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Oberfläche

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Im Raum: Oberfläche
Abb. 1: Die Pyramiden von Gizeh.
Im Raum: Oberfläche
Abb. 1: Die Pyramiden von Gizeh.
Berechne die damalige und die heutige Oberfläche der Cheopspyramide.
#pyramide

Aufgabe 1

Links siehst du die Glaspyramide im Innenhof des Louvre in der französischen Hauptstadt Paris. Die Glaspyramide dient als Haupteingang zum Kunstmuseum im Louvre. Ihre quadratische Grundfläche besitzt eine Grundseitenlänge von $34\,\text{m}$ und die Pyramide ist $21\,\text{m}$ hoch.
Berechne die Oberfläche der Glaspyramide.
#pyramide

Aufgabe 2

Berechne die Seitenhöhen der Pyramiden, welche eine rechteckige Grundfläche besitzen. Runde dabei auf zwei Nachkommastellen.
a)
$ a = 6\,\text{cm} $ ; $ b = 4\,\text{cm} $ ; $ h_{k} = 5\,\text{cm} $
b)
$ a = 8\,\text{cm} $ ; $ b = 6\,\text{cm} $ ; $ h_{k} = 4\,\text{cm} $
c)
$ a = 10\,\text{cm} $ ; $ b = 8\,\text{cm} $ ; $ h_{k} = 6\,\text{cm} $
d)
$ a = 12\,\text{cm} $ ; $ b = 10\,\text{cm} $ ; $ h_{k} = 7\,\text{cm} $
#rechteck#pyramide

Aufgabe 3

Berechne die Oberfläche der Pyramiden aus Aufgabe 2.
#pyramide

Aufgabe 4

Im Raum: Oberfläche
Abb. 3: Die Pyramide auf dem Marktplatz von Karlsruhe.
Im Raum: Oberfläche
Abb. 3: Die Pyramide auf dem Marktplatz von Karlsruhe.
#pyramide

Aufgabe 5

Die Grundkantenlänge $a$ einer Pyramide beträgt $ 150\,\text{m} $. Die Grundfläche der Pyramide ist ein gleichseitiges Dreieck und jede der drei Seitenflächen sind kongruent zu der Grundfläche.
Wie groß ist die Oberfläche dieser Pyramide?
#dreieck#pyramide

