Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Werkrealschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 9
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Fach & Lernbereich
Fach: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Werkrealschulabschluss
Hauptschulabschluss
VERA 8
Werkrealschul...
Prüfung
wechseln
Werkrealschulabschluss
Hauptschulabschluss
VERA 8
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Anwendung - Satz des Pythagoras

Aufgaben
Download als Dokument:PDF

Einführungsaufgabe

a)
Berechne die Seitenlängen von $a$, $b$ und $c$. Die hellen Dreiecke helfen dir dabei. Runde hierfür auf eine Dezimalstelle.
b)
Berechne den Flächeninhalt der dunkelgrünen Dreiecke.
#dreieck#satzdespythagoras

Aufgabe 1

Berechne mithilfe des Satzes des Pythagoras die fehlenden Seiten der abgebildeten Dreiecke.
#rechterwinkel#dreieck#satzdespythagoras

Aufgabe 2

Berechne die fehlenden Werte des Rechtecks.
a)b)c)d)e)f)g)
Seite $a$$ 77\,\text{cm} $$ 192\,\text{mm} $$ 6,5\,\text{m} $$ 45\,\text{cm} $$ 0,11\,\text{m} $
Seite $b$$ 36\,\text{cm} $$ 108\,\text{cm} $$ 144\,\text{cm} $$ 28\,\text{cm} $
Diagonale $e$$ 117\,\text{cm} $$ 145\,\text{cm} $$ 408\,\text{mm} $$ 9,7\,\text{m} $$ 0,61\,\text{m} $
#diagonale#satzdespythagoras#dreieck#rechteck#rechterwinkel

Aufgabe 3

In der Ebene: Anwendung - Satz des Pythagoras
Abb. 8: Skizze der Garage mit der angelehnten Leiter.
In der Ebene: Anwendung - Satz des Pythagoras
Abb. 8: Skizze der Garage mit der angelehnten Leiter.
#satzdespythagoras#dreieck#rechterwinkel

Aufgabe 4

Berechne die Länge der abgebrochenen Spitze des Baumes.
#dreieck#satzdespythagoras#rechterwinkel

Aufgabe 5

#durchmesser#quadrat#satzdespythagoras

Aufgabe 6

Hanna macht eine Klettertour in einem Kletterpark. Während der blauen Route gelangt sie auf eine Plattform $A$, die sich in $ 25\,\text{m} $ Höhe befindet. Von dort aus soll sie an einem Seil zu der Plattform $B$ rutschen, welche sich in $ 10\,\text{m} $ Höhe befindet. Von oben betrachtet beträgt der horizontale Abstand zwischen den Plattformen $ 30\,\text{m} $.
a)
Berechne den Höhenunterschied zwischen den beiden Plattformen.
b)
Berechne die Länge des Seils, an dem Hanna zur Plattform $B$ rutschen soll.
#dreieck#satzdespythagoras

Aufgabe 7

Berechne die Längen der grünen Strecken.
Runde auf eine Dezimalstelle. Alle Angaben sind in $cm$.
#rechterwinkel#dreieck#satzdespythagoras

Aufgabe 8

Berechne den Flächeninhalt der Gesamtfigur.
Alle Angaben sind in $cm$.
#rechteck#flächeninhalt#rechterwinkel#dreieck#satzdespythagoras
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2017 – SchulLV.
[2]
© 2017 – SchulLV.
[3]
© 2017 – SchulLV.
[4]
© 2017 – SchulLV.
[5]
© 2017 – SchulLV.
[6]
© 2017 – SchulLV.
[7]
© 2017 – SchulLV.
[8]
© 2017 – SchulLV.
[9]
© 2017 – SchulLV.
[10]
Public Domain.
[11]
https://goo.gl/AzJTHP – Kletterwald Darmstadt, Michael Mertens, CC BY-SA.
[12]
© 2017 – SchulLV.
[13]
© 2017 – SchulLV.
[14]
© 2017 – SchulLV.
[15]
© 2017 – SchulLV.
[16]
© 2017 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF

Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Seitenlängen berechnen
Um die Seitenlängen von $a$, $b$ und $c$ zu berechnen, kannst du die gegebenen hellen Dreiecke und deren Seitenlängen nutzen. Verwende dafür den Satz des Pythagoras.
Satz des Pythagoras
$c^2 = a^2 + b^2$
Satz des Pythagoras
$c^2 = a^2 + b^2$
Abbildung 1
$\begin{array}[t]{rll} a^2&=& (3\,\text{cm})^2 + (7\,\text{cm})^2 \\[5pt] &=& 9\,\text{cm}^2 + (49\,\text{cm} \\[5pt] &=& 58\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] a&\approx& 7,6\,\text{cm} \end{array}$
Die Seitenlänge von $a$ beträgt ungefähr $7,6\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} b^2&=& (2\,\text{cm})^2 + (6\,\text{cm})^2 \\[5pt] &=& 4\,\text{cm}^2 + (36\,\text{cm} \\[5pt] &=& 40\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] b&\approx& 6,3\,\text{cm} \end{array}$
Die Seitenlänge von $b$ beträgt ungefähr $6,3\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=& (5\,\text{cm})^2 + (1\,\text{cm})^2 \\[5pt] &=& 25\,\text{cm}^2 + (1\,\text{cm} \\[5pt] &=& 26\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] c&\approx& 5,1\,\text{cm} \end{array}$
Die Seitenlänge von $c$ beträgt ungefähr $5,1\,\text{cm}$.
Abbildung 2
$\begin{array}[t]{rll} a^2&=& (4\,\text{cm})^2 + (4\,\text{cm})^2 \\[5pt] &=& 16\,\text{cm}^2 + (16\,\text{cm} \\[5pt] &=& 36\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] a&=& 6\,\text{cm} \end{array}$
Die Seitenlänge von $a$ beträgt $6\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} b^2&=& (1\,\text{cm})^2 + (7\,\text{cm})^2 \\[5pt] &=& 1\,\text{cm}^2 + (49\,\text{cm} \\[5pt] &=& 50\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] b&\approx& 7,1\,\text{cm} \end{array}$
Die Seitenlänge von $b$ beträgt ungefähr $7,1\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=& (5\,\text{cm})^2 + (3\,\text{cm})^2 \\[5pt] &=& 25\,\text{cm}^2 + (9\,\text{cm} \\[5pt] &=& 34\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] c&\approx& 5,8\,\text{cm} \end{array}$
Die Seitenlänge von $c$ beträgt ungefähr $5,8\,\text{cm}$.
b)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt der dunklen Dreiecke berechnen
Den Flächeninhalt der dunklen Dreiecke berechnest du in den folgenden drei Schritten: berechne zuerst den Flächeninhalt des Rechtecks, welches sich aus den hellen Dreiecken und dem dunklen zusammensetzt. Anschließend berechnest du im zweiten Schritt die Flächeninhalte aller hellen Dreiecke der Abbildung. Diese werden dann summiert. Im dritten Schritt ziehst du letztendlich die Summe der addierten Flächeninhalte vom Flächeninhalt des Rechtecks ab und erhältst so den Flächeninhalt des dunklen Dreiecks. Die folgenden Formeln helfen dir.
$A_{R} = a \cdot b$
$A_{hD} = \dfrac {h \cdot g}{2}$
$A_{R} = a \cdot b$
$A_{hD} = \dfrac {h \cdot g}{2}$
Abbildung 1
1. Schritt: Flächeninhalt Rechteck
$\begin{array}[t]{rll} A_{R}&=& a \cdot b \\[5pt] &=& 5\,\text{cm} \cdot 7\,\text{cm} \\[5pt] &=& 35\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt $35\,\text{cm}^2$.
2. Schritt: Flächeninhalte helle Dreiecke
a)
$\begin{array}[t]{rll} A_{hD}&=& \dfrac {h \cdot g}{2} \\[5pt] &=& \dfrac {3\,\text{cm} \cdot 7,6\,\text{cm}}{2} \\[5pt] &=& \dfrac {22,8\,\text{cm}^2}{2} \\[5pt] &=& 11,4\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des hellen Dreiecks mit der Seitenlänge $a$ beträgt $11,4\,\text{cm}^2$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} A_{hD}&=& \dfrac {h \cdot g}{2} \\[5pt] &=& \dfrac {2\,\text{cm} \cdot 6,3\,\text{cm}}{2} \\[5pt] &=& \dfrac {12,6\,\text{cm}^2}{2} \\[5pt] &=& 6,3\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des hellen Dreiecks mit der Seitenlänge $b$ beträgt $6,3\,\text{cm}^2$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} A_{hD}&=& \dfrac {h \cdot g}{2} \\[5pt] &=& \dfrac {1\,\text{cm} \cdot 5,1\,\text{cm}}{2} \\[5pt] &=& \dfrac {5,1\,\text{cm}^2}{2} \\[5pt] &\approx& 2,6\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des hellen Dreiecks mit der Seitenlänge $c$ beträgt ungefähr $2,6\,\text{cm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} A_{ges}&=& 2,6\,\text{cm}^2 + 6,3\,\text{cm}^2 + 11,4\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 20,3\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt aller hellen Dreiecke summiert ergibt $20,3\,\text{cm}^2$.
3. Schritt: Flächeninhalt dunkles Dreieck
$\begin{array}[t]{rll} A_{dD}&=& 35\,\text{cm}^2 - 20,3\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 14,7\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des dunklen Dreiecks beträgt $14,7\,\text{cm}^2$.
Abbildung 2
1. Schritt: Flächeninhalt Rechteck
$\begin{array}[t]{rll} A_{R}&=& a \cdot b \\[5pt] &=& 5\,\text{cm} \cdot 7\,\text{cm} \\[5pt] &=& 35\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt $35\,\text{cm}^2$.
2. Schritt: Flächeninhalte helle Dreiecke
a)
$\begin{array}[t]{rll} A_{hD}&=& \dfrac {h \cdot g}{2} \\[5pt] &=& \dfrac {4\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm}}{2} \\[5pt] &=& \dfrac {24\,\text{cm}^2}{2} \\[5pt] &=& 12\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des hellen Dreiecks mit der Seitenlänge $a$ beträgt $12\,\text{cm}^2$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} A_{hD}&=& \dfrac {h \cdot g}{2} \\[5pt] &=& \dfrac {1\,\text{cm} \cdot 7,1\,\text{cm}}{2} \\[5pt] &=& \dfrac {7,1\,\text{cm}^2}{2} \\[5pt] &\approx& 3,6\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des hellen Dreiecks mit der Seitenlänge $b$ beträgt ungefähr $3,6\,\text{cm}^2$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} A_{hD}&=& \dfrac {h \cdot g}{2} \\[5pt] &=& \dfrac {3\,\text{cm} \cdot 5,8\,\text{cm}}{2} \\[5pt] &=& \dfrac {17,4\,\text{cm}^2}{2} \\[5pt] &\approx& 8,7\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des hellen Dreiecks mit der Seitenlänge $c$ beträgt $8,7\,\text{cm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} A_{ges}&=& 8,7\,\text{cm}^2 + 3,6\,\text{cm}^2 + 12\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 24,3\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt aller hellen Dreiecke summiert ergibt $24,3\,\text{cm}^2$.
3. Schritt: Flächeninhalt dunkles Dreieck
$\begin{array}[t]{rll} A_{dD}&=& 35\,\text{cm}^2 - 24,3\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 10,7\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des dunklen Dreiecks beträgt $10,7\,\text{cm}^2$.
#satzdespythagoras#dreieck

