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Ähnliche Figuren

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Welche der Figuren sind ähnlich zueinander? Begründe deine Antwort.
Abb. 1: Manche der Figuren sind ähnlich. Welche?
Abb. 1: Manche der Figuren sind ähnlich. Welche?
#ähnlichkeit

Aufgabe 1

Vervollständige die Tabelle.
$a)$$b)$$c)$$d)$$e)$$f)$$g)$
$k$$4,5 $$ $$0,5 $$7 $$ \frac{1}{3}$$ $$15$
Original$3,1 \, \text{m} $$7,5 \, \text{dm} $$ $$\alpha = 35° $$ $$36 \, \text{cm}$$6 \, \text{m}$
Bild$ $$15 \, \text{dm} $$2 \, \text{cm} $$ $$4 \, \text{m} $$6 \, \text{cm}$$ $
$ $$k$OriginalBild
$a)$ $4,5 $$ 3,1 \, \text{m}$$ $
$b)$$ $$7,5 \, \text{dm} $$15 \, \text{dm} $
$c)$$0,5 $$ $$2 \, \text{cm} $
$d)$$7 $$\alpha = 35° $$ $
$e)$$\frac{1}{3} $$ $$4 \, \text{m} $
$f)$$ $$36 \, \text{cm} $$6 \, \text{cm} $
$g)$$15 $$6 \, \text{m} $$ $
#tabelle#figurenvergrößernundverkleinern

Aufgabe 2

Du hast ein Dreieck mit den Maßen $a = 4 \, \text{cm}$, $b = 5 \, \text{cm}$ und $c = 8 \, \text{cm}$ gegeben. Sind folgende Dreiecke dem Ausgangsdreieck ähnlich? Überprüfe dies rechnerisch.
a)
$a = 8 \, \text{cm}$, $b = 10 \, \text{cm}$ und $c = 16 \, \text{cm}$
b)
$a = 6 \, \text{cm}$, $b = 7,5 \, \text{cm}$ und $c = 12 \, \text{cm}$
c)
$a = 1 \, \text{cm}$, $b = 1,5 \, \text{cm}$ und $c = 2 \, \text{cm}$
d)
$a = 2 \, \text{cm}$, $b = 2,5 \, \text{cm}$ und $c = 4 \, \text{cm}$
e)
$a = 14 \, \text{cm}$, $b = 17,5 \, \text{cm}$ und $c = 29 \, \text{cm}$
#dreieck#ähnlichkeit

Aufgabe 3

Welche der folgenden Figuren sind immer ähnlich zueinander? Finde die Lösung mithilfe einer Zeichnung.
b)
zwei Kreise
d)
zwei Quadrate
f)
zwei Rechtecke
#gleichseitigesdreieck#ähnlichkeit#raute#gleichschenkligesdreieck#quadrat

Aufgabe 4

Welche der folgenden Dreiecke sind ähnlich zueinander?
b)
$c = 1,3 \, \text{cm}, \beta=72°, \gamma=45°$
d)
$ac = 3,4 \, \text{cm}, \beta = 62°, \gamma=72°$
f)
$b = 6,2 \, \text{cm}, \alpha=72°, \beta=46°$
#dreieck#ähnlichkeit

Aufgabe 5

Das Rechteck $ABCD$ wird in $4$ Dreiecke zerlegt. Sind die entstandenen Dreiecke ähnlich zueinander? Die Seitenlängen des Rechtecks sind hierbei ganz egal, die Aufgabe funktioniert mit jedem beliebigem Rechteck.
Abb. 2: Sind die Dreiecke zueinander ähnlich?
Abb. 2: Sind die Dreiecke zueinander ähnlich?
#rechteck#dreieck#ähnlichkeit