Aufgabe 6

Vervollständige die fehlenden Größen der Pyramiden und ergänze die Tabelle.
a)b)c)d)
a$4\,\text{cm}$
h$5\,\text{cm}$$7\,\text{m}$$2\,\text{dm}$
hs$3,61\,\text{dm}$
AG$9\,\text{m}^2$$64\,\text{km}^2$
ASeite
O$312,39\,\text{km}^2$
V
#pyramide#tabelle
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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[2]
Public Domain.
[3]
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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$  Oberfläche früher berechnen
Bei dieser Aufgabe sollst du die frühere und die heutige Oberfläche der Cheopspyramide berechnen. Wir beginnen mit der früheren Oberfläche. Berechne dafür zunächst den Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide.
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& a \cdot a \\[5pt] &=& 233\,\text{m} \cdot 233\,\text{m} \\[5pt] &=& 54.289\,\text{m}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt $54.289\,\text{m}^2$.
Anschließend berechnest du nun den Flächeninhalt der Seitenfläche. Um den Flächeninhalt einer Seite bestimmen zu können, benötigst du deren Höhe $h_{s}$. Diese kannst du mithilfe der folgenden Formel berechnen. Runde auf zwei Nachkommastellen.
$\begin{array}[t]{rll} h_{s}&=& \sqrt{h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h_{s}&=& \sqrt{h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h_{s}&=& \sqrt{h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{(148\,\text{m})^2 + \left(\dfrac{233\,\text{m}}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{(148\,\text{m})^2 + (116,5\,\text{m})^2 } \\[5pt] &=& \sqrt{21.904\,\text{m}^2 + 13.572,25\,\text{m}^2 } \\[5pt] &=& \sqrt{35.476,25\,\text{m}^2} \\[5pt] &\approx& 188,35\,\text{m} \end{array}$
Die Seitenhöhe beträgt ungefähr $188,35\,\text{m}$.
Mithilfe deiner errechneten Seitenhöhe kannst du nun mit folgender Formel den Flächeninhalt einer Seite bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} A_{Seite}&=& \dfrac {1}{2} \cdot a \cdot h_{s} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_{Seite}&=& \dfrac {1}{2} \cdot a \cdot h_{s} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_{Seite}&=& \dfrac {1}{2} \cdot a \cdot h_{s} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{2} \cdot 233\,\text{m} \cdot 188,35\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 21.942,78\,\text{m}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt der Seite beträgt ungefähr $21.942,78\,\text{m}^2$.
Nun kannst du mithilfe deiner errechneten Werte und mit der folgenden Formel die Oberfläche der Pyramide berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} O_{P}&=& A_{G} + A_{M} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} O_{P}&=& A_{G} + n \cdot A_{Seite} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} O_{P}&=&A_{G} + A_{M} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} O_{P}&=& A_{G} + n \cdot A_{Seite} \end{array}$
Da die Grundfläche der Pyramide quadratisch ist gibt es $n = 4\,\text{} $ Seitenflächen.
$\begin{array}[t]{rll} O_{P}&=& A_{G} + n \cdot A_{Seite} \\[5pt] &=& 54.289\,\text{m}^2 + 4 \cdot 21.942,78\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 142.060,12\,\text{m}^2 \end{array}$
Die frühere Oberfläche betrug $142.060,12\,\text{m}^2$.
$\blacktriangleright$  Oberfläche heute berechnen
Berechne nun die heutige Oberfläche der Cheopspyramide. Berechne dafür zunächst wieder den Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide.
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& a \cdot a \\[5pt] &=& 227\,\text{m} \cdot 227\,\text{m} \\[5pt] &=& 51.529\,\text{m}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt $51.529\,\text{m}^2$.
Anschließend berechnest du nun wieder den Flächeninhalt der Seitenfläche. Um den Flächeninhalt einer Seite bestimmen zu können, benötigst du deren Höhe $h_{s}$. Diese kannst du wieder mithilfe der gelernten Formel berechnen. Runde auf zwei Nachkommastellen.
$\begin{array}[t]{rll} h_{s}&=& \sqrt{h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{(138\,\text{m})^2 + \left(\dfrac{227\,\text{m}}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{(138\,\text{m})^2 + (113,5\,\text{m})^2 } \\[5pt] &=& \sqrt{19.044\,\text{m}^2 + 12.882,25\,\text{m}^2 } \\[5pt] &=& \sqrt{31.926,25\,\text{m}^2} \\[5pt] &\approx& 178,68\,\text{m} \end{array}$
Die Seitenhöhe beträgt ungefähr $178,68\,\text{m}$.
Mithilfe deiner errechneten Seitenhöhe kannst du nun mit der gelernten Formel den Flächeninhalt einer Seite bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} A_{Seite}&=& \dfrac {1}{2} \cdot a \cdot h_{s} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{2} \cdot 227\,\text{m} \cdot 178,68\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 20.280,18\,\text{m}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt der Seite beträgt ungefähr $20.280,18\,\text{m}^2$.
Nun kannst du mithilfe deiner errechneten Werte und mit der gelernten Oberflächenformel die Oberfläche der Pyramide berechnen. Da die Grundfläche der Pyramide immernoch quadratisch ist gibt es $n = 4\,\text{} $ Seitenflächen.
$\begin{array}[t]{rll} O_{P}&=& A_{G} + n \cdot A_{Seite} \\[5pt] &=& 51.529\,\text{m}^2 + 4 \cdot 20.280,18\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 132.649,72\,\text{m}^2 \end{array}$
Die Oberfläche der Cheopspyramide beträgt heute $132.649,72\,\text{m}^2$.
#pyramide

