=& \sqrt{ 50\,\text{}} \,\text{cm} \end{array}$
Jetzt kannst du die Länge der Raumdiagonalen $\overline{BH}$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{BH}&=& \sqrt{a^2 + d_{F}^2} \\[5pt] &=& \sqrt{ (5\,\text{cm})^2 + (\sqrt{ 50\,\text{}} \,\text{cm})^2} \\[5pt] &=& \sqrt{ 25\,\text{cm}^2 + 50\,\text{cm}^2 } \\[5pt] &=& \sqrt{ 75\,\text{}} \,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 8,66\,\text{cm} \end{array}$
Die Raumdiagonale $\overline{BH}$ ist ungefähr $8,66\,\text{cm}$ lang.
#satzdespythagoras#diagonale#würfel

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$  Welche Diagonalen sind gleich lang?
Raumdiagonalen:
$\overline{AG}$ = $\overline{BH} ; \overline{CE} ; \overline{DF}$
Im Raum: Anwendung - Satz des Pythagoras
Abb. 3: In diesem Bild siehst du die zwölf blau markierten Flächendiagonalen.
Im Raum: Anwendung - Satz des Pythagoras
Abb. 3: In diesem Bild siehst du die zwölf blau markierten Flächendiagonalen.
#quader#satzdespythagoras

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$  Diagonalen berechnen
Sieh zuerst in der Skizze aus Aufgabe 1 nach, ob es sich um eine Flächen- oder Raumdiagonale handelt. Nutze die Formel aus der Einführungsaufgabe zur Berechnung der Diagonalen. Runde auf eine Dezimalstelle.
a)
$\begin{array}[t]{rll} \overline{BG}&=& \sqrt {b^2 + c^2} \\[5pt] &=& \sqrt { (14\,\text{cm})^2 + (15\,\text{cm})^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 196\,\text{cm}^2 + 225\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 421\,\text{cm}^2} \\[5pt] &\approx& 20,5\,\text{cm} \end{array}$
Die Länge der Flächendiagonalen $\overline{BG}$ beträgt ungefähr $20,5\,\text{cm}$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AF}&=& \sqrt {a^2 + c^2} \\[5pt] &=& \sqrt { (8\,\text{cm})^2 + (15\,\text{cm})^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 64\,\text{cm}^2 + 225\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 289\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& 17\,\text{cm} \end{array}$
Die Länge der Flächendiagonalen $\overline{AF}$ beträgt $17\,\text{cm}$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}&=& \sqrt {a^2 + b^2} \\[5pt] &=& \sqrt { (8\,\text{cm})^2 + (14\,\text{cm})^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 64\,\text{cm}^2 + 196\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 260\,\text{cm}^2} \\[5pt] &\approx& 16,1\,\text{cm} \end{array}$
Die Länge der Flächendiagonalen $\overline{AC}$ beträgt ungefähr $16,1\,\text{cm}$.
d)
Die errechnete Länge der Flächendiagonale $\overline{AC}$ kannst du nun nutzen, um die Raumdiagonale $\overline{CE}$ zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \overline{CE}&=& \sqrt {c^2 + d_{F}^2} \\[5pt] &=& \sqrt { (15\,\text{cm})^2 + (\sqrt { 260\,\text{}}\,\text{cm})^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 225\,\text{cm}^2 + 260\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 485\,\text{cm}^2} \\[5pt] &\approx& 22\,\text{cm} \end{array}$
Die Länge der Raumdiagonalen $\overline{CE}$ beträgt ungefähr $22\,\text{cm}$.
#quader#diagonale#satzdespythagoras

