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Aufgaben aus dem Alltag

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Eine Dose mit Erfrischungsgetränk hat die Höhe $12$ cm und den Radius $2$ cm.
a)
Wie viel Milliliter Erfrischungsgetränk passen in die Dose?
b)
Wie groß ist die Mantelfläche der Dose?

Aufgabe 1

Ein Blumentopf soll Rund herum mit Krepp-Papier verschönert werden. Er ist 33 cm hoch und hat ein Fassungsvermögen von 12 Litern.
a)
Welcher Radius hat der Blumentopf?
b)
Wie viel Papier wird dafür benötigt?

Aufgabe 2

1 Betonrohre
1 Betonrohre
a)
Bestimme den Innenradius der Rohre.
b)
Wie viel Wasser passt in ein Rohr?
c)
Um die Rohre zu verlegen, wird ein $3$ m tiefer Graben ausgehoben. Dann werden die Rohre in den Graben gelegt und verschüttet. Wie viel Erde bleibt dabei auf einer Strecke von $4$ m übrig, nachdem die Rohre verschüttet wurden?
(Tipp: Das Volumen des Rohres muss nicht mehr mit Erde befüllt werden.)
d)
Nun bringt ein LKW Rohre zur Baustelle. Sein maximales Ladegewicht beträgt $17500$ Kg. Wie viele Rohre darf er höchstens transportieren? Ein Kubikmeter Beton wiegt $2500$ Kg.
e)
Ein Kubikmeter Wasser wiegt $1000$ Kg. Wie viel wiegt ein volles Rohr?

Aufgabe 3

Abb. 2 Haus
Abb. 2 Haus
a)
Bestimme das Volumen des ersten Stockwerkes.
b)
Bestimme das Volumen des zweiten Stockwerkes.
c)
Wie groß ist das Volumen des ganzen Hauses?
d)
Luft wiegt $1,2$ Kg pro $m^3$. Wie viel wiegt die Luft in diesem Haus?

Aufgabe 4

Abb. 3 Toblerone
Abb. 3 Toblerone
a)
Die Fläche des Dreiecks beträgt $6$ cm$^2$. Bestimme das Volumen der Verpackung, wenn die Toblerone 15 cm lang ist.
b)
Ca. $\frac{1}{6}$ des verpackten Volumens sind Luft. Wie viel cm$^3$ Schokolade befinden sich in der Verpackung?
c)
Zu Weihnachten gibt es eine Sonder-Edition, die eine Dreiecks-Fläche von $18$ cm$^3$ hat und $30$ cm lang ist. Wie viel Schokolade passt in diese Verpackung, wenn sie $\frac{1}{5}$ Luft enthält?
d)
Die kleine Toblerone kostet 0,75 Euro , während die große 4,50 Euro kostet. Welche würdest du kaufen?

Aufgabe 5

Ein Zylinderförmiger Wassertank steht auf seiner Grundfläche. Er hat einen Durchmesser von $1,70$ m und eine Höhe von $2$m.
a)
Wie viel Wasser fasst der Tank, wenn er maximal befüllt ist?
b)
Der Tank hat in $1$ m Höhe ein Loch. Wie viel Wasser läuft aus, wenn er vorher voll war?
c)
Das ausgelaufene Wasser steht jetzt im Kellerraum. Dieser ist $4$ m lang und $5$m breit. Wie hoch steht das Wasser?
Vorsicht: Der halbvolle Tank steht im Kellerraum!
d)
Der defekte Tank soll nun durch einen Tank mit einem Quadrat als Grundfläche und gleicher Höhe ersetzt werden (Quader). Bestimme die Kantenlänge der Grundfläche.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
Public Domain.
[2]
https://goo.gl/Xpl8CT – a) senkr. Parallelprojektion b) Zentralprojektion eines Hauses, Ag2gaeh, CC BY-SA 4.0.
[3]
Public Domain.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