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$  Oberfläche berechnen
Beginne zuerst wieder mit dem Flächeninhalt der Grundfläche.
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& a \cdot a \\[5pt] &=& 34\,\text{m} \cdot 34\,\text{m} \\[5pt] &=& 1.156\,\text{m}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt der Grundfläche des Louvre beträgt $1.156\,\text{m}^2$.
Um den Flächeninhalt einer Seite bestimmen zu können, musst du zuerst die Höhe $h_{s}$ berechnen. Nutze dazu die in der Einführungsaufgabe gelernten Formeln. Runde auf zwei Nachkommastellen.
$\begin{array}[t]{rll} h_{s}&=& \sqrt{h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{(21\,\text{m})^2 + \left(\dfrac{34\,\text{m}}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{(21\,\text{m})^2 + (17\,\text{m})^2 } \\[5pt] &=& \sqrt{441\,\text{m}^2 + 289\,\text{m}^2 } \\[5pt] &=& \sqrt{730\,\text{m}^2} \\[5pt] &\approx& 27,02\,\text{m} \end{array}$
Die Seitenhöhe beträgt ungefähr $27,02\,\text{m}$.
Mithilfe deiner errechneten Seitenhöhe kannst du nun mit der gelernten Formel den Flächeninhalt einer Seite bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} A_{Seite}&=& \dfrac {1}{2} \cdot a \cdot h_{s} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{2} \cdot 34\,\text{m} \cdot 27,02\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 459,34\,\text{m}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt der Seite beträgt ungefähr $459,34\,\text{m}^2$.
Nun kannst du mithilfe deiner errechneten Werte und mit der gelernten Oberflächenformel die Oberfläche der Pyramide berechnen. Da die Grundfläche des Louvre quadratisch ist gibt es $n = 4\,\text{} $ Seitenflächen.
$\begin{array}[t]{rll} O_{P}&=& A_{G} + n \cdot A_{Seite} \\[5pt] &=& 1.156\,\text{m}^2 + 4 \cdot 459,34\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 2.993,36\,\text{m}^2 \end{array}$
Die Oberfläche des Louvre beträgt heute $2.993,36\,\text{m}^2$.
#pyramide

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$  Seitenhöhen berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die Seitenhöhen von Pyramiden berechnen, die eine rechteckige Grundfläche besitzen. Da es bei einem Rechteck jeweils zwei gleich lange Seiten der Grundfläche gibt, benötigst du nun jeweils eine Formel zur Berechnung der Seitehöhe $h_{a}$ der Grundseite $a$ und der Seitenhöhe $h_{b}$ der Grundseite $b$. Runde auf zwei Nachkommastellen.
$h_{a} = \sqrt {(h_{k})^2 + \left(\dfrac{b}{2}\right)^2}$
$h_{b} = \sqrt {(h_{k})^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2}$
$h_{a} = \sqrt {(h_{k})^2 + \left(\dfrac{b}{2}\right)^2}$
$h_{b} = \sqrt {(h_{k})^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2}$
a)
$\begin{array}[t]{rll} h_{a}&=& \sqrt {(h_{k})^2 + \left(\dfrac{b}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt {( 5\,\text{cm})^2 + \left(\dfrac{ 4\,\text{cm}}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt {( 5\,\text{cm})^2 + (2\,\text{cm})^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 25\,\text{cm}^2 + 4\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 29\,\text{cm}^2} \\[5pt] &\approx& 5,39\,\text{cm} \end{array}$
Die Seitenhöhe $h_{a}$ beträgt ungefähr $5,39\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} h_{b}&=& \sqrt {(h_{k})^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt {( 5\,\text{cm})^2 + \left(\dfrac{ 6\,\text{cm}}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt {( 5\,\text{cm})^2 + (3\,\text{cm})^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 25\,\text{cm}^2 + 9\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 34\,\text{cm}^2} \\[5pt] &\approx& 5,83\,\text{cm} \end{array}$
Die Seitenhöhe $h_{b}$ beträgt ungefähr $5,83\,\text{cm}$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} h_{a}&=& \sqrt {(h_{k})^2 + \left(\dfrac{b}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt {( 4\,\text{cm})^2 + \left(\dfrac{ 6\,\text{cm}}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt {( 4\,\text{cm})^2 + (3\,\text{cm})^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 16\,\text{cm}^2 + 9\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 25\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& 5\,\text{cm} \end{array}$
Die Seitenhöhe $h_{a}$ beträgt $5\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} h_{b}&=& \sqrt {(h_{k})^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt {( 4\,\text{cm})^2 + \left(\dfrac{ 8\,\text{cm}}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt {( 4\,\text{cm})^2 + (4\,\text{cm})^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 16\,\text{cm}^2 + 16\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 32\,\text{cm}^2} \\[5pt] &\approx& 5,66\,\text{cm} \end{array}$
Die Seitenhöhe $h_{b}$ beträgt ungefähr $5,66\,\text{cm}$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} h_{a}&=& \sqrt {(h_{k})^2 + \left(\dfrac{b}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt {( 6\,\text{cm})^2 + \left(\dfrac{ 8\,\text{cm}}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt {( 6\,\text{cm})^2 + (4\,\text{cm})^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 36\,\text{cm}^2 + 16\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 52\,\text{cm}^2} \\[5pt] &\approx& 7,21\,\text{cm} \end{array}$
Die Seitenhöhe $h_{a}$ beträgt ungefähr $7,21\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} h_{b}&=& \sqrt {(h_{k})^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt {( 6\,\text{cm})^2 + \left(\dfrac{ 10\,\text{cm}}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt {( 6\,\text{cm})^2 + (5\,\text{cm})^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 36\,\text{cm}^2 + 25\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 61\,\text{cm}^2} \\[5pt] &\approx& 7,81\,\text{cm} \end{array}$
Die Seitenhöhe $h_{b}$ beträgt ungefähr $7,81\,\text{cm}$.
d)
$\begin{array}[t]{rll} h_{a}&=& \sqrt {(h_{k})^2 + \left(\dfrac{b}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt {( 7\,\text{cm})^2 + \left(\dfrac{ 10\,\text{cm}}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt {( 7\,\text{cm})^2 + (5\,\text{cm})^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 49\,\text{cm}^2 + 25\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 74\,\text{cm}^2} \\[5pt] &\approx& 8,60\,\text{cm} \end{array}$
Die Seitenhöhe $h_{a}$ beträgt ungefähr $8,60\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} h_{b}&=& \sqrt {(h_{k})^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt {( 7\,\text{cm})^2 + \left(\dfrac{ 12\,\text{cm}}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt {( 7\,\text{cm})^2 + (6\,\text{cm})^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 49\,\text{cm}^2 + 36\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& \sqrt { 85\,\text{cm}^2} \\[5pt] &\approx& 9,22\,\text{cm} \end{array}$
Die Seitenhöhe $h_{b}$ beträgt ungefähr $9,22\,\text{cm}$.
#rechteck#pyramide

