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Berechnen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne ein regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlänge $ 5\,\text{cm} $ in dein Heft und unterteile es in sechs gleich große Dreiecke.
b)
Berechne den Mittelpunktswinkel $M_{w}$ und den Basiswinkel $B_{w}$ eines von dir gewählten Bestimmungsdreiecks.
c)
Berechne den Flächeninhalt des Sechsecks.
Die Höhe $h$ des Bestimmungsdreiecks beträgt $ 4\,\text{cm} $.
d)
Berechne den Umfang des Sechsecks.
#umfang#regelmäßigesvieleck#flächeninhalt

Aufgabe 1

Berechne die Mittelpunkts- und Basiswinkel der regelmäßigen Vielecke und ergänze die Tabelle.
n-Eck$M_{w}$$B_{w}$
5-Eck
6-Eck
8-Eck
9-Eck
10-Eck
12-Eck
#tabelle#regelmäßigesvieleck

Aufgabe 2

Berechne den Flächeninhalt der regelmäßigen Vielecke.
b)
Sechseck
$ a = 4\,\text{cm} $ ; $ h = 3,5\,\text{cm} $
d)
Zehneck
$ a = 2\,\text{cm} $ ; $ h = 4\,\text{cm} $
#flächeninhalt#regelmäßigesvieleck

Aufgabe 3

Berechne den Umfang der regelmäßigen Vielecke.
b)
Sechseck
$ a = 3,2\,\text{cm} $
d)
Zehneck
$ a = 2\,\text{cm} $
f)
Zwölfeck
$ a = 0,5\,\text{cm} $
#regelmäßigesvieleck#umfang

Aufgabe 4

Berechne die gesuchten Werte der regelmäßigen Vielecke.
b)
Fünfeck
Gegeben: $ h = 0,82\,\text{m} $ , $ u = 5,95\,\text{m} $
Gesucht: $a$ , $A$
d)
Sechseck
Gegeben: $ a = 24,2\,\text{m} $ , $ A = 1524,6\,\text{m}^2 $
Gesucht: $h$ , $u$
f)
Achteck
Gegeben: $ u = 36,4\,\text{m} $ , $ A = 166,48\,\text{m}^2 $
Gesucht: $h$ , $a$
#umfang#regelmäßigesvieleck#flächeninhalt

Aufgabe 5

In der Ebene: Berechnen
Abb. 1: Das Pentagon
In der Ebene: Berechnen
Abb. 1: Das Pentagon
a)
Zeichne eine Skizze des regelmäßigen Fünfecks in dein Heft und markiere ein Bestimmungsdreieck.
b)
Berechne die Höhe $h$ des Bestimmungsdreiecks.
c)
Berechne den Umfang $u$ des Pentagons.
#fünfeck#regelmäßigesvieleck#umfang
Bildnachweise [nach oben]
[1]
Public Domain.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Regelmäßiges Sechseck zeichnen
In der Ebene: Berechnen
Abb. 1: Wenn du das Sechseck nach den Vorgaben gezeichnet hast, sollte es so aussehen. Das regelmäßige Sechseck wurde in sechs gleich große Dreiecke unterteilt und besitzt eine Seitenlänge von $5 \,\text{cm}$.
In der Ebene: Berechnen
Abb. 1: Wenn du das Sechseck nach den Vorgaben gezeichnet hast, sollte es so aussehen. Das regelmäßige Sechseck wurde in sechs gleich große Dreiecke unterteilt und besitzt eine Seitenlänge von $5 \,\text{cm}$.
b)
$\blacktriangleright$  Mittelpunktswinkel $M_{w}$ und Basiswinkel $B_{w}$ berechnen
Den Mittelpunktswinkel kannst du berechnen, indem du die $ 360\text{°} $ (Vollkreis) durch die Anzahl der Ecken dividierst.
$\begin{array}[t]{rll} M_{w}&=& 360\text{°} : 6 \\[5pt] &=& 60\text{°} \end{array}$
Der Mittelpunktswinkel des Bestimmungsdreiecks beträgt demnach $60\text{°}$.
Die Winkelsumme im Bestimmungsdreieck beträgt immer $180\text{°}$ und die Basiswinkel sind auch immer gleich groß. Indem du also von den $180\text{°}$ die Größe des Mittelpunktwinkels $M_{w}$ subtrahierst und das Ergebnis durch $2$ dividierst, da es ja zwei Basiswinkel gibt, erhälst du die Größe eines einzelnen Basiswinkels.
$B_{w}= (180\text{°} - M_{w}) : 2$
$B_{w}= (180\text{°} - M_{w}) : 2$
$\begin{array}[t]{rll} B_{w}&=& (180\text{°} - M_{w}) : 2 \\[5pt] &=& 60\text{°} \end{array}$
Ein Basiswinkel des Bestimmungdreiecks beträgt dementsprechend $60\text{°}$.
c)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt Sechseck berechnen
Da du die Höhe $h$ und $a$ des Bestimmungsdreiecks schon gegeben hast, kannst du die Werte in folgende Formel einsetzen, um zunächst den Flächeninhalt $A_{best}$ deines Bestimmungsdreiecks zu berechnen. Anschließend multiplizierst du den Flächeninhalt des Bestimmungsdreiecks mit der Anzahl der Ecken $n$ des Vielecks, um dessen Flächeninhalt zu erhalten.
$A_{best} = \dfrac {a \cdot h}{2}$
$A_{n-Eck} = \dfrac {a \cdot h}{2} \cdot n$
$A_{best} = \dfrac {a \cdot h}{2}$
$A_{n-Eck} = \dfrac {a \cdot h}{2} \cdot n$
$\begin{array}[t]{rll} A_{best}&=& \dfrac {a \cdot h}{2} \\[5pt] &=& \dfrac {5\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm}}{2} \\[5pt] &=& \dfrac {20\,\text{cm}^2 }{2} \\[5pt] &=& 10\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Bestimmungsdreiecks beträgt $10\,\text{cm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} A_{n-Eck}&=& \dfrac {a \cdot h}{2} \cdot n \\[5pt] &=& \dfrac {5\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm}}{2} \cdot 6 \\[5pt] &=& \dfrac {20\,\text{cm}^2 }{2} \cdot 6 \\[5pt] &=& 60\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks beträgt $60\,\text{cm}^2$.
d)
Um den Umfang des regelmäßigen Sechsecks berechnen zu können, multiplizierst du die Anzahl der Ecken $n$ des Vielecks mit der Seitenlänge $a$.
$u_{n-Eck} = n \cdot a$
$u_{n-Eck} = n \cdot a$
$\begin{array}[t]{rll} u_{n-Eck}&=& n \cdot a \\[5pt] &=& 6\,\text{} \cdot 5\,\text{cm} \\[5pt] &=& 30\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang des regelmäßigen Sechsecks beträgt $30\,\text{cm}$.
#flächeninhalt#regelmäßigesvieleck#umfang

