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Dreiecke und Vierecke zeichnen und berechnen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Vermesse die Größen der Dreiecken und zeichne sie dann mit der doppelten Größe. Du erstellst dabei Abbildungen im Maßstab 2:1.
b)
c)
d)
#rechterwinkel#gleichschenkligesdreieck

Aufgabe 1

Zeichne die drei Vierecke ab und berechne ihren Flächeninhalt. Die fehlenden Maße kannst du deiner Zeichnung entnehmen.
a)
$\text{a}= 6 \quad \alpha = 64° \quad$ $\text{h}= 4 \quad \beta = 76°$
b)
$\text{a}= 5 \quad \text{c}= 3 \quad$ $\text{b}= 4$
c)
$\text{a} = 5 \quad \text{b} = 4 \quad$ $\beta = 71$
#rechterwinkel#symmetrie#trapez

Aufgabe 2

Der Canton Tower in Guangzhou ist $600$ Meter hoch. Matteo sieht beim China-Schulaustausch zum ersten Mal so ein hohes Gebäude.
Er steht mit seiner Klasse auf der anderen Flussseite und möchte mit seinem Laserpointer die Spitze des Fernsehturms anpeilen. Der Laserstrahl, die Brücke und der Turm bilden ein rechwinkliges Dreieck. Auf dem Stadtplan kann er erkennen, dass es von einer Seite der Brücke bis zum Fuß des Turms $700$ Meter sind.
a)
Zeichne das rechtwinklige Dreieck in einem Maßstab von $1:10.000$.
Tipp
Den Maßstab $1:10.000$ berechnest du für die Höhe des Turmes so:
$\dfrac{600\;\text{Meter}}{10.000} = \dfrac{6\;\text{Meter}}{100} =$
$ 0,06\;\text{Meter} = 6\;\text{cm} $
Tipp
Den Maßstab $1:10.000$ berechnest du für die Höhe des Turmes so:
$\dfrac{600\;\text{Meter}}{10.000} = \dfrac{6\;\text{Meter}}{100} =$
$ 0,06\;\text{Meter} = 6\;\text{cm} $
b)
Entnehme deiner Zeichnung die Länge der Seite c und gib die Distanz im Realitätsmaßstab an.
#rechtwinkligesdreieck

Aufgabe 3

Bei einem Ausflugsboot soll ein neues Fenster eingebaut werden. Die untere Seite ist $57\;\text{cm}$ breit und es grenzt im $65°$ Winkel eine $34\;\text{cm}$ lange Seite.
Zeichne das Fenster im geeigneten Maßstab. Entnimm fehlende Maße der Abbildung. Welche Höhe hat das Fenster?
#trapez

Aufgabe 4

a)
Ein Parallelogramm hat die Seiten $\text{a}= 5,8 $, $\text{b}= 3,2$ und $\alpha = 72°$. Du kannst den Flächeninhalt auf zwei Arten berechnen. Zeichne das Parallelogramm und gib beide Wege den Flächeninhalt zu berechnen an.
b)
Zeichne eine Raute mit $\text{a}= 4,5 $ und $\alpha = 54°$. Berechne anschließend den Flächeninhalt.
#parallelogramm#raute
Bildnachweise [nach oben]
[8]
https://goo.gl/eUttzD – Canton Tower Pearl River TV Station, Gzdavidwong, CC BY-SA 3.0.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
Das Dreieck hat einen Rechten Winkel. Von ihm gehen zwei gleichlange Seiten aus, daher ist es ein Gleichschenkliges Dreieck.Ergänze die gleichlangen Schenkel um die letzte Seite.
Der Maßstab $2:1$ bedeutet, das $2\;\text{cm}$ in deiner Zeichung $1\;\text{cm}$ im Original entspricht.
b)
Vermesse eine Seite und ihren angrenzenden Winkel, davon ausgehend kannst du das Dreieck konstruieren.
Der Maßstab $2:1$ bedeutet, das $2\;\text{cm}$ in deiner Zeichung $1\;\text{cm}$ im Original entspricht.
c)
Vermesse eine Seite und ihren angrenzenden Winkel, davon ausgehend kannst du das Dreieck konstruieren.
Der Maßstab $2:1$ bedeutet, das $2\;\text{cm}$ in deiner Zeichung $1\;\text{cm}$ im Original entspricht.
d)
Vermesse eine Seite und ihren angrenzenden Winkel, davon ausgehend kannst du das Dreieck konstruieren.
Der Maßstab $2:1$ bedeutet, das $2\;\text{cm}$ in deiner Zeichung $1\;\text{cm}$ im Original entspricht.
#dreieck

