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Zeichnen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne einen Kreis mit einem Radius von $ 5\,\text{cm} $ und dem Mittelpunkt $M$. Zeichne in den Kreis eine waagrechte und eine senkrechte Gerade durch den Mittelpunkt und verbinde ihre Enden zu Dreiecken. Was für eine Figur entsteht dabei?
b)
Wähle dir eines der eingezeichneten Dreiecke und berechne den Mittelpunktswinkel sowie die Basiswinkel. Die Mittelpunktswinkel und Basiswinkel der anderen Dreiecke besitzen dieselbe Größe wie die Winkel des von dir gewählten Bestimmungsdreiecks.
#kreismittelpunkt#regelmäßigesvieleck#kreis#winkel

Aufgabe 1

a)
Nenne Gemeinsamkeiten und Unterschiede der nebeneinander liegenden Vielecke A bis D.
b)
Welche Eigenschaften besitzen regelmäßige Vielecke?
A
B
C
D
#regelmäßigesvieleck

Aufgabe 2

Gib den Winkel an, um welchen die regelmäßigen Vielecke gedreht werden müssen, damit sie mit sich selbst zur Deckung kommen und ergänze die Tabelle.
Die Berechnung des Mittelpunktswinkels aus der Enführungsaufgabe hilft dir dabei.
In der Ebene: Zeichnen
Abb. 9: Diese Skizze ist nicht realitätsgetreu, soll dir aber helfen, den Drehwinkel zu verstehen.
In der Ebene: Zeichnen
Abb. 9: Diese Skizze ist nicht realitätsgetreu, soll dir aber helfen, den Drehwinkel zu verstehen.
#drehwinkel#regelmäßigesvieleck

Aufgabe 3

a)
Welche regelmäßigen Vielecke werden hier gezeichnet? Benenne sie.
b)
Übertrage die Zeichnungen in dein Heft und vervollständige. Der Umkreisradius beträgt $ 3\,\text{cm} $.
#regelmäßigesvieleck

Aufgabe 4

Welche der gezeichneten Dreiecke können Bestimmungsdreiecke regelmäßiger Vielecke sein?
#regelmäßigesvieleck#dreieck

Aufgabe 5

a)
Trage in ein Koordinatensystem mit der Einheit $ \text{cm} $ die Punkte $A$ (3|1), $B$ (5|1), $C$ (7|3), $D$ (7|5), $E$ (5|7), $F$ (3|7), $G$ (1|5), und $H$ (1|3) ein und verbinde sie zu einem Vieleck.
Zeichne anschließend um den Punkt $M$ (4|4) einen Kreis durch $A$.
b)
Ist die gezeichnete Figur ein regelmäßiges Vieleck? Begründe deine Antwort.
#regelmäßigesvieleck

