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Volumen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Gegeben sei ein Kegel mit dem Radius $r\,\text{}$ = $5\,\text{cm}$ und einer Höhe von $h\,\text{}$ = $15\,\text{cm}$.
Berechne das Volumen des Kegels.
#volumen#kegel

Aufgabe 1

Berechne jeweils das Volumen des Kegels.
#volumen#kegel

Aufgabe 2

Berechne die fehlenden Werte und ergänze damit die Tabelle.
Kegela)b)c)d)e)f)
Durchmesser d$12\,\text{m}$$60\,\text{cm}$$20\,\text{cm}$
Radius r$35\,\text{cm}$$30\,\text{cm}$
Höhe h$18\,\text{m}$$88\,\text{cm}$$110\,\text{cm}$$3\,\text{cm}$
Volumen V$706,5\,\text{cm}^3$$628\,\text{cm}^3$$8.478\,\text{cm}^3$
#volumen#kegel#durchmesser#radius

Aufgabe 3

Im Raum: Volumen
Abb. 5: Sandhaufen
Im Raum: Volumen
Abb. 5: Sandhaufen
#volumen#kegel

Aufgabe 4

Der obere Teil einer Sanduhr ist mit Sand gefüllt. Die Sanduhr hat einen Durchmesser von $2,5\,\text{cm}$ und ist $10\,\text{cm}$ hoch.
a)
Wie viel Kubikzentimeter Sand fasst der obere Teil der Sanduhr?
b)
Innerhalb von $8$ Minuten ist die Sanduhr abgelaufen. Wie viel Sand fließt pro Minute in den unteren Teil der Sanduhr?
c)
Wie hoch müsste die Sanduhr bei gleichem Durchmesser sein, damit sie innerhalb von $5$ Minuten abläuft?
#volumen#durchmesser#kegel

Aufgabe 5

#volumen#kegel
Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$ Volumen berechnen
Um das Volumen eines Kegels berechnen zu können kannst du folgende Formeln nutzen, auch Volumenformel genannt.
$V_{Kegel}= \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h $
$V_{Kegel}= \dfrac {1}{3} \cdot G \cdot h $
$V_{Kegel}= \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h $
$V_{Kegel}= \dfrac {1}{3} \cdot G \cdot h $
Setze nun die dir gegebenen Zahlen in eine der Formeln ein. Rechne mit $\pi = 3,14$.
$\begin{array}[t]{rll} V_{Kegel}&=& \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=&\dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot (5\,\text{cm})^2 \cdot 15\,\text{cm} \\[5pt] &=&\dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot 25\,\text{cm}^2 \cdot 15\,\text{cm} \\[5pt] &=& 392,7\,\text{cm}^3 \end{array}$
Das Volumen des Kegels beträgt $392,7\,\text{cm}^3$.
#kegel#volumen

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Volumen berechnen
Wie du bereits in der Einführungsaufgabe gelernt hast, kann man das Volumen eines Kegels mit der Volumenformel berechnen. Berechne zuerst den Radius des Kegels. Setze danach die dir bekannten Zahlen in die Formel ein und berechne für jeden Kegel dessen Volumen.
1)
$\begin{array}[t]{rll} r&=& d : 2 \\[5pt] &=& 4\,\text{cm} \\[5pt] &=& 2\,\text{cm} \end{array}$
Der Radius des Kegels aus Abbildung 1 beträgt $2\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} V_{Kegel}&=& \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot (2\,\text{cm})^2 \cdot 12\,\text{cm} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot 4\,\text{cm}^2 \cdot 12\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 50,27\,\text{cm}^3 \end{array}$
Das Volumen des Kegels aus Abbildung 1 beträgt ungefähr $50,27\,\text{cm}^3$.
2)
$\begin{array}[t]{rll} r&=& d : 2 \\[5pt] &=& 12\,\text{cm} \\[5pt] &=& 6\,\text{cm} \end{array}$
Der Radius des Kegels aus Abbildung 2 beträgt $6\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} V_{Kegel}&=& \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot (6\,\text{cm})^2 \cdot 6\,\text{cm} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot 36\,\text{cm}^2 \cdot 6\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 213,63\,\text{cm}^3 \end{array}$
Das Volumen des Kegels aus Abbildung 2 beträgt ungefähr $213,63\,\text{cm}^3$.
3)
$\begin{array}[t]{rll} r&=& d : 2 \\[5pt] &=& 6\,\text{cm} \\[5pt] &=& 3\,\text{cm} \end{array}$
Der Radius des Kegels aus Abbildung 3 beträgt $3\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} V_{Kegel}&=& \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot (3\,\text{cm})^2 \cdot 9\,\text{cm} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot 9\,\text{cm}^2 \cdot 9\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 84,82\,\text{cm}^3 \end{array}$
Das Volumen des Kegels aus Abbildung 3 beträgt ungefähr $84,82\,\text{cm}^3$.
4)
$\begin{array}[t]{rll} r&=& d : 2 \\[5pt] &=& 5\,\text{cm} \\[5pt] &=& 2,5\,\text{cm} \end{array}$
Der Radius des Kegels aus Abbildung 4 beträgt $2,5\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} V_{Kegel}&=& \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot (2,5\,\text{cm})^2 \cdot 10\,\text{cm} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot 6,25\,\text{cm}^2 \cdot 10\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 65,45\,\text{cm}^3 \end{array}$
Das Volumen des Kegels aus Abbildung 4 beträgt ungefähr $65,45\,\text{cm}^3$.
#kegel#radius#volumen#durchmesser