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$  Oberfläche berechnen
Verwende zum Berechnen der Oberfläche deine Ergebnisse aus Aufgabe 2. Berechne dafür zuerst den Flächeninhalt der Grundfläche $A_{G}$ mit folgender Formel.
$A_{G} = a \cdot b$
$A_{G} = a \cdot b$
Anschließend berechnest du die Mantelfläche $A_{M}$, indem du deine Ergebnisse von $h_{a}$ und $h_{b}$ aus Aufgabe 2 in die folgende Formel einsetzt.
$A_{M} = (a \cdot h_{a}) + (b \cdot h_{b}) $
Tipp
$A_{M} = (a \cdot h_{a}) + (b \cdot h_{b}) $
Indem du die Mantelfläche und den Flächeninhalt der Grundfläche addierst, erhälst du schließlich die Größe der Oberfläche.
$O_{P} = A_{G} + A_{M}$
$O_{P} = A_{G} + A_{M}$
a)
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& a \cdot b \\[5pt] &=& 6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \\[5pt] &=& 24\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt $24\,\text{cm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} A_{M}&=& (a \cdot h_{a}) + (b \cdot h_{b}) \\[5pt] &=& (6\,\text{cm} \cdot 5,39\,\text{cm}) + (4\,\text{cm} \cdot 5,83\,\text{cm}) \\[5pt] &=& 32,34\,\text{cm}^2 + 23,32\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 55,66\,\text{cm}^2 \end{array}$
Die Mantelfläche beträgt $55,66\,\text{cm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} O_{P}&=& A_{G} + A_{M} \\[5pt] &=& 24\,\text{cm}^2 + 55,66\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 79,66\,\text{cm}^2 \end{array}$
Die Oberfläche der Pyramide beträgt $79,66\,\text{cm}^2$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& a \cdot b \\[5pt] &=& 8\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} \\[5pt] &=& 48\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt $48\,\text{cm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} A_{M}&=& (a \cdot h_{a}) + (b \cdot h_{b}) \\[5pt] &=& (8\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm}) + (6\,\text{cm} \cdot 5,66\,\text{cm}) \\[5pt] &=& 40\,\text{cm}^2 + 33,96\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 73,96\,\text{cm}^2 \end{array}$
Die Mantelfläche beträgt $73,96\,\text{cm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} O_{P}&=& A_{G} + A_{M} \\[5pt] &=& 48\,\text{cm}^2 + 73,96\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 121,96\,\text{cm}^2 \end{array}$
Die Oberfläche der Pyramide beträgt $121,96\,\text{cm}^2$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& a \cdot b \\[5pt] &=& 10\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} \\[5pt] &=& 80\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt $80\,\text{cm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} A_{M}&=& (a \cdot h_{a}) + (b \cdot h_{b}) \\[5pt] &=& (10\,\text{cm} \cdot 7,21\,\text{cm}) + (8\,\text{cm} \cdot 7,81\,\text{cm}) \\[5pt] &=& 72,1\,\text{cm}^2 + 62,48\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 134,58\,\text{cm}^2 \end{array}$
Die Mantelfläche beträgt $134,58\,\text{cm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} O_{P}&=& A_{G} + A_{M} \\[5pt] &=& 80\,\text{cm}^2 + 134,58\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 214,58\,\text{cm}^2 \end{array}$
Die Oberfläche der Pyramide beträgt $214,58\,\text{cm}^2$.
d)
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& a \cdot b \\[5pt] &=& 12\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} \\[5pt] &=& 120\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt $120\,\text{cm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} A_{M}&=& (a \cdot h_{a}) + (b \cdot h_{b}) \\[5pt] &=& (12\,\text{cm} \cdot 8,60\,\text{cm}) + (10\,\text{cm} \cdot 9,22\,\text{cm}) \\[5pt] &=& 103,2\,\text{cm}^2 + 92,2\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 195,4\,\text{cm}^2 \end{array}$
Die Mantelfläche beträgt $195,4\,\text{cm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} O_{P}&=& A_{G} + A_{M} \\[5pt] &=& 120\,\text{cm}^2 + 195,4\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 315,4\,\text{cm}^2 \end{array}$
Die Oberfläche der Pyramide beträgt $315,4\,\text{cm}^2$.
#pyramide