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{M_{w}}$ und $\boldsymbol{B_{w}}$ berechnen
Berechne die Mittelpunkts- und Basiswinkel der regelmäßigen Vielecke. Dabei können dir die Formeln aus der Einführungsaufgabe behilflich sein.
n-Eck$M_{w}$$B_{w}$
5-Eck$72\text{°}$$54\text{°}$
6-Eck$60\text{°}$$60\text{°}$
8-Eck$45\text{°}$$67,5\text{°}$
9-Eck$40\text{°}$$70\text{°}$
10-Eck$36\text{°}$$72\text{°}$
12-Eck$30\text{°}$$75\text{°}$
#tabelle#regelmäßigesvieleck

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Nutze auch hier wieder die erlernten Formeln aus der Einführungsaufgabe. Setze die dir gegebenen Werte in die Formeln ein und berechne den Flächeninhalt.
a)
$\begin{array}[t]{rll} A_{n-Eck}&=& \dfrac {a \cdot h}{2} \cdot n \\[5pt] &=& \dfrac {3\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm}}{2} \cdot 4 \\[5pt] &=& \dfrac {12\,\text{cm}^2}{2} \cdot 4 \\[5pt] &=& 24\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des regelmäßigen Vierecks beträgt $24\,\text{cm}^2$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} A_{n-Eck}&=& \dfrac {a \cdot h}{2} \cdot n \\[5pt] &=& \dfrac {4\,\text{cm} \cdot 3,5\,\text{cm}}{2} \cdot 6 \\[5pt] &=& \dfrac {14\,\text{cm}^2}{2} \cdot 6 \\[5pt] &=& 28\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks beträgt $28\,\text{cm}^2$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} A_{n-Eck}&=& \dfrac {a \cdot h}{2} \cdot n \\[5pt] &=& \dfrac {5,5\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm}}{2} \cdot 9 \\[5pt] &=& \dfrac {33\,\text{cm}^2}{2} \cdot 9 \\[5pt] &=& 148,5\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des regelmäßigen Neunecks beträgt $148,5\,\text{cm}^2$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} A_{n-Eck}&=& \dfrac {a \cdot h}{2} \cdot n \\[5pt] &=& \dfrac {2\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm}}{2} \cdot 10 \\[5pt] &=& \dfrac {8\,\text{cm}^2}{2} \cdot 10 \\[5pt] &=& 40\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des regelmäßigen Zehnecks beträgt $40\,\text{cm}^2$.
#regelmäßigesvieleck#flächeninhalt

