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Oberflächen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

$\;$
In Abbildung $1$ und $2$ sind die Netze von zwei Prismen und zwei Rechnungen dargestellt. Entscheide welcher der Rechenwege zu welcher Figur passt. Die Rechnungen können zur Berechnung einer Prismaoberfläche verwendet werden. Die Formel dafür lautet:
$O_{Prisma}=2\cdot G +M$
$O_{Prisma}=2\cdot G +M$
$B$: $\frac{1}{2}\cdot5\cdot1,7+(3+5+3)\cdot 7=85,5$
$ B: 85,5 $
#prisma

Aufgabe 1

$\;$
Die Abbildungen $1-4$ stellen Grundflächen von geraden Prismen mit der Höhe $h=5\;\text{cm}$ dar. Wie groß sind die Oberflächen der Prismen?
#prisma

Aufgabe 2

$\;$
Berechne die fehlenden Werte der Tabelle. Verwende dazu die Formel aus der Einführungsaufgabe.
a)b)c)
Mantelfläche$2,3\;\text{cm}^2$$65\;\text{cm}^2$
Grundfläche$28\;\text{cm}^2$$5,6\;\text{cm}^2$
Oberfläche$52\;\text{cm}^2$$450\;\text{cm}^2$
a)b)c)
MF$2,3\;\text{cm}^2$$65\;\text{cm}^2$
GF$28\;\text{cm}^2$$5,6\;\text{cm}^2$
OF$52\;\text{cm}^2$$450\;\text{cm}^2$
#prisma

Aufgabe 3

a)
Ein gerades Prisma hat eine Höhe $h=6\;\text{cm}$ und eine Mantelfläche von ca. $23\;\text{cm}^2$. Berechne den Umfang der Grundfläche des Prismas.
b)
Ein gerades Prisma hat eine Höhe $h=4\;\text{cm}$. Der Umfang der Grundfläche beträgt $36\;\text{cm}$. Berechne die Mantelfläche des Prismas.
#prisma

Aufgabe 4

a)
Zeichne das Körpernetz eines Prismas, das als Grundfläche ein Rechteck mit den Seitenlängen $a=6\;\text{cm}$ und $b=3\;\text{cm}$ hat. Die Höhe des Körpers beträgt $7\;\text{cm}$.
b)
Zeichne das Körpernetz eines Prismas, das als Grundfläche ein Rechteck mit den Seitenlängen $a=4\;\text{cm}$ und $b=3\;\text{cm}$ hat. Die Höhe des Körpers beträgt $5,5\;\text{cm}$.
#prisma
Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

$\;$
Die Oberfläche eines Prismas lässt sich mit der Formel
$\begin{array}[t]{rll} \text{Oberfläche}_{Prisma}&=& 2\cdot \text{Grundfläche}&+&\text{Mantel}&\quad \scriptsize \\[5pt] \text{O}_{Prisma}&=& 2\cdot \text{G}&+&\text{M} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{O}_{Prisma}&=& 2\cdot \text{G}+&\text{M}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Um zu überprüfen, welche Rechnung zu welcher Abbildung passt, kannst du die Formel verwenden und den Flächeninhalt berechnen:
Du hast gezeigt, dass die Rechnung $A$ zur Abbildung $2$ und die Rechnung $B$ zur Abbildung $1$ gehört.
#prisma