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Tabelle ergänzen
Die folgenden Formeln helfen dir dabei, die fehlenden Werte zu berechnen.
$d = 2 \cdot r$
$r = d : 2$
$V_{Kegel} = \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h $
$h = \dfrac {V_{Kegel} \cdot 3}{A_{G}}$
$A_{G}= \pi \cdot r^2$
a)
$\begin{array}[t]{rll} r&=& d :2 \\[5pt] &=& 12\,\text{m} : 2 \\[5pt] &=& 6\,\text{m} \end{array}$
Der Radius des Kegels beträgt $6\,\text{m}$.
$\begin{array}[t]{rll} V_{Kegel}&=& \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot (6\,\text{m})^2 \cdot 18\,\text{m} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot 36\,\text{m}^2 \cdot 18\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 678,58\,\text{m}^3 \end{array}$
Das Volumen des Kegels beträgt ungefähr $678,58\,\text{m}^3$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} d&=& r \cdot 2 \\[5pt] &=& 35\,\text{cm} \cdot 2 \\[5pt] &=& 70\,\text{cm} \end{array}$
Der Durchmesser des Kegels beträgt $70\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} V_{Kegel}&=& \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot (35\,\text{cm})^2 \cdot 88\,\text{cm} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot 1.225\,\text{cm}^2 \cdot 88\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 112.887,90\,\text{cm}^3 \end{array}$
Das Volumen des Kegels beträgt ungefähr $112.887,90\,\text{cm}^3$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} r&=& d :2 \\[5pt] &=& 60\,\text{cm} : 2 \\[5pt] &=& 30\,\text{cm} \end{array}$
Der Radius des Kegels beträgt $30\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} V_{Kegel}&=& \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot (30\,\text{cm})^2 \cdot 110\,\text{cm} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot 900\,\text{cm}^2 \cdot 18\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 103.672,56\,\text{cm}^3 \end{array}$
Das Volumen des Kegels beträgt ungefähr $103.672,56\,\text{cm}^3$.
d)
Um diese Aufgabe berechnen zu können, musst du die Volumenformel des Kegels wie folgt nach $r\,\text{}$ umstellen.
$r = \sqrt {\dfrac {V_{Kegel} \cdot 3}{\pi \cdot h}} $
Setze nun in diese Formel die dir gegebenen Werte ein und berechne den Radius.
$\begin{array}[t]{rll} r&=& \sqrt {\dfrac {V_{Kegel} \cdot 3}{\pi \cdot h}} \\[5pt] &=& \sqrt {\dfrac {706,5\,\text{cm}^3 \cdot 3}{\pi \cdot 3\,\text{cm}}} \\[5pt] &=& \sqrt {\dfrac {2.119,5\,\text{cm}^3}{9,42\,\text{cm}}} \\[5pt] &=& \sqrt {225\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& 15\,\text{cm} \end{array}$
Der Radius des Kegels beträgt $15\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} d&=& r \cdot 2 \\[5pt] &=& 15\,\text{cm} \cdot 2 \\[5pt] &=& 30\,\text{cm} \end{array}$
Der Durchmesser des Kegels beträgt $30\,\text{cm}$.
e)
$\begin{array}[t]{rll} r&=& d :2 \\[5pt] &=& 20\,\text{cm} : 2 \\[5pt] &=& 10\,\text{cm} \end{array}$
Der Radius des Kegels beträgt $10\,\text{cm}$.
Um die Höhe des Kegels berechnen zu können benötigst du folgende Formel:
$h = \dfrac {V_{Kegel} \cdot 3}{A_G}$
Die Formel für den Flächeninhalt der Grundfläche $A_{G}\text{}$ hast du oben in der grünen Tippbox gegeben. Berechne nun zuerst $A_{G}\text{}$ und setze dein Ergebnis dann in die Formel für die Höhe ein, um diese zu erhalten.
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& \pi \cdot r^2 \\[5pt] &=& \pi \cdot (10\,\text{cm})^2 \\[5pt] &=& \pi \cdot 100\,\text{cm}^2 \\[5pt] &\approx& 314,16\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt ungefähr $314,16\,\text{cm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} h&=& \dfrac {V_{Kegel} \cdot 3}{A_G} \\[5pt] &=& \dfrac {628\,\text{cm}^3 \cdot 3}{314,16\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& \dfrac {1.884\,\text{cm}^3 }{314,16\,\text{cm}^2} \\[5pt] &\approx& 6 \,\text{cm} \end{array}$
Die Höhe des Kegels beträgt ungefähr $6 \,\text{cm}$.
f)
$\begin{array}[t]{rll} d&=& r \cdot 2 \\[5pt] &=& 30\,\text{cm} \cdot 2 \\[5pt] &=& 60\,\text{cm} \end{array}$
Der Durchmesser des Kegels beträgt $60\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& \pi \cdot r^2 \\[5pt] &=& \pi \cdot (30\,\text{cm})^2 \\[5pt] &=& \pi \cdot 900\,\text{cm}^2 \\[5pt] &\approx& 2827,43\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt ungefähr $2.827,43\,\text{cm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} h&=& \dfrac {V_{Kegel} \cdot 3}{A_G} \\[5pt] &=& \dfrac {8.478\,\text{cm}^3 \cdot 3}{2.827,43\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& \dfrac {25.434\,\text{cm}^3 }{2.827,43\,\text{cm}^2} \\[5pt] &\approx& 9 \,\text{cm} \end{array}$
Die Höhe des Kegels beträgt ungefähr $9 \,\text{cm}$.
#volumen#durchmesser#kegel#radius