Aufgabe 6

Abb. 3: Nervenkitzel gefällig?
Abb. 3: Nervenkitzel gefällig?
Abb. 4: Wie ging das nochmal, die Höhe des Towers zu berechnen?
Abb. 4: Wie ging das nochmal, die Höhe des Towers zu berechnen?
#ähnlichkeit#figurenvergrößernundverkleinern

Aufgabe 7

Abb. 5: Diese Figur sollst du vergrößern und verkleinern.
Abb. 5: Diese Figur sollst du vergrößern und verkleinern.
Original$k=0,2$$k=0,5$$k=1,5$$k=2$
U
A
#figurenvergrößernundverkleinern#flächeninhalt#umfang#ähnlichkeit#tabelle
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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$  Ähnlichkeit erkennen
Wenn du Figuren maßstäblich vergrößerst oder verkleinerst, entstehen ähnliche Figuren. Bei ähnlichen Figuren sind alle Seiten im gleichen Verhältnis (mit demselben Faktor $k$) vergrößert oder verkleinert und die sich entsprechenden Winkel sind gleich groß.
Die Figuren sind sich auch dann noch ähnlich, wenn sie gespiegelt oder gedreht wurden. Das Wichtige bei der Ähnlichkeit sind lediglich die im gleichen Verhältnis vergrößerten Seiten und die übereinstimmenden Winkel.
Abb. 1: Manche der Figuren sind ähnlich. Welche?
Abb. 1: Manche der Figuren sind ähnlich. Welche?
Wenn du bestimmen sollst, welche der Figuren ähnlich zueinander sind, sortiere für dich die Figuren erst einmal nach ihrer Form. Es gibt zwei Rechtecke ($A$ und $D$), fünf Dreiecke ($B$, $E$, $G$, $J$ und $K$) und vier Parallelogramme ($C$, $F$, $H$ und $I$). Überprüfe dann systematisch, welche der gleichartigen Figuren ähnlich sind.
Rechtecke:
Rechteck $A$ hat die beiden Seitenlängen $8$ Kästchen und $6$ Kästchen. Rechteck $D$ hat die beiden Seitenlängen $3$ Kästchen und $4$ Kästchen. Rechteck $D$ ist also einer Verkleinerung von Rechteck $A$ mit dem Faktor $k=0,5$, denn $4:8 = 0,5$ und $3:6 = 0,5$. Es ist ganz egal, dass das Rechteck $D$ gedreht wurde, denn alle Seiten wurden mit demselben Faktor verkleinert.
Dreiecke:
Die Dreiecke kannst du ineinander noch einmal unterteilen. Auf der Abbildung siehst du $3$ rechtwinklige Dreiecke ($B$, $E$ und $K$) und $2$ Dreiecke, die nicht rechtwinklig sind ($G$ und $J$).
Dreieck $B$ hat die zwei Seitenlängen $4$ Kästchen und $8$ Kästchen. Dreieck $E$ hat die zwei Seitenlängen $6$ Kästchen und $12$ Kästchen. Dreieck $E$ ist also eine Vergrößerung von Dreieck $B$ mit dem Faktor $k=1,5$, denn $6:4=1,5$ und $8:12=1,5$. Da die Dreiecke rechtwinklig sind und die zwei am rechten Winkel anliegenden Seiten gegeben sind, sind auch die anderen Winkel gleich groß.
Dreieck $K$ hat die zwei Seitenlängen $8$ und $15$. Es ist den beiden Dreiecken $B$ und $E$ nicht ähnlich, denn die Seiten wurden nicht mit demselben Faktor $k$ vergrößert oder verkleinert.
Dreieck $G$ hat die Seitenlänge $8$ Kästchen und die Höhe $7$ Kästchen. Dreieck $J$ hat die Seitenlänge $4$ Kästchen und die Höhe $3$ Kästchen. Dreieck $G$ und $J$ sind nicht ähnlich zueinander, denn die Seiten wurden nicht mit demselben Faktor $k$ vergrößert oder verkleinert.
Parallelogramme:
Parallelogramm $C$ hat die Seitenlänge $5$ Kästchen und die Höhe $3$ Kästchen. Parallelogramm $F$ hat die Seitenlänge $12$ Kästchen und die Höhe $4$ Kästchen. Parallelogramm $C$ und $F$ sind nicht ähnlich zueinander, denn die Seiten wurden nicht mit demselben Faktor $k$ vergrößert oder verkleinert.
Parallelogramm $H$ hat die Seitenlänge $6$ Kästchen und die Höhe $2$ Kästchen. Zu Parallelogramm $C$ ist es nicht ähnlich, denn die Seiten wurden nicht mit demselben Faktor $k$ vergrößert oder verkleinert.
Parallelogramm $H$ ist aber eine Verkleinerung von Parallelogramm $F$ mit dem Faktor $0,5$, denn $6:12=0,5$ und $2:4 = 0,5$.
Parallelogramm $I$ hat eine Seitenlänge von $10$ Kästchen und eine Höhe von $5$ Kästchen. Es ist zu keinem der anderen Parallelogramm ähnlich, denn die Seiten wurden nicht mit demselben Faktor $k$ vergrößert oder verkleinert.
#dreieck#rechteck#parallelogramm