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ Oberfläche berechnen
Um die Oberfläche eines Prismas zu berechnen, kannst du die Formel:
$O_{Prisma}=2\cdot G + M$
$O_{Prisma}=2\cdot G + M$
verwenden. Die Maße der Grundfläche und die Höhe sind dir gegeben. Gehe in folgenden Schritten vor:
  1. Flächeninhalt der Grundfläche berechnen
  2. Mantelfläche berechnen
  3. Oberfläche berechnen, indem du in die Formel einsetzt
1. Flächeninhalt der Grundfläche berechnen
Es handelt sich um ein Rechteck, somit gilt für den Flächeninhalt der Grundfläche:
$G=7,5 \cdot 4,5=33,75$
Die Grundfläche ist also ca. $33,75\;\text{LE}^2$ groß.
2. Mantelfläche berechnen
Die Mantelfläche erhältst du, indem du die Höhe $h$ mit einer Seitenlänge des Rechtecks, in diesem Fall $a=4,5$, multiplizierst.
$M=5 \cdot 4,5 =22,5$
Die Mantelfläche ist also $22,5\;\text{LE}^2$ groß.
3. Oberfläche berechnen
Die Oberfläche kannst du berechnen, indem du die angegebene Formel benutzt. Es ergibt sich:
$O_{Prisma}=2\cdot 33,75 + 22,5 =90$
Die Oberfläche ist $90\;\text{LE}^2$ groß.
b)
$\blacktriangleright$Oberfläche berechnen
Um die Oberfläche eines Prismas zu berechnen, kannst du die Formel:
$O_{Prisma}=2\cdot G + M$
$O_{Prisma}=2\cdot G + M$
verwenden. Die Maße der Grundfläche und die Höhe sind dir gegeben. Gehe in folgenden Schritten vor:
  1. Flächeninhalt der Grundfläche berechnen
  2. fehlende Seitenlänge des Dreiecks berechnen
  3. Mantelfläche berechnen
  4. Oberfläche berechnen, indem du in die Formel einsetzt
1. Flächeninhalt der Grundfläche berechnen
Es handelt sich um ein Dreieck, somit gilt für den Flächeninhalt der Grundfläche:
$G=5 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}=10$
Die Grundfläche ist also ca. $10\;\text{LE}^2$ groß.
2. fehlende Seitenlänge des Dreiecks berechnen
Um die fehlende Seitenlänge zu berechnen, kannst du den Satz des Pythagoras verwenden:
$a^2+b^2=c^2$
$a^2+b^2=c^2$
Wenn du die Formel nah $c$ umstellt, erhältst du:
$c=\sqrt{a^2+b^2}$
Setze die Längenangaben in die Formel ein und du erhältst für $c$:
$c=\sqrt{4^2+5^2}\approx6,4$
Die Seite $c$ des Dreiecks ist $6,4\;\text{LE}$ lang.
3. Mantelfläche berechnen
Die Mantelfläche erhältst du, indem du die Höhe $h$ mit einer Seitenlänge des Dreiecks, in diesem Fall $c=6,4$, multiplizierst.
$M=5 \cdot 6,4 =32$
Die Mantelfläche ist also $32\;\text{LE}^2$ groß.
4. Oberfläche berechnen
Die Oberfläche kannst du berechnen, indem du die angegebene Formel benutzt. Es ergibt sich:
$O_{Prisma}=2\cdot 10 + 6,4 =26,4$
Die Oberfläche ist $26,4\;\text{LE}^2$ groß.
c)
$\blacktriangleright$Oberfläche berechnen
Um die Oberfläche eines Prismas zu berechnen, kannst du die Formel:
$O_{Prisma}=2\cdot G + M$
$O_{Prisma}=2\cdot G + M$
verwenden. Die Maße der Grundfläche und die Höhe sind dir gegeben. Gehe in folgenden Schritten vor:
  1. Flächeninhalt der Grundfläche berechnen
  2. Mantelfläche berechnen
  3. Oberfläche berechnen, indem du in die Formel einsetzt
1. Flächeninhalt der Grundfläche berechnen
Es handelt sich um ein Rechteck, somit gilt für den Flächeninhalt der Grundfläche:
$G=9,5 \cdot 1,5=14,25$
Die Grundfläche ist also ca. $14,25\;\text{LE}^2$ groß.
2. Mantelfläche berechnen
Die Mantelfläche erhältst du, indem du die Höhe $h$ mit einer Seite des Rechtecks, in diesem Fall $a=1,5$, multiplizierst.
$M=5 \cdot 1,5 =7,5$
Die Mantelfläche ist also $7,5\;\text{LE}^2$ groß.
3. Oberfläche berechnen
Die Oberfläche kannst du berechnen, indem du die angegebene Formel benutzt. Es ergibt sich:
$O_{Prisma}=2\cdot 14,25 + 7,5 =36$
Die Oberfläche ist $36\;\text{LE}^2$ groß.
d)
$\blacktriangleright$Oberfläche berechnen
Um die Oberfläche eines Prisma zu berechnen, kannst du die Formel:
$O_{Prisma}=2\cdot G + M$
$O_{Prisma}=2\cdot G + M$
verwenden. Die Maße der Grundfläche und die Höhe sind dir gegeben. Gehe in folgenden Schritten vor:
  1. Flächeninhalt der Grundfläche berechnen
  2. fehlende Seitenlänge des Dreiecks berechnen
  3. Mantelfläche berechnen
  4. Oberfläche berechnen, indem du in die Formel einsetzt
1. Flächeninhalt der Grundfläche berechnen
Es handelt sich um ein Dreieck, somit gilt für den Flächeninhalt der Grundfläche:
$G=7 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}=14$
Die Grundfläche ist also ca. $14;\text{LE}^2$ groß.
2.fehlende Seitenlänge des Dreiecks berechnen
Um die fehlende Seitenlänge zu berechnen, kannst du den Satz des Pythagoras verwenden:
$a^2+b^2=c^2$
$a^2+b^2=c^2$
Wenn du die Formel nach $c$ umstellst, erhältst du:
$c=\sqrt{a^2+b^2}$
Setze die Längenangaben in die Formel ein und du erhältst für $c$:
$c=\sqrt{4^2+7^2}\approx8,1$
Die Seite $c$ des Dreiecks ist $8,1\;\text{LE}$ lang.
3. Mantelfläche berechnen
Die Mantelfläche erhältst du, indem du die Höhe $h$ mit einer Seitenlänge des Dreiecks, in diesem Fall $c=8,1$, multiplizierst.
$M=5 \cdot 8,1 =40,5$
Die Mantelfläche ist also $40,5\;\text{LE}^2$ groß.
4. Oberfläche berechnen
Die Oberfläche kannst du berechnen, indem du die angegebene Formel benutzt. Es ergibt sich:
$O_{Prisma}=2\cdot 14 + 40,5 =68,5$
Die Oberfläche ist $68,5\;\text{LE}^2$ groß.
#prisma