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$  Umfang berechnen
Auch bei dieser Aufgabe können dir die Formeln aus der Einführungsaufgabe behilflich sein.
a)
$\begin{array}[t]{rll} u_{n-Eck}&=& n \cdot a \\[5pt] &=& 4\,\text{} \cdot 4\,\text{cm} \\[5pt] &=& 16\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang des regelmäßigen Vierecks beträgt $16\,\text{cm}$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} u_{n-Eck}&=& n \cdot a \\[5pt] &=& 6\,\text{} \cdot 3,2\,\text{cm} \\[5pt] &=& 19,2\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang des regelmäßigen Sechsecks beträgt $19,2\,\text{cm}$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} u_{n-Eck}&=& n \cdot a \\[5pt] &=& 9\,\text{} \cdot 4,8\,\text{cm} \\[5pt] &=& 43,2\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang des regelmäßigen Neunecks beträgt $43,2\,\text{cm}$.
d)
$\begin{array}[t]{rll} u_{n-Eck}&=& n \cdot a \\[5pt] &=& 10\,\text{} \cdot 2\,\text{cm} \\[5pt] &=& 20\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang des regelmäßigen Zehnecks beträgt $20\,\text{cm}$.
e)
$\begin{array}[t]{rll} u_{n-Eck}&=& n \cdot a \\[5pt] &=& 3\,\text{} \cdot 2,5\,\text{cm} \\[5pt] &=& 7,5\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang des regelmäßigen Dreiecks beträgt $7,5\,\text{cm}$.
f)
$\begin{array}[t]{rll} u_{n-Eck}&=& n \cdot a \\[5pt] &=& 12\,\text{} \cdot 0,5\,\text{cm} \\[5pt] &=& 6\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang des regelmäßigen Zwölfecks beträgt $6\,\text{cm}$.
#regelmäßigesvieleck#umfang