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Volumen berechnen
Um das Volumen des Sandhaufens berechnen zu können musst du in 3 Schritten vorgehen. Berechne zuerst den Durchmesser, indem du die Formel für den Umfang umstellst. Anschließend kannst du mit diesem Ergebnis den Radius, und mit dem Radius auch das Volumen des Sandhaufens berechnen.
1. Schritt: Durchmesser berechnen
$\begin{array}[t]{rll} d&=& U : \pi \\[5pt] &=& 5.652\,\text{m} : \pi &\approx& 1.799,10\,\text{m} \end{array}$
Der Durchmesser des Sandhaufens beträgt ungefähr $1.799,10\,\text{m}$.
2. Schritt: Radius berechnen
$\begin{array}[t]{rll} r&=& d : 2 \\[5pt] &=& 1.799,10\,\text{m} : 2 &\approx& 899,55\,\text{m} \end{array}$
Der Radius des Sandhaufens beträgt ungefähr $899,55\,\text{m}$.
3. Schritt: Volumen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} V_{Kegel}&=& \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot \pi \cdot (899,55\,\text{m})^2 \cdot 1,5\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 1,413,\,\text{m}^3 \end{array}$
Das Volumen des Sandhaufens beträgt ungefähr $1,413,\,\text{m}^3$.
#volumen#durchmesser#kegel#radius