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$  Tabelle vervollständigen
Um die Tabelle zu vervollständigen, musst du entweder den Faktor $k$, die Länge der Originalstrecke $a$ oder die Länge der Bildstrecke $a'$ berechnen. Hierfür kennst du folgende Formeln:
$a' = a \cdot k$
$a' = a \cdot k$
$a = \frac{a'}{k}$
$a = \frac{a'}{k}$
$k = \frac{a'}{a}$
$k = \frac{a'}{a}$
Setze die gegebenen Werte in die jeweilige Formel ein und rechne aus.
a)
$3,1 \, \text{m} \cdot 4,5 = 13,95 \, \text{m}$
b)
$15 \, \text{dm} : 7,5 \, \text{dm} = 2 $
c)
$2 \, \text{cm} : 0,5 = 4 \, \text{cm}$
d)
$35° \cdot 7 = 245° $
e)
$4 \, \text{m} : \frac{1}{3} = 4 \, \text{m} \cdot 3 = 12 \, \text{m} $
f)
$6 \, \text{cm} : 36 \, \text{cm} = \frac{1}{6} $
g)
$6 \, \text{m} \cdot 15 = 90 \, \text{m} $
$a)$$b)$$c)$$d)$$e)$$f)$$g)$
$k$$4,5 $$\color{#87c800}{ 2}$$0,5 $$7 $$ \frac{1}{3}$$\color{#87c800}{\frac{1}{6}} $$15$
Original$3,1 \, \text{m} $$7,5 \, \text{dm} $$\color{#87c800}{4 \, \text{cm}} $$\alpha = 35° $$ \color{#87c800}{12\, \text{m}}$$36 \, \text{cm}$$6 \, \text{m}$
Bild$ \color{#87c800}{13,95 \, \text{m}} $$15 \, \text{dm} $$2 \, \text{cm} $$\color{#87c800}{\alpha'=245° }$$4 \, \text{m} $$6 \, \text{cm}$$ \color{#87c800}{90 \, \text{m}}$
$ $$k$OriginalBild
$a)$ $4,5 $$ 3,1 \, \text{m}$$\color{#87c800}{13,95 \, \text{m}} $
$b)$$\color{#87c800}{2} $$7,5 \, \text{dm} $$15 \, \text{dm} $
$c)$$0,5 $$\color{#87c800}{4 \, \text{cm} }$$2 \, \text{cm} $
$d)$$7 $$\alpha = 35° $$\color{#87c800}{\alpha'=245°} $
$e)$$\frac{1}{3} $$\color{#87c800}{12 \, \text{m} }$$4 \, \text{m} $
$f)$$\color{#87c800}{\frac{1}{6}} $$36 \, \text{cm} $$6 \, \text{cm} $
$g)$$15 $$6 \, \text{m} $$\color{#87c800}{90 \, \text{m}} $