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$  Fehlende Seite berechnen
Beachte dabei, dass du den Satz des Pythagoras umstellen musst, wenn die Hypotenuse gegeben ist, jedoch eine der Katheten fehlt.
a)
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=& a^2 + b^2 \\[5pt] &=& (2\,\text{m})^2 + (11\,\text{m})^2 \\[5pt] &=& 4\,\text{m}^2 + 121\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 125\,\text{m}^2 \\[5pt] &\approx& 11,2\,\text{m} \end{array}$
Die Seitenlänge von $c$ beträgt ungefähr $11,2\,\text{m}$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} b^2&=& c^2 - a^2 \\[5pt] &=& (16\,\text{cm})^2 - (9,4\,\text{cm})^2 \\[5pt] &=& 256\,\text{cm}^2 - 88,36\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 167,64\,\text{cm}^2 \\[5pt] &\approx& 12,9\,\text{cm} \end{array}$
Die Seitenlänge von $b$ beträgt ungefähr $12,9\,\text{cm}$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} b^2&=& c^2 - a^2 \\[5pt] &=& (55\,\text{m})^2 - (22\,\text{m})^2 \\[5pt] &=& 3025\,\text{m}^2 - 484\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 2541\,\text{m}^2 \\[5pt] &\approx& 50,4\,\text{m} \end{array}$
Die Seitenlänge von $b$ beträgt ungefähr $50,4\,\text{m}$.
d)
$\begin{array}[t]{rll} b^2&=& c^2 - a^2 \\[5pt] &=& (30\,\text{m})^2 - (22\,\text{m})^2 \\[5pt] &=& 900\,\text{m}^2 - 484\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 416\,\text{m}^2 \\[5pt] &\approx& 20,4\,\text{m} \end{array}$
Die Seitenlänge von $b$ beträgt ungefähr $20,4\,\text{m}$.
#satzdespythagoras#rechterwinkel#dreieck