Aufgabe 6

Zeichne die Vier- und Fünfecke mit den gegebenen Seitenlängen.
Seitenlänge Fünfeck:
a)
$ 3\,\text{cm} $
b)
$ 2\,\text{cm} $
#regelmäßigesvieleck
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Figur zeichnen
Wenn du die Figur so wie in unserer Anleitung gezeichnet hast, entsteht ein regelmäßiges Viereck.
In der Ebene: Zeichnen
Abb. 2: Indem du eine waagrechte und eine senkrechte Gerade durch den Mittelpunkt $M$ einzeichnest und deren auf der Kreislinie liegende Enden durch die Seitenkante $s$ verbindest, erhälst du vier gleich große Dreiecke, die zusammen ein regelmäßiges Viereck bilden.
In der Ebene: Zeichnen
Abb. 2: Indem du eine waagrechte und eine senkrechte Gerade durch den Mittelpunkt $M$ einzeichnest und deren auf der Kreislinie liegende Enden durch die Seitenkante $s$ verbindest, erhälst du vier gleich große Dreiecke, die zusammen ein regelmäßiges Viereck bilden.
b)
$\blacktriangleright$  Mittelpunktswinkel und Basiswinkel berechnen
Den Mittelpunktswinkel kannst du berechnen, indem du die $ 360\text{°} $ (Vollkreis) durch die Anzahl der Ecken dividierst.
$\begin{array}[t]{rll} M_{w}&=& 360\text{°} : 4 \\[5pt] &=& 90\text{°} \end{array}$
Der Mittelpunktswinkel des Bestimmungsdreiecks beträgt demnach $90\text{°}$.
Die Winkelsumme im Bestimmungsdreieck beträgt immer $180\text{°}$ und die Basiswinkel sind auch immer gleich groß. Indem du also von den $180\text{°}$ die Größe des Mittelpunktwinkels $M_{w}$ subtrahierst und das Ergebnis durch 2 dividierst, da es ja zwei Basiswinkel gibt, erhälst du die Größe eines einzelnen Basiswinkels.
$B_{w}= (180\text{°} - M_{w}) : 2$
$B_{w}= (180\text{°} - M_{w}) : 2$
$\begin{array}[t]{rll} B_{w}&=& (180\text{°} - M_{w}) : 2 \\[5pt] &=& 45\text{°} \end{array}$
Ein Basiswinkel des Bestimmungdreiecks beträgt dementsprechend $45\text{°}$.
#kreismittelpunkt#winkel#kreis#regelmäßigesvieleck

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Figuren
A
Beides sind Vierecke. Jedoch ist die linke Figur A ein unregelmäßiges Viereck, wohingegen die rechte Figur A' ein regelmäßiges ist.
B
Beides sind Fünfecke. Jedoch ist die linke Figur B ein unregelmäßiges Fünfeck, wohingegen die rechte Figur B' ein regelmäßiges ist.
C
Beides sind Sechsecke. Jedoch ist die linke Figur C ein unregelmäßiges Sechseck, wohingegen die rechte Figur C' ein regelmäßiges ist.
D
Beides sind Achtecke. Jedoch ist die linke Figur D ein unregelmäßiges Achteck, wohingegen die rechte Figur D' ein regelmäßiges ist.
b)
$\blacktriangleright$  Eigenschaften regelmäßige Vielecke
Bei regelmäßigen Vielecken
  • sind alle Seiten gleich lang.
  • liegen alle Ecken auf einer Kreislinie (Umkreis).
  • setzt sich jedes Vieleck aus so vielen gleichen Dreiecken (Bestimmungsdreiecke) zusammen, wie es Ecken / Seiten hat.
  • sind die Basiswinkel der Bestimmungsdreiecke immer gleich groß.
  • sind alle Mittelpunktswinkel gleich groß und ergeben zusammen $ 360\text{°} $.
  • beträgt die Winkelsumme innerhalb eines Bestimmungsdreiecks immer $ 180\text{°} $.
#regelmäßigesvieleck

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$  Drehwinkel berechnen
Den Drehwinkel kannst du in dieser Aufgabe mit derselben Formel wie den Mittelpunktswinkel in der Einführungsaufgabe berechnen. Dividiere dafür die $ 360\text{°}$ des Vollkreises durch die Anzahl der Ecken $n$ der Figur.
$D_{w} = 360\text{°} : n$
$D_{w} = 360\text{°} : n$
Vieleck (n-Eck)Drehwinkel
4-Eck$90\text{°}$
5-Eck$72\text{°}$
6-Eck$60\text{°}$
8-Eck$45\text{°}$
9-Eck$40\text{°}$
10-Eck$36\text{°}$
#drehwinkel#regelmäßigesvieleck