Aufgabe 1

Für den Flächeninhalt $A$ des Trapezes gilt:
$A = \dfrac{(a+c) \cdot h}{2}$
$A = \dfrac{(a+c) \cdot h}{2}$
a)
Zeichne zuerst die Grundseite $\text{a}$ ein. Danach zeichnest du die Seite $\text{c}$ ein, indem du eine Parallele zu $\text{a}$ zeichnest, mit einem Abstand, welcher der Höhe $\text{h}=4$ entspricht.
Wenn du nun die Winkel $\alpha$ und $\beta$ einzeichnest, überschneiden sich die Winkel mit der Parallele $\text{c}$. Aus diesen Schnittpunkten ergeben sich die Punkte $\text{D}$ und $\text{C}$.
b)
Alle notwendigen Unbekannten sind gegeben, du kannst den Flächeninhalt nun berechnen.
$A = \dfrac{(a+c) \cdot h}{2}=$ $\dfrac{(5+3) \cdot 4}{2}=16$
Zeichne erst die Grundseite $\text{a}$, im rechten Winkel dazu die Seite $\text{b}$ und nun als Parallele zu $\text{a}$ die Seite $\text{c}$.
c)
Zeichne erst die Grundseite $\text{a}$ ein und gefolgt davon den Winkel $\beta$ mit der Seite $\text{b} = 4$. Zeichne nun die Seite $\text{c}$ als Parallele zu $\text{a}$ ein. Wenn du dir die Planfigur aus der Aufgabenstellung genauer anschaust, siehst du das die Winkel $\alpha$ und $\beta$ gleich groß sind. Somit kannst du die fehlende Seite $\text{a}$ und den Punkt $\text{D}$ konstruieren.
#rechterwinkel#trapez

Aufgabe 2

a)
Den Maßstab $1:10.000$ berechnest du für die Höhe des Turmes so:
$\dfrac{600\;\text{Meter}}{10.000} = \dfrac{6\;\text{Meter}}{100} =$
$ 0,06\;\text{Meter} = 6\;\text{cm} $
b)
$\blacktriangleright$  Maßstab berechnen
Die Seite $\text{c}$ ist $9,2\;\text{cm}$ lang. Um sie im Realitätsmaßstab anzugeben musst du sie in den Maßstab bringen und in Meter umrechnen.
$9,2\;\text{cm} \cdot 10.000 = 92.000\;\text{cm}=$ $\dfrac{92.000}{100}= 920\;\text{m} $

Aufgabe 3

Die Höhe des Trapez kannst du der Zeichnung entnehmen.
In der Ebene: Dreiecke und Vierecke zeichnen und berechnen
Abb. Zahl: Text
Das Fenster ist $31\text{cm}$ hoch.
#trapez#flächeninhalt

Aufgabe 4

a)
Es gibt zwei Wege den Flächeninhalt des Parallelogramms zu berechnen. Entweder man berechnet den Flächeninhalt mit Hilfe der Höhe der Grundseite $\text{a}$ oder man teilt das Parallelogramm in zwei Dreiecke.
In der Ebene: Dreiecke und Vierecke zeichnen und berechnen
Abb. 7: Das erstellte Parallelogramm.
In der Ebene: Dreiecke und Vierecke zeichnen und berechnen
Abb. 7: Das erstellte Parallelogramm.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Höhe $a$
Flächeninhalt: $A = a\cdot h_a$
Die Höhe von $a$ ist $2$, dementsprechend ist der Flächeninhalt $10 \cdot 2 = 20$
In der Ebene: Dreiecke und Vierecke zeichnen und berechnen
Abb. 8: Lösungsweg A.
In der Ebene: Dreiecke und Vierecke zeichnen und berechnen
Abb. 8: Lösungsweg A.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: $\;A = c\cdot h_c$
Flächeninhalt: $\;A = c\cdot h_c$
Die Höhe von $c$ ist $7,9$, dementsprechend ist der Flächeninhalt $2,5 \cdot 8 = 20$
In der Ebene: Dreiecke und Vierecke zeichnen und berechnen
Abb. 9: Lösungsweg B.
In der Ebene: Dreiecke und Vierecke zeichnen und berechnen
Abb. 9: Lösungsweg B.
b)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
In der Ebene: Dreiecke und Vierecke zeichnen und berechnen
Abb. 10: Die erstellte Raute.
In der Ebene: Dreiecke und Vierecke zeichnen und berechnen
Abb. 10: Die erstellte Raute.
Entnehme die fehlenden Maße der Zeichnung.
Fläche: $A=a\cdot h_a$ oder $A=\dfrac{e \cdot f}{2}$
In der Ebene: Dreiecke und Vierecke zeichnen und berechnen
Abb. 11: Die Raute mit den Diagonalen.
In der Ebene: Dreiecke und Vierecke zeichnen und berechnen
Abb. 11: Die Raute mit den Diagonalen.
Da du nun die beiden Diagonalen kennst, kannst du den Flächeninhalt berechnen.
$A=\dfrac{e \cdot f}{2}$$=\dfrac{4 \cdot 8}{2} =16$
#parallelogramm#flächeninhalt#raute
Bildnachweise [nach oben]
[1-11]
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