Eine Dose mit Erfrischungsgetränk hat die Höhe $12$ cm und den Radius $2$ cm.
a)
Wie viel Milliliter Erfrischungsgetränk passen in die Dose?
Ein Körper mit einem Kreis als Grundfläche wird als Zylinder bezeichnet. Sein Volumen kannst du mit folgender Formel bestimmen.
$V=G \cdot h$
$V=G \cdot h$
$V= \pi r^2 \cdot h$
$V= \pi r^2 \cdot h$
$G$ steht für die Grundfläche, $h$ für die Höhe und $V$ für das Volumen.
$\begin{array}[t]{rll} V &=& \pi r^2 h & \\[5pt] V &=& \pi (2cm)^2 12cm & \\[5pt] V &=& 150,8 cm^3 & \\[5pt] \end{array}$
Die Dose hat eine Füllmenge von $150$ ml.
b)
Wie groß ist die Mantelfläche der Dose? Die Mantelfäche eines Zylinders kannst du mit der folgenden Formel bestimmen:
$M=U \cdot h$
$M=U \cdot h$
$M=2\cdot \pi \cdot r \cdot h$
$M=2\cdot \pi \cdot r \cdot h$
$\begin{array}[t]{rll} M &=& 2\cdot \pi \cdot r \cdot h & \\[5pt] M &=& 2\cdot \pi \cdot 2cm \cdot 12cm & \\[5pt] M &=& 150,8 cm^2 & \\[5pt] \end{array}$
Die Mantelfläche der Dose lautet: $M \approx 150 cm^2$
#kreis#zylinder#volumen

Aufgabe 1

Ein Blumentopf soll Rund herum mit Krepp-Papier verschönert werden. Er ist 33 cm hoch und hat ein Fassungsvermögen von 12 Litern.
a)
Welcher Radius hat der Blumentopf?
Du kennst bereits die Formel zur bestimmung des Volumens eines Zylinders. Diese kannst du jetzt umstellen, um den Radius zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \pi r^2 h& \\[5pt] \frac{V}{\pi h}&=& r^2 & \\[5pt] \sqrt{\frac{V}{\pi h}}&=& r & \\[5pt] r &=& \sqrt{\frac{V}{\pi h}} & \\[5pt] \end{array}$
Jetzt setzt du $V$ und $h$ ein um $r$ zu bestimmen. $12$ Liter sind $12000$ cm$^3$.
$\begin{array}[t]{rll} r &=& \sqrt{\frac{V}{\pi h}} & \\[5pt] r &=& \sqrt{\frac{12000cm^3}{\pi 33cm}} & \\[5pt] r &=& 10,8 cm& \\[5pt] \end{array}$
Der Radius des Blumentopfs beträgt $r=10,8$ $cm$.
b)
Wie viel Papier wird dafür benötigt?
Um zu bestimmen wie viel Papier benötigt wird musst du die Mantelfäche des Topfes bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} M&=& 2 \pi\cdot r\cdot h & \\[5pt] M&=& 2 \pi \cdot 10,8cm\cdot 33cm & \\[5pt] M&=& 2239,3 cm^2 & \\[5pt] \end{array}$
Du benötigst $2239$ $cm^2$ Krepp-Papier
#zylinder#kreis