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$  Werte berechnen
Nutze auch hier die Formeln aus der Einführungsaufgabe. Teilweise musst du die Formeln auch umstellen, um auf ein Ergebnis zu kommen.
a)
Berechne $u$ und $A$ wie du es gelernt hast.
$\begin{array}[t]{rll} A_{n-Eck}&=& \dfrac {a \cdot h}{2} \cdot n \\[5pt] &=& \dfrac {0,55\,\text{m} \cdot 0,80\text{m}}{2} \cdot 5 \\[5pt] &=& \dfrac {0,44\,\text{m}^2}{2} \cdot 5 \\[5pt] &=& 1,1\,\text{m}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des regelmäßigen Fünfecks beträgt $ 1,1\,\text{m}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} u_{n-Eck}&=& n \cdot a \\[5pt] &=& 5\,\text{} \cdot 0,55\,\text{m} \\[5pt] &=& 2,75\,\text{m} \end{array}$
Der Umfang des regelmäßgen Fünfecks beträgt $2,75\,\text{m}$.
b)
Die Seitenlänge $a$ berechnest du, indem du die Umfangsformel nach $a$ umstellst. Danach kannst du den Flächeninhalt ganz normal ausrechnen.
$\begin{array}[t]{rll} a&=& u_{n-Eck} : n \\[5pt] &=& 5,95\,\text{m} : 5 \\[5pt] &=& 1,19\,\text{m} \end{array}$
Die Seitenlänge $a$ des regelmäßigen Fünfecks beträgt $1,19\,\text{m}$.
$\begin{array}[t]{rll} A_{n-Eck}&=& \dfrac {a \cdot h}{2} \cdot n \\[5pt] &=& \dfrac {1,19\,\text{m} \cdot 0,82\text{m}}{2} \cdot 5 \\[5pt] &=& \dfrac {0,9758\,\text{m}^2}{2} \cdot 5 \\[5pt] &\approx& 2,44\,\text{m}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des regelmäßigen Fünfecks beträgt ungefähr $ 2,44\,\text{m}^2$.
c)
Berechne auch hier $u$ und $A$ wieder normal.
$\begin{array}[t]{rll} A_{n-Eck}&=& \dfrac {a \cdot h}{2} \cdot n \\[5pt] &=& \dfrac {78\,\text{mm} \cdot 90\text{mm}}{2} \cdot 6 \\[5pt] &=& \dfrac {7.020\,\text{mm}^2}{2} \cdot 6 \\[5pt] &=& 21.060\,\text{mm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks beträgt $ 21.060\,\text{mm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} u_{n-Eck}&=& n \cdot a \\[5pt] &=& 6\,\text{} \cdot 78\,\text{mm} \\[5pt] &=& 468\,\text{mm} \end{array}$
Der Umfang des regelmäßgen Sechsecks beträgt $468\,\text{mm}$.
d)
Stelle in dieser Aufgabe zunächst die Flächeninhaltsformel des n-Ecks nach $h$ um und berechne so die Höhe des Bestimmungsdreiecks. Nutze dafür die Formel wie folgt. Danach kannst du deine Werte wie gewohnt in die Umfangsformel einsetzen.
$ h = \dfrac {(A_{n-Eck} : n) \cdot 2}{a}$
$ h = \dfrac {(A_{n-Eck} : n) \cdot 2}{a}$
$\begin{array}[t]{rll} h&=& \dfrac {(A_{n-Eck} : n) \cdot 2}{a} \\[10pt] &=& \dfrac {(1524,6\,\text{m}^2 : 6) \cdot 2}{24,2\text{m}} \\[10pt] &=& \dfrac {254,1\,\text{m}^2 \cdot 2}{24,2\text{m}} \\[10pt] &=& \dfrac {508,2\,\text{m}^2}{24,2\text{m}} \\[10pt] &=& 21\,\text{m} \end{array}$
Die Höhe $h$ des Bestimmungsdreiecks beträgt $21\,\text{m}$.
$\begin{array}[t]{rll} u_{n-Eck}&=& n \cdot a \\[5pt] &=& 6\,\text{} \cdot 24,2\,\text{m} \\[5pt] &=& 145,2\,\text{m} \end{array}$
Der Umfang des regelmäßgen Sechsecks beträgt $145,2\,\text{m}$.
e)
Berechne $u$ und $A$ des regelmäßigen Achtecks wie gewohnt.
$\begin{array}[t]{rll} A_{n-Eck}&=& \dfrac {a \cdot h}{2} \cdot n \\[5pt] &=& \dfrac {35\,\text{cm} \cdot 50\text{cm}}{2} \cdot 8 \\[5pt] &=& \dfrac {1.750\,\text{cm}^2}{2} \cdot 8 \\[5pt] &=& 7.000\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des regelmäßigen Achtecks beträgt $ 7.000\,\text{cm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} u_{n-Eck}&=& n \cdot a \\[5pt] &=& 8\,\text{} \cdot 35\,\text{cm} \\[5pt] &=& 280\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang des regelmäßgen Achtecks beträgt $280\,\text{cm}$.
f)
Nutze hier die umgestellten Formeln für $a$ und $h$ wie in den vorherigen Aufgaben, um ein Ergebnis zu erhalten.
$\begin{array}[t]{rll} a&=& u_{n-Eck} : n \\[5pt] &=& 36,4\,\text{m} : 8 \\[5pt] &=& 291,2\,\text{m} \end{array}$
Die Seitenlänge $a$ des regelmäßigen Achtecks beträgt $291,2\,\text{m}$.
$\begin{array}[t]{rll} h&=& \dfrac {(A_{n-Eck} : n) \cdot 2}{a} \\[10pt] &=& \dfrac {(166,48\,\text{m}^2 : 8) \cdot 2}{291,2\text{m}} \\[10pt] &=& \dfrac {20,81\,\text{m}^2 \cdot 2}{291,2\text{m}} \\[10pt] &=& \dfrac {41,62\,\text{m}^2}{291,2\text{m}} \\[10pt] &\approx& 0,14\,\text{m} \end{array}$
Die Höhe $h$ des Bestimmungsdreiecks beträgt ungefähr $0,14\,\text{m}$.
#flächeninhalt#regelmäßigesvieleck#umfang

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Skizze und Bestimmungsdreieck zeichnen
b)
$\blacktriangleright$  $h$ berechnen
Um $h$ berechnen zu können kannst du die dir gegebenen Werte in dieselbe Formel einsetzen, die du schon in Aufgabe 4 genutzt hast.
$ h = \dfrac {(A_{n-Eck} : n) \cdot 2}{a}$
$ h = \dfrac {(A_{n-Eck} : n) \cdot 2}{a}$
$\begin{array}[t]{rll} h&=& \dfrac {(A_{n-Eck} : n) \cdot 2}{a} \\[10pt] &=& \dfrac {(135.000\,\text{m}^2 : 5) \cdot 2}{280\,\text{m}} \\[10pt] &=& \dfrac {27.000\,\text{m}^2 \cdot 2}{280\,\text{m}} \\[10pt] &=& \dfrac {54.000\,\text{m}^2}{280\,\text{m}} \\[10pt] &\approx& 192,86\,\text{m} \end{array}$
Die Höhe $h$ des Bestimmungsdreiecks beträgt ungefähr $192,86\,\text{m}$.
$\begin{array}[t]{rll} u_{n-Eck}&=& n \cdot a \\[5pt] &=& 5\,\text{} \cdot 280\,\text{m} \\[5pt] &=& 1.400\,\text{m} \end{array}$
Der Umfang des Pentagons beträgt $1.400\,\text{m}$.
#regelmäßigesvieleck#fünfeck#umfang
Bildnachweise [nach oben]
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© 2017 – SchulLV.
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