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$  Oberfläche berechnen
Um die Oberfläche berechnen zu können, benötigst du die Höhe $h$ der Pyramide. Um diese berechnen zu können, berechnest du als erstes die Länge der Grundseite $a$ mithilfe der Grundfläche und danach die Höhe $h_s$ einer Seitenfläche. Anschließend kannst du die Oberfläche ausrechnen.
$\begin{array}[t]{rll} a&=& \sqrt{A_G}\\[5pt] &=& \sqrt{36,6\,\text{m}^2}\\[5pt] &\approx& 6,05\,\text{m}\\[10pt] h_s&=&\sqrt{s^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{\left(8,04\,\text{m}\right)^2-\left(\frac{6,05\,\text{m}}{2}\right)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{\left(8,04\,\text{m}\right)^2-\left(3,025\,\text{m}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{64,64\,\text{m}^2-9,15\,\text{m}^2} \\[5pt] &=& \sqrt{55,49\,\text{m}^2} \\[5pt] &\approx& 7,45 \,\text{m} \\[10pt] h&=&\sqrt{h_s^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{\left(7,45\,\text{m}\right)^2-\left(\frac{6,05\,\text{m}}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{\left(7,45\,\text{m}\right)^2-\left(3,025\,\text{m}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{55,5\,\text{m}^2-9,15\,\text{m}^2} \\[5pt] &=& \sqrt{46,35\,\text{m}^2} \\[5pt] &\approx& 6,81\,\text{m} \\[10pt] V&=& \frac{1}{3}\cdot A_G \cdot h \\[5pt] &=&\frac{1}{3}\cdot 36,6\,\text{m}^2 \cdot 6,81\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 83,08 \,\text{m}^3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} a&=& \sqrt{A_G}\\[5pt] &=& \sqrt{36,6\,\text{m}^2}\\[5pt] &\approx& 6,05\,\text{m}\\[10pt] h_s&=&\sqrt{s^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& … \\[10pt] h&=&\sqrt{h_s^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& …\\[10pt] V&=& \frac{1}{3}\cdot A_G \cdot h \\[5pt] &=&\frac{1}{3}\cdot 36,6\,\text{m}^2 \cdot 6,81\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 83,08 \,\text{m}^3 \end{array}$
Das Volumen der Pyramide beträgt $83,08\,\text{m}^3$.
Die Oberfläche besteht aus der quadratischen Grundfläche und den vier Seitenflächen. Dies kannst du alles mit den bereits zuvor ermittelten Werten berechnen und somit die Oberfläche bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} A_{Seite}&=&\frac{1}{2}\cdot a \cdot h_s \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 6,05\,\text{m} \cdot 7,45\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 22,54 \text{m}^2 \\[10pt] O&=& A_G+4\cdot A_{Seite} \\[5pt] &=& 36,6\,\text{m}^2+4 \cdot 22,54\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 126,76\,\text{m}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_{Seite}&=&\frac{1}{2}\cdot a \cdot h_s \\[5pt] &=& … \\[10pt] O&=& A_G+4\cdot A_{Seite} \\[5pt] &=& … \end{array}$
Die Oberfläche der Pyramide beträgt $126,76\,\text{m}^2$.
#pyramide