Aufgabe 2

Auf einer Baustelle gibt es hohle Betonrohre, mit denen eine unterirdische Wasserleitung gebaut werden soll. Jedes Rohr ist $4$ Meter lang und hat einen Außenradius von $48$ cm. Die Wandstärke beträgt $5$ cm.
a)
Bestimme den Innenradius der Rohre.
Um den Innenradius zu bestimmen ziehst du die Wandstärke vom Außenradius ab.
$\begin{array}[t]{rll} r_i&=& r_a-w & \\[5pt] r_i&=& 48 cm-5cm & \\[5pt] r_i&=& 43 cm & \\[5pt] \end{array}$
Der Innenradius beträgt somit $r_i = 43cm$.
b)
Wie viel Wasser passt in ein Rohr?
Um zu bestimmen wie viel Wasser in ein Rohr passt musst du das Volumen des Rohres ohne Wand bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} V_i&=& \pi \cdot r_i^2\cdot h & \\[5pt] V_i&=& \pi \cdot 0,43 m)^2\cdot 4 m & \\[5pt] V_i&=& 2,32 m^3 & \\[5pt] \end{array}$
Es passen $2,32$ m$^3$ Wasser in das Rohr.
c)
Um die Rohre zu verlegen, wird ein $3$ m tiefer Graben ausgehoben. Dann werden die Rohre in den Graben gelegt und verschüttet. Wie viel Erde bleibt dabei auf einer Strecke von $4$ m übrig, nachdem die Rohre verschüttet wurden?
(Tipp: Das Volumen des Rohres muss nicht mehr mit Erde befüllt werden.)
Um zu bestimmen wie viel Erde übrig bleibt, bestimmst du das Volumen des gesamten Rohres, also mit dem Außenradius.
$\begin{array}[t]{rll} V_a&=& \pi \cdot r_a^2\cdot h& \\[5pt] V_a&=& \pi \cdot (0,48m)^2\cdot 4m& \\[5pt] V_a&=& 2,9 m^3& \\[5pt] &=& \end{array}$
Es bleiben $2,9$ m$^3$ Erde je $4$ m Strecke übrig.
d)
Nun bringt ein LKW Rohre zur Baustelle. Sein maximales Ladegewicht beträgt $17500$ Kg. Wie viele Rohre darf er höchstens transportieren? Ein kubikmeter Beton wiegt $2500$ kg.
Um zu bestimmen, wie viele Rohre ein Lkw transportieren darf, bestimmst du das Gewicht des Betonrohres. Dazu ermittelst du das Volumen der Rohrwand und bestimmst deren Gewicht.
Das Volumen erhältst du indem du das Volumen $V_i$ von $V_a$ abziehst. $\begin{array}[t]{rll} V_{wand}&=& V_a - V_i & \\[5pt] V_{wand}&=& 2,9 m^2 - 2,32 m^3 & \\[5pt] V_{wand}&=& 0,58 m^3 m^3 & \\[5pt] \end{array}$
Das Volumen multiplizierst du anschließend mit dem Gewicht pro Volumen um das Gewicht zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} m &=& 0,58 m^3 \cdot 2500 \frac{kg}{m^3}& \\[5pt] m &=& 1450 kg& \\[5pt] \end{array}$
Jetzt kannst du ausrechen, wie viele Rohre $n$ der Lkw transportieren darf:
$\begin{array}[t]{rll} n&=& \frac{17500 kg}{1450 kg} & \\[5pt] n&=& 12,06 & \\[5pt] \end{array}$
Der Lkw darf $12$ Rohre transportieren. Bei $13$ wäre er bereits überladen.
e)
Ein Kubikmeter Wasser wiegt $1000$ Kg. Wie viel wiegt ein volles Rohr?
Um das Gewicht eines Vollen Rohres zu bestimmen addierst du das Gewicht des Wassers zum Gewicht des Betonrohres.
$\begin{array}[t]{rll} m&=& m_{Rohr}+m_{Wasser} & \\[5pt] m&=& 1450 kg + \left(2,32 m^3 \cdot \frac{kg}{m^3}\right) & \\[5pt] m&=& 3770 kg & \\[5pt] \end{array}$
Das volle Rohr wiegt $3770$ kg.
#zylinder#dichte

Aufgabe 3

Abb. 2 Haus
Abb. 2 Haus
a)
Bestimme das Volumen des ersten Stockwerkes.
Das erste Stockwerk ist ein Quader. Sein Volumen bestimmst du mit der Formel:
$V = l \cdot b\cdot h$
$V = l \cdot b\cdot h$
$\begin{array}[t]{rll} V&=& l \cdot b\cdot h & \\[5pt] V&=& 7 m \cdot 8m \cdot 2,5m & \\[5pt] V&=& 140 m^3 & \\[5pt] \end{array}$
Das Volumen des ersten Stockwerks beträgt $140$ m$^3$.
b)
Bestimme das Volumen des zweiten Stockwerkes.
Beim zweiten Stockwerk handelt es sich um ein liegendes Dreiecksprisma. Dessen Volumen bestimmst du folgendermasen:
$V = \frac{a \cdot h_a \cdot h}{2}$
$V = \frac{a \cdot h_a \cdot h}{2}$
$\begin{array}[t]{rll} V &=& \frac{a \cdot h_a \cdot h}{2} & \\[5pt] V &=& \frac{7m \cdot 3m \cdot 8m}{2} & \\[5pt] V &=& 84 m^3 & \\[5pt] \end{array}$
Das Volumen des zweiten Stockwerks ist $84$ m$^3$.
c)
Wie groß ist das Volumen des ganzen Hauses?
Das Volumen des Hauses ist die Summe beider Volumen. $V$ = $224$ m$^3$
d)
Luft wiegt $1,2$ Kg pro $m^3$. Wie viel wiegt die Luft in diesem Haus?
Um das Gewicht zu bestimmen multipliziert du das Gewicht pro m$^3$ mit dem Volumen.
$m$ = $1,2 \frac{kg}{m^3} \cdot 224 m^3$ = $268,8$ kg
Die Luft in diesem Haus wie $269$ kg!!
#prisma#quader#dreieck