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Regelmäßige Vielecke benennen.
A: In dieser Skizze wird ein regelmäßiges Sechseck (6-Eck) gezeichnet.
B: In dieser Skizze wird ein regelmäßiges Fünfeck (5-Eck) gezeichnet.
C: In dieser Skizze wird ein regelmäßiges Zehneck (10-Eck) gezeichnet.
b)
$\blacktriangleright$  Zeichnungen vervollständigen
A
In der Ebene: Zeichnen
Abb. 4: So sollte deine vollständige Zeichnung des Sechsecks aussehen.
In der Ebene: Zeichnen
Abb. 4: So sollte deine vollständige Zeichnung des Sechsecks aussehen.
B
In der Ebene: Zeichnen
Abb. 5: Deine vollständige Zeichnung des Fünfecks sollte so aussehen.
In der Ebene: Zeichnen
Abb. 5: Deine vollständige Zeichnung des Fünfecks sollte so aussehen.
C
In der Ebene: Zeichnen
Abb. 6: So sollte deine vollständige Zeichnung des Zehnecks aussehen.
In der Ebene: Zeichnen
Abb. 6: So sollte deine vollständige Zeichnung des Zehnecks aussehen.
#regelmäßigesvieleck

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$  Bestimmungsdreiecke bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du herausfinden, welche der gezeichneten Dreiecke Bestimmungsdreiecke regelmäßiger Vielecke sein können. Dafür kannst du die Formel des Mittelpunktswinkels aus der Einführungsaufgabe umstellen, da du den Mittelpunktswinkel $M_{w}$ gegeben hast.
$n = 360\text{°} : M_{w}$
$n = 360\text{°} : M_{w}$
Mit dieser umgestellten Formel kannst du die Anzahl der Ecken $n$ des Vielecks bestimmen. Erhältst du für $n$ eine ganze Zahl, kann das Dreieck ein Bestimmungsdreieck sein, da alle Winkel gleich groß sind. Ist $n$ jedoch keine ganze Zahl, so ist das Dreieck kein Bestimmungsdreieck.
Die Tabelle aus Aufgabe 2 kann dir behilflich sein.
a)
$\begin{array}[t]{rll} n&=& 360\text{°} : M_{w} \\[5pt] &=& 360\text{°} : 36\text{°} \\[5pt] &=& 10 \end{array}$
Dieses Dreieck ist ein Bestimmungsdreieck für ein regelmäßiges 10-Eck.
b)
$\begin{array}[t]{rll} n&=& 360\text{°} : M_{w} \\[5pt] &=& 360\text{°} : 50\text{°} \\[5pt] &\approx& 7,2 \end{array}$
Dieses Dreieck ist kein Bestimmungsdreieck für ein regelmäßiges Vieleck.
c)
$\begin{array}[t]{rll} n&=& 360\text{°} : M_{w} \\[5pt] &=& 360\text{°} : 110\text{°} \\[5pt] &\approx& 3,27 \end{array}$
Dieses Dreieck ist kein Bestimmungsdreieck für ein regelmäßiges Vieleck.
a)
$\begin{array}[t]{rll} n&=& 360\text{°} : M_{w} \\[5pt] &=& 360\text{°} : 120\text{°} \\[5pt] &=& 3 \end{array}$
Dieses Dreieck ist ein Bestimmungsdreieck für ein regelmäßiges 3-Eck.
#dreieck#regelmäßigesvieleck

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Punkte in Koordinatensystem einzeichnen
In der Ebene: Zeichnen
Abb. 7: Deine Figur sollte so aussehen, wenn du sie nach den angegebenen Koordinaten gezeichnet hast.
In der Ebene: Zeichnen
Abb. 7: Deine Figur sollte so aussehen, wenn du sie nach den angegebenen Koordinaten gezeichnet hast.
b)
$\blacktriangleright$  Handelt es sich um ein regelmäßiges Vieleck?
Nein, es handelt sich nicht um ein regelmäßiges Vieleck.
Zwar liegen alle Eckpunkte auf einer Kreislinie, jedoch sind weder alle Seiten gleich lang, noch setzt sich das Vieleck aus so vielen gleichen Bestimmungsdreiecken zusammen, wie es Ecken hat. Deshalb sind auch die Mittelpunktswinkel und Basiswinkel der Dreiecke nicht gleich groß.
#regelmäßigesvieleck

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$  Vielecke zeichnen
Vierecke:
Fünfecke:
#regelmäßigesvieleck
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