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$ Oberfläche berechnen
Da die Grundfläche der Pyramide ein Dreieck ist, gibt es drei Seitenflächen. Diese Seitenflächen sind kongruent zueinander, als auch zu der Grundfläche. Dies bedeutet, dass sich die Oberfläche aus vier gleich großen Dreiecken zusammensetzt. Um den Flächeninhalt eines solchen Dreiecks zu bestimmen, ermittelst du als erstes die Höhe $h_s$ dieses Dreiecks und damit kannst du dann den Flächeninhalt und somit die Oberfläche berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} h_s&=&\sqrt{\left(150\,\text{m}\right)^2-\left(75\,\text{m}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{22.500\,\text{m}^2-5.625\,\text{m}^2} \\[5pt] &=& \sqrt{16.875\,\text{m}^2} \\[5pt] &\approx& 129,9 \,\text{m} \\[10pt] A_{Seite}&=&\frac{1}{2}\cdot a \cdot h_s \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 150\,\text{m} \cdot 129,9\,\text{m} \\[5pt] &=& 9.742,5 \,\text{m}^2 \\[10pt] O&=& 4\cdot A_{Seite} \\[5pt] &=& 4 \cdot 9.742,5\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 38.970\,\text{m}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h_s&=& …\\[10pt] A_{Seite}&=&\frac{1}{2}\cdot a \cdot h_s \\[5pt] &=& … \\[10pt] O&=& 4\cdot A_{Seite} \\[5pt] &=& 4 \cdot 9.742,5\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 38.970\,\text{m}^2 \end{array}$
#dreieck#pyramide