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$  Ähnlichkeit rechnerisch überprüfen
Das Ausgangsdreieck hat die Maße $a = 4 \, \text{cm}$, $b = 5 \, \text{cm}$ und $c = 8 \, \text{cm}$. Um herauszufinden, ob die folgenden Dreiecke dem Ausgangsdreieck ähnlich sind, musst du rechnerisch überprüfen, ob alle Seiten mit demselben Faktor $k$ vergrößert oder verkleinert wurden. Den Faktor $k$ berechnest du folgendermaßen:
$k = \frac{\text{Bildstrecke} \, a'}{\text{Originalstrecke} \, a}$
$k = \frac{\text{Bildstrecke} \, a'}{\text{Originalstrecke} \, a}$
a)
$a = 8 \, \text{cm}$, $b = 10 \, \text{cm}$ und $c = 16 \, \text{cm}$
$\begin{array}[t]{rll} 8 \, \text{cm} : 4 \, \text{cm}&=&2 &\quad \scriptsize \\[5pt] 10 \, \text{cm} : 5 \, \text{cm}&=& 2&\quad \scriptsize \\[5pt] 16 \, \text{cm} : 8 \, \text{cm}&=&2 \end{array}$
Aus der Rechnung ergibt sich, dass alle Seiten mit demselben Faktor $k = 2$ vergrößert wurden. Dieses Dreieck ist dem Ausgangsdreieck also ähnlich.
b)
$a = 6 \, \text{cm}$, $b = 7,5 \, \text{cm}$ und $c = 12 \, \text{cm}$
$\begin{array}[t]{rll} 6 \, \text{cm} : 4 \, \text{cm}&=&1,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] 7,5 \, \text{cm} : 5 \, \text{cm}&=& 1,5&\quad \scriptsize \\[5pt] 12 \, \text{cm} : 8 \, \text{cm}&=&1,5 \end{array}$
Aus der Rechnung ergibt sich, dass alle Seiten mit demselben Faktor $k = 1,5$ vergrößert wurden. Dieses Dreieck ist dem Ausgangsdreieck also ähnlich.
c)
$a = 1 \, \text{cm}$, $b = 1,5 \, \text{cm}$ und $c = 2 \, \text{cm}$
$\begin{array}[t]{rll} 1 \, \text{cm} : 4 \, \text{cm}&=&0,25&\quad \scriptsize \\[5pt] 1,5 \, \text{cm} : 5 \, \text{cm}&=& 0,3&\quad \scriptsize \\[5pt] 2 \, \text{cm} : 8 \, \text{cm}&=&0,25 \end{array}$
Aus der Rechnung ergibt sich, dass nicht alle Seiten mit demselben Faktor verkleinert wurden. Dieses Dreieck ist dem Ausgangsdreieck also nicht ähnlich.
d)
$a = 2 \, \text{cm}$, $b = 2,5 \, \text{cm}$ und $c = 4 \, \text{cm}$
$\begin{array}[t]{rll} 2 \, \text{cm} : 4 \, \text{cm}&=&0,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] 2,5 \, \text{cm} : 5 \, \text{cm}&=& 0,5&\quad \scriptsize \\[5pt] 4 \, \text{cm} : 8 \, \text{cm}&=&0,5 \end{array}$
Aus der Rechnung ergibt sich, dass alle Seiten mit demselben Faktor $k = 0,5$ verkleinert wurden. Dieses Dreieck ist dem Ausgangsdreieck also ähnlich.
e)
$a = 14 \, \text{cm}$, $b = 17,5 \, \text{cm}$ und $c = 29 \, \text{cm}$
$\begin{array}[t]{rll} 14 \, \text{cm} : 4 \, \text{cm}&=&3,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] 17,5 \, \text{cm} : 5 \, \text{cm}&=& 3,5&\quad \scriptsize \\[5pt] 29 \, \text{cm} : 8 \, \text{cm}&=&3,625 \end{array}$
Aus der Rechnung ergibt sich, dass nicht alle Seiten mit demselben Faktor vergrößert wurden. Dieses Dreieck ist dem Ausgangsdreieck also nicht ähnlich.
#figurenvergrößernundverkleinern

