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Volumen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Die Glaspyramide im Innenhof des Louvre wurde von 1985 bis 1989 gebaut und dient als Haupteingang für das Museum des Louvre in der französischen Hauptstadt Paris. Die Glaspyramide ist $ 21\,\text{m} $ hoch und besitzt eine Grundseitenlänge von $ 34\,\text{m} $.
Berechne das Volumen der Glaspyramide.
#volumen#pyramide

Aufgabe 1

#würfel#volumen#pyramide

Aufgabe 2

Berechne das Volumen der Pyramiden.
Im Raum: Volumen
Abb. 4: Pyramide B
Im Raum: Volumen
Abb. 4: Pyramide B
Im Raum: Volumen
Abb. 6: Pyramide D
Im Raum: Volumen
Abb. 6: Pyramide D
#volumen#pyramide

Aufgabe 3

Die Pyramiden von Gizeh galten früher als eines der sieben Weltwunder und wurden zwischen 3000 bis 2500 v. Chr. erbaut. Die größte von ihnen ist die Cheopspyramide. Sie besitzt eine quadratische Grundfläche mit einer Grundkantenlänge von $ 227\,\text{m} $ und ist $ 128\,\text{m} $ hoch.
Im Raum: Volumen
Abb. 8: Die Pyramide aus Karlsruhe.
Im Raum: Volumen
Abb. 8: Die Pyramide aus Karlsruhe.
a)
Berechne das Volumen der Cheopspyramide.
b)
Berechne das Volumen der Karlsruher Pyramide.
c)
Wie oft würde die Pyramide aus Karlsruhe in die Cheopspyramide passen? Schätze zunächst und berechne dann.
#volumen#pyramide

Aufgabe 4

Berechne das Volumen der folgenden Pyramiden, welche eine rechteckige Grundfläche besitzen.
a)
$ a = 36\,\text{cm} $ ; $ b = 12\,\text{cm} $ ; $ h_{k} = 48\,\text{cm} $
b)
$ a = 52\,\text{cm} $ ; $ b = 24\,\text{cm} $ ; $ h_{k} = 70\,\text{cm} $
c)
$ a = 120\,\text{cm} $ ; $ b = 99\,\text{cm} $ ; $ h_{k} = 82\,\text{cm} $
d)
$ a = 150\,\text{cm} $ ; $ b = 180\,\text{cm} $ ; $ h_{k} = 120\,\text{cm} $
#pyramide#volumen

Aufgabe 5

Ergänze die folgende Tabelle.
a)b)c)d)e)f)
$A_{G}$$ 169\,\text{cm}^2 $$ 225\,\text{cm}^2 $
$h_{k}$ $ 50\,\text{cm} $ $ 45\,\text{cm} $$ 4,7\,\text{m} $$ 3,6\,\text{m} $
$V_{P}$ $ 500\,\text{cm}^3 $$ 8.820\,\text{cm}^3 $$ 1.183\,\text{cm}^3 $$ 9.900\,\text{cm}^3 $$ 1,88\,\text{m}^3 $$ 6,48\,\text{m}^3 $
#pyramide#volumen#tabelle
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$  Volumen Glaspyramide berechnen
Um das Volumen der Glaspyramide berechnen zu können, musst du zunächst die Grundfläche der Pyramide berechnen. Nutze dafür die gegebene Grundseitenlänge $a$ und setzte den Wert in die folgende Formel ein.
$A_{G} = a \cdot a$
$A_{G} = a \cdot a$
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& a \cdot a \\[5pt] &=& 34\,\text{m} \cdot 34\,\text{m} \\[5pt] &=& 1.156\,\text{m}^2 \end{array}$
Die Grundfläche der Pyramide beträgt $1.156\,\text{m}^2$.
Nun kannst du das Volumen der Pyramide berechnen, indem du die Werte in die folgende Formel einsetzt.
$V_{P} = \dfrac {1}{3} \cdot A_{G} \cdot h_{k}$
$V_{P} = \dfrac {1}{3} \cdot A_{G} \cdot h_{k}$
$\begin{array}[t]{rll} V_{P}&=& \dfrac {1}{3} \cdot A_{G} \cdot h_{k} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot 1.156\,\text{m}^2 \cdot 21\,\text{m} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot 24.276\,\text{m}^3 \\[5pt] &=& 8.092\,\text{m}^3 \end{array}$
Das Volumen der Glaspyramide beträgt $8.092\,\text{m}^3$.
#pyramide#volumen