Aufgabe 4

Die Schweizer Schokolade „Toblerone“ wurde der Legende nach dem Berg Matterhorn nachempfunden und hat deshalb einen dreieckigen Querschnitt.
a)
Die Fläche des Dreiecks beträgt $6$ cm$^2$. Bestimme das Volumen der Verpackung, wenn die Toblerone 15 cm lang ist.
Mit der Formel für das Volumen eines Dreiecksprismas kannst du das Volumen bestimmen:
$V = G \cdot h$
$V = G \cdot h$
Du hast die Grundfläche und die Höhe gegeben und kannst jetzt das Volumen bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} V&=& G \cdot h & \\[5pt] V&=& 6 cm^2 \cdot 15 cm & \\[5pt] V&=& 90 cm^3 & \\[5pt] \end{array}$
Das Volumen der Verpackung beträgt $90$ cm$^3$.
b)
Ca. $\frac{1}{6}$ des verpackten Volumens sind Luft. Wie viel cm$^3$ Schokolade befinden sich in der Verpackung?
$\begin{array}[t]{rll} V_{Luft}&=& \frac{1}{6} V& \\[5pt] V_{Luft}&=& \frac{1}{6} 90 cm^3 & \\[5pt] V_{Luft}&=& 15 cm^3 & \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V_{Schokolade}&=& V_{Verpackung}-V_{Luft} & \\[5pt] V_{Schokolade}&=& 90 cm^3-15 cm^3 & \\[5pt] V_{Schokolade}&=& 75 cm^3 & \\[5pt] \end{array}$
Es befinden sich $75$ cm$^3$ Schokolade in der Verpackung.
c)
Zu Weihnachten gibt es eine Sonder-Edition, die eine Dreiecks-Fläche von $18$ cm$^3$ hat und $30$ cm lang ist. Wie viel Schokolade passt in diese Verpackung, wenn sie $\frac{1}{5}$ Luft enthält?
Zuerst bestimmst du das Volumen der Verpackung, dann ziehst du die Luft ab.
$\begin{array}[t]{rll} V&=& G \cdot h & \\[5pt] V&=& 18 cm^2 \cdot 30 cm & \\[5pt] V&=& 540 cm^3 & \\[5pt] \end{array}$
Das Volumen der Verpackung beträgt $540$ cm$^3$.
$\begin{array}[t]{rll} V_{Luft}&=& \frac{1}{5} V& \\[5pt] V_{Luft}&=& \frac{1}{5} 540 cm^3 & \\[5pt] V_{Luft}&=& 108 cm^3 & \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V_{Schokolade}&=& V_{Verpackung}-V_{Luft} & \\[5pt] V_{Schokolade}&=& 540 cm^3-108 cm^3 & \\[5pt] V_{Schokolade}&=& 432 cm^3 & \\[5pt] \end{array}$
Es befinden sich $432$ cm$^3$ Schokolade in der Verpackung.
d)
Die kleine Toblerone kostet 0,75 Euro , während die große 4,50 Euro kostet. Welche würdest du kaufen?
Um zu bestimmen welche Toblerone billiger ist, teilst du das Volumen durch den Preis. $\begin{array}[t]{rll} T_1&=&\frac{75 cm^3}{0,75 Euro} & \\[5pt] T_1&=& 100\frac{cm^3}{Euro} & \\[5pt] T_2&=&\frac{432 cm^3}{4,50 Euro} & \\[5pt] T_2&=& 96\frac{cm^3}{Euro} & \\[5pt] \end{array}$
Bei der kleinen Tafel erhältst du mehr Schokolade pro Euro. Sie ist somit Preiswerter.
#dreieck#prisma