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$  Ähnlichkeit zeichnerisch überprüfen
Überlege dir, in welchen Seiten und Winkeln die Figuren übereinstimmen. Haben alle Figuren dieser Art immer dieselben Winkelgrößen? Sind die Seitenlängen immer proportional, also immer ein Vielfaches voneinander?
b)
Zwei Kreise sind immer ähnlich zueinander. Der Radius und der Umfang sind immer proportional zueinander, alles wird immer mit demselben Faktor $k$ vergrößert oder verkleinert.
d)
Zwei Quadrate sind immer ähnlich zueinander. Die Größe der Winkel beträgt immer $90°$ und sie haben $4$ gleich lange Seiten. Also wird bei der Vergrößerung oder Verkleinerung immer derselbe Faktor $k$ genutzt.
f)
Zwei Rechtecke sind nicht immer ähnlich zueinander. Zwar beträgt die Größe der Winkel immer $90°$, es sind aber je nur die $2$ gegenüberliegenden Seiten immer gleich lang. Da die Seiten in einem unterschiedlichen Verhältnis zueinander stehen können, werden sie nicht immer alle mit demselben Faktor $k$ vergrößert oder verkleinert.
#kreis#rechteck

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$  Ähnlichkeit von Dreiecken überprüfen
Dreiecke sind dann ähnlich zueinander, wenn sie in $2$ Winkeln übereinstimmen. Denn der Innenwinkelsatz besagt, dass die Summe aller Innenwinkel im Dreieck $180°$ beträgt. Wenn nun bei einem Dreieck $2$ Winkel übereinstimmen, stimmt auch der dritte Winkel überein, da er aufgrund des Innenwinkelsatzes gleich groß sein muss.
Um die Ähnlichkeit der Dreieck zu überprüfen, berechne immer, wie groß der dritte, fehlende Winkel des Dreiecks ist, und vergleiche dann die Winkelgrößen mit den anderen Dreiecken. Die gegebene Seitenlänge brauchst du nicht zu beachten, denn da es je nur eine ist, musst du nicht überprüfen, ob mehrere Seiten mit demselben Faktor $k$ vergrößert oder verkleinert wurden.
b)
$c = 1,3 \, \text{cm}, \beta=72°, \gamma=45°$ $\begin{array}[t]{rll} \alpha&=& 180°-72°-45°&\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha&=&63° \end{array}$
d)
$c = 3,4 \, \text{cm}, \beta = 62°, \gamma=72°$
f)
$b = 6,2 \, \text{cm}, \alpha=72°, \beta=46°$
Es reicht bereits, den fehlenden Winkel lediglich für das Dreieck aus Teilaufgabe $a)$ und aus Teilaufgabe $b)$ zu berechnen. Denn daran kannst du sehen, dass die anderen Dreieck in ihren Winkeln entweder mit dem Dreieck aus Teilaufgabe $a)$ oder mit dem Dreieck aus Teilaufgabe $b)$ übereinstimmen, denn: Der dritte fehlende Winkel ist aufgrund des Innenwinkelsatzes immer gleich groß.
Das Dreieck aus Teilaufgabe $a)$ ist ähnlich zum Dreieck aus Teilaufgabe $d)$ und zum Dreieck aus Teilaufgabe $f)$. Das Dreieck aus Teilaufgabe $b)$ ist ähnlich zum Dreieck aus Teilaufgabe $c)$ und zum Dreieck aus Teilaufgabe $e)$.