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ Entstandene Pyramiden benennen
Durch die Einzeichnung der Raumdiagonalen entstehen 5 Pyramiden, die genau so groß sind wie die Pyramide $ABCDS$.
1.)
$ABFES$
2.)
$BCGFS$
3.)
$FGHES$
4.)
$AEHDS$
5.)
$CGHDS$
b)
$\blacktriangleright$ Volumen einer Pyramide auf zwei Weisen berechnen.
Wir berechnen das Volumen der Pyramide $ABCDS$. Du kannst natürlich auch das Volumen der anderen Pyramiden auf die selbe Art berechnen. Das Ergebnis bleibt dabei das selbe.
Berechne hierfür zunächst den Flächeninhalt $A_{G}$ der quadratischen Grundfläche der Pyramide. Nutze dafür den gegebenen Wert für $a$ und setze ihn in die Formel ein, die du schon aus der Einführungsaufgabe kennst.
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& a \cdot a \\[5pt] &=& 8\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} \\[5pt] &=& 64\,\text{cm}^2 \end{array}$
Die Grundfläche der Pyramide $ABCDS$ beträgt $64\,\text{cm}^2$.
Nun kannst du den Wert, den du gerade berechnet hast in die Volumenformel einsetzen. Diesen hast du ebenfalls schon in der Einführungsaufgabe gelernt hast.
1.)
$\begin{array}[t]{rll} V_{P}&=& \dfrac {1}{3} \cdot A_{G} \cdot h_{k} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot 64\,\text{cm}^2 \cdot 4\,\text{cm} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot 265\,\text{cm}^3 \\[5pt] &=& 85,33\,\text{cm}^3 \end{array}$
Das Volumen der Pyramide $ABCDS$ beträgt $85,33\,\text{cm}^3$.
2.)
Es gibt jedoch noch eine zweite Formel, die du verwenden kannst, um das Volumen einer Pyramide zu berechnen.
$V_{P} = A_{G} \cdot h_{k} : 3$
$V_{P} = A_{G} \cdot h_{k} : 3$
$\begin{array}[t]{rll} V_{P}&=& A_{G} \cdot h_{k} : 3 \\[5pt] &=& 64\,\text{cm}^2 \cdot 4\,\text{cm} : 3\\[5pt] &=& 265\,\text{cm}^3 : 3 \\[5pt] &=& 85,33\,\text{cm}^3 \end{array}$
Das Volumen der Pyramide $ABCDS$ beträgt $85,33\,\text{cm}^3$.
#pyramide#volumen#würfel