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$  Tabelle ergänzen
Die Diagonale $e$ bildet hier die Hypotenuse. Wende also auch hier den Satz des Pythagoras wie gewohnt an und schreibe statt $c^2$ einfach $e^2$. Beachte auch hier wieder, dass du je nach fehlendem Wert die Pythagoras-Formel umstellen musst.
a)
$\begin{array}[t]{rll} e^2&=& a^2 + b^2 \\[5pt] &=& (77\,\text{cm})^2 + (36\,\text{cm})^2 \\[5pt] &=& 5929\,\text{cm}^2 + 1296\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 7225\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 85\,\text{cm} \end{array}$
Die Seitenlänge von $e$ beträgt $85\,\text{cm}$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} a^2&=& e^2 - b^2 \\[5pt] &=& (117\,\text{cm})^2 - (108\,\text{cm})^2 \\[5pt] &=& 13.689\,\text{cm}^2 - 11.664\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 2025\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 45\,\text{cm} \end{array}$
Die Seitenlänge von $a$ beträgt $45\,\text{cm}$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} a^2&=& e^2 - b^2 \\[5pt] &=& (145\,\text{cm})^2 - (144\,\text{cm})^2 \\[5pt] &=& 21.025\,\text{cm}^2 - 20.736\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 289\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 17\,\text{cm} \end{array}$
Die Seitenlänge von $a$ beträgt $17\,\text{cm}$.
d)
$\begin{array}[t]{rll} b^2&=& e^2 - a^2 \\[5pt] &=& (408\,\text{mm})^2 - (192\,\text{mm})^2 \\[5pt] &=& 166.464\,\text{mm}^2 - 36.864\,\text{mm}^2 \\[5pt] &=& 129.600\,\text{mm}^2 \\[5pt] &=& 360\,\text{mm} \end{array}$
Die Seitenlänge von $b$ beträgt $360\,\text{mm}$.
e)
$\begin{array}[t]{rll} b^2&=& e^2 - a^2 \\[5pt] &=& (9,7\,\text{m})^2 - (6,5\,\text{m})^2 \\[5pt] &=& 94,09\,\text{m}^2 - 42,25\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 51,84\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 7,2\,\text{m} \end{array}$
Die Seitenlänge von $b$ beträgt $7,2\,\text{m}$.
f)
$\begin{array}[t]{rll} e^2&=& a^2 + b^2 \\[5pt] &=& (45\,\text{cm})^2 + (28\,\text{cm})^2 \\[5pt] &=& 2025\,\text{cm}^2 + 784\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 2809\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 53\,\text{cm} \end{array}$
Die Seitenlänge von $e$ beträgt $53\,\text{cm}$.
g)
$\begin{array}[t]{rll} b^2&=& e^2 - a^2 \\[5pt] &=& (0,61\,\text{m})^2 - (0,11\,\text{m})^2 \\[5pt] &=& 0,3721\,\text{m}^2 - 0,0121\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 0,36\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 0,6\,\text{m} \end{array}$
Die Seitenlänge von $b$ beträgt $0,6\,\text{m}$.
#satzdespythagoras#dreieck#diagonale#rechteck#rechterwinkel

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$  Wie hoch reicht die Leiter?
$\begin{array}[t]{rll} b^2&=& c^2 - a^2 \\[5pt] &=& (3\,\text{m})^2 - (1,5\,\text{m})^2 \\[5pt] &=& 9\,\text{m}^2 - 2,25\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 6,75\,\text{m}^2 \\[5pt] &\approx& 2,6\,\text{m} \end{array}$
Die Leiter reicht ungefähr $2,6\,\text{m}$ hoch.
#dreieck#satzdespythagoras#rechterwinkel