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$ Eigenschaften Pyramide berechnen
a)
Die Höhe der Seite $h_s$ berechnest du mithilfe des Satz des Pythagoras. Die restlichen Werte berechnest du wie in der Einführungsaufgabe.
$\begin{array}[t]{rll} h_s&=&\sqrt{h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{\left(5\,\text{cm}\right)^2+\left(\frac{4\,\text{cm}}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{\left(5\,\text{cm}\right)^2+\left(2\,\text{cm}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{25\,\text{cm}^2+4\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& \sqrt{29\,\text{cm}^2} \\[5pt] &\approx& 5,39\,\text{cm} \\[10pt] A_G&=& a^2 \\[5pt] &=& \left(4\,\text{cm}\right)^2 \\[5pt] &=& 16\,\text{cm}^2 \\[10pt] A_{Seite}&=& \frac{1}{2}\cdot a \cdot h_s \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 4\,\text{cm} \cdot 5,39\,\text{cm} \\[5pt] &=& 10,78 \,\text{cm}^2 \\[10pt] O&=& A_G + 4\cdot A_{Seite} \\[5pt] &=& 16\,\text{cm}^2 + 4\cdot 10,78 \,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 16\,\text{cm}^2 + 43,12 \,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 59,12 \,\text{cm}^2 \\[10pt] V&=& \frac{1}{3}\cdot A_G \cdot h \\[5pt] &=&\frac{1}{3}\cdot 16\,\text{cm}^2 \cdot 5\,\text{cm} \\[5pt] &=& 26,67 \,\text{cm}^3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h_s&=&\sqrt{h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& …\\[10pt] A_G&=& a^2 \\[5pt] &=& \left(4\,\text{cm}\right)^2 \\[5pt] &=& 16\,\text{cm}^2 \\[10pt] A_{Seite}&=& \frac{1}{2}\cdot a \cdot h_s \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 4\,\text{cm} \cdot 5,39\,\text{cm} \\[5pt] &=& 10,78 \,\text{cm}^2 \\[10pt] O&=& A_G + 4\cdot A_{Seite} \\[5pt] &=& … \\[10pt] V&=& \frac{1}{3}\cdot A_G \cdot h \\[5pt] &=&\frac{1}{3}\cdot 16\,\text{cm}^2 \cdot 5\,\text{cm} \\[5pt] &=& 26,67 \,\text{cm}^3 \end{array}$
b)
Mithilfe der Grundfläche $A_G$ kannst du $a$ berechnen. Danach gehst du vor wie gewohnt.
$\begin{array}[t]{rll} a&=&\sqrt{A_G} \\[5pt] &=& \sqrt{9\,\text{m}^2} \\[5pt] &=& 3\,\text{m} \\[10pt] h_s&=&\sqrt{h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{\left(7\,\text{m}\right)^2+\left(\frac{3\,\text{m}}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{\left(7\,\text{m}\right)^2+\left(1,5\,\text{m}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{49\,\text{m}^2+2,25\,\text{m}^2} \\[5pt] &=& \sqrt{51,25\,\text{m}^2} \\[5pt] &\approx& 7,16\,\text{m} \\[10pt] A_{Seite}&=& \frac{1}{2}\cdot a \cdot h_s \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 3\,\text{m} \cdot 7,16\,\text{m} \\[5pt] &=& 10,74 \,\text{m}^2 \\[10pt] O&=& A_G + 4\cdot A_{Seite} \\[5pt] &=& 9\,\text{m}^2 + 4\cdot 10,74 \,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 9\,\text{m}^2 + 42,96 \,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 51,96 \,\text{m}^2 \\[10pt] V&=& \frac{1}{3}\cdot A_G \cdot h \\[5pt] &=&\frac{1}{3}\cdot 9\,\text{m}^2 \cdot 7\,\text{m} \\[5pt] &=& 21 \,\text{m}^3 \end{array}$
c)