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$  Ähnlichkeit von Dreiecken im Viereck begründen
Das Rechteck $ABCD$ wird in $4$ Dreiecke zerlegt. Um nun herauszufinden, ob die Dreiecke ähnlich zueinander sind, musst du dir noch einmal klar machen, dass Dreiecke dann ähnlich zueinander sind, wenn sie in $2$ Winkeln übereinstimmen, da dann der dritte Winkel ebenfalls identisch ist.
Abb. 14: Sind die Dreiecke zueinander ähnlich?
Abb. 14: Sind die Dreiecke zueinander ähnlich?
Fange mit dem größten Dreieck an. Es ist ein rechtwinkliges Dreieck, denn das Rechteck ist ebenfalls rechtwinklig und das Dreieck benutzt eine Ecke (= $90°-$Winkel) des Rechtecks als seine Ecke. Betrachte nun die obere linke Ecke. Das Dreieck liegt am rechten Winkel des Vierecks an. Dieser hat $90°$. Folglich hat das Dreieck einen Winkel, der kleiner als $90°$ ist. Benenne diesen Winkel mit $x$.
Abb. 15: Der Winkel $x$ hat eine Größe von $90°-n$.
Abb. 15: Der Winkel $x$ hat eine Größe von $90°-n$.
Betrachte nun das zweitgrößte Dreieck. Die linke Ecke des Dreiecks liegt im rechten Winkel und am oberen Winkel des größeren Dreiecks an. Benenne diesen Winkel mit $y$. Er liegt im rechten Winkel und mit dem Winkel $x$ ergänzt er sich deshalb zu $90°$. Daraus kannst du folgern, dass hier gilt: $x + y = 90°$.
Abb. 16: $x+y=90°$.
Abb. 16: $x+y=90°$.
Das zweitgrößte Dreieck hat (wie das größte Dreieck) einen rechten Winkel (=$90°$). Die Innenwinkelsumme in einem Dreieck beträgt immer $180°$. Die Größe des dritten Winkel kennst du noch nicht. Du weißt allerdings, dass ein Winkel schon $90°$ abdeckt und der andere Winkel die Größe $x$ hat. Du suchst nun also eine Winkelgröße, die zusammen mit $x$ die fehlenden $90°$ ergibt. Von vorhin weißt du, dass $x+y=90°$ gilt. Hieraus ergibt sich, welche Größe der fehlende Winkel hat. Stelle die Gleichung einfach um, dabei kommt $90°-x=y$ heraus.
Für das größte Dreieck kannst du genau gleich vorgehen und kommst zum selben Ergebnis.
Abb. 17: $90°-x=y$.
Abb. 17: $90°-x=y$.
Nun ist schon klar, dass alle Dreiecke im Viereck ähnlich sind. Zur Kontrolle kannst du aber auch die Größe der Winkel der $2$ kleinsten Dreiecke bestimmen. Gehe dafür gleich vor, wie in den ersten Schritten.
Abb. 19: So haben alle Winkel der Dreiecke im Viereck die Größe $x$ oder $y$.
Abb. 19: So haben alle Winkel der Dreiecke im Viereck die Größe $90°$, $x$ oder $y$.