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$  Länge der Strecke $\overline{AS}$ berechnen
Du hast einen Kegel mit der Seitenkantenlänge $s = 5\,\text{cm}$ und dem Radius $r = 3\,\text{cm}$ gegeben.
Die Strecke $\overline{AS}$ schließt mit der Strecke $\overline{AM}$ und mit der Höhe $h$ ein rechtwinkliges Dreieck ein. Die Strecke $\overline{AM}$ ist nach Aufgabenstellung mit $1,5\,\text{cm}$ gegeben. Die Höhe $h$ muss noch bestimmt werden.
Die Höhe schließt mit dem Radius $r$ und der Seitenkante $s$ wiederum ein rechtwinkliges Dreieck ein. Hier hast du wieder jeweils zwei Kantenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck gegeben, daher kannst du die dritte Kantenlänge über den Satz des Pythagoras bestimmen.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt somit: $s^2 = r^2 + h^2$. Stellen wir dies nach $h$ um, erhalten wir: $h^2 = s^2 - r^2$.
Somit gilt für die Länge der Höhe $h$:
$\begin{array}[t]{rll} h&=& \sqrt {s^2 - r^2} \\[5pt] &=& \sqrt { (5\,\text{cm})^2 - (3\,\text{cm})^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 25\,\text{cm}^2 - 9\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 16\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& 4\,\text{cm} \end{array}$
Die Höhe des Kegels beträgt demnach $4\,\text{cm}$.
Berechne nun die Länge der Strecke $\overline{AS}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AS}&=& \sqrt {\overline{AM}^2 + h^2} \\[5pt] &=& \sqrt { (1,5\,\text{cm})^2 + (4\,\text{cm})^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 2,25\,\text{cm}^2 + 16\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 18,25\,\text{cm}^2} \\[5pt] &\approx& 4,27\,\text{cm} \end{array}$
Die Länge der Strecke $\overline{AS}$ beträgt ungefähr $4,27\,\text{cm}$.
#satzdespythagoras#kegel

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$  Strecke $\boldsymbol{\overline{DE}}$ berechnen
Du hast eine Pyramide mit den Längen $ \overline{AB} = 6\,\text{cm} $, $ \overline{BC} = 4\,\text{cm} $ und $ \overline{MS} = 6\,\text{cm} $ gegeben.
Die gesuchte Strecke $\overline{DE}$ schließt mit der Raumdiagonalen $d_{F}$ und der Strecke $\overline{BE}$ ein rechtwinkliges Dreieck ein. Diese beiden Strecken müssen zuerst berechnet werden und damit dann die gesuchte Strecke $\overline{DE}$. Gehe dafür in den folgenden drei Schritten vor:
  • Schritt 1: Berechne Raumdiagonale $d_{F}$
  • Schritt 2: Berechne Strecke $\overline{BE}$
  • Schritt 3: Berechne Strecke $\overline{DE}$
1. Schritt: Raumdiagonale $\boldsymbol{d_{F}}$ berechnen
Wie du auf der Skizze erkennen kannst, sind die beiden Raumdiagonalen die Strecken $\overline{BD}$ und $\overline{AC}$. Da es sich um eine rechteckige Grundfläche handelt, sind diese beiden Strecken gleich lang: $d_{F} = \overline{BD} = \overline{AC}$.
$\overline{AC}$ schließt mit den gegebenen Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ ein rechtwinkliges Dreieck ein. Mit dem Satz des Pythagoras kannst du nun die Raumdiagonale berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}&=& \sqrt {(\overline{AB})^2 + (\overline{BC})^2} \\[5pt] &=& \sqrt {(6\,\text{cm})^2 + (4\,\text{cm})^2} \\[5pt] &=& \sqrt {36\,\text{cm}^2 + 16\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& \sqrt {52\,\text{}}\,\text{cm} \end{array}$
Die Länge der Raumdiagonalen beträgt also $\sqrt {52\,\text{}}\,\text{cm}$.
2. Schritt: Strecke $\boldsymbol{\overline{BE}}$ berechnen
Da nach Aufgabenstellung der Punkt $E$ in der Mitte der Seitenkante $\overline{BS}$ liegt, ist die Strecke $\overline{BE}$ gerade die Hälfte der Strecke $\overline{BS}$: $\;\overline{BE}=\dfrac{1}{2} \cdot \overline{BS}$.
Diese Strecke $\overline{BS}$ schließt mit den Strecken $\overline{MS}$ und der Hälfte der Raumdiagonalen $d_F$ (Schritt 1) ein rechtwinkliges Dreieck ein. Berechne nun mit dem Satz des Pythagoras:
$\begin{array}{rcl} \overline{BS}&=&\sqrt{(\overline{MS})² + {(\dfrac{1}{2} \cdot d_F)}²} \\ &=&\sqrt{(6 \text{ cm})² + (\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt {52} \text{ cm})²} \\ &=&\sqrt{36 \text{ cm}² + \dfrac{1}{4} \cdot 52 \text{ cm}²}& \\ &=&\sqrt{36 \text{ cm}² + 13 \text{ cm}²}& \\ &=&\sqrt {49} \text{ cm} \\ &=&7 \text{ cm} \\ \end{array}$
Also gilt für die Strecke $\overline{BE}$:
$\overline{BE}=\dfrac{1}{2} \cdot \overline{BS} = \dfrac{1}{2} \cdot 7 = 3,5 $ cm.
3. Schritt: Strecke $\boldsymbol{\overline{DE}}$ berechnen
Mit den in den Schritten 1 und 2 ausgerechneten Längen können wir nun die Länge der Strecke $\overline{DE}$ berechnen. Berechne auch hier wieder mit dem Satz des Pythagoras:
$\begin{array}{rcl} \overline{DE}&=&\sqrt{d_F² - \overline{BE}²} \\ &=&\sqrt{(\sqrt{52} \text{ cm})² - (3,5 \text{ cm})²} \\ &=&\sqrt{52 \text{ cm}² - 12,25 \text{ cm}²}& \\ &=&\sqrt {39,75} \text{ cm} \\ &\approx& 6,30 \text{ cm} \\ \end{array}$
Die Strecke $\overline{DE}$ ist $6,30$ cm lang.
#pyramide#satzdespythagoras