Du kannst mit den beiden gegebenen Werten und dem Satz des Pythagoras $a$ berechnen und damit dann die restlichen Werte bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} \frac{a}{2}&=&\sqrt{h_s^2-h^2} \\[5pt] &=& \sqrt{\left(3,61\,\text{dm}\right)^2-\left(2\,\text{dm}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{13,0321\,\text{dm}^2-4\,\text{dm}^2} \\[5pt] &=& \sqrt{9,0321\,\text{dm}^2} \\[5pt] &\approx& 3\,\text{dm} \\[5pt] a&=& 2\cdot \frac{a}{2} \\[5pt] &=& 2\cdot 3\,\text{dm}\\[5pt] &=& 6\,\text{dm}\\[10pt] A_G&=& a^2 \\[5pt] &=& \left(6\,\text{dm}\right)^2 \\[5pt] &=& 36\,\text{dm}^2 \\[10pt] A_{Seite}&=& \frac{1}{2}\cdot a \cdot h_s \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 6\,\text{dm} \cdot 3,61\,\text{dm} \\[5pt] &=& 10,83 \,\text{dm}^2 \\[10pt] O&=& A_G + 4\cdot A_{Seite} \\[5pt] &=& 36\,\text{dm}^2 + 4\cdot 10,83 \,\text{dm}^2 \\[5pt] &=& 36\,\text{dm}^2 + 43,32 \,\text{dm}^2 \\[5pt] &=& 79,32 \,\text{dm}^2 \\[10pt] V&=& \frac{1}{3}\cdot A_G \cdot h \\[5pt] &=&\frac{1}{3}\cdot 36\,\text{dm}^2 \cdot 2\,\text{dm} \\[5pt] &=& 24 \,\text{dm}^3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \frac{a}{2}&=&\sqrt{h_s^2-h^2} \\[5pt] &=& … \\[10pt] A_G&=& a^2 \\[5pt] &=& \left(6\,\text{dm}\right)^2 \\[5pt] &=& 36\,\text{dm}^2 \\[10pt] A_{Seite}&=& \frac{1}{2}\cdot a \cdot h_s \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 6\,\text{dm} \cdot 3,61\,\text{dm} \\[5pt] &=& 10,83 \,\text{dm}^2 \\[10pt] O&=& A_G + 4\cdot A_{Seite} \\[5pt] &=& … \\[10pt] V&=& \frac{1}{3}\cdot A_G \cdot h \\[5pt] &=&\frac{1}{3}\cdot 36\,\text{dm}^2 \cdot 2\,\text{dm} \\[5pt] &=& 24 \,\text{dm}^3 \end{array}$
d)
Mit dem Flächeninhalt der Grundfläche kannst du als erstes $a$ bestimmen. Danach stellst du die Oberflächenformel nach der Seitenfläche um und ermittelst sie. Diese nutzt du dann um $h_s$ zu berechnen, womit du dann die restlichen Werte bestimmen kannst.
$\begin{array}[t]{rll} a&=& \sqrt{A_G}\\[5pt] &=& \sqrt{64\,\text{m}^2}\\[5pt] &=& 8\,\text{m}\\[10pt] O&=& A_G + 4\cdot A_{Seite} &\quad \scriptsize \mid\; -A_G\\[5pt] O-A_G&=& 4\cdot A_{Seite} &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] \dfrac{O-A_G}{4} &=& A_{Seite} \\[10pt] A_{Seite}&=& \dfrac{O-A_G}{4} \\[5pt] &=& \dfrac{312,39\,\text{m}^2-64\,\text{m}^2}{4} \\[5pt] &\approx& 62,1\,\text{m}^2 \\[10pt] h_s&=& \dfrac{2\cdot A_{Seite}} {a} \\[5pt] &=& \dfrac{2\cdot 62,1\,\text{m}} {8\,\text{m}} \\[5pt] &\approx& 15,53 \,\text{m}^2 \\[10pt] h&=&\sqrt{h_s^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{\left(15,53\,\text{m}\right)^2-\left(\frac{8\,\text{m}}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{241,1809\,\text{m}^2-16\,\text{m}^2} \\[5pt] &=& \sqrt{225,1809\,\text{m}^2} \\[5pt] &\approx& 15\,\text{m} \\[10pt] O&=& A_G + 4\cdot A_{Seite} \\[5pt] &=& 64\,\text{m}^2 + 4\cdot 62,1 \,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 64\,\text{m}^2 + 248,4 \,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 312,4 \,\text{m}^2 \\[10pt] V&=& \frac{1}{3}\cdot A_G \cdot h \\[5pt] &=&\frac{1}{3}\cdot 64\,\text{m}^2 \cdot 15\,\text{m} \\[5pt] &=& 320 \,\text{m}^3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} a&=& \sqrt{A_G}\\[5pt] &=& \sqrt{64\,\text{m}^2}\\[5pt] &=& 8\,\text{m}\\[10pt] O&=& A_G + 4\cdot A_{Seite} \\[5pt] …&=& …\\[10pt] A_{Seite}&=& \dfrac{O-A_G}{4} \\[5pt] &=& …\\[10pt] h_s&=& \dfrac{2\cdot A_{Seite}} {a} \\[5pt] &=& \dfrac{2\cdot 62,1\,\text{m}} {8\,\text{m}} \\[5pt] &\approx& 15,53 \,\text{m}^2 \\[10pt] h&=&\sqrt{h_s^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& …\\[10pt] O&=& A_G + 4\cdot A_{Seite} \\[5pt] &=& …\\[10pt] V&=& \frac{1}{3}\cdot A_G \cdot h \\[5pt] &=&\frac{1}{3}\cdot 64\,\text{m}^2 \cdot 15\,\text{m} \\[5pt] &=& 320 \,\text{m}^3 \end{array}$
#tabelle#pyramide
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