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Mantelfläche berechnen
Verwende die Formel aus der Einführungsaufgabe, um diese Aufgabe zu lösen.
$O_{Prisma}=2\cdot G +M$
$O_{Prisma}=2\cdot G +M$
Da nach der Mantelfläche gefragt ist, musst du die Formel nach $M$ umstellen:
$M=O_{Prisma}-2\cdot G$
Setze die gegebenen Werte in die Formel ein und du erhältst:
$M=152\;\text{cm}^2-2\cdot 28\;\text{cm}^2=96\;\text{cm}^2$
$ 96\;\text{cm}^2 $
Die Mantelfläche ist $96\;\text{cm}^2$ groß.
b)
$\blacktriangleright$ Oberfläche berechnen
Verwende die Formel aus der Einführungsaufgabe, um diese Aufgabe zu lösen.
$O_{Prisma}=2\cdot G +M$
$O_{Prisma}=2\cdot G +M$
Setze die gegebenen Werte in die Formel ein und du erhältst:
$O_{Prisma}=2\cdot 5,6\;\text{cm}^2 +2,3\;\text{cm}^2=13,5\;\text{cm}^2$
$ 13,5\;\text{cm}^2$
Die Oberfläche ist $13,5\;\text{cm}^2$ groß.
c)
$\blacktriangleright$ Grundfläche berechnen
Verwende die Formel aus der Einführungsaufgabe, um diese Aufgabe zu lösen.
$O_{Prisma}=2\cdot G +M$
$O_{Prisma}=2\cdot G +M$
Da nach der Grundfläche gefragt ist, musst du die Formel nach $G$ umstellen:
$G=\frac{O_{Prisma}-M}{2}$
Setze die gegebenen Werte in die Formel ein und du erhältst:
$G=\frac{450\;\text{cm}^2-65\;\text{cm}^2}{2}=192,5\;\text{cm}^2$
Die Grundfläche ist $192,5\;\text{cm}^2$ groß.
#prisma

Aufgabe 3

$\;$
Die Abbildung stellt ein Körpernetz eines Prismas dar. Die Seiten, die mit der gleichen Farbe markiert sind, müssen in einem Prisma immer gleich lang sein. Deswegen lässt sich ein Zusammenhang zwischen dem Umfang der Grundfläche und der Mantelfläche erkennen.
Es gilt:
$M=u\cdot h$ und $u=\frac{M}{h}$
$M=u\cdot h$ und $u=\frac{M}{h}$
$u$ steht für den Umfang der Grundfläche, $M$ für die Mantelfläche und $h$ für die Höhe des Körpers.
a)
$\blacktriangleright$ Umfang der Grundseite berechnen
Verwende die angegebene Formel, um den Umfang der Grundseite zu berechnen:
$u=\frac{M}{h}$
$u=\frac{23\;\text{cm}^2}{6\;\text{cm}}=3,83\;\text{cm}$
Der Umfang der Grundfläche ist $3,83\;\text{cm}$ lang.
b)
$\blacktriangleright$ Mantelfläche berechnen
Verwende die angegebene Formel, um die Mantelfläche zu berechnen:
$M=u\cdot h$
$M=36\;\text{cm}\cdot 4\;\text{cm}=144\;\text{cm}^2$
Die Mantelfläche beträgt $144\;\text{cm}^2$.
#prisma

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ Körpernetz zeichnen
b)
$\blacktriangleright$ Körpernetz zeichnen
#prisma
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