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$  Länge der Querstrebe berechnen
Durch die Flächendiagonale $d_{F}$ bildet die Querstrebe $Q$ mit der Höhe $h$ ein rechtwinkliges Dreieck.
Um jedoch die Länge der Querstrebe berechnen zu können, musst du in einem ersten Schritt die Flächendiagonale berechnen.
Die Flächendiagonale $d_{F}$ eines regelmäßigen Sechsecks berechnest du mit der folgenden Formel:
$d_{F} = 2 \cdot a$
$d_{F} = 2 \cdot a$
Die Querstrebe bildet die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Verwende also anschließend den Satz des Pythagoras, um ihre Länge zu berechnen. Rechne jedoch in einer einheitlichen Maßeinheit. Das hilft dir dabei, das richtige Ergebnis zu erhalten.
1. Schritt: Flächendiagonale $\boldsymbol{d_{F}}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} d_{F}&=& 2 \cdot a \\[5pt] &=& 2 \cdot 1\,\text{m} \\[5pt] &=& 2\,\text{m} \end{array}$
Die Länge der Flächendiagonalen $d_{F}$ beträgt $2\,\text{m}$.
2. Schritt: Querstrebe $\boldsymbol{Q}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} Q&=& \sqrt {(h)^2 + (d_{F})^2} \\[5pt] &=& \sqrt {(0,6\,\text{m})^2 + (2\,\text{m})^2} \\[5pt] &=& \sqrt {0,36\,\text{m}^2 + 4\,\text{m}^2} \\[5pt] &=& \sqrt {4,36\,\text{m}^2} \\[5pt] &\approx& 2,09\,\text{m} \end{array}$
Die Länge der Querstrebe $Q$ beträgt ungefähr $2,09\,\text{m}$.
#satzdespythagoras#diagonale

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$  Länge überragender Strohhalm
Um den überragenden Teil des Strohhalms berechnen zu können, musst du zunächst den inneren Teil des Strohhalms $S_{i}$ berechnen, welcher mit dem Innendurchmesser $d_{F}$ und der Höhe $h$ des Glases ein rechtwinkliges Dreieck bildet. Verwende auch hierfür wieder den Satz des Pythagoras. Anschließend kannst du die errechnete Länge des Strohhalms innerhalb des Glases von der gegebenen Gesamtlänge $S$ subtrahieren, um die Länge des überragenden Teils $S_{ü}$ zu erhalten.
1. Schritt: Länge Strohhalm innerhalb des Glases
$\begin{array}[t]{rll} S_{i}&=& \sqrt {(h)^2 + (d_{F})^2} \\[5pt] &=& \sqrt {(16\,\text{cm})^2 + (6\,\text{cm})^2} \\[5pt] &=& \sqrt {256\,\text{cm}^2 + 36\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& \sqrt {292\,\text{}} \,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
Die Länge des Strohhalms innerhalb des Glases beträgt $\sqrt {292\,\text{}} \,\text{cm}$.
2. Schritt: Länge des überragenden Teils $\boldsymbol{S_{ü}}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} S_{ü}&=& S - S_{i} \\[5pt] &=& 20\,\text{cm} - \sqrt {292\,\text{}} \,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 2,9\,\text{cm} \end{array}$
Die Länge des überragenden Teils des Strohhalms beträgt ungefähr $2,9\,\text{cm}$.
#durchmesser#satzdespythagoras#diagonale#zylinder
Bildnachweise [nach oben]
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