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$  Länge abgebrochene Baumspitze
Der Baumstamm und die Strecke zwischen dem Ende des Stamms und der Baumspitze bilden einen rechten Winkel. Die Länge der abgebrochenen Baumspitze ist daher die Hypotenuse des Dreiecks und kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=& a^2 + b^2 \\[5pt] &=& (4,5\,\text{m})^2 + (6\,\text{m})^2 \\[5pt] &=& 20,25\,\text{m}^2 + 36\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 56,25\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 7,5\,\text{m} \end{array}$
Die abgebrochene Baumspitze ist $7,5\,\text{m}$ lang.
#satzdespythagoras#dreieck#rechterwinkel

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$  Durchmesser Baumstamm
Nutze zwei der vier Seiten des Quadrats als Katheten für ein Dreieck. Durch eine Diagonale, welche von der linken unteren Ecke des Quadrats zur oberen rechten Ecke verläuft, erhältst du die Hypotenuse $c$. Indem du diese Hypotenuse mit dem Satz des Pythagoras berechnest, erhältst du auch den Durchmesser des Holzbalkens, welcher herausgesägt werden soll.
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=& a^2 + b^2 \\[5pt] &=& (18\,\text{cm})^2 + (18\,\text{cm})^2 \\[5pt] &=& 324\,\text{cm}^2 + 324\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 648\,\text{cm}^2 \\[5pt] &\approx& 25,5\,\text{cm} \end{array}$
Der Durchmesser des herausgesägten Balkens beträgt ungefähr $25,5\,\text{cm}$.
#satzdespythagoras#hypotenuse#quadrat#durchmesser#dreieck

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$  Höhenunterschied berechnen
Berechne den Höhenunterschied der Stationen, um die Seitenlänge $b$ zu berechnen.
$25\,\text{m}-10\,\text{m}=15\,\text{m}$
b)
$\blacktriangleright$  Seillänge berechnen
Um die Länge des Seils $c$ zu erhalten, musst du nun den Satz des Pythagoras anwenden.
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=& a^2 + b^2 \\[5pt] &=& (30\,\text{m})^2 + (15\,\text{m})^2 \\[5pt] &=& 900\,\text{m}^2 + 225\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 1.125\,\text{m}^2 \\[5pt] &\approx& 33,5\,\text{m} \end{array}$
Die Länge des Seils beträgt ungefähr $33,5\,\text{m}$.
#satzdespythagoras#rechterwinkel#dreieck

Aufgabe 7

$\blacktriangleright$  Länge grüner Strecken berechnen
Bei allen grünen Strecken kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, da alle grünen Strecken die Hypotenuse zum rechten Winkel bilden. Runde auf eine Dezimalstelle.
a)
$\begin{array}[t]{rll} a^2&=& (4\,\text{cm})^2 + (6\,\text{cm})^2 \\[5pt] &=& 16\,\text{cm}^2 + 36\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 52\,\text{cm}^2 \\[5pt] &\approx& 7,2\,\text{cm} \end{array}$
Die Länge der grünen Strecke $a$ beträgt ungefähr $7,2\,\text{cm}$.
Da das Dreieck aus Aufgabe a) ein gleichschenkliches Dreieck ist, ergibt sich für die Länge der grünen Strecke $b$ das selbe Ergebnis, wie für die grüne Strecke $a$. Die Länge der grünen Strecke $b$ beträgt also auch ungefähr $7,2\,\text{cm}$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} a^2&=& (14\,\text{cm})^2 + (26\,\text{cm})^2 \\[5pt] &=& 196\,\text{cm}^2 + 676\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 872\,\text{cm}^2 \\[5pt] &\approx& 29,5\,\text{cm} \end{array}$
Die Länge der grünen Strecke $a$ beträgt ungefähr $29,5\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} b^2&=& (14\,\text{cm})^2 + (50\,\text{cm})^2 \\[5pt] &=& 196\,\text{cm}^2 + 2.500\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 2.696\,\text{cm}^2 \\[5pt] &\approx& 51,9\,\text{cm} \end{array}$
Die Länge der grünen Strecke $b$ beträgt ungefähr $51,9\,\text{cm}$.
#rechterwinkel#dreieck#satzdespythagoras