Aufgabe 5

Ein zylinderförmiger Wassertank steht auf seiner Grundfläche. Er hat einen Durchmesser von $1,70$ m und eine Höhe von $2$m.
a)
Wie viel Wasser fasst der Tank, wenn er maximal befüllt ist?
Um das Volumen zu bestimmen, nutzt du die Volumenformel für Zylinder.
$V= \pi r^2 \cdot h$
$V= \pi r^2 \cdot h$
$h$ steht für die Höhe und $V$ für das Volumen.
Den Radius erhältst du, wenn du den Durchmesser halbierst.
$\begin{array}[t]{rll} V &=& \pi r^2 \cdot h & \\[5pt] V &=& \pi \cdot (0,85m)^2 \cdot 2m & \\[5pt] V &=& 4,54m^3 & \\[5pt] \end{array}$
Der Tank hat ein Volumen von $4,54m^3$ Wasser. Das sind $4540$ Liter.
b)
Der Tank hat in $1$ m Höhe ein Loch. Wie viel Wasser läuft aus, wenn er vorher voll war?
Um zu bestimmen wie viel Wasser aus dem Tank läuft, bestimmst du wie viel Wasser noch im Tank ist. Das bestimmst du indem du eine Tankhöhe von $1$m zur berechnung verwendest. Dieses Volumen ziehst du dann vom ursprünglichen Volumen ab.
$\begin{array}[t]{rll} V &=& \pi r^2 \cdot h & \\[5pt] V &=& \pi \cdot (0,85m)^2 \cdot 1m & \\[5pt] V &=& 2,27m^3 & \\[5pt] \end{array}$
Es sind also noch $2,27m^3$ Wasser im Tank.
Jetzt bestimmst du wie viel Wasser ausgelaufen ist.
$\begin{array}[t]{rll} V&=& 4,54m^3- 2,27m^3 & \\[5pt] V&=& 2,27m^3 & \\[5pt] \end{array}$
Es sind $2,27m^3$ Wasser ausgelaufen. Das entspricht genau der Hälfte des Tankvolumens. Diese Lösung lässt sich leicht verstehen wenn man berücksichtigt, dass das Loch in der halben Höhe des Tanks ist.
c)
Das ausgelaufene Wasser steht jetzt im Kellerraum. Dieser ist $4$ m lang und $5$m breit. Wie hoch steht das Wasser?
Vorsicht: Der halbvolle Tank steht im Kellerraum!
$V=G \cdot h$
$V=G \cdot h$
Die Grundläche des Kellers erhältst du, wenn du die Tankbodenfläche von der Kellerfläche abziehst.
Dann kennst du die Grundfläche des Kellers und die Menge(Volumen) an ausgelaufenem Wasser. Damit kannst du die Höhe des Wassers ausrechnen.
$\begin{array}[t]{rll} G&=& G_{Keller} -G_{Tank} & \\[5pt] G&=& a \cdot b -\pi \cdot r^2 & \\[5pt] G&=& 4m \cdot 5m -\pi \cdot (0,85m)^2 & \\[5pt] G&=& 20m^2 -2,27m^2 & \\[5pt] G&=& 17,73m^2 & \\[5pt] \end{array}$
Um die Höhe des Wassers zu bestimmen, teilst du das Volumen des ausgelaufenen Wassers durch die Grundfläche. Das ist die Volumenformel umgestellt nach der Höhe.
$\begin{array}[t]{rll} h&=&\frac{V}{G} & \\[5pt] h&=&\frac{2,27m^3}{17,73m^2} & \\[5pt] h&=& 0,128m & \\[5pt] \end{array}$
Das Wasser steht $12,8$ cm hoch im Keller.
d)
Der defekte Tank soll nun durch einen Tank mit einem Quadrat als Grundfläche und gleicher Höhe ersetzt werden (Quader). Bestimme die Kantenlänge der Grundfläche.
Da die Höhe des Tanks unverändert bleiben soll, muss auch die Grundläche gleich groß bleiben, damit sich das Volumen nicht verändert. Du kannst also die Grundfläche des alten Tanks bestimmen und ein Gleichgroßes quadrat berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} G&=& \pi \cdot r^2& \\[5pt] G&=& \pi \cdot (0,85m)^2& \\[5pt] G&=& 2,27m^2& \\[5pt] \end{array}$
Jetzt setzt du die Fläche in die Flächenformel für Quadrate ein.
$\begin{array}[t]{rll} A&=& a^2 & \\[5pt] 2,27m^2&=& a^2 & \\[5pt] \sqrt{2,27m^2}&=& a & \\[5pt] a&=& 1,51m& \\[5pt] \end{array}$
Der Tank mit rechteckiger Grundfläche hat eine Grundkantenlänge von $1,51$ m$^2$
#prisma#kreis
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