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ Volumen Kegel berechnen
Eine Sanduhr besteht aus zwei identischen sich an der Spitze berührende Kegel. Um zu bestimmen, wie viel Kubikzentimeter der obere Teil der Sanduhr fässt, berechnest du das Volumen eines solchen Kegels.
$\begin{array}[t]{rll} V_{Kegel}&=&\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h \\[5pt] &=&\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 \cdot h \\[5pt] &=&\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(\dfrac{2,5\,\text{cm}}{2}\right)^2 \cdot h \\[5pt] &=&\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(1,25\,\text{cm}\right)^2 \cdot 5\,\text{cm} \\[5pt] &=& \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 1,5625\,\text{cm}^2 \cdot 15\,\text{cm} \\[5pt] &=& 8,18\,\text{cm}^3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V_{Kegel}&=&\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h \\[5pt] &=& … \end{array}$
Der obere Teil der Sanduhr fässt $8,18\,\text{cm}^3$ Sand.
b)
$\blacktriangleright$ Sandabfluss berechnen
Du weißt, wie viel Kubikzentimeter Sand der obere Teil der Sanduhr fässt. Dividierst du diesen durch die Zeit, die er zum Ablaufen benötigt, weißt du, wie viel Sand pro Minute in den unteren Teil fließt.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{8,18\,\text{cm}^3}{8 \,\text{min}}&=& 1,02 \frac{\,\text{cm}^3}{\,\text{min}} \end{array}$
Damit fließen $1,02 \,\text{cm}^3$ Sand pro Minute in den unteren Teil der Sanduhr.
c)
$\blacktriangleright$ Hypothetische Höhe berechnen
Du sollst nun bestimmen, wie hoch die Sanduhr sein müsste, wenn der Sand innerhalb von 5 Minuten ablaufen soll. Hierfür stellst du die Volumenformel für Kegel nach der Höhe $h$ um und berechnest diese. Vergiss nicht die Höhe zu verdoppeln, da eine Sanduhr aus zwei Kegel besteht!
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 3\\[5pt] 3V&=& \pi \cdot r^2\cdot h &\quad \scriptsize \mid\; :\pi \\[5pt] \dfrac{3V}{\pi}&=& r^2 \cdot h &\quad \scriptsize \mid\;:r^2\\[5pt] \dfrac{3V}{\pi \cdot r^2}&=& h \\[10pt] V&=& 5\cdot 1,02 \,\text{cm}^3 \\[5pt] &=& 5,1 \,\text{cm}^3 \\[10pt] h&=& \dfrac{3V}{\pi \cdot r^2} \\[5pt] &=& \dfrac{3\cdot5,1\,\text{cm}^3}{\pi \cdot \left(1,25\,\text{cm}\right)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{15,3\,\text{cm}^3}{\pi \cdot 1,5625 \,\text{cm}^2} \\[5pt] &\approx& 3,12\,\text{cm}\\[10pt] 2\cdot h &=& 2 \cdot 3,12 \,\text{cm} \\[5pt] &=& 6,24 \,\text{cm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 3\\[5pt] … &=& … \\[10pt] V&=& 5\cdot 1,02 \,\text{cm}^3 \\[5pt] &=& 5,1 \,\text{cm}^3 \\[10pt] h&=& \dfrac{3V}{\pi \cdot r^2} \\[5pt] &=& \dfrac{3\cdot5,1\,\text{cm}^3}{\pi \cdot \left(1,25\,\text{cm}\right)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{15,3\,\text{cm}^3}{\pi \cdot 1,5625 \,\text{cm}^2} \\[5pt] &\approx& 3,12\,\text{cm}\\[10pt] 2\cdot h &=& 2 \cdot 3,12 \,\text{cm} \\[5pt] &=& 6,24 \,\text{cm} \end{array}$
Die Sanduhr müsste $6,24 \,\text{cm}$ hoch sein.
#volumen#durchmesser#kegel

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$ Höhe berechnen
Die Höhe $h_2$ kannst du mithilfe des Strahlensatzes berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{r_2}{h_2}&=& \dfrac{r_1}{h_1} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot h_2\\[5pt] r_2&=& \dfrac{r_1}{h_1} \cdot h_2 &\quad \scriptsize \mid\; :r_1\\[5pt] \dfrac{r_2}{r_1}&=& \dfrac{h_2}{h_1} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot h_1\\[5pt] \dfrac{r_2}{r_1} \cdot h_1 &=& h_2 \\[10pt] h_2 &=& \dfrac{r_2}{r_1} \cdot h_1 \\[5pt] &=& \dfrac{3\,\text{cm}}{4\,\text{cm}} \cdot 15\,\text{cm} \\[5pt] &=& 11,25 \,\text{cm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{r_2}{h_2}&=& \dfrac{r_1}{h_1} \\[5pt] … &=& … \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$ Volumen Kegelstumpf berechnen
Um das Volumen des Kegelstumpfes zu bestimmen, berechnest du als erstes das Volumen des gesamten Kegels und subtrahierst anschließend davon das Volumen der Kegelspitze.
$\begin{array}[t]{rll} V_{Kegel}&=&\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r_1^2\cdot h_1 \\[5pt] &=&\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(4\,\text{cm}\right)^2 \cdot 15\,\text{cm} \\[5pt] &=& \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 16\,\text{cm}^2 \cdot 15\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 251,33\,\text{cm}^3 \\[10pt] V_{Spitze}&=&\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r_2^2\cdot h_2 \\[5pt] &=&\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(3\,\text{cm}\right)^2 \cdot 11,25\,\text{cm} \\[5pt] &=& \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9\,\text{cm}^2 \cdot 11,25\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 106,03\,\text{cm}^3 \\[10pt] V_{Kegelstumpf}&=& V_{Kegel}-V_{Spitze} \\[5pt] &=& 251,33\,\text{cm}^3 - 106,03\,\text{cm}^3 \\[5pt] &=& 145,3 \,\text{cm}^3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V_{Kegel}&=& … \\[10pt] V_{Spitze}&=& … \\[10pt] V_{Kegelstumpf}&=& … \end{array}$
Der Becher hat ein Volumen von $145,3 \,\text{cm}^3$.
#kegel#volumen
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