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$  Volumen Pyramide $A$ berechnen
Pyramide $A$ besitzt eine quadratische Grundfläche. Berechne zuerst $A_{G}$ mithilfe der Formel aus der Einführungsaufgabe und setze die Werte anschließend in eine der beiden Volumenformeln ein.
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& a \cdot a \\[5pt] &=& 8\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} \\[5pt] &=& 64\,\text{cm}^2 \end{array}$
Die Grundfläche der Pyramide $A$ beträgt $64\,\text{cm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} V_{P}&=& \dfrac {1}{3} \cdot A_{G} \cdot h_{k} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot 64\,\text{cm}^2 \cdot 9\,\text{cm} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot 576\,\text{cm}^3 \\[5pt] &=& 192\,\text{cm}^3 \end{array}$
Das Volumen der Pyramide $A$ beträgt $192\,\text{cm}^3$.
$\blacktriangleright$  Volumen Pyramide $B$ berechnen
Pyramide $B$ besitzt eine rechteckige Grundfläche. Berechne zuerst $A_{G}$ mithilfe der der folgenden Formel und setze die Werte anschließend wie gewohnt in eine der beiden Volumenformeln ein.
$A_{G} = a \cdot b$
$A_{G} = a \cdot b$
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& a \cdot b \\[5pt] &=& 10\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} \\[5pt] &=& 60\,\text{cm}^2 \end{array}$
Die Grundfläche der Pyramide $B$ beträgt $60\,\text{cm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} V_{P}&=& \dfrac {1}{3} \cdot A_{G} \cdot h_{k} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot 60\,\text{cm}^2 \cdot 9\,\text{cm} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot 540\,\text{cm}^3 \\[5pt] &=& 180\,\text{cm}^3 \end{array}$
Das Volumen der Pyramide $B$ beträgt $180\,\text{cm}^3$.
$\blacktriangleright$  Volumen Pyramide $C$ berechnen
Pyramide $C$ besitzt ebenfalls eine rechteckige Grundfläche. Berechne zuerst $A_{G}$ mithilfe der gelernten Formel und setze die Werte anschließend wie gewohnt in eine der beiden Volumenformeln ein.
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& a \cdot b \\[5pt] &=& 50\,\text{mm} \cdot 40\,\text{mm} \\[5pt] &=& 2.000\,\text{mm}^2 \end{array}$
Die Grundfläche der Pyramide $C$ beträgt $2.000\,\text{mm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} V_{P}&=& \dfrac {1}{3} \cdot A_{G} \cdot h_{k} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot 2.000\,\text{mm}^2 \cdot 70\,\text{mm} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot 140.000\,\text{mm}^3 \\[5pt] &=& 46.666,67\,\text{mm}^3 \end{array}$
Das Volumen der Pyramide $C$ beträgt $46.666,67\,\text{mm}^3$.
$\blacktriangleright$  Volumen Pyramide $D$ berechnen
Pyramide $D$ besitzt eine quadratische Grundfläche. Berechne wieder zuerst $A_{G}$ mithilfe der Formel aus der Einführungsaufgabe und setze die Werte anschließend in eine der beiden Volumenformeln ein.
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& a \cdot a \\[5pt] &=& 4\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} \\[5pt] &=& 16\,\text{m}^2 \end{array}$
Die Grundfläche der Pyramide $D$ beträgt $16\,\text{m}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} V_{P}&=& \dfrac {1}{3} \cdot A_{G} \cdot h_{k} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot 16\,\text{m}^2 \cdot 2\,\text{m} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot 32\,\text{m}^3 \\[5pt] &=& 10,6\,\text{m}^3 \end{array}$
Das Volumen der Pyramide $D$ beträgt $10,6\,\text{m}^3$.
#volumen#pyramide

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ Volumen Cheopspyramide
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& a \cdot a \\[5pt] &=& 227\,\text{m} \cdot 227\,\text{m} \\[5pt] &=& 51.529\,\text{m}^2 \end{array}$
Die Grundfläche der Cheopspyramide beträgt $51.529\,\text{m}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} V_{P}&=& \dfrac {1}{3} \cdot A_{G} \cdot h_{k} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot 51.529\,\text{m}^2 \cdot 128\,\text{m} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot 6.595.712\,\text{m}^3 \\[5pt] &\approx& 2.198.570,67 \,\text{m}^3 \end{array}$
Das Volumen der Cheopspyramide beträgt ungefähr $2.198.570,67 \,\text{m}^3$.
b)
$\blacktriangleright$  Volumen Pyramide Karlsruhe
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& a \cdot a \\[5pt] &=& 6,05\,\text{m} \cdot 6,05\,\text{m} \\[5pt] &=& 36,6025\,\text{m}^2 \end{array}$
Die Grundfläche der Karlsruher Pyramdie beträgt $36,6025\,\text{m}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} V_{P}&=& \dfrac {1}{3} \cdot A_{G} \cdot h_{k} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot 36,6025\,\text{m}^2 \cdot 6,81\,\text{m} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot 246,26\,\text{m}^3 \\[5pt] &\approx& 83,08\,\text{m}^3 \end{array}$
Das Volumen der Karlsruher Pyramide beträgt ungefähr $83,08\,\text{m}^3$.
c)
$\blacktriangleright$ Wie oft passt die Karlsruher Pyramide in die Cheopspyramide?
Um dies zu berechnen, dividierst du das Volumen der Cheopspyramide durch das Volumen der Karlsruher Pyramide um das Ergebnis $E$ zu erhalten.
$\begin{array}[t]{rll} E&=& V_{C} : V_{K} \\[5pt] &=& 2.198.570,67 \,\text{m}^3 : 83,08\,\text{m}^3 \\[5pt] &\approx& 26.463 \end{array}$
Die Karlsruher Pyramide würde ungefähr $26.463\,\text{}$ mal in die Cheopspyramide passen.
#volumen#pyramide