Aufgabe 8

$\blacktriangleright$  Flächeninhalt Gesamtfigur berechnen
a)
1. Schritt: Flächeninhalt rechtwinkliges Dreieck
$\begin{array}[t]{rll} A_{rD}&=& \dfrac {h \cdot g}{2} \\[5pt] &=& \dfrac { 1,3\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm}}{2} \\[5pt] &=& \dfrac { 9\,\text{cm}^2}{2} \\[5pt] &=& 4,5\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks beträgt $4,5\,\text{cm}^2$.
2. Schritt: Flächeninhalt gleichschenkliges Dreieck
$\begin{array}[t]{rll} A_{glD}&=& 4,5\,\text{cm}^2 \cdot 2 \\[5pt] &=& 9\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks beträgt $9\,\text{cm}^2$.
3. Schritt: Flächeninhalt Gesamtfigur
$\begin{array}[t]{rll} A_{gesamt}&=& 9\,\text{cm}^2 \cdot 5 \\[5pt] &=& 45\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt der Gesamtfigur beträgt $45\,\text{cm}^2$.
b)
1. Schritt: Flächeninhalt rechtwinkliges Dreieck
$\begin{array}[t]{rll} A_{rD}&=& \dfrac {h \cdot g}{2} \\[5pt] &=& \dfrac { 9\,\text{cm} \cdot 11,2\,\text{cm}}{2} \\[5pt] &=& \dfrac { 100,8\,\text{cm}^2}{2} \\[5pt] &=& 50,4\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks beträgt $50,4\,\text{cm}^2$.
2. Schritt: Flächeninhalt beider Dreiecke
$\begin{array}[t]{rll} A_{bD}&=& 50,4\,\text{cm}^2 \cdot 2 \\[5pt] &=& 100,8\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt beider rechtwinkliger Dreiecke beträgt $100,8\,\text{cm}^2$.
3. Schritt: Kathete $\boldsymbol{b}$ und Flächeninhalt Rechteck berechnen
$\begin{array}[t]{rll} b^2&=& c^2 - a^2 \\[5pt] &=& (11,2\,\text{cm})^2 - (9\,\text{cm})^2 \\[5pt] &=& 125,44\,\text{cm}^2 - 81\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 44,44\,\text{cm}^2 \\[5pt] &\approx& 6,7\,\text{cm} \end{array}$
Die Länge der Kathete $b$ beträgt auf eine Dezimalstelle gerundet ungefähr $6,7\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} A_{R}&=& 6,7\,\text{cm} \cdot 17\,\text{cm} \\[5pt] &=& 113,9\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt $113,9\,\text{cm}^2$.
4. Schritt: Flächeninhalt Gesamtfigur
$\begin{array}[t]{rll} A_{gesamt}&=& 113,9\,\text{cm}^2 + 100,8\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 214,7\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt der Gesamtfigur beträgt $214,7\,\text{cm}^2$.
c)
1. Schritt: Länge Kathete $\boldsymbol{b}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} b^2&=& c^2 - a^2 \\[5pt] &=& (4\,\text{cm})^2 - (3,8\,\text{cm})^2 \\[5pt] &=& 16\,\text{cm}^2 - 14,44\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 1,56\,\text{cm}^2 \\[5pt] &\approx& 1,2\,\text{cm} \end{array}$
Die Länge der Kathete $b$ beträgt auf eine Dezimalstelle gerundet ungefähr $1,2\,\text{cm}$.
2. Schritt: Flächeninhalt rechtwinkliges Dreieck berechnen
$\begin{array}[t]{rll} A_{rD}&=& \dfrac {h \cdot g}{2} \\[5pt] &=& \dfrac { 1,2\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm}}{2} \\[5pt] &=& \dfrac { 4,8\,\text{cm}^2}{2} \\[5pt] &=& 2,4\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks beträgt $2,4\,\text{cm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} A_{bD}&=& 2,4\,\text{cm}^2 \cdot 2 \\[5pt] &=& 4,8\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt beider Dreiecke beträgt $4,8\,\text{cm}^2$.
3. Schritt: Flächeninhalt Rechteck berechnen
$\begin{array}[t]{rll} A_{R}&=& 3,8\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} \\[5pt] &=& 11,4\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt $11,\,\text{cm}^2$.
4. Schritt: Flächeninhalt Gesamtfigur
$\begin{array}[t]{rll} A_{gesamt}&=& 11,4\,\text{cm}^2 + 4,8\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 16,2\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt der Gesamtfigur beträgt $16,2\,\text{cm}^2$.
#satzdespythagoras#dreieck#rechterwinkel#rechteck#flächeninhalt
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2017 – SchulLV.
[2]
© 2017 – SchulLV.
[3]
© 2017 – SchulLV.
[4]
© 2017 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App