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$  Messmethode erklären und Höhe berechnen
Abb. 20: Wie ging das nochmal, die Höhe des Towers zu berechnen?
Abb. 20: Wie ging das nochmal, die Höhe des Towers zu berechnen?
Um die Höhe des Freefalltowers zu berechnen, musst du nun den Faktor ausrechnen, mit dem der Schatten des Stockes zu dem Schatten des Towers vergrößert wurde. Aus diesem Grund wird für die Methode übrigens auch ein Maßband benötigt.
Wenn du den Faktor $k$ berechnet hast, musst du ihn mit der Höhe des Stockes multiplizieren, so kommst du auf die Bildstrecke und somit auf die Angabe, wie hoch der Freefalltower ist.
1. Schritt: Vergrößerungsfaktor $k$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} k &=& \frac {\text{Bildstrecke} \, a'}{\text{Originalstrecke} \, a}&\quad \scriptsize \\[5pt] k&=& \dfrac{50 \, \text{m} }{1,25 \, \text{m} }&\quad \scriptsize \\[5pt] k&=&40 \end{array}$
2. Schritt: Bildstrecke (Höhe des Towers) berechnen
$\begin{array}[t]{rll} a'&=&a \cdot k &\quad \scriptsize \\[5pt] a'&=&1,5 \, \text{m} \cdot 40&\quad \scriptsize \\[5pt] a'&=&60 \, \text{m} \end{array}$
Der Freefalltower im Freizeitpark ist $60 \, \text{m}$ hoch.
#dreieck

Aufgabe 7

$\blacktriangleright$  Umfang und Flächeninhalt von ähnlichen Figuren betrachten
Um das Rechteck zu vergrößern und zu verkleinern, musst du die Bildstrecke $a'$ über folgende Formel berechnen:
$a \cdot k = a'$
$a \cdot k = a'$
Setze dazu die Länge der Originalstrecke und den jeweiligen Vergrößerungs- oder Verkleinerungsfaktor $k$ ein.
Dann kannst du den Umfang und den Flächeninhalt der Rechtecke berechnen. Nutze dafür folgende Formeln:
$U = 2 \cdot a + 2 \cdot b$
$U = 2 \cdot a + 2 \cdot b$
$A = a \cdot b$
$A = a \cdot b$
Original
$\begin{array}[t]{rll} a&=&5 \, \text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] b&=&2 \, \text{cm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} U&=&2 \cdot 5 \, \text{cm} + 2 \cdot 2 \, \text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] U&=&10 \, \text{cm} + 4 \, \text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] U&=&14 \, \text{cm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A&=&5 \, \text{cm} \cdot 2 \, \text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&10 \, \text{cm}^2 \end{array}$
Die Originalfigur hat einen Umfang von $14 \, \text{cm}$ und einen Flächeninhalt von $10 \, \text{cm}^2$.
Verkleinerung mit $k=0,5$
$\begin{array}[t]{rll} a&=& 5 \, \text{cm} \cdot 0,5&\quad \scriptsize \\[5pt] a&=& 2,5 \, \text{cm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} b&=&2 \, \text{cm} \cdot 0,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] b&=&1\, \text{cm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} U&=&2 \cdot 2,5 \, \text{cm} + 2 \cdot 1 \, \text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] U&=&5 \, \text{cm} + 2 \, \text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] U&=&7\, \text{cm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A&=&2,5 \, \text{cm} \cdot 1 \, \text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&2,5\, \text{cm}^2 \end{array}$
Die Figur, die mit dem Faktor $k=0,2$ verkleinert wurde, hat einen Umfang von $2,8 \, \text{cm}$ und einen Flächeninhalt von $0,4 \, \text{cm}^2$.
Vergrößerung mit $k=2$
$\begin{array}[t]{rll} a&=& 5 \, \text{cm} \cdot 2&\quad \scriptsize \\[5pt] a&=& 10 \, \text{cm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} b&=&2 \, \text{cm} \cdot 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] b&=&4\, \text{cm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} U&=&2 \cdot 10 \, \text{cm} + 2 \cdot 4 \, \text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] U&=&20 \, \text{cm} + 8 \, \text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] U&=&28\, \text{cm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A&=&10 \, \text{cm} \cdot 4 \, \text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&40\, \text{cm}^2 \end{array}$
Die Figur, die mit dem Faktor $k=2$ vergrößert wurde, hat einen Umfang von $28 \, \text{cm}$ und einen Flächeninhalt von $40 \, \text{cm}^2$.
Original$k=0,2$$k=0,5$$k=1,5$$k=2$
U
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