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$  Volumen und Grundfläche berechnen
a)
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& a \cdot b \\[5pt] &=& 36\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} \\[5pt] &=& 432\,\text{cm}^2 \end{array}$
Die Grundfläche der Pyramide beträgt $432\,\text{cm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} V_{P}&=& \dfrac {1}{3} \cdot A_{G} \cdot h_{k} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot 432\,\text{cm}^2 \cdot 48\,\text{cm} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot 20.736\,\text{cm}^3 \\[5pt] &=& 6.912\,\text{cm}^3 \end{array}$
Das Volumen der Pyramide beträgt $6.912\,\text{cm}^3$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& a \cdot b \\[5pt] &=& 52\,\text{cm} \cdot 24\,\text{cm} \\[5pt] &=& 1.248\,\text{cm}^2 \end{array}$
Die Grundfläche der Pyramide beträgt $1.248\,\text{cm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} V_{P}&=& \dfrac {1}{3} \cdot A_{G} \cdot h_{k} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot 1.248\,\text{cm}^2 \cdot 70\,\text{cm} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot 87.360\,\text{cm}^3 \\[5pt] &=& 29.120\,\text{cm}^3 \end{array}$
Das Volumen der Pyramide beträgt $29.120\,\text{cm}^3$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& a \cdot b \\[5pt] &=& 120\,\text{cm} \cdot 99\,\text{cm} \\[5pt] &=& 11.880\,\text{cm}^2 \end{array}$
Die Grundfläche der Pyramide beträgt $11.880\,\text{cm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} V_{P}&=& \dfrac {1}{3} \cdot A_{G} \cdot h_{k} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot 11.880\,\text{cm}^2 \cdot 82\,\text{cm} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot 974.160\,\text{cm}^3 \\[5pt] &=& 324.720\,\text{cm}^3 \end{array}$
Das Volumen der Pyramide beträgt $324.720\,\text{cm}^3$.
d)
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& a \cdot b \\[5pt] &=& 150\,\text{cm} \cdot 180\,\text{cm} \\[5pt] &=& 27.000\,\text{cm}^2 \end{array}$
Die Grundfläche der Pyramide beträgt $27.000\,\text{cm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} V_{P}&=& \dfrac {1}{3} \cdot A_{G} \cdot h_{k} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot 27.000\,\text{cm}^2 \cdot 120\,\text{cm} \\[5pt] &=& \dfrac {1}{3} \cdot 3.240.000\,\text{cm}^3 \\[5pt] &=& 1.080.000\,\text{cm}^3 \end{array}$
Das Volumen der Pyramide beträgt $1.080.000\,\text{cm}^3$.
#pyramide#volumen

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$  Eigenschaften Pyramide berechnen
Um diese Aufgabe lösen zu können benötigst du folgende Formeln.
$V_{P} = \dfrac {1}{3} \cdot A_{G} \cdot h_{k}$
$A_{G} = (V_{P} \cdot 3) : h_{k}$
$h_{k} = \dfrac {V_{P}\cdot 3}{A_{G}}$
$V_{P} = \dfrac {1}{3} \cdot A_{G} \cdot h_{k}$
$A_{G} = (V_{P} \cdot 3) : h_{k}$
$h_{k} = \dfrac {V_{P}\cdot 3}{A_{G}}$
a)
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& (V_{P} \cdot 3) : h_{k} \\[5pt] &=& (500\,\text{cm}^3 \cdot 3 ) : 50\,\text{cm} \\[5pt] &=& 30\,\text{cm}^2 \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& (V_{P} \cdot 3) : h_{k} \\[5pt] &=& (8.820\,\text{cm}^3 \cdot 3 ) : 45\,\text{cm} \\[5pt] &=& 588\,\text{cm}^2 \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{rll} h_{k}&=& \dfrac {V_{P}\cdot 3}{A_{G}} \\[5pt] &=& \dfrac {1.183\,\text{cm}^3\cdot 3}{169\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& 21\,\text{cm} \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} h_{k}&=& \dfrac {V_{P}\cdot 3}{A_{G}} \\[5pt] &=& \dfrac {9.900\,\text{cm}^3\cdot 3}{225\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& 132\,\text{cm} \end{array}$
e)
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& (V_{P} \cdot 3) : h_{k} \\[5pt] &=& (1,88\,\text{m}^3 \cdot 3 ) : 4,7\,\text{m} \\[5pt] &=& 1,2\,\text{m}^2 \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& (V_{P} \cdot 3) : h_{k} \\[5pt] &=& (6,48\,\text{m}^3 \cdot 3 ) : 3,6\,\text{m} \\[5pt] &=& 5,4\,\text{m}^2 \end{array}$
#volumen#pyramide#tabelle
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